高中数学全套讲义 选修1-1 导数概念中挡 学生版

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；【变式2】已知()32(f x ax bx x a b ∈R ＝＋＋，、且0)ab ≠的图象如图所示，若12x x >，则有( ) A ．a>0，b>0B ．a<0，b<0C ．a<0，b>0D ．a>0，b<0类型六：导数的实际应用例8. 某商场预计2010年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)． 该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)，(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？举一反三：【变式】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？32x x 在0p 处的切线平行于直线41x ，则0p B 1,4)-- D x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．2R 和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 5. 已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )6. 设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（ ）A. 3a <-B. 3a >-C. 13a <-D. 13a >-7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152 D ．有最小值－152 二、填空题8．函数()ln x f x x=的单调递减区间是_ _____． 9．．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。

目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (3)考点二导数的几何意义 (3)题型3 有关斜率的判断与计算 (3)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2010•浙江模拟）有人从“若a b <，则2222b a a b b a -<<-”中找到灵感引入一个新概念，设2()F x x =，()2f x x =，于是有f （a ）()()F b F a f b a-<<-（b ），此时称()F x 为甲函数，()f x 为乙函数，下面命题正确的是( )A ．若2()32f x x x =+则32()F x x x C =++，C 为常数B ．若()cos f x x =，则()sin F x xC =+，C 为常数 C ．若2()1f x x =+，则()F x 为奇函数D ．若()x f x e =，则F （2）F <（3）F <（5）2．（2007秋•德化县期末）一个作直线运动的物体，它的速度v （米/秒）与时间t （秒)满足3(0)v t t =，如果它在a 秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等，则a 等于( )A．BC．D ．43．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．4．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ． 5．（2009•深圳模拟）某质点作直线运动的路程S 与时间t 的函数关系是2321S t t =-+，则质点在2t =时的瞬时速度为 ．6．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．题型2 导数的概念7．（2014春•通城县校级期中）给出下列命题：（1）平均变化率yx中，△x 一定是正数， （2）曲线在某点处的切线与曲线只有一个交点，（3）1(sin )cos 332ππ'==，（4）函数()y f x =在(,)a b 上单调递增，则()0f x '，（5）闭区间上的连续函数一定存在最值．其中真命题是 （只填序号）．8．（2013秋•通州区校级期中）已知函数()(0)f x lnx x =>，若任意1x 、2[2x ∈，3]且21x x >，2121()()f x f x t x x -=-，则实数t的取值范围 ．9．（2016春•宁德期中）一个质点的运动方程为()s t =则它在3t =时的速度为 ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2018•洛阳二模）已知函数2()()x f x e ax a R =+∈，若曲线()y f x =在点(P m ，())(1)f m m >处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是()A ．1(2-，)+∞B ．[1-，)+∞C ．1[2-，)+∞D ．1(1,)2--12．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 13．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．14．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．15．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．16．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim4x f x f x→--= ．2．（2012秋•上城区校级月考）若函数()sin f x ax x =+的图象上存在互相垂直的切线，则实数a 的值为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．5．（2017春•如东县校级期中）已知函数3()6h x x x lnx =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的范围为 ． 6．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．7．（2017春•延津县校级期末）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）= ．8．（2016春•福州期中）下列命题中正确的有 ．（填上所有正确命题的序号） ①一质点在直线上以速度2321(/)v t t m s =--运动，从时刻0()t s =到3()t s =时质点运动的路程为15()m ；②若(0,)x π∈，则sin x x <；③若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值；④已知函数()f x =2()0f x dx π=⎰．9．（2016春•广安校级月考）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．。

