2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三(下)第四次月考数学试卷(理科)

一.选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知全集U=R ，集合3{2},{log 0},A x x B x x =<=>则AB = （ ）A ．{12}A x x =<<B ．{12}A x x =≤<C ．{02}A x x =<<D ． {2}A x x =< 2.复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3若a >b ，则下列不等式正确的是 ( )A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |4若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C. π4D.3π45. 要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位C ．向左平移8π单位D ．向右平移8π单位6.右图为函数11()x f x a =，22()x f x a =，33()log a f x x=在同一直角坐标系下的部分图像，则下列结论正确的是 （ ）A . 31210a a a >>>>B. 32110a a a >>>>C. 12310a a a >>>>D. 21310a a a >>>>7. 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是 （ ）A .18B .21C .24D .158. 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x +y 的取值范围是（ ）A.(1－3，2)B.(0，2)C.(3－1，2)D.(0，1+3)9.在1和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，则这5个数之积．．为 （ ）A ．－202B ．192C ．202D ．±20210．已知关于x 的函数1)(-=x m x f ，（其中m >1），设a >b >c >1，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系是（ ）A ．a a f )(>b b f )(>c c f )( B ．b b f )(>a a f )(>c c f )(C ．c c f )(>b b f )(> a a f )(D ．cc f )(>a a f )(>bb f )(11．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( )A. 16B.12C.23D. 5612．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题．（本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13. 已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.14. 已知,x y 均为正数，且1x y +=，则19x y+的最小值为 . 15．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则 f (k ＋1)－f (k )＝____________________________ 16. 一个三角形数阵如下：12 2232 42 5262 72 82 92 ……按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 .三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .若AB ·AC ＝CA ·CB ＝k (k ∈R)． (1)判断△ABC 的形状； (2)若k ＝2，求b 的值． 18. （本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，公比1q >，且满足23428a a a ++=，32a +是2a 与4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若25log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 的和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 的和n T 19. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足3,121==a a ，)2(34*11≥∈-=-+n N n a a a n n n 且 （1）证明数列{}n n a a -+1是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对一切*N n ∈，都有1222211+=+⋯++n na b a ba b nn 成立，求n S 。

甘谷一中高三第四次实战演练数学试题（理)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合}4,2,0{=A ，}03|{2≥-=xx x B ，则集合B A 的子集个数为A ．8B ．4C ．3D ．22、若iiz 215-=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为i--2A 。

i -2B 。

i +2C 。

D.i +-23、如图， 在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点, 且DE xAB yAD =+，则 A ．11,2x y ==- B ．11,2x y == C ．11,2x y =-= D ．11,2x y =-=-4、已知数列｛a n }、{b n ｝满足b n =log 2a n ,n∈N +，其中｛b n ｝是等差数列,且a 9a 2009=4，则b 1+b 2+b 3+…+b 2017= A ．2017 B ．2016 C ．D ．log 220175、中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之,问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A ．200B ．300C ．3500 D ．4006、设50log ,18log ,3534.0===c b a ,则c b a ,,的大小关系是A ．c b a >>B ．b c a >> C.c a b >>D ．a c b >>7、若]6,1[∈a ，则函数x ax y +=2在区间),2[+∞内单调递增的概率是A ．51B ．52C ．53 D ．548、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．929、如图，网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A 。

甘肃省甘谷县2017届高三数学第四次检测考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合)(是实数集R R U =,{}{}02112<-=≤≤-=x x x B x x A ，,则()=B C A U （ ）A ．[]01-，B ．[]2,1C ．[]1,0 D.(][)∞+∞，，21- 2.已知b a ,为实数，则“55b a <”是“b a 22<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 3.若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则21a ii+-的值为（ ） A ．2 B ．2i - C ．2i D ．i - 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．4 5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A ．3 B ．4 C ．5 D ．66.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z -=2的最大值是（ ）A ．1B ．34C ．4D ．2 7.向量,a b 均为非零向量， (2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 （ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是R 上的偶函数，若)3()(f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．3≥aC ．31≤≤a D.31≥≤a a 或 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100162016162016=-s s ，则d 的值（ ） A ．201 B ．101 C ．10 D ．2010.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于直线12π=x 对称C ．关于点)125,0(π对称D ．关于直线125π=x 对称 11.已知数列}{n a 前n 项和为)13()1(1714118521--+⋅⋅⋅+-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．57-B ．37-C ．16D ．57 12.定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f ⋅=-)()('，且21)0(=f ，则)()('x f x f 的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若点)1,1(A 在直线03=-+mn ny mx 上，其中，0>mn ，则n m +的最小值为 ． 14.曲线21cos sin sin )(-+=x x x x f 在点)0,4(πM 处的切线的斜为 .15.在数列{}n a 中，11=a ，若,221）（*+∈+=N n a a n n 则=n a . 16.设函数()(0)22xf x x x ，观察：1()()22xf x f x x ； 21()(())64xf x f f x x ；32()(())148xf x f f x x ；43()(())3016x f x f f x x ……根据以上事实，当n ∈N *时，由归纳推理可得：(1)n f ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分） 17.（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+C B A （1）求角C ；（2）若边3=c ，3=+b a ，求边a 和b 的值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设n n a n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20.（12分）已知函数).(2)1()(2R a x a ax x f ∈++-= （1）当2=a 时，解不等式1)(>x f ；（2）若对任意[]3,1-∈x ，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．21.（12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围．22．（12分）设函数()21ln 2f x x ax bx =--. （1）当3,2=-=b a 时，求函数()f x 的极值； （2）令()()()21032aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内恰有两个实数解，求实数m 的取值范围.高三第四次检测考试数学（文）答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.B 10.D 11.A 12.D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.34 14.21 15.2231-⋅-n 16.2231-⋅n三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22各题12分,共70分） 17.(1)解:由 272cos 2sin 42=-+C B A ，及π=++C B A 得[]271cos 2)cos(122=+-+-C B A即01cos 4cos 42=++C C ， ........................（3分）故1)1cos 2(2=-C 解得21cos =C 30ππ=∴<<C C .......（5分）（2）由余弦定理，ab c b a C 2cos 222-+= 而21cos =C ，212222=-+∴ab c b a ab c b a =-+∴2223=c 又.......................（7分）ab b a 33)(2=-+∴2=∴ab 3=+b a 又...........................（8分）联立⎩⎨⎧==+23ab b a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1221b a b a 或.............................（10分） 18.