第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
图 平板电容器3．不同媒质分界面上的边界条件对比准静态电磁场与静态电磁场的基本方程可见，仅麦克斯韦方程组中的两个旋度方程有异。
因此，只需推导准静态电磁场在不同媒质分界面上的切向分量之间的关系。
对于磁准静态场中旋度方程对应的积分形式⎰⎰∙∂∂-=∙S l d td S B l E在媒质分界面上取一个小回路，可得21s 1t 21t 1l l t B l E l E ∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∆+∆-即 2s t 2t 1l t B E E ∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-由于磁感应强度对时间的变化率为有限值，当∆l 2→0时，有021=-t t E E即电场强度的切向分量在媒质分界面上依然连续t t E E 21= ， e n ⨯( E 2 - E 1) = 0对于电准静态场中旋度方程对应的积分形式⎰⎰⎰∙∂∂+∙=∙S S l d td d S DS J l H c类似于恒定磁场中旋度方程对应的积分形式⎰⎰∙=∙Sl d d S J l H c的讨论，只要电位移矢量对时间的变化率为有限值，必有s t 1t 2K H H =- ， e n ⨯( H 2 - H 1) = K综上所述，准静态电磁场的边界条件为H 2t -H 1t = K s ， e n ⨯( H 2 - H 1) = KE 1t =E 2t ， e n ⨯( E 2 - E 1) = 0B 1n =B 2n ， e n ⋅ ( B 2 - B 1) =0D 2n -D 1n = σ ， e n ⋅ ( D 2 - D 1) =σ4．时谐电磁场的复数表示在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间作正弦变化。
即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进行研究。
在准静态电磁场和下一章的动态电磁场讨论中，主要讨论随时间作正弦变化的时变电磁场(简称为时谐电磁场)。
以电场强度为例，在直角坐标系下可写为()()()()()()()()()r r e r r e r r e r E m m m z z z y y y x x x t E t E t E t φωφωφω+++++=cos cos cos ),(式中，ω 是角频率，E x m 、E y m 、E z m 及φx 、φy 、φz 分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。
采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即)()()()(r e r e r e r E zm z ym y xm x m E E E ∙∙∙∙++=式中，x x x E E φj m m e =∙，y y y E E φj m m e =∙和z z z E E φj m m e =∙。
瞬时矢量被复矢量表示如下 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙∙t t t ωωj j m e 2Re e Re ,r E r E r E 式中，()r E ∙为与复矢量(振幅)()r E ∙m 对应的有效值表示。
采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式∙∙∙+=⨯∇m cm m j D J H ω∙∙-=⨯∇m m j B E ω0m =∙∇∙B ∙∙=∙∇m m ρD 类似地，也可以写出媒质构成方程的复数形式。
一般称上述方程组为麦克斯韦方程组的频域形式，而称原有的方程组为麦克斯韦方程组的时域形式。
显然，采用麦克斯韦方程组的频域形式后，不再含有场量对时间t 的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。
为书写简便，同时，也基于实际测量中所得为正弦量的有效值，故本书采用复矢量的有效值来讨论时谐电磁场理论。
例2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，)sin()cos(αβωαβω+-++-=x t E x t E z z y y m m e e E ,θβθβθsin )cos cos(sin z 0x e x jH H j -∙=。
