2020届浙江省杭州市学军中学等五校2017级高三下学期五校联考数学试卷及答案

2017年3月浙江省杭州市五校共同体高考模拟测试数学试题本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B = 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 台体的体积公式：那么n 次独立重复试验中恰好发生 )(312211S S S S h V ++=k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C p p -=-第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥2},B={x|x<m+1},若B ⊆∁R A,则m 的取值范围为 ( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.[-1,2]2．已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则 ||z 的取值范围是 ( )A.(1,5)B.(1,3)C.(1,)D.(1,)3．若a,b 是两个非零的平面向量,则 “|a |=|b |”是“(a+b )·(a-b )=0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数2()x f x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是 ( )5．对于函数3()x cos[3()]6f x x π=+,下列说法正确的是 ( )A. f(x)是奇函数且在内递减B. f(x)是奇函数且在内递增C. f(x)是偶函数且在内递减 D. f(x)是偶函数且在内递增6．若x, y 满足4240,y 0kx y y x x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩且z=5y-x 的最小值为－8,则k 的值为 ( )A. 12-B.12C.-2D.27．设随机变量ξ的分布列为下表所示且E(ξ)=1.6,则a －b = ( )A.0.2B.－0.2C.0.8D.－0.88．△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D 是边BC 上的一点(包括端点),则AD BC ⋅的取值范围是( )A. [1,2]B. [0,1]C. [0,2]D. [-5,2]9．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起， 折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，关于翻折后的几何体有如下描述 中不正确的是 （ ） A ．AB 与DE 所成角的正切值是2； B. AB ∥CE ；C. V B-ACE ＝16a 3； D. 平面ABC ⊥平面ACD. 10．已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则2017[()]2f f 的值是 ( ) A ．20172B 1 C. 0 D. 2 017第Ⅱ卷 非选择题部分（共110分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0),则实数k =_______，该双曲线的焦点到其中一条渐近线的距离是________。

2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。

第5题2020学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{|31}M x y x ==-,22{|log (2)}N x y x x ==-,则()R C M N ⋂=（ ）A. 11(,)32B. 11(,)[,)32-∞⋃+∞C. 1[0,]2D. 1(,0][,)2-∞⋃+∞ （2）复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是（ ）A ．3a =或2a =-B ．3a =或4a =-C ．3a =D ．2a =- （3）若函数cos(2)(0)y x ωϕω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 （4）已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m =I ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ （5）若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）（6）已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 3B.2C.3D.4第9题（7）已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r满足（ ）A.最大值为16B.为定值8C.最小值为4D.与P 的位置有关（8）实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为（ ）A. c d a b <<<B. a b c d <<<C. c a d b <<<D. a c b d <<< （9）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端 的数均为1n（2n ≥），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．1360 B ．1504 C ．1840D ．11260（10）,P Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且MP MQλ=（0λ>且1λ≠），点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=（0λ>且1λ≠）则以下判断正确的是（ ）A ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是减函数B ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是减函数C ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是增函数D ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是增函数第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n 的值为 ．（12）如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若01,,,mm m m a m b m c m <<===，则输出的数是 ．元频率 组距20 30 40 50 600.010.036 0.024 第11题第12题（13）已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则b ca + ．