（1）),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n 两式相减得1122---=-n n n n a a S S 12-=∴n n a a ， )2(21*-∈≥=∴N n n a a n n，即数列{a n }是等比数列． ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n（2）nn n c 2)1(+=nn n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-…①...............（7分）14322)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T …②..............（8分） ①﹣②得14322)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n T)1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ........................................（10分） 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n .........................................（11分） 12+⋅=∴n n n T ................ ........ .....................（12分）19.解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．.........................（1分） 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，.........（2分） 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．.............................................（3分） 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-． 当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，.......................（5分）当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=.............................（6分） （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1π31313cos 2sin 2cos2sin 2262222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．.................................................（9分） 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，.................................（11分） 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．..............（12分）20.解：（1）2=a 时，函数232)(2+-=x x x f ，01321)(2>+-∴>x x x f ，解得121><x x 或，.........................（1分）所以该不等式的解集为{}121><x x x 或......................................（5分）（2）由对任意[]3,1-∈x ，都有0)(>x f 成立；讨论：①当0=a 时，2)(+-=x x f 在区间[]3,1-上是单调减函数，且0123)3(<-=+-=f ，不满足题意；.................................（6分） ②当0>a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121>+=a x ， 若32121<+a ，则51>a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)2121(≥+a f ，即0162≤+-a a ，解得223223+≤≤-a ，取22351+≤<a ；........（7分）若32121≥+a ，则510≤<a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ， 解得61≥a ，取5161≤≤a ；..............................................（9分）当0<a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121<+=a x ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ，解得61≥a ，此时a 不存在；综上，实数a 的取值范围是22361+≤≤a ．............................（12分）解：（1）∵点),(n S n 在函数x x x f 23)(2-=的图象上，n n S n 232-=∴)2(58321≥+-=∴-n n n S n )2(561≥-=-=∴-n n S S a n n n ,..................(3分)11S a = )1(56≥-=∴n n a n ............................................（6分）（2）[])161561(215)1(6)56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ...............（7分）)1611(21)161561()13171()711(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n …（9分）1221<∴<n n T T .......................................................（10分）又20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立12015≥-λ即2016≥λ..............（12分）22. (1)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞， 当3,2=-=b a 时，)0(,3ln )(2>-+=x x x x x f ， 令121,0)1)(12()(/===--=x x x x x x f 或得.............................（1分）12100)('><<>x x x f 或得，1210)('<<<x x f 得........................（2分）故)(x f 在),1()21,0(+∞∈和x 上为增函数，在)1,21(∈x 上为减函数.即()f x 的极大值为452ln )21(--=f ，()f x 的极小值为2)1(-=f ...........（4分）(2) ]3,0(,ln )(∈+=x xax x F ，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在]3,0(上有解，∴max 020)21(x x a +-≥ ............................................（7分） 所以 当1=x 时，02021x x +-取得最大值为21 21≥∴a ...............（8分）(3) 当1,0-==b a 时，,ln )(mx x x x f =+=得[]有两个实数解，，在21ln 1e xxm +=x x x g ln 1)(+=不妨令 20)('10)('0)('e x e x g e x x g e x x g <<⇒<<<⇒>=⇒=，， ..........（9分）为减函数，上为增函数，在在),(),1()(2e e x e x x g ∈∈,11)()(max e e g x g +==∴..（10分）)1(21)(22g e e g >+= 又)11,12[2++∈∴ee m 时方程有两个实数解...........（12分）。

2017-2018学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b| B．＞C．＞D．a2＞b23．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．4．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣35．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）6．定积分dx的值为（）A．9πB．3πC． D．7．不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则实数a的范围为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{}为等差数列，则a19=（）A．0 B．C．D．29．已知函数f（x）=e1+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．（﹣，）D．10．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心11．关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为．14．已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为．15．两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．16．已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．接下列不等式（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．19．设数列{a n}满足a1=1，a n=2a n+1+1（1）求{a n}的通项公式；（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．20．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2•（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，求实数m的取值范围．21．数列{a n}首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2）（1）求证：数列{}是等差数列（2）求数列{a n}的通项公式（3）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k 的最大值．22．已知f（x）=2ax﹣+lnx在x=1与x=处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的x1∈[，2]，总存在x2∈[，2]，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．（文）设a ∈R ，则a ＞1是＜1的（ ） A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【考点】不等关系与不等式；充要条件．【分析】根据 由a ＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a ＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a ＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a ＞1 （如 a=﹣1时），故a ＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 B ．2．若a ＜b ＜0下列不等式中不成立的是的是（ ）A ．|a |＞|b |B ．＞C ．＞D ．a 2＞b 2【考点】不等关系与不等式．【分析】由a ＜b ＜0，可得a ＜a ﹣b ＜0，可得．即可判断出．【解答】解：∵a ＜b ＜0， ∴a ＜a ﹣b ＜0，∴．因此B 不正确． 故选：B ．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n 项和与某些特殊项之间的关系解题． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，由等差数列的性质可得 a 1+a 9=2a 5，a 1+a 5=2a 3，∴====1，故选A．4．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B5．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．【解答】解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：A．6．定积分dx的值为（）A．9πB．3πC． D．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=3所围成的图形的面积即可．