目录目录 (1)考点一函数单调性的判断 (2)考点二函数的极值 (3)考点三函数的最值 (4)课后综合巩固练习 (6)考点一 函数单调性的判断设函数()f x 在区间()a b ，内可导， ⑴若在()a b ，内，有()0f x '>，则函数()f x 在此区间单调递增； ⑵若在()a b ，内，有()0f x '<，则函数()f x 在此区间单调递减．上面的条件只是函数单调性的充分条件，不是必要条件．即若知道可导函数单调递增（减），不一定能得到()0f x '>(0)<，在该区间上可能存在导数为零的点．1．（2019春•攀枝花期末）函数321()3f x ax x a =-+在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．2a >D ．2a2．（2019春•宁德期末）函数3()128f x x x =-+的单调增区间是( ) A ．(,2)-∞-，(2,)+∞ B ．(2,2)- C ．(,2)-∞-D ．(2,)+∞3．（2019春•屯溪区校级期中）函数()(1)x f x a xlna a =->的单调递减区间为( ) A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞4．（2019春•绍兴期末）若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为( )A ．23-B ．C ．D ．5．（2019春•碑林区校级月考）已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的单调递减区间为( )A ．(0,1)和(4,)+∞B ．(0,2)C ．(,0)-∞和(1,4)D ．(0,3)6．（2019春•顺德区期末）若函数2()f x lnx x x=++在区间[t ，2]t +上是单调函数，则t 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．(1,)+∞7．（2019春•九江期末）已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)考点二 函数的极值1.极值的概念已知函数()f x 及其定义域内一点0x ，若存在一个包含0x 的开区间，对于该开区间内除0x 外的所有点x ，如果都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点；如果都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小值，并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 2.可导函数极值的分析方法在0x x =处，0()0f x '=，若在0x 左侧()00f x '>，在0x 右侧()00f x '<．则0x 是()f x 的极大值点；若在0x 左侧()00f x '<，在0x 右侧()00f x '>，则0x 是()f x 的极小值点． ()00f x '=只是0x 为极值点的必要条件，不是充分条件．如果在0x 的两侧导数符号不变，则()0f x '不是极值，当然0x 也就不是极值点．如3()f x x =，在0x =处． 3.求可导函数的极值的步骤：（1）找函数的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的所有实数根；（4）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导函数()f x '的符号如何变化8．（2019春•襄阳期末）设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x ='的图象的一部分如图所示，则正确的是( )A ．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为f （3）D ．()f x 的极大值为f （3），极小值为(3)f -9．（2018•柳州一模）设a R ∈，若函数y x alnx =+在区间1(e，)e 有极值点，则a 取值范围为( )A ．1(e，)eB ．1(,)e e--C ．(-∞，1)(e e⋃，)+∞D ．(-∞，1)(e e--⋃，)+∞10．（2017秋•嘉峪关校级期末）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)((1)f f '-=' )A ．1-B ．2C ．5-D ．3-考点三 函数的最值1.最值的概念函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）值． 2.求指定区间上函数的最值的步骤：（1）求函数在该区间上的极值；（2）把极值与端点的函数值作比较，最大的为最大值，最小的为最小值．11．（2019春•九江期末）已知函数1()(1)1()f x ax a lnx a R x=--++∈在(0，1]上的最大值为3，则(a = ) A ．2B ．eC ．3D ．2e12．（2019春•香坊区校级期中）函数2()lnxf x x =的最大值为( ) A ．1eB ．12eC ．eD ．013．（2019春•九江期末）函数()(1)x f x x e =-有( ) A ．最大值为1B ．最小值为1C ．最大值为eD ．最小值为e14．（2019春•河南期末）若函数()f x ax lnx =-在区间(0，]e 上的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．2eB ．2eC ．2eD ．1e15．（2019春•瀍河区校级月考）已知函数()f x x xlnx =+，且对于任意2x >，总有函数()f x 的图象在函数(2)y k x =-图象的上方，则当k N ∈时，k 的最大值为( ) A ．3B ．4C ．2D ．516．（2019春•静宁县校级期末）函数321()3f x x x =-在[1，3]上的最小值为( )A ．2-B ．0C ．23-D ．43-17．（2019•雨花区校级模拟）已知函数1()()()x f x e a ax e=-+．若()0()f x x R ∈恒成立，则满足条件的a 的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．318．（2018•厦门二模）设函数()x f x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是( )A ．1e-B ．1C ．11e-D ．311e+课后综合巩固练习1．（2019春•南山区期末）已知1x e=是函数()(1)f x x lnax =+的极值点，则实数a 的值为( ) A ．21e B ．1eC ．1D ．e2．（2019春•屯溪区校级期中）函数()(1)x f x a xlna a =->的单调递减区间为( ) A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞3．（2019春•诸暨市校级期中）已知()lnxf x x=，则下列结论中错误的是( ) A ．()f x 在(0,)e 上单调递增 B ．f （2）f =（4）C ．当01a b <<<时，b a a b <D ．20192020log 20202019>4．