（14）已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的体积为________．（15）有,,,A B C D 四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为,,,a b c d ．把,,,A B C D 和,,,a b c d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A 与a 相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为 ．（16）已知向量,,a b c r r r 满足2,1a b c ===r r r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r的取值范围为 ．（17）已知函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，均存在以123(),(),()f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）（本小题满分14分）已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围（19）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =（Ⅰ）求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列； （Ⅱ）n S 是数列{}n a 的前n 项的和．问是否存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．第14题（20）（本小题满分15分）如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ． 点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --（21）（本小题满分15分）已知点(,1)P a -（a R ∈）,过点P 作抛物线2:C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y （其中12x x <）．（Ⅰ）求1x 与2x 的值（用a 表示）；（Ⅱ）若以点P 为圆心的圆E 与直线AB 相切，求圆E 面积的最小值．（22）（本小题满分14分）已知函数32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（Ⅰ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上2020学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案第Ⅰ卷（共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）100．（12）c .（13）3-.（14）23. （15）2分.（16）1]+.（17）142k -≤≤.三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． ……3分又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴．……7分（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……9分max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．……14分（19）解：（Ⅰ）证明：1,n n a a +Q 是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n n n n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ……2分111111222(2)333 1.111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯Q 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3n n n a =--2321211(2222)[(1)(1)(1)]33n n n n S a a a ∴=+++=++++--+-++-L L L11(1)1[22].32n n +--=-- ……8分 因此，1121111[2(1)][2(1)][2(2)1]99n n n n n n n n n b a a ++++=⋅=--⨯--=---要使n n b S λ>，对*n N ∀∈都成立，即211*1(1)1[2(2)1][22]0,()932n n nn n N λ++-------->∈（*） ……10分①当n 为正奇数时，由（*）式得：2111[221](21)093n n n λ+++--->即111(21)(21)(21)093n n n λ++-+-->， 11210,(21)3n n λ+->∴<+Q 对任意正奇数n 都成立，因为1(21)(3n n +为奇数）的最小值为1．所以 1.λ<……12分②当n 为正偶数时，由（*）式得：2111(221)(22)093n n n λ++---->， 即112(21)(21)(21)093n n nλ++--->11210,(21)6n n λ+->∴<+Q 对任意正偶数n 都成立，因为11(21)(6n n ++为偶数）的最小值为3.23.2λ∴< 所以，存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立时λ的取值范围为(,1)-∞． ……14分BC . （20）解：（Ⅰ）∵点A 、D 分别是RB 、∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥, ……3分∵A AB PA AB BC =⊥I ,,∴BC ⊥平面PAB ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. ……7分（Ⅱ）取RD 的中点F ，连结AF 、PF ． ∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥ ∵AD AP AR AP ⊥⊥,, ∴⊥AP 平面RBC .∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. ∵,A AP AF =I ∴⊥RC 平面PAF . ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……12分 在Rt△RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt△PAF 中, 2622=+=AF PA PF ，cos 3AF AFP PF ∠==.∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33． ……15分 （21）解：（Ⅰ）由2y x =可得，2y x '=． ……1分 ∵直线PA 与曲线C 相切，且过点(,1)P a -，∴211112x x x a+=-，即211210x ax --=， ……3分∴1x a ==1x a = ……4分同理可得：2x a =2x a =……5分 ∵12x x <，∴1x a =2x a =+ ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，122x x a +=，121x x ⋅=-， ……7分则直线AB 的斜率221212121212y y x x k x x x x x x --===+--， ……8分∴直线AB 的方程为：1121()()y y x x x x -=+-，又211y x =， ∴22112112()y x x x x x x x -=+--，即210ax y -+=．∵点P 到直线AB 的距离即为圆E的半径，即2r =， (10)∴22222222222222131913()()()4(1)(1)424164411141444a a a a a r a a a a ++++++++====++++221933()3142216()4a a =+++≥=+，当且仅当22191416()4a a +=+，即21344a +=，2a =±时取等号． 故圆E 面积的最小值23S r ππ==．……15分（22）解：（Ⅰ）因为32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤≤时，()(32)f x x x '=--，解()0f x '>得到203x <<；解()0f x '<得到 10x -<<或213x <<．所以()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24()327f =．……3分，又(1)2,(1)0f f -==，所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．……4分②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……8分（Ⅱ）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠． ……9分因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即：232()()0t f t t t -+⋅+=（1）……10分 是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解． 若01t <<，则32()f t t t =-+，代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无实数解． ……11分若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1(1)ln t t a=+，……12分 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()ln 0h x x x'=+>在[1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，所以当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程（1）有解．……14分 所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……15分。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得， |PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=3；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=﹣2100．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24；x2+y2的最小值是8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f （x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3 ∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N （m ，0）满足条件，则有=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2 =如果要上式为定值，则必须有验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点满足20．已知正项数列{a n }满足：S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *），其中S n 为数列{a n }的前n 项的和． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）通过S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）与S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *）作差、计算可知S n +S n ﹣1=，并与S n ﹣1﹣S n ﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）， ∴S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+...+（）＞2+2+ (2)=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

两校第二次联考数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分,考试时间为120分钟.选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =( )A.∅B.{1}C.{3,5}D.{1,3,5,9}【参考答案】B 【试题解析】根据交集与补集的定义,即可得到本题答案.因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==,所以{}=1,9U C B , 又因为{}1,3,5A =,所以(){}1U A C B =.故参考答案：B本题主要考查集合的补集与交集的运算,属基础题.2.复数z 满足()23+,z i i ⋅-=则复数z 的共轭复数的虚部是( ) A.iB.-iC.1D.-1【参考答案】D 【试题解析】由复数的乘除法运算法则,可算得复数z ,从而可得到z 的共轭复数的虚部. 由题,得3(3)(2)5512(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+, 所以z 的共轭复数为1i -,虚部为1-. 故参考答案：D本题主要考查了复数的乘除法运算以及复数的相关概念,属基础题. 3.双曲线22491x y -=的渐近线方程是( )A.94y x =±B.49y x =±C.23y x =±D.32y x =±【参考答案】C 【试题解析】令22490x y -=,即可求得双曲线的渐近线方程.