【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x=0，x=3围成的封闭图形的面积，故=，故选C．7．不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则实数a的范围为（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据二次项的系数含有参数故分两种情况，再由解集是空集和二次方程的解法列出不等式分别求解，最后再把结果并在一起．【解答】解：根据题意需分两种情况：①当a2﹣4=0时，即a=±2，若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，∴，解得﹣2＜a＜，综上得，实数a的取值范围是[﹣2，）．故选：B．8．已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{}为等差数列，则a19=（）A．0 B．C．D．2【考点】等差数列的性质．【分析】求出数列{}的公差，利用=+12d，即可求出a19．【解答】解：设数列{}的公差为d∵数列{a n}中，a3=2，a7=1，数列{}}是等差数列∴=+4d将a3=2，a7=1代入得：d=∴=+12d=1∴a19=0．故选：A．9．已知函数f（x）=e1+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．（﹣，）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知可得，函数f（x）为偶函数，且在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（x）＞f（2x﹣1），则|x|＞|2x﹣1|，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=e1+|x|﹣满足f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，当x≥0时，y=e1+|x|=e1+x为增函数，y=为减函数，故函数f（x）在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（x）＞f（2x﹣1），则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞4x2﹣4x+1，即3x2﹣4x+1＜0，解得：x∈，故选：A．10．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设出BC的中点D，由题意可得==2λ，进而可得=2λ，可得A、P、D三点共线，进而可得答案．【解答】解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，由向量的运算法则可得，∵+，∴==2λ，∴=2λ∴A、P、D三点共线所以点P一定过△ABC的重心．故选C11．关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为7．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n【解答】解：由等比数列的前n项和公式可得，127=解可得，n=7故答案为：714．已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为3．【考点】正弦函数的定义域和值域；向量的模；两角和与差的正弦函数．【分析】利用向量=（sinx，cosx），向量=（1，），先求出+=（sinx+1，cosx+），再由向量的模的概念知|+|=，然后利用三角函数的性质求|+|的最大值．【解答】解：∵向量=（sinx，cosx），向量=（1，），∴+=（sinx+1，cosx+）∴|+|===，∴|+|max==3，故答案为：3．15．两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，==，利用条件，代入计算，即可得出结论．【解答】解：由题意，====．故答案为：．16．已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率和距离的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设k=，则k的几何意义是区域内的点到E（﹣2，0）的斜率，设z=x2+（y+）2，则z的几何意义为区域内的点到点F（0，﹣）的距离的平方，由图象知AF的斜率最大，由，得，即A（0，2），则k=，即a=1，C（1，0）到F到的距离最小，此时|CF|===2，故d=|CF|2=4，则a+b=1+4=5，故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．接下列不等式（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用因式分解即可求出，（Ⅱ）需要分类讨论．【解答】解：（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0，∴3x2+5x﹣2＞0，∴（3x﹣1）（x+2）＞0，解的x＞，或x＜﹣2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0，∴（x+1）（x﹣a）＜0，若a＞﹣1时，解集为{x|﹣1＜x＜a}，若a=﹣1时，解集为∅，若a＜﹣1时，解集为{x|a＜x＜﹣1}．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．∴2cos2A﹣2sinAcosA=cos2A﹣sin2A+1=﹣1，即﹣2（sin2A﹣cos2A）=﹣2，∴sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，∴2A﹣=，即A=，∵a=2，c=2，∴由正弦定理=，得：sinC===，∵C为三角形内角，∴C=，∴B=，=×2×2=2；则S△ABC（Ⅱ）∵===2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴原式======2．19．设数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1 （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =log 2（a n +1），求数列{b n •a n }的前n 项和为S n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过对a n +1=2a n +1变形可得（a n +1+1）=2（a n +1），进而可得{a n +1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得b n •a n =n •2n ﹣n ，记A=1×21+2×22+…+n •2n ，利用错位相减法计算A ﹣2A 的值，进而计算可得结论． 【解答】解：（1）∵a n +1=2a n +1， ∴（a n +1+1）=2（a n +1） ∵a 1+1=2≠0，∴a n +1≠0，∴，∴{a n +1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴，∴；（2）∵，∴，∴，记A=1×21+2×22+…+n •2n ，∴2A=1×22+…+（n ﹣1）•2n +n •2n +1， ∴﹣A=A ﹣2A=2+22+…+2n ﹣n •2n +1 =﹣n •2n +1=（1﹣n ）•2n +1﹣2， ∴A=（n ﹣1）•2n +1+2，故．20．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2•（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+1，由周期公式可求周期，由时，可求2x﹣∈[﹣，]，从而由函数单调性可求最值．（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，]上递增，在[，]上递减，又f（0）=0，f（）=，f（）=2，结合图象可知实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x…=sin2x+1﹣cos2x…=sin（2x﹣）+1…所以最小正周期T=π…当时，2x﹣∈[﹣，]，…故当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值当2x﹣=﹣即x=0时，f（x）取得最小值所以函数f（x）的最大值为f（）=，最小值为f（0）=0…（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，]上递增，在[，]上递减…又f（0）=0，f（）=，f（）=2…要想方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，结合图象可知只需满足m=或0≤m≤2…（若有分析过程，但无图象，不扣分，若只画出了函数的大致图象，但没有得出答案，则扣两分）21．数列{a n }首项a 1=1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n =（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列（2）求数列{a n }的通项公式（3）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥k 对于一切n ∈N *都成立，求k的最大值．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式． 【分析】（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可． （2）由（1）先求出S n ，进而可求求数列{a n }的通项公式；（3）先构造函数F （n ）判断其单调性，然后再由F （n ）在n ∈N *上递增，要使F （n ）≥k 恒成立，只需[F （n ）]min ≥k ，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1∴S n ﹣S n ﹣1=，∴S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1∴（n ≥2），∴数列{|是以=1为首项，以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，∴S n =，∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣∵a 1=S 1=1，∴a n =．（3）设F （n ）=，则=∴F （n ）在n ∈N *上递增，要使F （n ）≥k 恒成立，只需[F （n ）]min ≥k∵[F （n ）]min =F （1）=，∴0＜k ≤，k max =．22．已知f（x）=2ax﹣+lnx在x=1与x=处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的x1∈[，2]，总存在x2∈[，2]，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f（x）在x=1与处都取得极值，得f'（1）=0，，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（Ⅱ）对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，等价于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min，利用函数单调性易求[f（x）﹣lnx]min，按照对称轴在区间[，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min，然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；【解答】解：（Ⅰ）∵，∵在x=1与处都取得极值，∴f'（1）=0，，∴，解得，当时，，所以函数f（x）在x=1与处都取得极值．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在上递减，∴[f（x）﹣g（x）]min=﹣+=﹣，又函数g（x）=x2﹣2mx+m图象的对称轴是x=m，（1）当时：，依题意有成立，∴；（2）当时：，∴，即6m2﹣6m﹣7≤0，解得：，又∵，∴；（3）当m＞2时，g（x）min=g（2）=4﹣3m，∴，解得，又m＞2，∴m∈ϕ；综上：，所以，实数m的取值范围为．2016年10月24日。