（2019•齐齐哈尔三模）设12x =-是函数22()(2)3f x ln x ax a x =+--的极小值点，则()f x 的极大值为( ) A ．2B ．1C ．34D ．235．（2019•珠海二模）若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为( ) A ．(,)e -∞B ．(0，]eC ．(,2)-∞D ．(0，2]6．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．7．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ． 8．（2007•广东）函数()(0)f x xlnx x =>的单调递增区间是 ．9．（2016•新课标Ⅱ）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b = ．10．（2019•全国）已知函数2())f x x ax =-． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ． 11．（2018春•皇姑区校级期中）如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子．（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积1V 是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积21V V >12．（2017秋•泰州期末）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：1000(28)5p x x =+．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费21(25)2x +万元．设()f x 为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． （1）求()f x 的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．。

目录目录 (1)考点一函数单调性的判断 (2)考点二函数的极值 (6)考点三函数的最值 (9)课后综合巩固练习 (13)考点一 函数单调性的判断设函数()f x 在区间()a b ，内可导，⑴若在()a b ，内，有()0f x '>，则函数()f x 在此区间单调递增； ⑵若在()a b ，内，有()0f x '<，则函数()f x 在此区间单调递减．上面的条件只是函数单调性的充分条件，不是必要条件．即若知道可导函数单调递增（减），不一定能得到()0f x '>(0)<，在该区间上可能存在导数为零的点．1．（2019春•攀枝花期末）函数321()3f x ax x a =-+在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．1a >B ．1aC ．2a >D ．2a调递增即导函数()f x '在[1，2]上恒有()0f x '；转化求解即可． 【解答】解：对()f x 求导：2()2f x ax x '=-；)0x ；故()f x '在[1，2]上为单调递增函数；(1)011a ，解得：2a ；或(2)012a⎧⎪⎨⎪⎩无解，故选：D ．【点评】本题主要考查了对函数的求导运算，以及导函数与函数单调性的关系，属中等题． 2．（2019春•宁德期末）函数3()128f x x x =-+的单调增区间是( )A ．(,2)-∞-，(2,)+∞B ．(2,2)-C ．(,2)-∞-D ．(2,)+∞2.【分析】先求导函数，研究出导函数的符号，然后判断函数的单调区间即可． 【解答】解：函数3()128f x x x =-+2()312f x x ∴'=-令()0f x '>，解得2x >或2x <-； 令()0f x '<，解得22x -<<故函数在[2-，2]上是减函数，在(,2)-∞-，(2,)+∞上是增函数， 故选：A ．【点评】本题重点考查导数知识的运用，研究出函数的单调性，考查转化思想以及计算能力． 3．（2019春•屯溪区校级期中）函数()(1)x f x a xlna a =->的单调递减区间为( )A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞3.【分析】先求函数的导函数()f x ，并将其因式分解，便于解不等()0f x '>，得函数的单调增区间，由()0f x '<，得函数的单调减区间． 【解答】解：函数()(1)x f x a xlna a =->()(1)x x f x a lna Ina a Ina '=-=-；令()0f x '=，得：0x =当1a >时，0lna >，若0x <，则(1)0x a -<，所以有()0f x '< 若0x >，则(1)0x a ->，所以有()0f x '> 综上可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞， 故选：D ．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．4．（2019春•绍兴期末）若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为( )A ．23-B ．C ．3D ．4.【分析】若函数()f x 在R 上存在单调递增区间⇔存在区间I ，使得x I ∈时，()0f x '>，求解即可．【解答】解：函数32()231f x mx x x =+--，所以2()343f x mx x '=+-，当0m <时导函数是开口向下的抛物线，当0m 时，导函数存在满足()0f x '>的x 的区间，故选：D ．【点评】本题主要考查了函数存在极值的性质：函数在0x x =处取得极值，则0()0f x '=，但0()0f x '=，函数在处不一定是极值点；函数()f x 在R 存在单调递增区间与函数()f x 在R调递增是两个完全不同的概念，要注意区分． 5．（2019春•碑林区校级月考）已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为( )A ．(0,1)和(4,)+∞B ．(0,2)C ．(,0)-∞和(1,4)D ．(0,3)5.【分析】结合函数图象，求出()()0f x f x '-<成立的x 的范围即可． 【解答】解：结合图象：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(0,1)，(4,)+∞递减， 故选：A ．【点评】本题考查了函数和导函数关系和图象相关知识，中档题． 6．（2019春•顺德区期末）若函数2()f x lnx x x=++在区间[t ，2]t +上是单调函数，则t 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．(1,)+∞得2()2g x x x =+-在[t ，2]t +上恒大于等于0或恒小于等于0．转化为关于t 的不等式组求解．得2()2g x x x =+-在[t ，2]t +上恒大于等于0或恒小于等于0． 则2020t t t >⎧⎨+-⎩，①或22020(2)220t t t t t >⎧⎪+-⎨⎪+++-⎩，②解①得1t ；解②得t ∈∅． 