因为双曲线的方程为22491x y -=,令22490x y -=,得2249y x =,即23y x =±, 所以双曲线的渐近线方程为23y x =±. 故参考答案：C本题主要考查根据双曲线的方程求渐近线方程,属基础题. 4.设,a R ∈则“”11a -<是23a a <“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A 【试题解析】分别解出两个不等式的解集,由小范围推出大范围,即可得到本题答案. 由11a -<,得02a <<,又由23a a <,得0<<3a , 所以“|1|1a ''-<是23a a <“”的充分不必要条件, 故参考答案：A本题主要考查充分条件和必要条件的判断,涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 5.已知随机变量X 的分布列是：当a 变化时,下列说法正确的是( ) A.E (X ),D (X )均随着a 的增大而增大B.()(),E X D X 均随着a 的增大而减小C.E (X )随着a 的增大而增大,D (X )随着a 的增大而减小D.E (X )随着a 的增大而减小(),D X 随着a 的增大而增大 【参考答案】A 【试题解析】先确定a 的取值范围,然后写出()(),E X D X 关于a 的关系式,即可得到本题答案.由题,得1020a a ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩,所以102a ≤≤,又()11101231326E X a a a ⎛⎫=⨯+-⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭, ()()()()222221111511232624D X a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯++-⨯+⨯-+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()(),E X D X 均随着a 的增大而增大. 故参考答案：A本题主要考查离散型分布列的期望和方差的求法,其中涉及到函数单调性的判断,必须要在函数的定义域内判断函数的单调性. 6.函数()()()21sin 2,f x x x xππ=+-的图像可能是( )A. B.C. D.【参考答案】D【试题解析】根据函数的奇偶性排除A 、B 选项,再由函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可判断. ()()()21sin 2f x x x f x -=-+=-,f x 是奇函数,排除A 、B 选项；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()2,2x ππ∈,sin 2[1,0)x ∈-,所以()()21sin 20f x x x =+<,排除C 选D.故参考答案：D本题考查函数图象的判别,利用函数的奇偶性、周期性及单调性进行选项排除,属于基础题. 7.在三棱锥S -ABC 中,侧棱SA ,SB ,SC 两两成等角,且长度分别为a ,b ,c ,设二面角S -BC -A ,S -AC –B ,S -AB -C 的大小为,,αβγ,若,a b c >>则α,β,γ的大小关系是( )A.αβγ>>B.αγβ>>C.r βα>>D.γβα>>【参考答案】A 【试题解析】不妨设侧棱SA ,SB ,SC 两两互相垂直,由AS ⊥平面SBC 推出AS SD ⊥,由cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=可求得α的余弦值,同理可得cos cos SO SOb cβγ==，,根据a b c >>及余弦函数的单调性即可得解.不妨设侧棱SA ,SB ,SC 两两互相垂直,如图作SO ⊥平面ABC ,易知O 为△ABC 的垂心, 连接AO ,延长AO 交BC 于点D ,连接SD ,因为侧棱SA ,SB ,SC 两两互相垂直,所以AS ⊥平面SBC , 由SD ⊂平面SBC ,AS SD ∴⊥,△ASD 为直角三角形,因为AD BC ⊥,由三垂线定理知SD BC ⊥,所以SDA ∠即为二面角S -BC -A 的平面角记为α,cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=,cos SO a α∴=,同理可得cos cos SO SOb cβγ==，,又,a b c >>cos c s s c o o γβα>∴>, 而此时αβγ、、都为锐角,αβγ∴>>. 故参考答案：A本题考查二面角的概念、三棱锥的结构特征、三角函数的应用,属于中档题.8.有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相,其中甲班2人,乙班2人,丙班1人,则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有( ) A.96B.48C.36D.24【参考答案】B 【试题解析】根据分步乘法计数原理及插空法即可求解.由题意知,可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻,相邻的2名同学和丙班的1名同学站队,共有122222C A A 种站法,再将另外一个班级的2名同学进行插空,共有23A 种方法,由分步乘法计数原理知,仅有一个班级的同学相邻的站法种数为1222222348C A A A =.故参考答案：B本题考查分步乘法计数原理、排列组合的有关知识,属于基础题.9.已知F 1,F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点,过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ,B两点,且满足2212,||||,AF F B F B AB ==则该椭圆的离心率是( ) A.123 C.3 D.5【参考答案】B 【试题解析】设2BF m =,用m 表示出2AF 、1BF 、1AF ,由12AF AF =知A 为椭圆的上顶点,直线2AF 的方程与椭圆方程联立求出交点的横坐标,利用222AF F B =列出等式化简即可求得离心率. 设2BF m =,则212223AF m BF AF BF m ==+=，,由椭圆的定义知1212=2BF BF AF AF a ++=,∴11222AF BF BF AF m =+-=,12AF AF =,∴A 为椭圆的上顶点,设()0,A b ,又()1,0F c ,则直线2:b AF y x b c =-+,直线方程代入椭圆方程22221x y a b+=中得：222221+a a x x c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得0x =或2222a c a c +, 222AF F B =,22222a c c c a c ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭,化简得223a c =,222133c e e a ∴==⇒=故参考答案：B本题考查椭圆的几何性质、椭圆离心率相关问题、求直线与椭圆的交点,属于中档题. 10.设函数()()()||f x g x a a R =-∈在区间[]1,4上的最大值()M a 的最小值为4,则符合条件的()g x 有( )①x 2+16x ②22311x x x -+-③32223x x x -+-A.