下载文档原格式
平面一般力系的二力矩式平衡方程平面一般力系的二力矩式平衡方程引言在物理学和工程学中，力学的平衡是一个重要的概念。
力学的平衡可以分为平面力系的平衡和空间力系的平衡。
在本文中，我们将讨论平面力系的平衡，并重点关注二力矩式平衡方程。
平面力系的定义和特点平面力系是指作用在一个平面内的一组力。
平面力系具有以下特点：1. 所有的力和力矩都在一个平面内；2. 力系中的力可以同时作用在一个物体的不同点上；3. 力系中的力可能会产生力矩。
力矩的概念力矩是指力对旋转物体造成的影响。
它由两个因素确定：力的大小和作用点与旋转轴的距离。
力矩的大小可以通过以下公式计算：M = Fd其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示力的作用点与旋转轴之间的距离。
力矩的方向可以通过以下规则确定：1. 如果力的作用点在旋转轴上，力矩的大小为零；2. 如果力由旋转轴向外作用，力矩的方向为顺时针方向；3. 如果力由旋转轴向内作用，力矩的方向为逆时针方向。
二力矩式平衡方程的推导在平面力系中，如果力系处于平衡状态，那么力系的合力和合力矩都必须为零。
根据牛顿第一定律，合力为零意味着物体的加速度为零；根据牛顿第二定律，合力矩为零意味着物体的角加速度为零。
设平面力系中共有n个力，分别记为F1, F2, ..., Fn。
考虑到每个力都可以产生力矩，那么每个力产生的力矩之和为：M1 + M2 + ... + Mn = 0力矩的正负号要根据力矩的方向来确定，根据上述力矩的规则，如果力矩是顺时针方向的，那么取正号；如果力矩是逆时针方向的，那么取负号。
根据力矩的计算公式，将每个力的力矩带入上述方程，得到二力矩式平衡方程：F1d1 + F2d2 + ... + Fndn = 0这就是平面力系的二力矩式平衡方程。
应用实例下面通过一个实例来说明如何应用二力矩式平衡方程。
假设有一个悬臂梁，上面有一个重物挂着。
悬臂梁的长度为L，重物的质量为m，重物与悬臂梁的连接处距离悬臂梁固定点的距离为d。
平面一般力系的平衡方程的三种形式
平面一般力系的平衡方程有以下三种形式：
1. 矢量和式形式：若平面一般力系中作用力F1、F2、F3、...、Fn与参考点O的连线分别为r1、r2、r3、...、rn，且F1、F2、
F3、...、Fn的和为零，则平衡条件可以表示为F1 + F2 + F3 + ...
+ Fn = 0。
2. 分力和式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以将作用
在此力系上的力分解为水平分力和垂直分力。
平衡条件可以表示为水
平分力的和等于零，即∑Fx = 0；垂直分力的和等于零，即∑Fy = 0。
3. 正负向分式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以选择
合适的坐标系，将力的方向分为正向和负向。
若力Fi与坐标系确定的
正向相背离，则可表示为Fi > 0；若力Fi与坐标系确定的正向相同，则可表示为Fi < 0。
平衡条件可以表示为所有正向力的代数和等于所
有负向力的代数和，即ΣFi > 0 - ΣFi < 0 = 0。
以上是平面一般力系的平衡方程的三种形式。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．
线
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．
分配记
20 各力在x轴上的投影均为零，即∑Fx ≡0。
于是平面平行力系只有两独立的平衡方程，即
∑Fy＝0
∑MO(F)＝0
不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为
∑MＡ(F) ＝0
∑MＢ(F) ＝0
其中A、B两点的连线不能与各力平行。
平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。
三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下：
(1)根据题意，选取适当的研究对象。
(2)受力分析并画受力图。
(3)选取坐标轴。
坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。
(4)列平衡方程，求解未知量。
列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。
(5)校核结果。
应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。
而不要去改动受力图中原假设的方向。
例4-2已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。
解(1)画受力图，并建坐标系
(2)列方程求解
图4-8
分配记
20 例4-3如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝
10kN.m ，载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。
求支座A、B处的反力。
图4-9
解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。
列平衡方程并求解
分配记
结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。
例3-4塔式起重机如图4-10所示。
设机架自重为G，重心在C点，与右轨
距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a，
轨距为b。
试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。
图4-10
解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、
平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，
起重机在该平面平行力系作用下平衡。
(1)满载时W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平
衡状态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。
则
分配记
(2)空载时W＝0，Q＝Qmax，机架可能绕A点左翻，在临界平衡状
态，B处悬空，NB＝0，受力图如图3-10c所示。
则
故平衡锤的范围应满足不等式
例4-5一简易起重机如图4-11所示。
横梁AB的A端为固定铰支座，B端
用拉杆BC与立柱相连。
已知梁的重力G1＝4kN,载荷G2＝12kN，横梁长L
＝6m，α＝30°，求当载荷距A端距离x＝4m时，拉杆BC的受力和铰支座A
的约束反力。
图4-11
分配记解取横梁AB为研究对象，画受力图如图4-11(b)所示。
列平衡方程并求解
小结对于平面任意力系的三种形式的方程组，都可以求解平面任意力系的平衡问题。
但对于单个刚体来说，只能列出三个独立的方程，求解三个未知量。
在具体解题时，要通过合理选取矩心和投影轴，合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组的麻烦。
另外，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。
复习思考题、作业题1、思考平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或
一个力矩方程和一个投影方程？这时，其矩心和投影轴的选择有什么限制？
2、课本习题4-7、4-6。
下次课预习要点物体系的平衡
静定和超静定问题。