甘谷一中2015——2016学年高三第四次检测考试数学（理）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．b a > B ．ab a 11>- C ．b a 11> D ．22b a >3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．214．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-35．若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．[)3,-+∞C ．()4,-+∞D ．[)4,-+∞ 6．定积分⎰的值为（ ）A ．9πB ．3πC ．94π D ．92π7．不等式()()a x a x 224210-++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ） A ．6(2,)5- B ．6[2,)5- C ．6[2,]5- D ．6[2,){2}5-U 8．已知数列{}n a 中，32a =，71a =，若1{}1n a +为等差数列，则19a =（ ） A ．0 B ．12 C ．23D ．2 9．已知函数()1211xf x e x+=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,131,C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，3131, 10．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r，λ∈（0，＋∞），则直线AP 一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），则x 1＋x 2＋12ax x 的最小值是（ ） A12．已知函数222()(2)2xx f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A 、7(,)4+∞ B 、7(,)4-∞ C 、7(0,)4 D 、7(,2)4二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 的前n 项和127n S =，则n 的值为________．14．已知向量a ＝（sin x ，cos x ），向量b ＝（1），则|a ＋b|的最大值是________． 15．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a = ．16．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩记2y x +的最大值为a ，x 2＋ （y）2的最小值为b ，则a ＋b ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

甘谷一中2016——2017学年高三第四次检测考试数学试题（理）（第Ⅰ卷）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1,.已知集合)(是实数集R R U =,{}{}02112<-=≤≤-=x x x B x x A ，,则()=B C A U Y （ ）A ．[]01-，B ．[]2,1C ．[]1,0 D.(][)∞+∞，，21-Y 2.已知b a ,为实数，则“55b a <”是“b a 22<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 3.若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则21a ii+-的值为（ ） A ．2 B ．2i - C ．2i D ．i - 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积（ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．45．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A ．3B ．4C ．5D ．66.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．6-B ．3-C ．3D ．67.向量,a b v v 均为非零向量， (2),(2)a b a b a b -⊥-⊥v v v v v v ，则,a b v v的夹角为 （ ）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是R 上的偶函数，若)3()(f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．3≥aC ．31≤≤a D.31≥≤a a 或 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100162016162016=-s s ，则d 的（ ） A ．201 B ．101 C ．10 D ．2010.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称B ．关于直线12π=x 对称C ．关于点)125,0(π对称D ．关于直线125π=x 对称 11.已知数列}{n a 前n 项和为)13()1(1714118521--+⋅⋅⋅+-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．57-B ．37-C ．16D ．57 12.已知)('x f 为函数)(x f 的导函数，且12)1(')0(21)(-+-=x e f f x x f ，若x x x f x g +-=221)()(，则方程0)(2=--x x a x g 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．[)+∞,1B ．(]1,∞-C ．(]1,0D ．(){}10,Y ∞- 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若点)1,1(A 在直线03=-+mn ny mx 上，其中，0>mn ，则n m +的最小值为 ． 14.曲线21)4sin(2sin )(-+=πx x x f 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 .15.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 .16.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是 .三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分）17.（10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+C B A（1）求角C ；（2）若边3=c ，3=+b a ，求边a 和b 的值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设n n a n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20.（12分）已知函数).(2)1()(2R a x a ax x f ∈++-= （1）当2=a 时，解不等式1)(>x f ；（2）若对任意[]3,1-∈x ，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．21.（12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数xx x f 23)(2-=的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围．22．（12分）已知函数()2ln f x x x ax =-+，，（1）当),1(+∞∈x 时，函数)(x f 为递减函数，求a 的取值范围；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <, 求证1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭（3）证明当2≥n 时，1ln 14ln 13ln 12ln 1>++++nΛ高三第四次检测考试数学（理）答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.B 10.D 11.A 12.D二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.34 14.2115.丁 16. [32ln 2,2)- 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分）17.(1)解:由 272cos 2sin42=-+C B A ，及π=++C B A 得[]271cos 2)cos(122=+-+-C B A即01cos 4cos 42=++C C ， .............................（3分）故1)1cos 2(2=-C 解得21cos =C 30ππ=∴<<C C Θ ..........（5分）（2）由余弦定理，ab c b a C 2cos 222-+=Θ而21cos =C ，212222=-+∴ab c b a ab c b a =-+∴2223=c 又............................（7分）ab b a 33)(2=-+∴2=∴ab 3=+b a Θ又................................（8分）联立⎩⎨⎧==+23ab b a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1221b a b a 或..................................（10分） 18.（1）),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n Θ......................（1分）两式相减得1122---=-n n n n a a S S 12-=∴n n a a ，)2(21*-∈≥=∴N n n a a n n，即数列{a n }是等比数列．..........................（3分） ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n Θ..........（5分）（2）nn n c 2)1(+=Θnn n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-…①................（7分） 14322)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T …②...............（8分） ①﹣②得14322)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n T)1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ..........................................（10分） 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n ...........................................（11分） 12+⋅=∴n n n T ................ ........ ......................（12分）19.解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．..........................（1分） 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，..........（2分）即0 π2π6x k =-（k ∈Z 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-.........（4分）当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，.......................（5分） 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=..............................（6分） （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．.................................................（9分） 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，..............................（11分） 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．..........（12分） 20.解：（1）2=a 时，函数232)(2+-=x x x f ，01321)(2>+-∴>x x x f Θ，解得121><x x 或，......................（1分）所以该不等式的解集为{}121><x x x 或.....................................（4分） （2）由对任意[]3,1-∈x ，都有0)(>x f 成立；讨论：①当0=a 时，2)(+-=x x f 在区间[]3,1-上是单调减函数，且0123)3(<-=+-=f ，不满足题意；.................................（6分） ②当0>a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121>+=a x ， 若32121<+a ，则51>a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)2121(≥+af ， 即0162≤+-a a ，解得223223+≤≤-a ，取22351+≤<a ；.......（7分）若32121≥+a ，则510≤<a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ， 解得61≥a ，取5161≤≤a ；.............................................