2019年高中数学第一章1.5.1-1.5.2汽车行驶的路程优化练习新人教A版选修2-2

三 简单曲线的极坐标方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线解析：∵cos θ＝22，∴θ＝±π4＋2k π(k ∈Z)． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝22表示两条射线． 答案：D2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝14，所以两圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 故两圆的圆心距为22. 答案：D3．在极坐标系中，点F (1,0)到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是( )A.12B.22C ．1D. 2解析：因为直线θ＝π6(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝33x ，即x －3y ＝0，所以点F (1,0)到直线x －3y ＝0的距离为12.答案：A4．直线θ＝π4(ρ∈R)与圆ρ＝2cos θ的一个公共点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2，故选C.答案：C5．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：如图，切线长为42－22＝2 3.答案：C6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________． 解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝8， 故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，7π47．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为： (x －2)2＋y 2＝4，由P 极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π3得直角坐标P (2,23)，又C (2,0)，所以|CP |＝－2＋3－2＝2 3.答案：2 38．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1)2＋y 2＝1， 由于圆心(1,0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 答案： 39．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解析：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.10．在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l 的距离．解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1. [B 组 能力提升]1．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：∵sin2θ2＝12(1－cos θ)，原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5， ∴2ρ－2ρcos θ＝5，即2x 2＋y 2－2x ＝5，平方化简，得y 2＝5x ＋254，它表示的曲线是抛物线，故选D.答案：D2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ2＝ρ·4sin θ，再把ρ2＝x 2＋y 2，ρ·sin θ＝y ，代入得x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.故选B.答案：B3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P 、C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径， 即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1 ＝3－1＝2. 答案：24．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________.解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ, ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2.∴圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2x,3x ＋4y ＋a ＝0.将圆的方程配方得(x －1)2＋y 2＝1， 依题意得，圆心C (1,0)到直线的距离为1， 即|3＋a |32＋42＝1，整理，得|3＋a |＝5，解得a ＝2或a ＝－8. 答案：2或－85．从极点作圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程． 解析：设所求轨迹上的动点M 的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为a ＞0的情形，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧θ1＝θ，ρ1＝2ρ.∵ρ1＝2a cos θ1，∴2ρ＝2a cos θ， ∴ρ＝a cos θ即为各弦中点的轨迹方程， 当a ＜0时，所求结果相同．6．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求： (1)两曲线(含直线)的公共点P 的极坐标；(2)过点P ，被曲线C 1截得的弦长为2的直线的极坐标方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，得点P (－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.(2)方法一 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，如图所示，过P (－1,1)，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，直线的直角坐标方程为y ＝－x ，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条过点A (0,2)，倾斜角为π4，直线的直角坐标方程为y ＝x ＋2，极坐标方程为ρ(sinθ－cos θ)＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. 方法二 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条倾斜角为π4，极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.。

第一章 1.5 第1课时请同学们认真完成练案[10]A 级 基础巩固一、选择题1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( C ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C ．2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( A )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A ．3．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( B )A ．[i －1n ，in] B ．[n ＋i －1n ，n ＋in ] C ．[i －1，i ] D ．[i n ，i ＋1n][解析] 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B ．4．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是( D ) A ．4π B ．5π2C ．3πD ．2π[解析] 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积可转化为求由直线y ＝0、y ＝1、x ＝0、x ＝2π围成的矩形面积为1×2π＝2π.5．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( A )A ．2n ＋2iB ．2n ＋2i －2C ．2nn ＋2iD ．1n ＋2i[解析] 每个小区间长度为2n ，第i 个小区间为[n ＋2i －1n ，n ＋2in]，因此第i 个小曲边梯形的面积ΔS i ≈1n ＋2i n·2n ＝2n ＋2i. 6．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( B )A ．lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n ] B ．lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n ] C ．lim n →∞∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD ．lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n ][解析] 将区间[0,2]n 等分后每个区间长度为2n，第i 个小区间为[2i －1n ，2in](i ＝1,2,3，…，n )，故应选B ．二、填空题7．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__3.92__、__5.52__.[解析] 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92； S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.8．若做变速直线运动的物体V (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为__3__. [解析] 将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为[a i －1n ，ain](i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n(ai n )2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n)近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a331＋1n1＋12n ＝9， ∴a 33＝9，解得a ＝3.三、解答题9．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积． [解析] 将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n .第i 个小区间的面积ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2i －1n ·2n ，∴S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫2i －1n ·2n＝2n ∑i ＝1n4i －12n 2＝8n 3∑i ＝1n(i －1)2＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝8n 3·n －1n 2n －16 ＝4n －12n －13n2.S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞4n －12n －13n2＝43lim n →∞[(1－1n )(2－1n )]＝83， ∴所求曲边梯形面积为83.10．一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋50(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)．