综上，t 的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．（2019春•九江期末）已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)导可得函数单调性，从而可解：1lnxx e >⇔>， 【解答】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e >⇔>，因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '> ()g x ∴在R 上单调递增，故选：A ．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．考点二 函数的极值1.极值的概念已知函数()f x 及其定义域内一点0x ，若存在一个包含0x 的开区间，对于该开区间内除0x 外的所有点x ，如果都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点；如果都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小值，并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 2.可导函数极值的分析方法在0x x =处，0()0f x '=，若在0x 左侧()00f x '>，在0x 右侧()00f x '<．则0x 是()f x 的极大值点；若在0x 左侧()00f x '<，在0x 右侧()00f x '>，则0x 是()f x 的极小值点．()00f x '=只是0x 为极值点的必要条件，不是充分条件．如果在0x 的两侧导数符号不变，则()0f x '不是极值，当然0x 也就不是极值点．如3()f x x =，在0x =处． 3.求可导函数的极值的步骤：（1）找函数的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的所有实数根；（4）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导函数()f x '的符号如何变化8．（2019春•襄阳期末）设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x ='的图象的一部分如图所示，则正确的是()A ．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为f （3）D ．()f x 的极大值为f （3），极小值为(3)f -8.【分析】观察图象知，3x <-时，()0f x '<．30x -<<时，()0f x '>．由此知极小值为(3)f -．03x <<时，()0yf x '>．3x >时，()0f x '<．由此知极大值为f （3）． 【解答】解：观察图象知，3x <-时，()0y x f x ='>， ()0f x ∴'<．30x -<<时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'>．由此知极小值为(3)f -．03x <<时，()0y x f x ='>，()0f x ∴'>．3x >时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'<．由此知极大值为f （3）． 故选：D ．【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用． 9．（2018•柳州一模）设a R ∈，若函数y x alnx =+在区间1(e，)e 有极值点，则a 取值范围为()A ．1(e ，)eB ．1(,)e e--C ．(-∞，1)(e ⋃，)+∞D ．(-∞，1)(e --⋃，)+∞)()0f e '<，解出即可．)()0f e '<，故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点转化为函数的零点的判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2017秋•嘉峪关校级期末）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)((1)f f '-=' )A ．1-B ．2C ．5-D ．3-10.【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a ，b ，c 的关系，即可得到结论． 【解答】解：由三次函数的图象可知，2x =函数的极大值，1x =-是极小值， 即2，1-是()0f x '=的两个根，32()f x ax bx cx d =+++， 2()32f x ax bx c ∴'=++，由2()320f x ax bx c '=++=，即6c a =-，23b a =-，即22()323363(2)(1)f x ax bx c ax ax a a x x '=++=--=-+，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．。

目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (6)考点二导数的几何意义 (7)题型3 有关斜率的判断与计算 (7)课后综合巩固练习 (12)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值1.【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．【解答】解：当02x <<或4x >时，()0f x '<，故函数()f x 在(0,2)，(4,)+∞上单调递减， 当24x <<或0x <时，()0f x '>，故函数()f x 在(2，4)(-∞，0)上单调递增，∴当0x =或4x =时函数取的极大值，∴函数()f x 最大值为，{(0)max f ，f （4）}，无最小值， 故选：C ．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．2.（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．2.【分析】先从()f x 的图象判断出()f x 的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由()f x 的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y 轴左侧先增，再减， 在y 轴的右侧，函数单调递减，∴导函数()y f x ='的图象可能为区间(,0)-∞内，先有()0f x '>，再有()0f x '<，在(0,)+∞再有()0f x '>． 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）3.【分析】由函数()f x 的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象斜率的变化情况，判断()f x '的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，得出结论．