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黄安基第2章平面力系的简化和平衡

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第二章_平面力系的简化和平衡

第二章_平面力系的简化和平衡
13P YA 6
F
y
0
YA YB P 2P 0
a M A 2aP 2 P(2a ) 3aYB 0 3 5P 25Pa MA YB 6 6
建筑力学
二、静定与超静定问题
对所研究的系统，如果对系统中的所有物体列出的 独立平衡方程数等于未知量的数目，那么总可以求 出待求未知量，这样的问题称为静定问题。如果对 系统中的所有物体列出的独立平衡方程数目小于未 知量总的数目，那么仅仅通过静力平衡无法求解， 这样的问题称为超静定问题. 静力学只能解决静定问题。
建筑力学
静定悬臂梁 静定拱架
静定简支梁
超静定拱
超静定连续梁
建筑力学
§2-6
平面静定桁架
由一些细长 直杆按适当方式 分别在两端连接 而成的几何形状 不变的结构
桁架
建筑力学
一、桁架简化计算的假设 1.各杆件都用光滑铰链相连接 2.各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心 3.所有外力(荷载及支座反力)都作用在节点上
M Mi 0
结论:
平面力偶系平衡的解析条件(充要):该力偶 系的力偶矩的和为零.
建筑力学
§2-4
平面任意力系
风力
重力 浮力 阻力
建筑力学
一 、力线平移定理
o

F
M Mo F
F
A o F



o
M F


A
F
A
F ' F F
FR Fxi i Fyi j 0
M M o ( Fi ) 0
F1
F2
F3
建筑力学

平面力系的简化和平衡

平面力系的简化和平衡
（1）取梁AB为研究对象 （2）画受力图 （3）选取投影坐标轴和矩心。
（4）列平衡方程求解。 X 0, XA P1Cos450 0 Y 0,YA P1Sin450 P2 RB 0 mA(F) 0,P1Sin450 2P2 5m RB 7 0
XA 424N RB 207N YA 317N
X 0, XA 0
Y 0,YA Q P 0
mA
(F)

0,
mA

Q

l 2

3P

0
XA 0,YA 190KN,mA 435KNm
校核：
m B ( F ) m A 3 Y A 1 . 5 Q 4 3 3 1 1 5 . 5 9 9 0 0
矢量 和。
tga
| Y | X
| |
•主矩：原力系中所有各 力系对简化中心O的力矩 的代数和。
MM 0 M 0(F ) 0
返回 下一张 上一张 小结
2.2.3 平面一般力系的平衡条件、平衡方程式
1.基本形式：
X 0 Y 0
M OF 0
X 0
2.二力矩形式： MA(F) 0 MB(F) 0
S33.7 1 K,S N 23.4K,S N 12.8 9 KN
•
计算结果正值与假设方向相同，负值与假设方向相反。
返回 下一张 上一张 小结
2.2.4 平面特殊力系
1.平面汇交力系 X0
Y 0
2.平面力偶系： mi 0
3.平面平行力系 or
X 0
MOF 0
M AF 0 M BF 0
X0,S3C4 o05 sS2C4 o05 sP 2S3 in 00 0

第2章 平面力系的简化与平衡

第2章 平面力系的简化与平衡




F
i 1
n
yi
(2-9)
FR
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是平面汇交力系的 合力为零。由式(2-9)得
FR = FRx + FRy =
2 2
( Fxi ) + ( Fyi ) 2 = 0
2 i 1 i 1
n
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；
从而得平面汇交力系平衡方程
F
i 1
n
xi
0
F ；
i 1
合成的理论依据是力的平行四边形法则或三角形法则。 设作用在刚体上汇交于O点的力系F1、F2、F3和F4，如图2.2(a) 所示，求其合力。首先将F1和 F2两个力进行合成，将这两个力矢 量的大小利用长度比例尺转换成长度单位，依原力矢量方向将两力 矢量进行首尾相连，得一折线abc，再由折线起点向折线终点作有 向线段ac，即将折线abc封闭，得合力 F12，有向线段ac的大小 为合力的大小，指向为合力的方向，同理，力F12与F3的合力为 F123 ，依次得力系的合力FR，如图2.2(b)所示，可以省略中间求 合力的过程，将力矢量F1、F2、F3和F4依次首尾相连，得折线 abcde，由折线起点向折线终点作有向线段ae，封闭边ae表示其 力系合力的大小和方向，且合力的作用线汇交于O点，多边形 abcde称为力的多边形，此法称为力的多边形法则。作图时力的 顺序可以是任意的，力的多边形的形状会发生变化，但并不影响合 力的大小和方向，如图2.2(c)所示。
2. 平面力偶的性质与力偶的等效定理 平面力偶的性质是力偶没有合力，因此不能与 一个力等效；力偶只能与一个力偶等效；力偶 矩与矩心点位置无关。 平面力偶的等效定理：在同一平面内两个力偶 等效的必要与充分条件是两个力偶矩相等。