[解析] (1)分割：在[0,2]上等间隔插入n －1个点将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i. (2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )．Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋50·2n＝－4i 2n 2·2n＋100n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4i 2n 2·2n ＋100n＝－4×12n 2·2n －4×22n 2·2n －…－4×n 2n 2·2n＋100＝－8n3(12＋22＋…＋n 2)＋100.＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋100.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋100＝2923(km)． B 级 素养提升一、选择题1．(多选题)下述对lim n →∞∑i ＝1n[(15i n )·(5n)]的含义描述错误的是( ABD )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积[解析] 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in，因此∑i ＝1n[(15i n )·(5n)]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．故选ABD ．2．(多选题)直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ，下列表达式错误的是( ABC )A ．∑i ＝1nf (ξi )·1nB ．lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·1nC ．∑i ＝1n f (ξi )·b －anD ．lim n →∞∑i ＝1nb －an·f (ξi ) [解析] ∵△S i ＝f (ξi )·b －anS ＝lim n →∞∑i ＝1n△S i ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an . 故选ABC ． 二、填空题3．由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1x所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是__319420__.[解析] 将区间[1,2]4等分，则Δx ＝14，每个区间左端点值为1＋i －14＝3＋i4(i ＝1,2,3,4)，所以小矩形的高为f (3＋i 4)＝43＋i，∴S n ＝∑i ＝14f (3＋i 4)×14＝∑i ＝14 13＋i ＝14＋15＋16＋17＝319420.三、解答题4．火箭发射后t s 的速度为v (t )(单位：m/s)，假定0≤t ≤10，对函数v (t )，按v (t 1)Δt ＋v (t 2)Δt ＋…＋v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义？[解析] 将区间[0,10]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δt ，在每个小区间上取一点，依次为：t 1，t 2，t 3，…，t i ，…，t n ，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度，这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时段内运动的路程．从而S n ＝v (t 1)·Δt ＋…＋v (t i )·Δt ＋…＋v (t n )·Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程)． 这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)·Δt ＋v (t 2)·Δt ＋…＋v (t n )·Δt 式所作的和的实际背景．当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，s n就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程．。

课时作业9 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题 1．在区间[i －1n ，in]上( D ) A ．函数f (x )＝x 2的值变化很小 B ．函数f (x )＝x 2的值变化很大 C ．函数f (x )＝x 2的值不变化D ．当n 很大时，函数f (x )＝x 2的值变化很小 解析：当n 很大，即Δx ＝i n －i －1n ＝1n 很小时，在区间[i －1n ，in]上，可以认为函数f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．2．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( B ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：区间[1,3]长度为2，故n 等分后，每个小区间长度均为2n.3．把区间[a ，b ](a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( D ) A ．[i －1n ，in] B ．[i －1n (b －a )，in (b －a )] C ．[a ＋i －1n ，a ＋in] D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )] 解析：区间[a ，b ](a <b )长度为(b －a )，n 等分之后，每个小区间长度均为b －an，第i 个小区间是[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )](i ＝1,2，…，n )． 4．和式 i ＝15(y i ＋1)可表示为( C )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)解析：∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5.5．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( A )A.19B.125C.127D.130解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝19.6．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( A )A.2n ＋2iB.2n ＋2i －2C.2nn ＋2iD.1n ＋2i解析：每个小区间长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2i －1n，n ＋2i n ，因此第i 个小曲边梯形的面积ΔS i ≈1n ＋2i n·2n ＝2n ＋2i. 7．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( B )A.lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 解析：若将区间[0,2]n 等分，则每一区间的长度为2n，第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2in ，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n . 8．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a i －1n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3.二、填空题9.∑i ＝110(2i ＋1)＝120.10．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间[1,2]5等分，则该平面图形面积的近似值(取每个小区间的左端点)是1.02.解析：将区间[1,2]5等分，所得的小区间分别为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形面积的近似值为110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02. 11．如图，曲线C ：y ＝2x(0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则lim n →∞[(2n －3)(n4－1)S n ]＝12.解析：三、解答题12．如图，求图中曲边梯形的面积(只要求写出极限形式)．解：(1)分割：如下图，将区间[a ，b ]任意分割成n 个小区间，其分点记为x 0＝a ，x 1，x 2，…，x n －1，x n ＝b ，即x 0＝a <x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，每个区间记为[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi (x i －1<ξi <x i )，并记Δx i ＝x i －x i －1. 以小区间长度Δx i 为宽，f (ξi )为长的小矩形面积为f (ξi )Δx i ，设小曲边梯形面积为ΔA i (i ＝1,2，…，n )，则有ΔA i ≈f (ξi )Δx i (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：将n 个小矩形面积加起来，得S n ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξn )Δx n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i .①(4)取极限：若分点的数目无限增多，且每个小区间的长度趋近于零时，和式①的极限存在，则和式①的极限就是所求曲边梯形的面积S ，即S ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )Δx i . 13．用求曲边梯形面积的方法求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积， ΔS i ＝f (i －1n )Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n2(i －1)(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)求极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝lim n →∞ 32·n －1n ＝32. ∴S ＝32.——能力提升类——14．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( C )A ．与f (x )、区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 和ξi 的取法都有关D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：因为S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nf (ξi )·b －an，所以S n 的大小与f (x )、区间、分点的个数和变量的取法都有关．故选C.15．一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t 的速度v (t )＝6t2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .解：①分割：将区间[1,2]进行n 等分，则第i 个小区间为[n ＋i －1n ，n ＋in](i ＝1,2,3，…，n )，每个小区间的长度为Δt ＝1n.②近似代替：在每个小区间上的路程为Δs i ≈Δs i ′＝v (n ＋i －1n)Δt ＝6(n n ＋i －1)2·1n ＝6n n ＋i －12≈6n n ＋i －1n ＋i(i ＝1,2,3，…，n )．