（9分）当0<a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121<+=a x ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ，解得61≥a ，此时a 不存在；综上，实数a 的取值范围是22361+≤≤a ．............................（12分）21.解：（1）∵点),(n S n 在函数x x x f 23)(2-=的图象上，n n S n 232-=∴)2(58321≥+-=∴-n n n S n )2(561≥-=-=∴-n n S S a n n n ,................(3分)11S a =Θ)1(56≥-=∴n n a n .........................................（6分）（2）[])161561(215)1(6)56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n Θ.............（7分） )1611(21)161561()13171()711(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n …（9分）1221<∴<n n T T Θ......................................................(10分).又20152-≤λn T Θ对所有*∈N n 都成立12015>-λ即2016>λ...........（12分）22.（1）1120)(')1,0()(≤-≤≤∴∈a xx a x f x x f ，易知则为减函数，在Θ ..（4分） （2）由于12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x < 所以，22111222ln 0,ln 0x x ax x x ax -+=-+=两式相减得：()()22221211ln 0xx x a x x x --+-=，()212121lnx x a x x x x ∴=++-()()212212112112121221212lnln 22=2x x x xx x x x x x f x x a x x x x x x x x --++⎛⎫'∴-++=-= ⎪++--⎝⎭.....(5分)要证明1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，只需证()2121212ln 0x x x x x x --<+，即只需证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+ 设211xt x =>，构造函数()()()()()()22221114ln ,0111t t h t t h t t t t t t --'=-=-=>+++ ()h t 在()+∞1，单调递增，()()()21ln 101t h t t h t -∴=->=+21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴>+，1202x x f +⎛⎫'∴< ⎪⎝⎭...........................（8分） (3)由（1）可知，1=a 时，1>x ,x x x -<<2ln 0Θ01ln 12>->∴x x x ,)1(1111ln 12>--=->∴n n n n n n ..............（10分）.nn n n n n 11111)31-21()21-1(ln 1)1ln(14ln 13ln 12ln 12-=--+⋅⋅⋅++>+-+⋅⋅⋅+++≥∴）（时111>-n而即不等式成立.............................................（12分）。

2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3．等差数列{a n}满足：a2+a9=a6，则S9=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．5．若，则的值是（）A．B．C．D．6．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5等于（）A．16 B．27 C．36 D．﹣277．已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（）A ．0≤x ≤πB ．≤x ≤C ．≤x ≤D ．≤x ≤9．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ） A ．18 B ．21 C ．24 D ．1510．若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足，则=（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）= 若f （2﹣x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C ．（﹣1，2） D ．（﹣2，1）12．已知函数f （x ）=e x ﹣1，g （x ）=﹣x 2+4x ﹣3，若有f （a ）=g （b ），则b 的取值范围为（ ）A ．B ．（2﹣，2+） C ．[1，3] D ．（1，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．已知x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x +y 的最大值为 ．14．曲线y=x 2与直线y=x 所围成图形的面积为 ．15．如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行，第j 列的数为a ij （i ≥j ，i ，j ∈N *），则第1列的公差等于 ，a 83等于 ．16．给出下列四个命题：①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜﹣1；③已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为；④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2．其中正确命题的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．22．（10分）已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解分式不等式和一元二次不等式化简集合A与集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}={x|0≤x＜1}，又B={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，所以A∩B={x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式及二次不等式的解法，是基础的运算题．2．已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】先利用两个复数相除的除法法则，化简的结果到最简形式，利用此复数的虚部等于0，解出实数b的值．【解答】解：∵===是实数，则6﹣b=0，∴实数b的值为6，故选A．【点评】本题考查两个复数除法法则的应用，以及复数为实数的条件．3．等差数列{a n}满足：a2+a9=a6，则S9=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程，推出a1，d的关系，然后代入前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，因为a2+a9=a6，所以a1+5d=a1+2d+a1+7d，所以a1+4d=0，所以s9=9a1+d=9（a1+4d）=0，故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键，注意整体代换思想的运用．4．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】不等关系与不等式．【分析】由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．【解答】解：由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a=0时，无意义，故B不对；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项故选D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法5．若，则的值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】注意到sinθ与cosθ之间的关系，sin2θ+cos2θ=1，便得出方程组，解这个关于sinθ与cosθ的2元2次方程组，求得sinθ与cosθ，再得tanθ，最后利用和角公式求得的值．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴便得出方程组解这个关于sinθ与cosθ的2元2次方程组，∴．所以tanθ=1．故有．答案：B．【点评】本题考查三角变换，解题的关键是联想公式的特点与结构，进行代换，从而转化为特殊角的三角函数，求出三角函数的值．6．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5等于（）A．16 B．27 C．36 D．﹣27【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，得a1+a2=1，a3+a4=9，由等比数列的性质可得，a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，由此能求出a4+a5．【解答】解：由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，得a1+a2=1，a3+a4=9，由等比数列的性质，得a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，又等比数列{a n}中各项均为正数，所以a2+a3===3，∴a4+a5=27．故选B．【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故选：A．【点评】本题考查了导数和函数单调性关系，需要分类讨论，属于中档题．8．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（）A．0≤x≤π B．≤x≤C．≤x≤D．≤x≤【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先对进行化简，即=|sinx﹣cosx|，再由=sinx ﹣cosx确定sinx＞cosx，从而确定x的范围，得到答案．【解答】解：∵，∴sinx≥cosx．∵x∈[0，2π），∴．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系．属基础题．三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆．9．已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．15【考点】数列与三角函数的综合．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选D．【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先利用向量的运算法则将，分别用等边三角形的边对应的向量表示，利用向量的运算法则展开，据三角形的边长及边边的夹角已知，求出两个向量的数量积．【解答】解：由题意可得，==2，∵∴=====∴====故选C【点评】本试题考查了向量的数量积的基本运算．考查了基本知识的综合运用能力．11．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．【解答】解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：目标函数变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中B时在y轴的截距最大，z最大，由得到b（3，4）得到z=10；故答案为：10．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．体现了数形结合的思想．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可找到的公差和公比，再确定a83的位置，即可求解．【解答】解：由题意知，第一列成等差数列，且公差d=，每行成等比数列，且公比q=，又a83是第8行第3个数，由已知a81==2，故==故答案为：，【点评】本题考等差数列和等比数列的性质，得出数列的公差和公比是解决问题的关键，属中档题．16．给出下列四个命题：①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜﹣1；③已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为；④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2．