第二章 平面力系的简化与平衡

第二章 平面力系的简化与平衡

问题。
在物体系统平衡问题的研究中，一般是对符合可解条件的分 离体先行求解，然后将求得的力通过作用与反作用的关系，转移 到其他物体上作为已知力，逐步扩大已知力的数目，最终使所有 的未知量全部求解。这是求解物系平衡问题的大致顺序。
上式只有一个方程式，可解一个未知量。
第三节
物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
工程中常会遇到由若干物体通过一定的约束组成的系统。当整个
系统平衡时，则组成该系统的每个物体均是平衡的。假设系统由n个 物体组成，且每一个物体都受平面一般力系作用。则该系统就可列出 3n个独立的平衡方程，从而求解出3n个未知量。因此，对于所研究的 平衡问题，其未知量的个数少于或等于可列出的独立平衡方程的数目 时，全部未知量都可由静力平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。 例如，图2-12a、b所示的结构均为静定问题。反之，如果未知量的个
1) 主矢FR′≠0，主矩MO≠0：力系简化为一个合力FR。由力的平移
定理的逆过程(见图2-4)可知，其主矢FR′与主矩MO可进一步合成为 一个合力FR，合力的大小FR= FR′，合力作用线到简化中心的距离 为
至于合力作用线在O点的哪一侧，则应根据主矢的方向与主矩的转 向确定。
2) 主矢FR′=0，主矩MO≠0：力系简化为一个力偶M。因为主矢为零， 所以原力系不论向哪一点简化均与一个力偶等效。由于力偶对作用面 内任一点之矩恒等于力偶矩，故合力偶矩即等于主矩，且与简化中心 的位置无关。 3) 主矢FR′≠0，主矩MO=0：力系简化为作用于简化中心的一个力 FR。因为主矩为零，所以原力系与作用于简化中心的主矢等效，且
式中，α 为主矢FR′的作用线与x轴之间所夹锐角，其具体指 向由∑Fx与∑Fy的正负确定。 应用力偶的合成法则可以将附加平面力偶系合成为一个合力偶，其 合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和，即

平面力系的简化与平衡方程.ppt

平面力系的简化与平衡方程.ppt

§4.4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢R R'F O
主矩M O mO (Fi )Fi xi
合力作用线的位置为：
xR

MO R'

Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
QPW N A NB 0
解得：
N A 210 kN, NB 870 kN
§4.5 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
力偶系 mi 0 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
平面
X 0
i1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
§4.3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于 R =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
的原图上）
解除约束
由 mA (Fi )
0
P2a N B
3a0,
N B

2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA

P 3
§4.3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m
求：A、B的支反力。
YD 6 YG' 1 0

第2章 力系的简化与平衡

第2章 力系的简化与平衡

解： 取微元如图
q x q l
三角形 的面积
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理 得 h 2l
3
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
3.平面力偶系的合成
已知： M1, M 2 , M n ;
n
M
M
i 1
i
Mi
已知： M1, M 2 , M n ;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d
M 2 F2d
Mn d
Fn
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
M
M n
i 1
i
Mi
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
r j)
Fy
FR '

r
MO MO (F) 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）求合力作用线方程：
r
MO MO FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
2. 作用线的位置：
A
T1 C
F1 F1´
AC F2 (内分反比关系)
CB F1
F2´
AC CB AB F2 F1 R

理论力学02平面力系的简化和平衡


主矢R ' F1 F2 F3 Fi 主矩 M O m1 m2 m3
mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R
雨搭
车刀
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
简化模型
=
=
≠
=
3
由于
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
力F 力偶（F，F ）
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
（例பைடு நூலகம்丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶m，
且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
2 平面力系向指定点的简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
i 1 i 1
n
n
与前式比较，：
M o ( F R ) FRY x A FRX y A
M o ( FR ) M o ( Fi )
i 1 n
即
合力对任意点之矩，等于其各个分力对同一点之矩的代数和