③求和：s n ＝ i ＝1n6nn ＋i －1n ＋i＝6n [(1n －1n ＋1)＋(1n ＋1－1n ＋2)＋…＋(12n －1－12n )]＝6n (1n －12n )＝3.④取极限：当n 趋向于无穷大，即Δt 趋向于0时，s n 趋向于s ，从而有s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞3＝3.所以汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，⋯⋯；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A（5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．（6）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．（7）集合的分类问题2：我们看这样一个集合：{ x |x 2＋x ＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．练习：（1） 0 ∅ （填∈或∉）（2）{ 0 } ∅ （填＝或≠）集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；（2）按元素种类分类：数集、点集等（三）例题讲解例1．用集合表示：①x 2－3＝0的解集；②所有大于0小于10的奇数；③不等式2x －1＞3的解．例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．（四）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．1.2《集合间的基本关系》教案教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义．本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用．教学目标【知识与能力目标】1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．【教学难点】属于关系与包含关系的区别．课前准备学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系．教学过程（一）创设情景，揭示课题复习回顾：1．集合有哪两种表示方法？2．元素与集合有哪几种关系？问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？（二）研探新知问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；（3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形（4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==．组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集．记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B （或B 包含A ）．②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图．图1 图2投影问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论： 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则． 问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示．学生主动发言，教师给予评价．（三）学生自主学习，阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：（1）集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?（2）集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别? （3）0，{0}与∅三者之间有什么关系?（4）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈之间有什么区别?试结合实例作出解释．（5）空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A ⊆?（7）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系? 教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法．（四）巩固深化，发展思维1．学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系．例2．写出集合{0，1，2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集．2．学生做教材习题，教师及时检查反馈．强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集．（五）归纳整理，整体认识1． 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些．2．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出．1.3《集合的基本运算》教案教材分析集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点.教学目标与核心素养课程目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本P38～44，思考并完成下列问题(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？[新知初探]1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )(2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( ) (3)m i ＝i 2，∑i ＝14m i ＝30.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]3．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：9[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[解] 令f (x )＝x 2＋1.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n＝8n 3∑i ＝1n i 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限：S ＝S n ＝⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为143.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．⎝⎛⎭⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤12n (n ＋1)2 解：①分割．如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ， …，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n (i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .②近似代替．各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )． ③求和．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n . ④取极限．当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎪⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1n4∑i ＝1n(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1＋32＋1＋14＝154.[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1ns i .(2)近似代替：ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋i －12·1n＝6n(n ＋i －1)2≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n ＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[活学活用]已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程．解：(1)分割在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，5n ，⎣⎡⎦⎤5n ，10n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n ，5i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n －5n ，5， 其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n ，5i n ，其区间长度为5i n －5(i －1)n ＝5n，每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为Δs i ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n 2＋4·5n ＝750(i －1)2n 3＋20n . (3)求和每个小时间段内的路程之和为S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤750(i －1)2n 3＋20n ＝750n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋20 ＝750n 3·16(n －1)n (2n －1)＋20 ＝125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20. (4)取极限当n →∞时，S n 的极限值就是所求质点运动的路程， s ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20＝270， 即质点运动的路程为270 m.层级一 学业水平达标1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确解析：选C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．在求由函数y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ]D.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n解析：选B 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小解析：选D 当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S ＝15×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫3102＋⎝⎛⎭⎫5102＋⎝⎛⎭⎫7102＋⎝⎛⎭⎫9102＝0.33. 答案：0.337．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________________． 解析：将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n2×n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝ 8n 2＋9n ＋16n 2＝⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 答案：438．