其中正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由整理可得bm＞am，结合a＞0，b＞0，m＞0可得②由题意可得ax＞﹣1，由函数定义域是{x|x＜1}可得a=﹣1；③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，结合y=sinx+=t+在（0，1]上单调递减可求函数的最小值④由题意可得ac=b2，2x=a+b，2y=b+c，代入=整理可求【解答】解：①由可得ab+bm＞ab+am即bm＞am，由a＞0，b＞0，m＞0可得a＜b；①正确②由题意可得，ax+1＞0可得ax＞﹣1，由函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x ＜1}可得a=﹣1；②错误③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，则y=sinx+=t+在（0，1]上单调递减，当t=sinx=1时函数有最小值为3；③错误④由题意可得ac=b2，2x=a+b，2y=b+c，则===，故④正确故答案为：①④【点评】本题主要综合考查了不等式的基本性质、对数函数的性质及三角函数的性质，基本不等式的应用，等差等比中项的应用，属于知识的综合应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（2016秋•赣州期中）已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）化简f（x），根据求出sinθ，代入二倍角公式；（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的图象与性质得出．【解答】解：（Ⅰ），∴f（）=2sin（θ+π）=﹣2sinθ=，∴sinθ=﹣．∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=．（Ⅱ）由，则，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值﹣，当2x﹣=时，f（x）取得最大值2．∴f（x）的值域为．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和求值，利用三角函数公式对f（x）化简是关键．18．（12分）（2014•抚顺二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）化简b n=2，然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1．（2）∵b n=2a n=2n+1，∴b1=4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n==2n+2﹣4．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，以及等比数列前n 项和的计算，要求熟练掌握相应的公式．19．（12分）（2014•抚顺二模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角形的面积公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化简，求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出f（x）取得最大值时A与b的值，再利用锐角三角函数定义求出a与c的值，即可确定出S．【解答】解：（1）∵S=absinC，∴4S=2absinC=（a2+b2﹣c2），即sinC=•=cosC，∴tanC=，则C=；（2）f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当2x+=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）max=2，∵A为三角形内角，∴A=，b=2，∴B=π﹣A﹣C=，a=bsinA=1，c=bsinC=，则S=acsinB=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（12分）（2016•自贡校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，S9=54，∴，d=1，a1=2．∴a n=2+n﹣1=n+1，S n=．（2）b n==，数列{b n}的前n项和=++++…++++=﹣﹣=﹣﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•天津校级模拟）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（2）由g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]，求出g（x）的导数，依题意，通过对a≤0、0＜＜e、及≥e的讨论，即可作出正确判断；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3，令φ（x）=+，证明F （x）min＞φ（x）max即可；【解答】解：（1）∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立．又f′（x）=2x+a﹣=，令h（x）=2x2+ax﹣1，∴，解得a≤﹣；（2）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]．∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②当0＜＜e时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；③当≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．证明：（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得F（x）min=3，令ω（x）=+，ω′（x）=，当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，∴ω（x）max=ω（e）=3故e2x﹣lnx＞+，即e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【点评】不停考查不等式的证明，考查利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查分类讨论数学与化归思想的综合应用，属于难题．22．（10分）（2014春•荆门期末）已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5，由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式的解集．（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2﹣2a．而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，可得3＞a2﹣2a，由此解得a的范围．【解答】解：（1）不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5，由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x 对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2﹣2a．而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，∴3＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜3，故所求的a的取值范围为（﹣1，3）．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017届甘肃省高三下学期第四次校内诊断考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合1{|1}2xA x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 2{|280}B x x x =--≤，则A B ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤≤B. {|24}x x ≤≤C. {|04}x x ≤≤D. {|2}x x ≤- 【答案】C【解析】因为{|0}A x x =≥， {|24}B x x =-≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤≤，应选答案C 。

2．若复数z 满足1ziz i=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.2【答案】A【解析】因为z i zi -=，所以()11111222i z i i i i ==+=-+-，则11222z i =-+=，应选答案A 。

3．下列4个命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题0:p x R ∃∈，使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈，都有210x ->； ②已知()22,,(2)0.5X N P x σ~>=；③已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为ˆ23yx =-； ④“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】特称命题的否定只需将特称量词变为全称量词，并将结论否定即可．①正确；由已知()22,X N σ~知，曲线的对称轴为2x =，则(2)0.5P x >=，故 ②正确；样本中心点满足回归直线方程，由回归直线的斜率估计值可求得回归直线方程．③正确；由1x ≥．结合基本不等式可得12x x +≥， 反之，由12x x+≥得0x >．故“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件．④正确．故本题选D ． 4．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【答案】B【解析】试题分析：由直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，可得 1224362T T ππππ=-=⇒=，所以21w T π==，即()()sin f x x ϕ=+，又因为直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则()sin 166f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以623πππϕϕ+=⇒=，故选B ．【考点】三角函数的图象与性质．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17 【答案】C【解析】第一次循环： 221120log log ,2123S n +=+==+ ，不满足3S <-；第二次循环： 22log ,34S n == ，不满足3S <-；第三次循环： 22log ,45S n == ，不满足3S <-；第一次循环：22log ,56S n == ，不满足3S <-； ⋅⋅⋅ ；第十五次循环： 22log ,1617S n == ，满足3S <-； 16n = 。