第二章平面力系的简化和平衡


31
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 MO m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小：R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
主矢 R 方向：
（移动效应）
tg1
Ry Rx
t g1
Y X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
的合力为零。 即：
R 0 Rx2 Ry2 0
Rx X 0 Ry Y 0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程 14
例2.2 求图示作用在O点之共点力系的合力。
解：取坐标如图。
合力在坐标轴上的投影为：
Rx=X=-400+250cos45-200×4/5 =-383.2 N
Ry=Y=250sin45-500+200×3/5 =-203.2N
力+力偶
（偶断丝连）
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
30
2. 平面一般力系向一点的简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶系
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
21
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2

第二章平面力系的简化与平衡

如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。 c
F
c
c
m
F
(a)
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F
(b)
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第二章 平面基本力系 平面力系的简化与平衡
§2-2 平面汇交力系的合成与平衡
一、几何法 1、合成 应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。如图 所示。用解析式表达为
【解】 AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A、 B 处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶。作 AB 梁的受力图，如图（b）所示。
M1
M
M1
2
M
2
B B A
A
4m
60。
FA
FB
d
(a )
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(b)
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第二章 平面基本力系 平面力系的简化与平衡
例2-5
M1

水土学院理论力学课程组
M
i
0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
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第二章 平面基本力系 平面力系的简化与平衡
例2-5
长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二 个力偶其力偶矩分别为 M 1 16 N m ，M 2 4 N m 。 求 A、B支座的约束反力。
1、是非题 （1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边 形自行封闭。（ ） ）
（2）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（ （3）两个力
F1、 F 2
大小相等，则它们在同一轴上的投 ）
影也相等。（