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间经过的路程是________． 解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.所以s n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5， 所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5 (m)．答案：6.5 m9. 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积． 解：如图，∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围成的图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4，x ≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的图形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝2(i －1)n (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替、求和S n ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n 2·2n＝8n 3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n (3)取极限 S ＝⎣⎡⎦⎤83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝83. ∴S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )． 第i 个时间区间的路程的近似值为Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n ＝3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n3， 于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n 3 ＝n ·3n ＋2n 2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝3＋2n 2·(n －1)·n 2＋1n 3·(n －1)n (2n －1)6＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . 所以s ＝s n ＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝133. 故这段时间行驶的路程为133km.层级二 应试能力达标1．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：选C 用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值 (取每个区间的左端点)是( )A.19 B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝⎛⎭⎫133·13＋⎝⎛⎭⎫233·13＝19.3．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积解析：选C 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n ，因此∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．4．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n a ， ia n (i ＝1,2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n，所以v (t i )＝⎝⎛⎭⎫ia n 2，s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫ia n 2·a n ＝a 3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n (n ＋1)(2n ＋1)6n 3＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ，于是s＝s n＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝a 33＝9，得a ＝3.故选C. 5．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2.…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：556.如图，曲线C ：y ＝2x (0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则[(2n －3)(n4－1)S n ]＝__________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n ，则S n ＝2n (1＋22n ＋24n ＋…＋22n －2n )＝2n ·1－22n n 1－22n ＝2n ·－31－n 4.所以li m n →∞[(2n －3)(n4－1)S n ]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(2n －3)(n4－1)·2n ·－31－n 4＝12. 答案：127．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为s n ＝02×1n ＋⎝⎛⎭⎫1n 2×1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3×(n －1)n (2n －1)6＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程s ＝s n ＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝13.8．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．解：将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x . (1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间： ⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n …，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)b n ，i ·b n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i ·b n －(i －1)b n ＝bn .把在分段⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b 上所做的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW i ≈F ⎝ ⎛⎭⎪⎫(i －1)b n ·Δx＝k ·(i －1)b n ·b n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1nΔW i ≈∑i ＝1nk ·(i －1)b n ·b n＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n (n －1)2＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限 W ＝W n ＝∑i ＝1nΔW i ＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n ＝kb 22. 所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 22.。

第一章 导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程A 级　基础巩固一、选择题1.的含义可以是( )(15i n ·5n)A ．由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝围成的图形的面积5x解析：将区间[0，5]等分成n 个小区间，则每个小区间的长度均为.因为＝，所以原式可以表示由直线x 5n (15i n ·5n )(3·5i n ·5n )＝0，x ＝5，y ＝0和直线y ＝3x 围成的图形的面积．答案：C2．求由曲线y ＝与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的1x面积时，把区间[1，2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( )A. B.[i －1n ，i n][n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ] D.[i n ，i ＋1n ]解析：每个小区间的长度都是，每i 个区间的左端点为1＋＝1n i －1n，右端点为1＋＝，所以第i 个区间为.n ＋i －1n i n n ＋i n [n ＋i －1n ，n ＋i n ]答案：B3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝( )解析：因为ΔS i ＝f (ξ1)·，所以S ＝ΔS i＝f (ξi )·.b －a n b －a n 答案：D 4．汽车以10 m/s 的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．。

1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √ )类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4 考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n， 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2 ＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n . 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程A 级 基础巩固一、选择题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·5n 的含义可以是( ) A ．由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积解析：将区间[0，5]等分成n 个小区间，则每个小区间的长度均为5n.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·5n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3·5i n ·5n ，所以原式可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和直线y ＝3x 围成的图形的面积．答案：C2．求由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n，i ＋1n 解析：每个小区间的长度都是1n ，每i 个区间的左端点为1＋i －1n＝n ＋i －1n ，右端点为1＋i n ＝n ＋i n ，所以第i 个区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n . 答案：B3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝( )解析：因为ΔS i ＝f (ξ1)·b －a n ，所以S ＝ΔS i ＝f (ξi )·b －a n.答案：D4．汽车以10 m/s 的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．答案：D5．