【解答】解：由函数()f x 的图象知：当0x 时，()f x 单调递增，且当0x =时，(0)0f >， f ∴'（2），f '（4），f （4）f -（2）0>， 由此可知()f x '在(0,)+∞上恒大于0，其图象为一条直线， 直线的斜率逐渐增大， ()f x ∴'单调递增，f ∴'（2）f <'（4）， 2f ∴'（2）2f <'（4）， f '（2）2f ∴'（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）故选：A ．【点评】本题考查了函数导数与函数单调性之间的关系，解题时应熟练地运用导数与函数单调性的关系，并灵活地利用图象判断函数的单调性，是中档题．4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3）【分析】由题意已知函数()f x 的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断()f x '的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而求解． 【解答】解：由函数()f x 的图象可知：当0x 时，()f x 单调递增，且当0x =时，(0)0f <， f ∴'（2），f '（3），f （3）f -（2）0>， 由此可知()0f x '>， 直线的斜率逐渐减小， ()f x ∴'单调递减，f ∴'（2）f >'（3）， ()f x 为凸函数，f ∴（3）f -（2）f <'（2）0f ∴<'（3）f <（3）f -（2）f <'（2）， 故选：C ．【点评】此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，另外还考查学生的读图能力，要善于从图中获取信息． 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ． 根据题意，有函数的方程以及变化率计算公式可得0011x x x y x x -+=，将其变形即可得答案．内的平均变化率0000111()x x x y x x x x x -+==-+； 01)x x +．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．26.【分析】利用导数的定义，即可得出结论． 解：()2cos2f x '=∴00()(0)(0)(0)limlim (0)x x f x f f x f f x x→→-+-=='=故选：D ．【点评】本题考查导数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．7．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞换成当0x >时，()2f x '恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a 的范围即可． 则当0x >时，()2f x '恒成立2x 在(0,+∞则2(2)1max a x x -= 故选：D ．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．0先求导，根据导数的定义可得0(1)(1)lim x f x f x→+-=【解答】解：3()(2)x f x x x e =-，32()(322)x f x x x x e ∴'=+--，∴0)(1)limx x f x→+-=故选：D ．【点评】本题考查了导数的定义和求导法则，属于基础题． 9．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．9.【分析】利用导数的定义即可得． 解：则0(22)(2)lim4x f x f x→-01(22)(2)22x f x f lin x →--=12f -'1=-，故答案为：1-．【点评】熟练掌握导数的定义是解题的关键考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10.【分析】根据函数()f x 为偶函数求得a 的值，再求出()f x 的导函数()f x '， 利用导数判断()f x '的单调性与极值，从而得出函数()f x '的大致图象． 【解答】解：函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数， 则10a -=，解得1a =，42()2f x x x ∴=-+， 3()44f x x x ∴'=-+；设()()g x f x ='， 则2()124g x x '=-+，∴导函数()f x '的图象大致为选项A 所示．故选：A ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定11.【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可．。

目录目录 (1)考点一基本初等函数的导数公式 (2)考点二导数的四则运算 (5)题型一导数的加法与减法法则 (5)题型二导数的乘法与除法法则 (7)考点三复合函数的导数运算 (9)课后综合巩固练习 (13)考点一 基本初等函数的导数公式1．（2019春•诸暨市期末）函数2()sin 1f x x lnx x =+++的导函数是()A ．12cos x x ++ 1x +B ．12cos x x -+ xC ．12cos x x+- xD ．12cos x x++ x1.【分析】根据导数的公式即可得到结论． 【解答】解：由2()sin 1f x x lnx x =+++，得故选：D ．【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题． 2．（2019春•南明区校级月考）已知定义在R 上的函数()f x f '=（1）2x e x +，则f （1）f '+（1）(= )A ．21e- B ．21ee- C ．41e- D ．41ee- 2.【分析】根据题意，求出函数的导数，令1x =可得：f '（1）f '=（1）2e +，变形可得【解答】解：根据题意，函数()f x f '=（1）2x e x +，其导数()f x f ''=（1）2x e +，故选：C ．【点评】本题考查导数的计算，关键是求出f '（1）的值，属于基础题．3．（2019春•攀枝花期末）已知函数()f x 在R 上可导，且2()2f x x xf '=+（1），则函数()f x 的解析式为()A ．2()4f x x x =-B ．2()4f x x x =+C ．2()2f x x x =-D ．2()2f x x x =+3.【分析】可以求出导函数()22f x x f '=+'（1），从而可求出f '（1）2=-，这样即可得出2()4f x x x =-．【解答】解：()22f x x f '=+'（1）；f ∴'（1）22f =+'（1）； f ∴'（1）2=-；2()4f x x x ∴=-．故选：A ．【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．4．（2018秋•湖北期末）已知函数32()17(f x ax bx cx a =++-，b ，)c R ∈的导函数为()f x '，()0f x '的解集为{|23}x x -，若()f x 的极小值等于98-，则a 的值是( )A ．