平 方 根 表(一)

《平方根》【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们； （2）0平方根，它是； （3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表：【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0 【巩固练习】 一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ）A±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B22 4． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即749±= 8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ） A 、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根 11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ± 12．下列叙述中正确的是（ ） A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数 13．25的平方根是（ ） A 、5B 、5-C 、5±D 、5± 14．36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 15．当≥m 0时，m 表示（ ） A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±= B ．43169±=±C ．43169= D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ） A 、1和0B 、0C 、1D 、1±和0 18．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±620．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个21．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、 5C 、5-D 、5± 22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根23．下列命题正确的是（ ） A ．49.0的平方根是0.7 B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A ．a B ．a -C ．2a - D ．3a25．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=x B ．1917=xC ．1817=x D ．1817±=x26．下列各式中，正确的是（） A.2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=- 27．下列各式中正确的是（ ） A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯ C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ）(A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是；31.满足x 是32．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=33. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A.0≥a B.0≤a C.0=a D.0≠a34.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、42)4(+xB 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x35．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、5C 、5-D 、5± 36.下列各式中，正确的是（）A. 2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=-37．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯C ．12)12(2±=- D ．12)12(2=-±38.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与 B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与-二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的，所以的平方根是 2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．525的平方根记作，结果是 6．非负的平方根叫平方根 7．2)8(-=8．9的算术平方根是，16的算术平方根是；9．210-的算术平方根是，0)5(-的平方根是；10．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 11．一个数的平方等于49，则这个数是12．化简：=-2)3(π。

平方根表一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造．2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根．3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力．4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想．二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围．2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点．三、教学方法由于本节内容的特殊性，对于查不同数的平方根都最终要落在平方根表所涉及的范围上，所以在教学过程中，运用类比、转化、化归的方法就尤其重要，这非常有利于学生对知识的掌握，有利于他们更深刻地领会研究数学问题的方法．四、教学手段利用幻灯片，有条件的学校使用实物投影仪，将平方根表直接打在屏幕上，更有利于学生的学习．五、教学过程第(2)小题中被开方数四舍五入得到14.60，所以只查14.6的算术平方根就可以了．通过上一节课，我们现在对于1至100之间的数均可在平方根表中查到它的算术平方根是多少，同学们自然就会想到，那么小于1或大于100的所有正数的算术平方根是否也能通过查这个表来求得呢？显然直接查是不可能的，肯定要将范围内与范围外的数建立起某种关系，从而达到我们的目的．下面我们先来看这样一个表：我们看到当被开方数从0.04扩大100倍得到4时，它的算术平方根由0.2扩大到2，扩大为原来的10倍，再看从4到400、从400到40000均有相同的规律．再看从4扩大10000倍得到40000，它们的算术平方根相应地从2扩大100倍得到200；反过来，我们再看当被开方数从4得0.2；由上面的变化规律我们不难得出下列结论：如果正数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．小数点向右移便是扩大，向左移便是缩小．这里值得强调的是被开方数的小数点必须是向右或向左两位两位地移动，其算术平方根的小数点则相应地向右或向左一位一位地移动．我们得到这一重要的规律有什么用呢？请同学想一想，刚才我们所要解决的问题，看看能否得到一些启发？(由学生来谈想法，最好能让学生举出实际例子．)之后，教师再总结．我们前面所遇到的问题是如何通过平方根表来解决求小于1或大于100的正数的算术平方根的问题．由于我们得到的重要规律，使我们想到可以通过移动被开方数的小数点，而将小于1与大于100的数化成1到100之间的数，查表求出算术平方根，再根据规律求得相应数的算术平方根．但特别应该注意的是被开方数的小数点必须两位两位地移动，移到使被开方数成为1到100之间的数就可以了．下面看一个具体的例子：例1 查表求下列各式的值：我们看到0.236是小于1的数，所以要将0.236扩大，我们看到扩大到2.36和23.6均在可查范围内，但我们前面已经得到规律，被开方数的小数点必须两位两位移动，所以对于0.236，我们只能将小数点向右移动的算术平方根，而23.6是由0.236小数点向右移动2位扩大得到的，所以要想得到0.236的算术平方根，就应将4.858的小数点向左移动1位，缩小为0.4858，这才是0.236的算术平方根，上述步骤可以通过下图来表示：同理可求得由上述两题得到：由这两道小题，我们看到在将被开方数扩大或缩小时，必须遵循小数点两位两位移动的原则，而且当已把原数扩大或缩小到了1至100之间的数时，移动便可以停止了．更应注意的是查表求得的算术平方根必须向相反方向移动“一半”的位数．例2 查表求下列各式的值：(1)—(6)小题由学生自己做，可找六个学生上黑板，注意学生的书写与查表是否准确．要提醒学生在移动小数点时应细心，数好位数，移完后要认真检查．会发现，此开方数的有效数字是多于四位的，提醒学生回忆前面遇到此问题是如何处理的．表示．)此题的最后结果用“≈”符号，是因为它是依据37.52的算术平方根得到的，而37.52是37.524的近似值．由此题使学生明确，在移动小数点后，将数已变换到平方根类的范围内时，如何查表求值，处理的方法就与我们上节课所讲的相同了．分析：遇到被开分数为分数时，应先将其化为小数，再求值．分析：例3这种题型是考查学生查表常用的题型，要引导学生根据被开方数小数点移动和算术平方根的小数点移动的关系，选择适用的已知条件．如第一小题，72180经过移动小数点得7.218，所以我们就应选解：(1)268.6；(2)0.2686；(3)0.08496；(4)84.96．分析：这两道小题，是在已知算术平方根的前提下，反求被开方数，所以我们做题时，着眼点应放在比较算术平方根上，要根据算术平方根的小数点的变化来确定被开方数的小数点的变化．值得注意的是前面我们所总结的规律，即被开方数两位两位移，算术平方根则一位一位移，现在要反过来用．如第一小题：0.1521是152.1的小数点向左移了三位，那么被开数的小数点应向左移六位，后来是23142，应变化为：0.023142．解：(1)0.023142；(2)．通过这两节的学习，我们现在不仅可以通过平方根表解决求1—100之间数的算术平方根的问题，也可以解决小于或大于100的正数的算术平方根问题，尽管由表中查到的多数算术平方根是近似值，但也给我们解决实际问题带来了方便，平方根表作为一个很重要的工具，希望同学们能熟练地掌握它．六、板书设计。