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0，2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )A ．3.92，5.52B ．4，5C ．2，51，3.92D ．5.25，3.59解析：将区间[0，2]5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，同理S 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1×25＝5.52.故选A. 答案：A 二、填空题6．在区间[0，8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．解析：在区间[0，8]上插入9个等分点后，将区间[0，8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4.答案：45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，47．若x i=1,则(2x i＋1)=______.解析：(2x i＋1)＝2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝2×1＋5＝7.答案：78．在求由y＝0，x＝a，x＝b(0<a<b)，与曲线y＝f(x)＝x2围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S′，下列说法：①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和大于S；③n个小矩形的面积和S′小于S；④n个小矩形的面积和S′等于S.其中，所有正确结构的序号为________(填序号)．解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S，①正确；由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积，所以小矩形的面积和S′小于曲边梯形的面积S，③正确，②④错误．答案：①③三、解答题9．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S. 解：(1)分割：将区间[1，2]等分成n个小区间，记第i个区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n －⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋i －1n ＝1n.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形的和为S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替：因为1＋i －1n<⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n <1＋i n ，所以可用f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔS i 可用以f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋i －1n ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 为高，1n 为底边长为小矩形的面积ΔS i ′近似代替，即ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝n 2（n ＋i －1）（n ＋i ）·1n＝n（n ＋i －1）（n ＋i ）(i ＝1，2，…，n )．(3)求和： S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝n（n ＋i －1）（n ＋i ）＝n n （n ＋1）＋n （n ＋1）（n ＋2）＋…＋n（n ＋n －1）（n ＋n ）＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝12， 从而得到S 的近似值S ≈S n ＝12.(4)取极值：当n 趋向于无穷大时，S n 越来越趋向于S ， 所以S ＝S n ＝12.所以由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S为12. 10．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解：在时间区间[0，2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2（i －1）n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2（i －1）n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1，2，…，n )，则显然有s ＝，取ξi ＝2in(i ＝1，2，…，n )．于是Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n，s n ＝＝24n 3·n （n ＋1）（2n ＋1）6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.从而得到s 的近似值s ≈s n .s ＝s n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.[B 级 能力提升]1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤i －1n，i n 上的值可用该区间的任意一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C2．如图所示，曲线C ∶y ＝2x (0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则[(2n －3)(n4－1)S n ]＝________．解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n，则Sn＝2n(1＋22n＋24n＋…＋22n－2n)＝2n·1－22nn1－22n＝2n·－31－n4.所以[(2n－3)(n4－1)S n]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（2n－3）（n4－1）2n·－31－n4＝12.答案：123．求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2＋2x所围成的图形的面积S.解：(1)分割：在区间[0，1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分为n个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n，2n，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n，3n，…，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n－1n，1，记第i个区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤i－1n，in(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝in－i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔS n，则小曲边梯形面积的和为S＝i＝1nΔS i.(2)近似代替：记f(x)＝x2＋2x.当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤i －1n，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点in处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n .从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·Δx ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·in .(4)取极限：分别将区间[0，1]等分成8，16，20，…等份，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于0时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝S n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝43.即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43.。

1.5.2汽车行驶的路程填一填1.求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.2．用极限逼近原理求汽车变速行驶的路程，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变的辩证关系．3．求汽车行驶的路程(或变力所做的功)的基本思想是用曲边梯形的面积表示路程(或所做的功)，基本思路是把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似代替小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限.判一判1.2．物体做匀加速直线运动时，速度v(单位：m/s)关于时间t(单位：s)的关系是v＝3＋t，则物体在0<t<4时段内经过的路程为20 m．(√)3．求汽车行驶的路程时，区间的分割必须是均分才可以．(×)4．求变速直线运动的路程是用“以不变代变”的思想方法．(√)5．求变速直线运动的路程问题时，将其划归为多个匀速直线运动的路程再解决．(√) 6．“汽车行驶的路程”在物理中的标准说法是“汽车的位移”．(√)想一想1.类似于“以直代曲”求曲边梯形面积的方法，“以不变代变”，利用匀速直线运动路程的求法，求变速直线运动的路程．2．求汽车行驶路程的基本方法是什么？将运动时间进行分割，在无限小的时间段上变速可看作匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程．3．求变速直线运动的路程的方法和步骤与求曲边梯形的面积的方法和步骤有何关系？求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．感悟体会练一练1.＝－t 2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )A ．相等B ．不相等C ．大于D ．小于解析：由直线t ＝0，t ＝1和运动物体的速度v ＝－t 2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积就是运动物体行驶的路程s ，故选A.答案：A2．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝t 2，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则路程的近似值(取每个小区间的左端点)为( )A ．169B ．135C ．199D ．139解析：将区间[2,8]6等分，得到[2,3]，[3,4]，[4,5]，[5,6]，[6,7]，[7,8]六个区间，取每个小区间的左端点，计算路程的近似值，得(22＋32＋42＋52＋62＋72)×1＝4＋9＋16＋25＋36＋49＝139.故选D.答案：D3．已知自由落体的物体速率为v ＝gt (g 为常数)，则物体从t ＝0到t ＝4所走的路程为________．解析：物体从t ＝0到t ＝4所走的路程就是速率－时间曲线与时间轴所围成图形的面积，∵t ＝0时，v ＝0；t ＝4时，v ＝4g ，∴所走路程s ＝12×4×4g ＝8g .答案：8g知识点一 物体运动路程的近似计算1.函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为( )A.119B.111256C.110270D.2564解析：将区间[0,1]四等分后，得到⎣⎡⎦⎤0，14，⎣⎡⎦⎤14，12，⎣⎡⎦⎤12，34，⎣⎡⎦⎤34，14个小区间，取每个小区间的右端处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值s ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫143＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫343＋13×14＝2564，故选D. 