8122-B ．13C ．2D ．54.【分析】求导数，利用韦达定理，结合()f x 的极小值等于98-，即可求出a 的值．【解答】解：依题意得2()320f x ax bx c '=++的解集是[2-，3]，函数()f x 在3x =处取得极小值，∴有f （3）27931798a b c =++-=-，2a ∴=，故选：C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．（2018秋•埇桥区期末）给出下列结论： ①若31y x=，则43y x '=-； ②若()sin f x α=，则()cos f x α'=； ③若()3f x x =，则f '（1）3=．其中，正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.【分析】根据题意，依次计算三个函数的导数，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析3个结论；对于②，()sin f x α=，为常数，则()0f x '=，错误； 对于③，若()3f x x =，则()3f x '=，则f '（1）3=，正确；其中正确的有2个； 故选：C ．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 6．（2018秋•南昌期末）已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x 使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①2()f x x =，②()x f x e -=，③()f x lnx =，④()tan f x x =，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46.【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件00()()f x f x ='，确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若2()f x x =；则()2f x x '=，由22x x =，得0x =或2x =，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若()x f x e -=；则()x f x e -'=-，即xx e e --=-，此方程无解，②不符合要求；求；不符合要求； 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，关键是理解函数“巧值点”的定义．考点二 导数的四则运算1.加减法则(()())()()f x g x f x g x '''±=±；2.乘法法则(()())()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；3.除法法则2()()()()()()()f x f xg x f x g x g x g x '''⎛⎫-=⎪⎝⎭，(()0)g x ≠题型一 导数的加法与减法法则7．（2010秋•台江区校级期末）函数()sin 7x f x e x x x =+-在0x =处的导数等于( )A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-7.【分析】利用导数的运算法则即可得出． 【解答】解：()sin cos 7x f x e x x x '=++-，(0)10076f ∴'=++-=-．故选：C ．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键． 8．（2019春•吉林期末）设函数()f x 的导数()f x '，且()()cos sin 6f x f x x π='+，则()(3f π'=)A ．1B ．0C D )sin cos 6π+63故选：B ．【点评】本题考查导数的运算、三角函数值，考查学生对问题的分析解决能力．9．（2013春•郯城县校级月考）若函数321()(1)253f x x f x x '=-++，则f '（2）(= )A ．3B ．6-C ．2D ．739.【分析】把给出的函数求导，得到导函数后取1x =即可求得f '（1），然后把f '（1）代回导函数解析式，取2x =后即可求得f '（2）．2(1)25x x ++取1x =得：f '（1）212f =-'（1）2+，所以f '（1）1=．则2()22f x x x '=-+，所以f '（2）222222=-⨯+=．故选：C ．【点评】本题考查了导数的加法与减法法则，考查了基本初等函数的导数公式，解答此题的关键是理解已知函数解析式中的f '（1）为常数，是中档题．10．（2017秋•定州市校级月考）设()f x '为定义在*R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x x'->恒成立，则( ) A ．3f （4）4f >（3） B ．3f （4）4f <（3） C ．3f （3）4f >（4）D ．3f （3）4f <（4）10.【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，即可得到答案当0x >时，()0g x '>恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递增，g ∴（4）g >（3）3f ∴（4）4f >（3），故选：A ．【点评】本题考查了函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用导数研究函数单调性，属于中档题11．（2009春•汉滨区校级月考）如果一个函数的导函数是211()2sin f x xln x'=+，则这个函数可能是()A ．2()log cot f x x x =-B ．2()log cot f x x x =+C ．2()log cot f x x x =--D ．2()log cot f x x x =-+11.【分析】因为当2()log cot f x x x =-，利用商的导数运算法则及对数的导数公式求出()f x 的导数，即为【解答】解：当2()log cot f x x x =-2sin cos cos 1sin 2x x x x x xln -=+故选：A ．【点评】解选择题常用的方法是排除法，这是一种有效的方法．是一道基础题．题型二 导数的乘法与除法法则12．（2013•杭州模拟）函数sin2y x x =的导数是()A ．sin2cos2y x x x '=-B ．sin22cos2y x x x '=-C ．sin2cos2y x x x '=+D ．sin22cos2y x x x '=+12.【分析】运用导数的乘法法则展开，然后对sin 2x 进行简单的复合函数求导运算． 【解答】解：由sin2y x x =，则(sin2)sin2(sin2)sin2cos2(2)sin22cos2y x x x x x x x x x x x x x '='='+'=+'=+．故选：D ．