力系的简化和平衡

空间汇交力系可合成一合力F'R:
z MO O x F'R y
FR Fi Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:
MO MO (Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
3.1.2 (空间任意)力系向一点的简化 结论: 空间力系向任一点O简化, 可得一力和一 力偶, 这个力的大小和方向等于该力系的主矢, 作用线通过简化中心O; 这个力偶的矩矢等于该 力系对简化中心的主矩。
空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况: (1) F'R＝0, MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0, MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0, MO≠0 ;
′ Fn
O Mn
3.1.2 (平面任意)力系向一点简化 平面一般力系中各力的矢量和称为平面一般力 系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fx i Fy j
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR , i ) FR Fy cos( FR , j ) FR
A
m
B q C
FAy
FB
求得的FAx和FAy为负, 说明与图中 假设方向相反。
例: 求图示刚架的约束反力。
P
A
解: 以刚架为研究对象, 受力如图。
a
q b
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
1 2 M A Pa qb 0 2
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思考题
试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力 矢量关系如何？合成结果是什么？
(a)
(b)
(c)
(d)
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第二章 平面力系的简化和平衡
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线 成60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束 力。梁的自重不计。
【解】 先计算合力FR在x、y轴上的投影，有
故合力FR 的大小为 F F 2 F 2 2.02kN R Rx Ry
450
F2 F1
600
F3
其方向余弦则为 x
a
cosa FRx FR 0.164, cosb FRy FR 0.986
即
F4
a 80.340
FR
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o
F2
F1
Fn
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第二章 平面力系的简化和平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
一、合成
应用由力三角形法则推广得到的力多边形法则，合 力即为力多边形的封闭边。 P34
用解析式表达为
FR F1 F2 F3
FR F1 F2 ... Fn Fi F
n
如下图所示。 O
F
o
图 2-2 (b)
3、互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
F2
O
F1
图 2-2 (c)
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第二章 平面力系的简化和平衡
三、 合力矩定理 P39 表达式： M (F ) M (F ) O O R 证明：MO (F ) F d F r sin(a ) F r (sin a cos sin cosa ) F sin a r cos F cosa r sin x Fy y Fx MO (Fy ) MO (Fx ) M O ( F )
F3
F2
B
F1
F2
o
x
F1
o
a
b d c
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第二章 平面力系的简化和平衡
五、合成
当应用合力投影定理求出力系的合力在直角坐标系下的 投影Fx、Fy后，可用下式求出合力的大小和方向
FR Fx Fy ( Fx) 2 ( Fy ) 2
2 2
Fx cosa FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2
F· d 来度量力的转动效应。
l
A
F
d O 图2-1 B
（1）用扳手拧螺母； （2）开门，关门。
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第二章 平面力系的简化和平衡
该乘积根据力使物体的转动效应的不同，取适当的正负号称为 力F对点O之矩，简称力矩，以符号 M O (F ) 表示。 即 MO (F ) F d O点称为力矩的中心，简称矩心； O点到力F 作用线的垂直距离d，称为力臂。
0 分析铰B有： F 0 , F F cos 45 0 x1 2 BC
C
B
900
FBC 2F2
（1）
45
0
300
F2
F1
600
A
3 F1 2
D
（2）
0 F 0 , F F cos 30 0 分析铰C有： x CB 1
FCB
F2 6 （ 1 ）、（ 2 ） 0.612 F1 4
O
b
A
B
a FR
Fx
b
x
a
图a 力在坐标轴上的投影
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第二章 平面力系的简化和平衡
而如将力FR沿垂直的x、y坐标轴方向分解（图a），则所得 分力FRx、FRy的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。 应注意 （1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
y
b1 a1 O
（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。 若已知FR在直角坐标轴上的投影为Fx和Fy，则 由几何关系可求出力FR的大小和方向，即 B
FA cos300 F cos600 FB sin 300 0 Fy 0,
a
a
FA sin 300 F sin 600 FB cos300 0 图a FA = F cos30=17.3 kN y1 FB = F sin30=10 kN
y
x1
F
思考：可否向其它轴，如（x1、y1）投影？
l
A
F
d B 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向 转动为正，反之为负。 O 图2-1 力矩的单位： 国际制 N· m，kN· m 工程制 公斤力· 米（kgf· m） 力矩的大小还可视为三角形OAB 的面积的两倍。 P39 应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋
转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
第二章 平面力系的简化和平衡
20120917 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线 例2-1 成60º角，支承情况如图 a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束
力。梁的自重不计。
解：1. 取梁AB作为研究对象。 2. 画出受力图。 Fx 0, A
F
B C
30º
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第二章 平面力系的简化和平衡
20120912第二章 平面力系的简 化和平衡 §2－1 平面汇交力系合成与平衡
§2－2 平面力偶系的合成与平衡 §2－3 平面任意力系的简化与平衡
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第二章 平面力系的简化和平衡
网上作业系统 1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。 2、告知学生用户的初始密码都是：123。 3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的 “选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的 选课结果相同。 4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并 等候教师审批。
Fy F 1y F 2 y F ny
F
y
F1x ab, F 2 x bc, F 3x cd, Fx ad
因 ad ab bc cd ,故 y
F
A
D
同理可得 Fy F1y F 2 y F 3 y
F3
C
Fx F1x F 2 x F 3x
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第二章 平面力系的简化和平衡
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向； 为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
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第二章 平面力系的简化和平衡
§2-2 力面力偶系的合成与平衡
一、力对点之矩
由下图及生活常识知，力F 使物体绕O点（某轴）转动的效应，不仅与力 的大小，而且与转轴(平面上O点)到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积
例2-2 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向已 知 F1 1.5kN, F2 0.5kN, F3 0.25kN, F4 1kN
FRy Fiy 1.5 0 0.25 sin 600 1 sin 450 1.99kN
y
FRx Fix 0 0.5 0.25 cos600 1 cos450 0.332kN
x
60º
FA
FB
30º
可否向（x、x1）投影？结论？ P36、61
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第二章 平面力系的简化和平衡
例2-4 如图所示结构ABCD，杆重及摩擦均可不计；在铰链B上作 用着力 F2 ，在铰链C上作用着力 F1 ，方向如图。试求当机构在图
示位置平衡时 F1 和 F2 两力大小之间的关系。 P69 【解】 首先可判断出BC是二力杆，作B铰、C铰的受力图
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第二章 平面力系的简化和平衡
2、力偶矩 P42 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力对 其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
M ( F , F ) F d 或 M F d 例如： M ( F ) M ( F )
O O
F x F ( d x) F d 力偶对作用面内任意一点之矩与矩心位置无关 P42
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第二章 平面力系的简化和平衡
平面力系包括平面基本力系和平面任意力系，平面基本力 系包括平面汇交力系和平面力偶系,它是研究复杂力系的基础。 平面汇交力系的定义： 各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。如图所示。 本章研究的两个问题： 平面汇交力系的合成与平衡问题。 研究方法： 几何法和解析法。
理论力学电子教程
第二章 平面力系的简化和平衡
四、力偶和力偶矩 1、力偶的概念 P41 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 叫做力偶。并记作 ( F , F ) 。可用图2-4表示： 例如：丝锥、改锥（刀）、水龙头、方向盘等
F
d
力偶臂
F1
A
C D 图2-4
F
B
F
力偶作用面 图 2-3
F
F1
三、 力在坐标轴上的投影 由图a知，若已知力FR 的大小FR 和 y 其与x轴、y轴的夹角为a、b，则 Fx FR cosa Fy FR cos b FR sin a b 即力在某个轴上的投影等于力的大小 1 Fy 乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。 a1 当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值； 当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。 注意力在坐标轴上的投影是代数量 。
i 1
F1 F2
a
F1 FR
b
F2
c
F3
d
F3
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