答案：D2．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数近似值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：将区间[0,10]10等分后，每个小区间的右端点处的函数值为2n －1，(n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，∴物体运动路程近的似值s ＝(1＋3＋5＋…＋19)×1＝100.知识点二 求变速直线运动的路程3.s 是________．解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (ξi )＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5，∴s n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫3n ·0＋5＋⎝⎛⎭⎫3n ×1＋5＋⎝⎛⎭⎫3n ×2＋5⎭⎬⎫＋…＋⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n＝3n 2·n (n －1)2＋5 ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5 ＝6.5－32n∴s ＝li m n →∞ s n ＝6.5.答案：6.54．汽车行驶的速度为v (t )＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s .解析：将区间[0,1]n 等分，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．取每个小区间的右端对应的速度为近似代替，则v ⎝⎛⎭⎫i n ＝⎝⎛⎭⎫i n 2.∴s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i n 2·1n ＝∑i ＝1ni2n 3＝1n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝1n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ∴s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 1⎛⎭⎫1＋1⎛⎭⎫2＋1＝1. 5.1)Δt ＋v (t 2)Δt ＋…＋v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义？解析：将区间[0,10]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δt ，在每个小区间上任取一点，依次为：t 1，t 2，t 3，…t i ，…，t n ，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度，这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时段内运动的路程．从而s n ＝v (t 1)·Δt ＋…＋v (t i )·Δt ＋…＋v (t n )·Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程)．这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)·Δt ＋v (t 2)·Δt ＋…＋v (t n )·Δt 式所作的和的实际背景．当分割无限变细(Δt 无限趋近于0)时，s n 就无限趋近于火箭在10 s 内运行的总路程．基础达标一、选择题1．汽车以10 m/s的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的右左点对应的函数值)为()A．80米B．60米C．40米D．30米解析：依题意，得v(t)＝10－2t，由v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车，将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s＝[10＋(10－2×1)＋(10－2×2)＋(10－2×3)＋(10－2×4)＋(10－2×5)]×1＝30(米)，故选D.答案：D2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析：由题中的图形知，曲线v甲，直线t＝t0和t轴所围成的面积大于曲线v乙，直线t ＝t0和t轴所围成图形的面积，∴在t0时刻，甲车在乙车前面，∴C、D错误；同理可知，在t1时刻甲车在乙车前面，∴A正确，B不正确，故选A.答案：A3．若做变速直线运动的物体，在时刻t的速度为v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：将区间[0，a]分为等长的n个小区间，第i个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i－1)an，ian(i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝an，所以v(t1)＝⎝⎛⎭⎫ian2，s n＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎫ian2·an＝a3n3(1＋22＋…＋n2)＝a3n(n＋1)(2n＋1)6n3＝a36⎝⎛⎭⎫1＋1n⎝⎛⎭⎫2＋1n，于是s＝li mn→∞sn＝li mn→∞a36⎝⎛⎭⎫1＋1n⎝⎛⎭⎫2＋1n＝a33＝9，得a＝3.故选C.答案：C4．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为( )A.12kb 2 B ．kb 2 C ．0 D ．2kb 2解析：将物体用常力F 沿着力的方向移动距离x ，则所做的功为W ＝Fx .将[0，b ]n 等分， 记Δx ＝b n ，分点依次为x 0＝0，x 1＝b n ，x 2＝2bn ，…，x n －1＝(n －1)b n，x n ＝b ，当n 很大时，在区间[x i ，x i ＋1]上所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ＝kx i ·Δx ＝kx i bn .则从0到b 所做的总功W 近似地等于∑i ＝0n －1ΔW i ＝∑i ＝0n －1kx i ·Δx ＝∑i ＝0n －1k ·ib n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 2n 2×n (n －1)2＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n .于是得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为W ＝li m n →∞∑i ＝0n －1ΔW i ＝li m n →∞kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12kb 2.故选A.答案：A 二、填空题5．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝2这段时间内所走的路程为________．解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝2，横轴围成的三角形面积S ＝12×2×2＝2，∴这段时间内物体所走的路程为2.答案：26．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：将区间[2,8]6等分，得到[2,3]，[3,4]，[4,5]，[5,6]，[6,7]，[7,8]6个小区间，每个ξi均取值为小区间的右端点，可求得近似值s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．答案：667．一辆汽车的速度－时间图象如图所示，则此汽车在这1 min 行驶的路程为________．解析：由速度－时间图象易知v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10]，30，t ∈(10，40]，－1.5t ＋90，t ∈(40，60].当t ∈[0,10]时，s 1＝S △OAE ＝12×10×30＝150(m)，当t ∈(10,40]时，s 2＝S 长方形ABDE ＝(40－10)×30＝900(m)，当t ∈(40,60]时，s 3＝S △BDC ＝12×20×30＝300(m)，故s ＝s 1＋s 2＋s 3＝1 350(m)．答案：1 350 m 三、解答题8．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解析：在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1n Δs i ，取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )．于是Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫2i n 2＋2·2n ，s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝⎛⎭⎫1＋1n ·⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4.从而得到s 的近似值s ≈s n . s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.9．已知某物体的运动速度v ＝gt 2，求在时间区间[0，t ]内物体移动的距离． 解析：(1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份， 把时间[0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间所表示的时间段Δt ＝t －0n ＝tn.在各个小区间物体移动的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上取右端点对应的速度代替第i 个小区间上的速度，则v ⎝⎛⎭⎫it n ＝g ·⎝⎛⎭⎫it n 2， ∴在每个小区间上物体运动的距离可近似的表示为Δs i ≈g ·⎝⎛⎭⎫it n 2·t n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i＝∑i ＝1n g ·i 2t 3n3＝g ·t 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝g ·t 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝16g ·t 3⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤16g ·t 3⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n＝13gt 3. ∴物体在时间区间[0，t ]内移动的距离为13gt 3.能力提升10.一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝6t2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .解析：①分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，故路程和s n ＝∑i ＝1n Δs i .②近似代替：当n 很大时，即Δt 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n，n ＋i n 上，可以认为f (t )＝6t 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为等于f ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·n ＋i n ，局部小范围内“以直代曲”，则有Δs i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·n ＋i n Δt ＝6n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2，…，n )． ③求和：s n ≈∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n .④取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝3.11．汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解析：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )． 第i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n＝3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n3， 于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n 3 ＝n ·3n ＋2n 2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝3＋2n 2·(n －1)·n 2＋1n 3·(n －1)n (2n －1)6＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . 所以s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝133. 故这段时间行驶的路程为133km.。