甘肃省甘谷县2017届高三数学第四次检测考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合)(是实数集R R U =,{}{}02112<-=≤≤-=x x x B x x A ，,则()=B C A U （ ）A ．[]01-，B ．[]2,1C ．[]1,0 D.(][)∞+∞，，21- 2.已知b a ,为实数，则“55b a <”是“b a 22<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 3.若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则21a ii+-的值为（ ） A ．2 B ．2i - C ．2i D ．i - 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） AB ．1C ．2D ．4 5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A ．3 B ．4 C ．5 D ．66.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z -=2的最大值是（ ）A ．1B ．34C ．4D ．2 7.向量,a b 均为非零向量， (2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 （ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是R 上的偶函数，若)3()(f a f ≤，则实数a的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．3≥aC ．31≤≤a D.31≥≤a a 或 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100162016162016=-s s ，则d 的值（ ） A ．201 B ．101 C ．10 D ．2010.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于直线12π=x 对称C ．关于点)125,0(π对称D ．关于直线125π=x 对称 11.已知数列}{n a 前n 项和为)13()1(1714118521--+⋅⋅⋅+-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．57-B ．37-C ．16D ．57 12.定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f ⋅=-)()('，且21)0(=f ，则)()('x f x f 的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若点)1,1(A 在直线03=-+mn ny mx 上，其中，0>mn ，则n m +的最小值为 ． 14.曲线21cos sin sin )(-+=x x x x f 在点)0,4(πM 处的切线的斜为 .15.在数列{}n a 中，11=a ，若,221）（*+∈+=N n a a n n 则=n a . 16.设函数()(0)22x f x x x =>+，观察：1()()22xf x f x x ==+； 21()(())64xf x f f x x ==+；32()(())148xf x f f x x ==+；43()(())3016x f x f f x x ==+……根据以上事实，当n ∈N *时，由归纳推理可得：(1)n f = ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分） 17.（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+C B A （1）求角C ；（2）若边3=c ，3=+b a ，求边a 和b 的值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n . （1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设n n a n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20.（12分）已知函数).(2)1()(2R a x a ax x f ∈++-= （1）当2=a 时，解不等式1)(>x f ；（2）若对任意[]3,1-∈x ，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．21.（12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围．22．（12分）设函数()21ln 2f x x ax bx =--. （1）当3,2=-=b a 时，求函数()f x 的极值； （2）令()()()21032aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内恰有两个实数解，求实数m 的取值范围.高三第四次检测考试数学（文）答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.B 10.D 11.A 12.D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.34 14.2115.2231-⋅-n 16.2231-⋅n三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22各题12分,共70分） 17.(1)解:由 272cos 2sin 42=-+C B A ，及π=++C B A 得[]271cos 2)cos(122=+-+-C B A即01cos 4cos 42=++C C ， ........................（3分）故1)1cos 2(2=-C 解得21cos =C 30ππ=∴<<C C .......（5分）（2）由余弦定理，ab c b a C 2cos 222-+= 而21cos =C ，212222=-+∴ab c b a ab c b a =-+∴2223=c 又.......................（7分）ab b a 33)(2=-+∴2=∴ab 3=+b a 又...........................（8分）联立⎩⎨⎧==+23ab b a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1221b a b a 或.............................（10分） 18.（1）),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n 两式相减得1122---=-n n n n a a S S 12-=∴n n a a ， )2(21*-∈≥=∴N n n a a n n，即数列{a n }是等比数列． ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n（2）nn n c 2)1(+=nn n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-…①...............（7分）14322)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T …②..............（8分） ①﹣②得14322)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n T)1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ........................................（10分） 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n .........................................（11分） 12+⋅=∴n n n T ................ ........ .....................（12分）19.解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．.........................（1分） 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，.........（2分） 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．.............................................（3分） 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-． 当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，.......................（5分）当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=.............................（6分） （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．.................................................（9分） 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭是增函数，.................................（11分） 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．..............（12分）20.解：（1）2=a 时，函数232)(2+-=x x x f ，01321)(2>+-∴>x x x f ，解得121><x x 或，.........................（1分）所以该不等式的解集为{}121><x x x 或......................................（5分）（2）由对任意[]3,1-∈x ，都有0)(>x f 成立；讨论：①当0=a 时，2)(+-=x x f 在区间[]3,1-上是单调减函数，且0123)3(<-=+-=f ，不满足题意；.................................（6分） ②当0>a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121>+=a x ， 若32121<+a ，则51>a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)2121(≥+af ， 即0162≤+-a a ，解得223223+≤≤-a ，取22351+≤<a ；........（7分）若32121≥+a ，则510≤<a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ， 解得61≥a ，取5161≤≤a ；..............................................（9分）当0<a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121<+=a x ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ，解得61≥a ，此时a 不存在；综上，实数a 的取值范围是22361+≤≤a ．............................（12分）解：（1）∵点),(n S n 在函数x x x f 23)(2-=的图象上，n n S n 232-=∴)2(58321≥+-=∴-n n n S n )2(561≥-=-=∴-n n S S a n n n ,..................(3分)11S a = )1(56≥-=∴n n a n ............................................（6分）（2）[])161561(215)1(6)56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ...............（7分）)1611(21)161561()13171()711(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n …（9分）1221<∴<n n T T .......................................................（10分）又20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立12015≥-λ即2016≥λ..............（12分） 22. (1)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞， 当3,2=-=b a 时，)0(,3ln )(2>-+=x x x x x f ， 令121,0)1)(12()(/===--=x x x x x x f 或得.............................（1分）12100)('><<>x x x f 或得，1210)('<<<x x f 得........................（2分）故)(x f 在),1()21,0(+∞∈和x 上为增函数，在)1,21(∈x 上为减函数.即()f x 的极大值为452ln )21(--=f ，()f x 的极小值为2)1(-=f ...........（4分）(2) ]3,0(,ln )(∈+=x xax x F ，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在]3,0(上有解，∴max 020)21(x x a +-≥ ............................................（7分） 所以 当1=x 时，02021x x +-取得最大值为21 21≥∴a ...............（8分）(3) 当1,0-==b a 时，,ln )(mx x x x f =+=得[]有两个实数解，，在21ln 1e xxm +=x x x g ln 1)(+=不妨令 20)('10)('0)('e x e x g e x x g e x x g <<⇒<<<⇒>=⇒=，， ..........（9分）为减函数，上为增函数，在在),(),1()(2e e x e x x g ∈∈,11)()(max e e g x g +==∴..（10分）)1(21)(22g e e g >+= 又)11,12[2++∈∴ee m 时方程有两个实数解...........（12分）。