【点评】本题考查了导数的乘法与除法法则，考查了简单的复合函数求导运算，此题虽是基础题题型，但求解时极易忽略对复合函数sin 2x 的内层求导．是易错题．13．（2013秋•沈阳期末）函数()sin f x x =的导数为( )A ．()sin cos f x x x x '=+B ．()cosf x x '=+C ．()cos f x x'=D ．()cos f x x '=13.【分析】利用导数的乘法法则()uv u v uv '='+'计算出即可． 解：()2x '=)sin x '⨯+cos x x故选：B ．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．14．（2013春•台州期末）若()2x x f x e xe '=+（其中e 为自然对数的底数），则()f x 可以是()A ．xxex +B ．(1)1x x e ++C ．xxeD ．(1)x x e x ++14.【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：利用导数的运算法则可得：A ．()1x x x xe x e xe +'=++，B ．[(1)1](1)(2)x x x xx e e x e x e ++=++=+，C ．()x x xxe e xe '=+，。

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；。

第三章 导数及其应用一、变化率与导数()()()()()()()()00000000000000010,0limlim lim.x x x x x y f x x x x x yy x x x xx y x x f x x f x yx xy x x f x y f x x f x f x x∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.函数值也得到一个增量称为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函数在处的导数，记作或,即()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.()()00.PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即()()()()003==limlim .x x f x x f x yy f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即二、常见函数的导数公式1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=三、导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=四、复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则五、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，其函数图像为：(())()y f g x g x '''=•()()()()20.0.f xf xf xf x><＇＇＇（）求单调区间的步骤：①求的定义域；②求导；③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间“”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和()()() ()3“00?f x f x f xf x≥≤＇＇（）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：()()()()()0000=0.x f x f xf x f x f xx<①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极大值称是极大值点.()()()()()0000=0.x f x f xf x f x f xx>②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极小值称是极小值点.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：()()()()()()()()()()000000=0I0,0,;II0,0,;IIIf xf x xx f xx f x f x f xx f x f x f xx f x x<>><＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.说明：在解答过程中通常用列表：3、函数的最值与导数求函数()y f x=在[,]a b上的最大值与最小值的步骤①求函数()y f x=在(,)a b内的极值；②将函数()y f x=的各极值与端点处的函数值()f a，()f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()/////////11/“”102030x x n n n n f x f x e f x e f x f x xf x f x xf x xf x f x xf x nf x x f x x f x nx f x x xf x nf x x --⎡⎤⎡⎤+≥=+⎣⎦⎣⎦+≥=+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤+≥=+=+⎣⎦⎣⎦扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型构造构造构造注意对的符号进行讨论()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()///22///2//1//21“”102030x x x x x n n n n n f x f x e f x e f x f x f x f x e e e f x xf x f x xf x f x x x f x x f x nx f x xf x nf x xf x nf x x x x x -+⎡⎤--⎢⎥-≥==⎢⎥⎣⎦-⎡⎤-≥=⎢⎥⎣⎦--⎡⎤-≥==⎢⎥⎣⎦2、关系式为减型构造构造构造注意对的符号进行讨论。

3.3.1函数的单调性与导数一．回顾与思考1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）2、如果遇到函数：y=x-33x 判断单调性呢？还有其他方法吗？二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样，都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x x x -->0则函数f(x)为增函数. 可把2121()()f f x x x x --看作y x ∆∆=2121()()f f x x x x --.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系. 观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>；（2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。