1．曲边梯形的面积汽车行驶的行程预习课本P38～ 44，思虑并达成以下问题(1)连续函数与曲边梯形的观点分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶行程的求解步骤是什么？[新知初探 ]1．连续函数假如函数y＝ f (x)在某个区间I 上的图象是一条连续不停的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 x＝ a， x＝b( a≠b)， y＝ 0 和曲线 y＝ f (x)所围成的图形称为曲边梯形 (如图① )．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间[a，b]分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似取代：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值(如图② )；③乞降：把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的近似值乞降；④取极限：当小曲边梯形的个数趋势无量时，各小曲边梯形的面积之和趋势一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(行程 )假如物体作变速直线运动，速度函数为v＝ v(t)，那么也能够采纳切割、近似取代、求和、取极限的方法，求出它在 a ≤t ≤b 内所作的位移 s.[点睛 ] 当 n →＋ ∞ ，所得梯形的面 不是近似 ，而是真 ．[小 身手 ]1．判断 (正确的打 “√”， 的打 “×”)(1) 求汽 行 的行程 ，切割的区 表示汽 行 的行程． () (2) 当 n 很大 ，函数2i － 1 i上的 ，只好用i2近似取代． ()f(x)＝ x 在区 ， n nn4(3) m i ＝ i 2， m i ＝ 30.()i ＝1答案：(1) × (2) × (3) √2．将区 [1,3] 行 10 平分需插入 ________个分点，第三个区 是________．答案： 9 [1.4,1.6]3．做直 运 的物体的速度v ＝ 2t(m/s)， 物体在前 3 s 行家 的行程 ________ m.答案： 9求曲 梯形的面[典例 ] 求直 x ＝ 0，x ＝ 2，y ＝ 0 与曲 y ＝ x 2＋1 所 成的曲 梯形的面[参照公式12＋ 22＋⋯ ＋ n 2＝16n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)]．[解 ] 令 f (x)＝ x 2＋ 1.(1) 切割：将区 [0,2]n 平分，分点挨次x 0＝ 0， x 1＝ 2， x 2＝ 4， ⋯ ， x n － 1＝n － ， x n ＝ 2.nn n第 i 个区 2i － 2 2in，n (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，每个区 度x ＝2i －2i － 2＝ 2.nnn(2) 近似取代、乞降：取 ＝ 2iξi n (i ＝ 1,2， ⋯ ，n)，S n ＝ n f 2i ·Δx ＝ n 2i 2 2n n ＋ 1 ·i ＝ 1 i ＝ 1n8ni 28222＝ 3＋ 2＝3 (1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ n )＋ 2 nni ＝ 18 n n ＋n ＋＋ 2＝ 4 3 ＋ 1＝ 3 ·＋ 2 ＋ 2. n 6 n n3＝ 4 3 1(3) 取极限： ＝S n 2＋ ＋ 2 ＋ 2S3 n n1414 ＝ 3，即所求曲 梯形的面 3.求曲 梯形面(1) 思想：以直代曲．(2) 步 ：切割 →近似取代 → 乞降 → 取极限． (3) 关 ：近似取代．(4) 果：切割越 ，面 越精准．[活学活用 ]求由直x ＝ 1， x ＝ 2， y ＝ 0 及曲 y ＝ x 3 所 成的 形的面 ．33312提示： 1 ＋2 ＋ ⋯ ＋ n ＝ 2nn ＋解： ①切割．n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ n －，把区 [1,2]平分如 所示，用分点n，n ， ⋯ ，n成 n 个小区1， n ＋1 ， n ＋ 1， n ＋ 2 ，nnn⋯ ，n ＋ i －1， n ＋ i ， ⋯ ，nnn ＋n － ， 2 ，每个小区 的 度x ＝ n ＋ i － n ＋ i － 1＝1 (i ＝ 1,2,3，⋯ ， n)．nnnn各分点作 x 的垂 ，把曲 梯形 ABCD 切割成 n 个小曲 梯形， 它 的面 分 作 S 1，S 2， ⋯ ， S n.②近似取代．31各小区 的左端点ξi ，取以点 ξi 的 坐 ξi 一 ， 以小区x ＝ n 其 的小矩形面 ， 近似取代小曲 梯形面 ．3第 i 个小曲 梯形面 ， 能够近似地表示 S i ≈ξi ·Δx＝n ＋ i － 1 3·1(i ＝ 1,2,3， ⋯ ，n)．n n③乞降．因 每一个小矩形的面 都能够作 相 的小曲 梯形面 的近似 ，所以n 个小矩形面 的和就是曲 梯形ABCD 面 S 的近似 ，nnn ＋ i －1 3 1即 S ＝S i ≈n · .i ＝1i ＝1n④取极限．当分点数量越多， 即x 越小 ，和式的 就越靠近曲 梯形ABCD 的面 S.所以 n →∞，即 x → 0 ，和式的极限，就是所求的曲 梯形ABCD 的面 ．nn ＋ i － 1 3 1因n·i ＝1n1 n(n ＋ i － 1) 3＝ 4n i ＝ 1＝ 14 n [(n － 1)3＋ 3(n － 1)2i ＋ 3(n － 1)i 2＋ i 3] n i ＝ 113－ 1)2nn ＋ － 1) n12 2＝ 4[n(n － 1) ＋ 3(n·＋ 3(n··(n ＋ 1)·(2n ＋ 1)＋ n (n ＋ 1)]，n26 4所以 S ＝nn ＋ i －1 3 1n·i ＝ 1n31 15＝ 1＋2＋1＋4＝ 4 .求 速运 的行程6[典例 ] 一 汽 作 速直 运 ， 汽 在t 的速度 v(t)＝ t 2 ，求汽 在 t ＝ 1到 t＝ 2 段 内运 的行程 s.[解 ] (1)切割：把区 [1,2]平分红 n 个小区n ＋ i － 1 ， n ＋ i (i ＝ 1,2，⋯ ，n)，每个区n n 的 度t ＝ 1，每个 段行 的行程s i (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nn故行程和 s n ＝ s i .i ＝ 1n ＋ i －1(2) 近似取代： ξi ＝n(i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，＋ － 1n21 n i·Δt ＝ 6·s i ≈v·nn ＋ i － 1n＝6n2n ＋ i －≈n ＋ i －6nn ＋ i (i ＝ 1,2,3， ⋯ ， n)．(3) 乞降： s n ＝n6nn ＋ i －n ＋ ii ＝ 11 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ⋯ ＋ 1 － 1 ＝ 6n n n ＋ ＋ ＋ － 2n1 n 1 n2 2n 11 1＝ 6n n－2n .(4) 取极限： s ＝ li n →∞m s n ＝ li n →∞m 6n 1－ 1＝3. n 2n求 速直 运 行程的方法求 速直 运 行程的 ，方法和步 似于求曲 梯形的面 ，用“以直代曲 ”“逼近 ”的思想求解．求解 程 ：切割、近似取代、乞降、取极限． 特 注意 速直 运的 区 ．[活学活用 ]已知一 点的运 速度 v(t)＝ 6t 2＋ 4( 位： m/s)，求 点开始运 后5 s 内通 的路程．解： (1)切割在 区[0,5] 上等 隔地插入n － 1 个点，将区 平分红n 个小区， 5，0 n5， 10，⋯，i － ，5i， ⋯ ，5n － 5， 5 ，n nnnn 此中，第 i(1≤i ≤n)个小区i －， 5i，nn其区 度5i － i － ＝ 5，nnn每个小 段内的行程s 1， s 2， ⋯ ， s n .(2) 近似取代依据 意可得第i(1 ≤i ≤n)个小 段内的行程i － 25i －220＋ .s i ＝ 6＋ 4 ·＝3n nnn(3) 乞降每个小 段内的行程之和ni －220S n ＝＋ 3i ＝1nn＝750[02＋ 12＋ 22＋ ⋯＋ (n － 1)2]＋ 203n750 1＝ 3 ·(n － 1)n(2n － 1)＋ 20 n 61252＝ n 2 (2n － 3n ＋ 1)＋ 20.(4) 取极限当 n →∞ ， S n 的极限 就是所求 点运 的行程，→∞ ＝n →∞ 1252＋20 ＝，＝ li 2n－ 3n ＋lim270sm Sn即 点运 的行程270 m.一 学 水平达51．和式(x i ＋ 1)可表示 ()i ＝1A ． (x 1＋ 1)＋ (x 5＋ 1)B ． x 1＋ x 2＋ x 3＋x 4＋ x 5＋ 1C ． x 1 ＋ x 2 ＋x 3＋ x 4＋ x 5＋ 5D ． (x 1＋ 1)(x 2＋ 1) ⋯(x 5＋ 1)5分析： C(x i ＋ 1)＝ (x 1＋ 1)＋ (x 2＋1)＋ (x 3＋ 1)＋ (x 4＋ 1)＋ (x 5＋ 1)＝ x 1＋ x 2＋ x 3＋ x 4i ＝1＋ x 5＋ 5.2．在求由 x ＝ a ，x ＝ b(a<b)，y ＝ f(x)( f(x) ≥ 0)及 y ＝ 0 成的曲 梯形的面S ，在区[a ， b]上等 隔地插入 n － 1 个分点，分 些分点作 x 的垂 ，把曲 梯形分红n个小曲 梯形，以下 法中正确的个数是()① n 个小曲 梯形的面 和等于 S ；② n 个小曲 梯形的面 和小于 S ；③ n 个小曲 梯形的面 和大于 S ；④ n 个小曲 梯形的面 和与 S 之 的大小关系没法确立A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个分析：An 个小曲 梯形是所 曲 梯形等距离切割获得的，所以其面 和S.∴①正确，②③④ ，故A.3．在 “近似取代 ”中，函数 f( x)在区 [x i ， x i ＋ 1] 上的近似 等于 () A ．只好是左端点的函数 f(x i )B ．只好是右端点的函数 f(x i ＋1 )C ．能够是 区 内任一点的函数 ∈ [x ， x ＋1])f(ξi )( ξi i iD ．以上答案均不正确分析：选C 由求曲边梯形面积的 “近似取代 ”知， C 正确，故应选 C.4．在求由函数 1与直线 x ＝ 1，x ＝ 2，y ＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间 [1,2]y ＝ x平分红 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ()A. i － 1， iB. n ＋ i － 1， n ＋ in nn nC ． [i － 1， i]i ，i ＋ 1D. nn分析：选B把区间 [1,2]平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为1，且第 i 个小区n间的左端点不小于1，清除 A 、D ； C 明显错误；应选 B.5．