2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若集合A＝{x|}，B＝{x|x2＜2x}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6B．﹣6C．0D．3．（5分）等差数列{a n}满足：a2+a9＝a6，则S9＝（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0D．5．（5分）若，则的值是（）A．B．C．D．6．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝1﹣a1，a4＝9﹣a3，则a4+a5等于（）A．16B．27C．36D．﹣277．（5分）已知函数f（x）＝x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）设0≤x＜2π，且＝sin x﹣cos x，则（）A．0≤x≤πB．≤x≤C．≤x≤D．≤x≤9．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18B．21C．24D．1510．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝﹣x2+4x﹣3，若f（a）＝g（b），则b的取值范围是（）A．B．C．[1，3]D．（1，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为．14．（5分）曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积为．15．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．16．（5分）给出下列四个命题：①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若函数f（x）＝lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜﹣1；③已知x∈（0，π），则y＝sin x+的最小值为；④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2．其中正确命题的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S ＝（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）＝4sin x cos（x+）+1，当x＝A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4＝5，S9＝54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）＝f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．22．（10分）已知f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若集合A＝{x|}，B＝{x|x2＜2x}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}＝{x|0≤x＜1}，又B＝{x|x2＜2x}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6B．﹣6C．0D．【解答】解：∵＝＝＝是实数，则6﹣b＝0，∴实数b的值为6，故选：A．3．（5分）等差数列{a n}满足：a2+a9＝a6，则S9＝（）A．﹣2B．0C．1D．2【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，因为a2+a9＝a6，所以a1+5d＝a1+2d+a1+7d，所以a1+4d＝0，所以s9＝9a1+d＝9（a1+4d）＝0，故选：B．4．（5分）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0D．【解答】解：由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a＝0时，无意义，故B不对；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y＝是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项故选：D．5．（5分）若，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ＝1，∴便得出方程组解这个关于sinθ与cosθ的2元2次方程组，∴．所以tanθ＝1．故有．答案：B．6．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝1﹣a1，a4＝9﹣a3，则a4+a5等于（）A．16B．27C．36D．﹣27【解答】解：由a2＝1﹣a1，a4＝9﹣a3，得a1+a2＝1，a3+a4＝9，由等比数列的性质，得a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，又等比数列{a n}中各项均为正数，所以a 2+a3＝＝＝3，∴a4+a5＝27．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x﹣lnx，∴f′（x）＝1﹣＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）＝x﹣ln（﹣x），∴f′（x）＝1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故选：A．8．（5分）设0≤x＜2π，且＝sin x﹣cos x，则（）A．0≤x≤πB．≤x≤C．≤x≤D．≤x≤【解答】解：∵，∴sin x≥cos x．∵x∈[0，2π），∴．故选：B．9．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18B．21C．24D．15【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，∵sin A＝，∴A＝60°或120°．若A＝60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A＝120°．cos A＝＝＝＝﹣．∴c＝3，∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．故选：D．10．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，＝＝2，∵∴＝＝＝＝＝∴＝＝＝＝故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数；当x＞0时，f（x）＝ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝﹣x2+4x﹣3，若f（a）＝g（b），则b的取值范围是（）A．B．C．[1，3]D．（1，3）【解答】解：∵f（x）＝e x﹣1，在R上递增∴f（a）＞﹣1，则g（b）＞﹣1∴﹣b2+4b﹣3＞﹣1即b2﹣4b+2＜0，解得b∈（2﹣，2+），故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为10．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：目标函数变形为y＝﹣2x+z，当此直线经过图中B时在y轴的截距最大，z最大，由得到b（3，4）得到z＝10；故答案为：10．14．（5分）曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积为．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y＝x与曲线y＝x2所围图形的面积S＝∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx＝（﹣）|01＝﹣＝∴曲边梯形的面积是故答案为：．15．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．【解答】解：由题意知，第一列成等差数列，且公差d＝，每行成等比数列，且公比q＝，又a83是第8行第3个数，由已知a81＝＝2，故＝＝故答案为：，16．（5分）给出下列四个命题：①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若函数f（x）＝lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜﹣1；③已知x∈（0，π），则y＝sin x+的最小值为；④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：①由可得ab+bm＞ab+am即bm＞am，由a＞0，b＞0，m＞0可得a ＜b；①正确②由题意可得，ax+1＞0可得ax＞﹣1，由函数f（x）＝lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}可得a＝﹣1；②错误③由x∈（0，π）可得sin x∈（0，1]，令t＝sin x，则y＝sin x+＝t+在（0，1]上单调递减，当t＝sin x＝1时函数有最小值为3；③错误④由题意可得ac＝b2，2x＝a+b，2y＝b+c，则＝＝＝，故④正确故答案为：①④三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ），∴f（）＝2sin（θ+π）＝﹣2sinθ＝，∴sinθ＝﹣．∴cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣＝．（Ⅱ）由，则，∴当2x﹣＝﹣时，f（x）取得最小值﹣，当2x﹣＝时，f（x）取得最大值2．∴f（x）的值域为．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32＝a1a7，即（a1+2d）2＝a1（a1+6d），化简得d＝a1，d＝0（舍去）．∴S3＝3a1+＝a1＝9，得a1＝2，d＝1．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）＝n+1，即a n＝n+1．（2）∵b n＝2a n＝2n+1，∴b1＝4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n＝＝2n+2﹣4．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S ＝（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）＝4sin x cos（x+）+1，当x＝A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．【解答】解：（1）∵S＝ab sin C，∴4S＝2ab sin C＝（a2+b2﹣c2），即sin C＝•＝cos C，∴tan C＝，则C＝；（2）f（x）＝4sin x（cos x﹣sin x）+1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），当2x+＝2kπ+（k∈Z），即x＝kπ+（k∈Z）时，f（x）max＝2，∵A为三角形内角，∴A＝，b＝2，∴B＝π﹣A﹣C＝，a＝b sin A＝1，c＝b sin C＝，则S＝ac sin B＝．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4＝5，S9＝54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝5，S9＝54，∴，d＝1，a1＝2．∴a n＝2+n﹣1＝n+1，S n＝．（2）b n＝＝，数列{b n}的前n项和＝++++…++ ++＝﹣﹣＝﹣﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）＝f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【解答】解：（1）∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立．又f′（x）＝2x+a﹣＝，令h（x）＝2x2+ax﹣1，∴，解得a≤﹣；（2）∵f（x）＝x2+ax﹣lnx，∴g（x）＝f（x）﹣x2＝ax﹣lnx，x∈（0，e]．∴g′（x）＝a﹣＝（0＜x≤e），①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min＝g（e）＝ae﹣1＝3，解得a＝（舍去）；②当0＜＜e时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g（x）min＝g（）＝1+lna＝3，解得a＝e2，满足条件；③当≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min＝g（e）＝ae﹣1＝3，解得a＝（舍去）；综上，存在实数a＝e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．证明：（3）令F（x）＝e2x﹣lnx，由（2）得F（x）min＝3，令ω（x）＝+，ω′（x）＝，当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，∴ω（x）max＝ω（e）＝3故e2x﹣lnx＞+，即e2x2﹣x＞（x+1）lnx．22．（10分）已知f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5，由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2﹣2a．而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，∴3＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜3，故所求的a的取值范围为（﹣1，3）．。