10以内的数开平方表第一步：掌握平方数或立方数与结果个位数之间的对应关系。

为了能够快速口算二次方根或三次方根，我们必须要建立平方数或立方数与平方或立方结果的个位数间的对应关系，这样才便于后面的判断和运用。

10以内的立方中，立方数与结果个位数之间是一一对应的关系，这个一一对应的关系需要数量掌握。

在具体运用过程中，如果不能熟练掌握，可以直接列出10以内的立方表来参考。

10以内立方中的一一对应关系由上表格可知，1、4、5、6、9这五个数的立方数与结果个位数是相同的，而2、8、3、7这四个数的立方数与结果个位数是互补的（其和为10），这样我们就可以很轻松的掌握它们之间的一一对应关系了。

2、3、7、8互补，其它同。

为了简洁，可以直接记为“2、3互补，其它同”。

记住以上口诀即可。

2、3互补就是说在立方数与结果个位数的一一对应关系上，2、3都是与其互补数一一对应的，同样地，2、3的互补数也是与2、3一一对应的。

因此“2、3互补”就暗含了2、8和3、7这两对互补数，也就是4个数。

下面我们来看看平方数与结果个位数之间的对应关系。

我们知道1、5、6这三个数的平方数与结果个位数是相同的；2、8这两个互补的数的结果个位数都是4；3、7这两个互补的数的结果个位数都是9；9、1这两个互补的数的结果个位数都是1；4、6这两个互补的数的结果个位数都是6.我们发现了一个规律：互补的两个数结果的个位数是相同的。

因此我们可以根据这个特点来掌握。

比如9,9的补数是1，而1的平方是1，所以9这个平方数的结果个位数是1.再比如结果个位数6与哪几个平方数对应呢？既然6是平方数的结果的个位数，因此可以根据九九乘法表知4和6都满足，并且4和6这两个数是互补的。

强调：以上两个表格必须要熟练地掌握，能达到不需要思考可以直接写出对应的数最好。

第二步：确定被开方数开方结果的位数。

由于一位数的平方和立方大家已经掌握，因此我们根据一位数的平方和立方的结果知道以下内容：1.根据10以内立方中9的立方是729，而10的立方是1000，我们可以得出不超过三位数的数开立方其结果应是一位数。