[解]：())()()()(αβαβαβαβ----π+----∙-=+=x z z x y y 2x z z x y y e jE e E e E e E j j j j e e e e r E())sin sin()cos cos(sin )sin cos()cos cos(sin ,θβωθβθθβωθβθz t x H 22z t x H 2t H 00x --=π+-= r4．3 集肤效应与透入深度·电磁屏蔽1．集肤效应与透入深度对于频率较高的电磁场问题，导体内部出现如图所示的集肤效应，也就是涡流效应。
设相对于传导电流可以忽略位移电流的影响，此时，导体中电磁场可近似为磁准静态场，满足方程=∙∇=∙∇∂∂-=⨯∇=⨯∇D B B E EH t γ消去H 得()tt t ∂∂-=⨯∇∂∂-=∂∂⨯∇-=⨯∇⨯∇E H H E μγμμ 运用矢量恒等式及 ∇∙D =ε∇∙E =0，有E E E E 22)(-∇=∇-∙∇∇=⨯∇⨯∇得t∂∂=∇E E μγ2 同理 t ∂∂=∇H H μγ2 上式偏微分方程称为扩散方程。
对于时谐电磁场问题，扩散方程的复数形式为(a) 低频，电流均匀分布 (b) 高频，感应电场的作用 (c) 集肤效应图 圆导体截面内电磁场分布示意图∙∙∙==∇E E E 22j P ωμγ∙∙∙==∇H H H 22j P ωμγ 式中()()j 11j 12j +=+==dP ωμγωμγ 对于一维场问题，如在图所示的半无限大导体(x >0)，设交变电流沿y 轴方向流动，即y y J e J ∙∙=，且y J ∙仅为坐标x 的函数，则()y y x E e E ∙∙=。
故满足扩散方程的解为Px Px y Be Ae E +=-∙ 当x →∞时，y E ∙为有限值，所以B ＝0。
由设x ＝0时，()0y y E E ∙∙=，则Px y Px y e E Ae E -∙-∙==)0( 又由∇⨯H =γE ，知H = H z (x )e z 。
同理可得Px z z e H H -∙∙=)0( 以及Px y Px y y y e J e E E J -∙-∙∙∙===)0()0(γγ 现在，以电场强度为例分析导体内部电磁场的分布规律。
代入P 得()()d x d x y x d y y e e E eE E j j --∙+-∙∙⋅==00)1(1 式中 d xe - 为衰减因子，当x = d 时，()1|0|||-∙∙=e E E y y 距离导体表面x = d 处比导体表面处的场强值减少了e 倍。
d 称为导体的透入深度，即ωμγ2=d透入深度表征了电磁场在导体中的衰减率。
显然，d 愈小，电磁场在导体中衰减得愈快，集肤效应越显著。
一般当x =(4～5)d 时，场量已近似衰减为零。
2．电磁屏蔽静电屏蔽、磁屏蔽和电磁屏蔽。
图 半无限大导体内的集肤效应4．4 涡流及其应用涡流具有与传导电流相同的热效应和磁效应，在电气设备中，力求减小涡流及其损耗，但同时，涡流也有其广泛的工业应用，如感应加热、无损检测、电冶金等。
1．薄钢片中的涡流以图示铁心中一薄钢片为例，由于h >> a , l >> a ，故薄钢片截面内磁感应强度沿 z 轴方向，且是(x , t )的函数，即B = B z (x , t )e z 。
E (x , t )和J (x , t )位于xoy 平面上。
忽略感应电场沿x 方向的分量，则即归结为E y (x , t )和J y (x , t )，如图所示。
设磁场随时间作正弦变化，且满足一维扩散方程，即z z z B P B x B ∙∙∙==222j d d ωμγ通解为 PxPxz c c B e e 21+=-∙根据磁场的对称性⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙∙22aB a B z z 显然，221Cc c ==，采用双曲函数表示)(ch )(ch 0Px B Px C B z ∙∙==式中，0∙B 是0=x 处的磁感应强度。
由∙∙=⨯∇E B μγ和∙∙=E J γ，有)(sh )(sh 00Px E Px P B E y ∙∙∙=-=μγ)(sh )(sh 00Px J Px P B J y y ∙∙∙=-=μ(a) 图 薄钢片(b)(c)z B ∙和y J ∙的模值分别为 )2cos 2(ch 21||0d x d x B B z +=∙ )2cos 2(ch 21||0dx d x J J y y -=∙ B z 和J y 随x 的变化曲线如图所示。