函数 f(x)＝ x 2在区间 i － 1 ， i 上 ( )n nA ． f(x)的值变化很小B ． f(x)的值变化很大C ． f(x)的值不变化D ．当 n 很大时， f(x)的值变化很小分析：选D当 n 很大时，区间i － 1， i 的长度 1 愈来愈小， f(x)的值变化很小，应选n n nD.6.求由抛物线 f(x)＝ x 2，直线 x ＝ 0， x ＝ 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5 平分，如下图，以小区间中点的纵坐标为高，则全部矩形的面积之和为__________ ．分析： S ＝15×1 2 3 2527292＝ 0.33. 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10答案： 0.337．由直线 x ＝ 0，x ＝ 1，y ＝ 0 和曲线 y ＝ x 2＋ 2x 围成的图形的面积为 ________________．分析：将区间 [0,1]n 平分，每个区间长度为1，区间右端点函数值 y ＝i 2i i 2 2in ＋ 2·＝2nnn ＋ n .作 和 S n ＝ ni22i 1＝ ni22i＝ 1 n2 2n1 11) ＋22＋n n3＋n 23i ＋2i ＝3 × n(n ＋ 1)(2n ＋2i ＝1n i ＝1nn i ＝ 1ni ＝1n 6nn n ＋ ＝n ＋n ＋n ＋1＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1×26n 2 ＋ n 6n 2 ，∴所求面积 S ＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1 4 3 1 46n 2＝ 3＋ 2n ＋6n 2 ＝ 3.答案：438．汽 以 v ＝ (3t ＋ 2)m/s 做 速直 运 ，在第 1 s 到第 2 s 的行程是 ________．分析： 将 [1,2]n 平分，并取每个小区 的左端点的速度近似取代，t ＝ 1，nv(ξi )＝ v ＋ i － 1 ＝ 3 1 ＋ i － 1 ＋ 2＝ 3 (i － 1) ＋ 5.1 n n nn31所以 s n ＝i － 1n＋ 5 ·i ＝ 1n＝3 [0＋1＋2＋⋯ ＋n － 1 ]＋ 5n 1n ·n 3 n n －1 3 1 ＝ n2· 2＋ 5＝ 2 1－ n ＋ 5，所以 s ＝ s n ＝3＋ 5＝ 6.5 (m) ．2 答案： 6.5 m9. 求由抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面 ．解：如 ，∵ y ＝ x 2 偶函数， 象对于 y称，∴所求 形的面y ＝ x 2(x ≥0)与直x ＝ 0， y ＝ 4 所 成的 形面S 暗影的 2 倍，下边求 S 暗影．y ＝ x 2，由 y ＝ 4， 得交点 (2,4) ．x ≥0，先求由直x ＝ 0， x ＝ 2， y ＝ 0 和曲 y ＝ x 2 成的 形的面 ．(1) 切割将区 [0,2]n 平分，x ＝2，取 ξ＝i － (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nin(2) 近似取代、乞降ni －22S n ＝n·i ＝ 1n822222 ＝ 3[0＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]n＝81 13 1－ n 1－ 2n (3) 取极限8 1 1 8S ＝31－n 1－ 2n ＝ 3.∴ S 暗影＝ 2×4－ 8 16 323＝3 .∴2S暗影＝ 3 .即抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面323.10．汽 做 速直 运 ，在 刻 t 的速度 ( 位：km/h)v(t)＝ t 2＋ 2，那么它在 1≤t ≤2(位： h) 段 行 的行程 多少？解： 将区 [1,2] 平分红 n 个小区 ，第i 个小区1＋ i － 1， 1＋ i (i ＝ 1,2， ⋯， n)．n n 第 i 个 区 的行程的近似1＝ v 1＋ i － 1 1Δξ≈Δξ′＝v(t)nnn＝ 3＋i －i － 2＋，n 2n 3nnn3＋ i －i －2于是 s n ＝Δξi ′＝＋n 2n 3i ＝1i ＝1n3 2·[0＋ 1＋ 2＋ ⋯ ＋ (n － 1)]＋122 22＝ n ·＋2 n3 [0 ＋1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]nn2· n － n＋ 1 n －nn －＝3＋ 223·6nn＝ 3＋ 1－ 1n ＋ 13 1－ 1n 1－ 2n 1.11 1 1 13所以 s ＝s n ＝3＋ 1－n ＋ 3 1－n 1－ 2n ＝ 3.13故 段 行 的行程3km.二能力达1． 函数 f(x)在区 [a ，b]上 ， 用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯ ＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜ x n ＝ b ，把区[a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区 [x i － 1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝1,2， ⋯ ， n)，作和式nS n ＝f(ξi ) x(此中 x 小区 的 度 )，那么 S n 的大小 ()i ＝ 1A ．与 f(x)和区 [a ， b]相关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法没关B ．与 f(x)和区 [a ，b]的分点的个数 n 相关，与 ξi 的取法没关C ．与 f(x)和区 [a ， b]的分点的个数n ， ξi 的取法都相关D ．与 f(x)和区 [a ， b]的 ξi 的取法相关，与分点的个数 n 没关分析：C用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜x n ＝ b 把区 [a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区[x i －1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝ 1,2， ⋯， n)，作和式 S n ＝nf (ξi ) ·Δx.若 和i ＝1式求极限， 能够获得函数 y ＝ f(x)的 象与直 x ＝ a ，x ＝ b ，y ＝ 0 成的地区的面 ，在求极限以前，和式的大小与函数式、分点的个数和 量的取法都相关．2． 于由直 x ＝ 1，y ＝0 和曲 y ＝ x 3 所 成的曲 三角形，把区3 平分， 曲三角形面 的近似(取每个区 的左端点)是 ( )11 A. 9B.251 1C. 27D.30分析： A将区 [0,1]三平分 0， 1 ，1，2，2， 1 ，各小矩形的面 和s 1＝33 333 1 1 3 12 3 1 10 ·＋3·＋3·＝ .333 9n15i 5 的含 能够是 ()3． li n →∞ mi ＝1n ·nA ．求由直 x ＝ 1， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面B ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 1， y ＝0， y ＝ 15x 成的 形的面C ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面D ．求由直5成的 形的面x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 及曲 y ＝ x分析：C将区 [0,5]n 平分， 每一区 的 度5，各区 右端点 函数n15i y ＝ n ，所以 的近似 ．ni ＝115i 5n ·n能够表示由直x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 和 y ＝ 3x 成的 形的面4．若做 速直 运 的物体 v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程9， a 的 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：C 将区 [0， a]分 等 的 n 个小区 ，第i － 1iai 个区(i ＝n a ，naia 2n，s n＝i ＝ 11,2，⋯ ，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝n ，所以 v(t i )＝ nia 2 a 33a 22 a n n ＋n·＝ 3 (1＋ 2＋ ⋯＋ n ) ＝n na311 a 361＋n 2＋ n ＝ 3 ＝ 9，得 a ＝ 3.故n ＋3 1 16n 3 ＝a1＋ 2＋ ，于是 s ＝ s n ＝6 n nC.5．已知某物体运 的速度 v ＝ t ，t ∈ [0,10]，若把区10 平分，取每个小区 右端点的函数 近似小矩形的高， 物体运 的行程近似________．分析： ∵把区 [0,10]10 平分后，每个小区 右端点 的函数n(n ＝ 1,2.⋯ ， 10)，每个小区 的 度1.∴物体运 的行程近似S ＝ 1×(1＋ 2＋ ⋯ ＋ 10)＝ 55.答案： 556.如 ，曲C ： y ＝ 2x (0 ≤x ≤ 2)两头分M ， N ，且 NA ⊥ x于点 A ，把 段 OA 分红 n 等份，以每一段 作矩形，使其与x平行的 的一个端点在曲C 上，另一端点在曲C 的下方，n个矩形的面 之和S n ，[(2n － 3)(n4－ 1)S n ]＝ __________.分析： 依 意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首1，公比 22， S n ＝ 2n n1－ 22n－ 32 ＋ 2 4＋ ⋯ ＋ 22n － 22n ＝ 2n →∞n＋ ＝ · · 所以 －－n ＝(12nnn)n2n1－n.lim [(2n3)( 41)S ]1－ 2n4n －n 4－2－ 3n ·＝ 12.1－ n4答案： 127．汽 行 的速度 v ＝ t 2，求汽 在 0≤t ≤1 段 行家 的行程s.解： (1)切割将区 [0,1]平分 n 个小区0，1， 1， 2 ， ⋯ ，i － 1， i， ⋯ ，n － 1， 1 ，n n nnnn每个小区 的 度t ＝i－ i － 1＝ 1.nnn(2) 近似取代－ 1 i i － 1－1－i的速度 v ii 1在区 n ， n (i ＝ 1,2，⋯ ，n)上，汽 近似地看作以 刻n n ＝n2 作匀速行 ，i － 1 2 1在此区 上汽 行 的行程·.nn(3) 乞降在全部小区 上，汽 行 的行程和s n ＝ 0 2 1＋12 12 2 1 ＋ ⋯ ＋ n － 1 2 1 ＝ 1 [12 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1) 2] ＝ 1 ×n × ＋ n × n × n 3 ＋ 2 3nnn nn n －nn －＝111－ 1×631－n 2n.(4) 取极限s ＝s n ＝11 1 1汽 行 的行程3 1－ n 1－ 2n ＝ 3.8． 簧在拉伸的 程中，力与伸 量成正比，即力F (x)＝ kx(k 常数， x 是伸 量 )，求将 簧从均衡地点拉b 所做的功．解： 将物体用常力 F 沿力的方向拖 距离x ， 所做的功 W ＝ F ·x.(1) 切割在区 [0， b]上等 隔地插入n － 1 个点，将区 [0， b]平分红 n 个小区 ：bb 2bn －b 0， n ， n ， n ⋯ ， n， b 第 i 个区i －b·n ，i b＝ 1,2， ⋯ ， n)，n (i 其 度·i －bx ＝i b－＝ b.n n n把在分段 0， b ， b ， 2b，⋯ ，n －b， b 上所做的功分 作：W 1， W 2，⋯ ，n n nnW n .(2) 近似取代取各小区 的左端点函数 作 小矩形的高，由条件知：W ≈i －b ·Δi Fxni －b b＝ k ·n·(i ＝ 1,2， ⋯， n)．n(3) 乞降nni － b bW n ＝W i ≈ k ·n ·i ＝1i ＝1nkb 2＝ n 2 [0＋ 1＋ 2＋⋯ ＋ (n － 1)]kb 2 n n －kb 2 1＝n 2 ×2＝2 1－n .W 的近似 W ≈W n ＝ kb21从而获得 2 1－n .(4) 取极限n22 kb1kbW＝W n＝i＝ 1W i＝21－n＝ 2.所以将弹簧从均衡地点拉长 b 所做的功为kb22.。