①② B.②③ C.①②③ D.①③【参考答案】D 【试题解析】分别求出三个函数的值域,再结合||y x a =-的图象进行分析可得答案.对于①,216()g x x x =+([1,4])x ∈,322162(8)()2x g x x x x-'=-=, 所以当[1,2)x ∈时,()0g x '<,函数216()g x x x=+递减,当(2,4]x ∈时,()0g x '>,函数216()g x x x=+递增,所以当2x =时,()g x 取得最小值(2)12g =,当4x =时,()g x 取得最大值(4)20g =,所以()[12,20]g x ∈,所以当16a ≤时,()|20|204M a a a =-=-≥,当16a >时,()|12|124M a a a =-=->, 所以()[4,)M a ∈+∞,此时()M a 的最小值为4,符合题意,故①正确；对于②,()g x =22311x x x -+-(21)(1)211x x x x --==--((1,4])x ∈为增函数, 所以()(1,7]g x ∈,所以当4a ≤时,()|7|7M a a a =-=-[3,)∈+∞,不符合题意,故②不正确；对于③,()g x =32223x x x -+-()23g x x '=-, ()''2=-+g x 因为[1,4]x ∈,所以()''0>gx ,所以()g x '在[1,4]上递增,所以()(1)233110g x g ''≥=-+-=>,所以()g x 在[1,4]上递增,所以(1)()(4)g g x g ≤≤, 所以0()8g x ≤≤,所以当4a ≤时,()|8|84M a a a =-=-≥,当4a >时,()|0|4M a a a =-=>, 所以()[4,)M a ∈+∞,所以()M a 的最小值为4,符合题意,故③正确. 故参考答案：D本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值和值域,属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”其含义是：一尺长的木棍,每天截去它的一半,永远也截不完.那么,第6天截取之后,剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺,需要经过________次截取. 【参考答案】 (1).164(2).11 【试题解析】建立等比数列模型：记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ,则{}n a 是首项为12,公比为12的等比数列,利用等比数列的通项公式即可解决. 记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ,则{}n a 是首项为12,公比为12的等比数列, 所以12n n a =,所以6611264a ==, 由1122018n n a =<得10n >,所以n 的最小值为11.所以第6天截取之后,剩余木棍的长度是164尺,要使剩余木棍的长度小于12018尺,需要经过11次截取.故答案为：164；11. 本题考查了等比数列的应用,考查了等比数列的通项公式,属于基础题.12.已知2()⎛= ⎝nf x x 的展开式中第三项的二项式系数为15,则n =__________,该展开式中常数项为__________. 【参考答案】 (1).6 (2).60 【试题解析】由2(1)152nn n C -==,解得6n =,化简()()36626662()12kkk k k k kk T C x Cxx---=-=-,令3602k-=即可求出k ,即可解得所求. 2(1)152nn n C -==,所以6n =,()()366626612()2kkk k k k kk T C xCxx---∴=-=-,令3602k -=,解得4k =,该展开式中常数项为()4466421=60C --. 故答案为: 6;60.本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,难度较易.13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为________,外接球的表面积为________【参考答案】3 (2).12π 【试题解析】根据三视图可知,几何体的直观图是一个三棱锥,把它放在棱长为2的正方体中,即可求得结果.根据三视图可知,几何体的直观图是一个三棱锥A BCD -,把它放在棱长为2的正方体中,如图所示：其体积为114222323⨯⨯⨯⨯=,其外接球与正方体的外接球相同, 所以外接球半径为222122232R =++=所以外接球的表面积为2412S R ππ==. 312π.本题考查了由三视图还原直观图,考查了棱锥的体积公式,考查了球的表面积公式,属于基础题.14.在ABC ∆中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________,b =________.【参考答案】 (1).3π46 【试题解析】由正弦定理角化边以及余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==,可得3A π=；由正弦定理sin sin a b AB =即可得到63b =由()()()sin sin sin a b A Bc b C -+=-以及正弦定理得,()()()a b a b c b c -+=-,所以222b c a bc +-=,所以2221cos 22b c a A bc +-==, 因为0A π<<,所以3A π=.由正弦定理得sin sina b A B =,得322=,解得46b =. 故答案为：3π；46. 本题考查了正弦定理、余弦定理,属于基础题.15.若实数x ,y 满足2320220,2x y x y y -+⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩|23|x y --的取值范围是________【参考答案】[4,9] 【试题解析】作出可行域,设23z x y =--,利用线性规划求出z 的取值范围,从而可得||z 的取值范围. 作出可行域,如图所示：令23z x y =--,化为斜截式得13222z y x =--, 由图可知,2,2x y =-=时,z 取得最小值9-,1,0x y =-=时,z 取得最大值4-,所以94z -≤≤-,所以||[4,9]z ∈. 故答案为：[4,9].本题考查了线性规划求目标函数的取值范围,属于基础题.16.已知函数()321,02,0a x x f x x ax x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限,则实数a 的取值范围是________.【参考答案】()1,+∞ 【试题解析】按照0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况讨论,结合二次函数的判别式、对称轴、开口、特殊函数值可得答案.当0x ≤时,3()||11f x a x =-≤-,此时函数图象经过第三象限； 当02x <<时,2()(1)2f x x a x =-++,当0x →时,()2f x →,此时函数图象恒经过第一象限,(1)若()2180a ∆=+->且10a +>,即1a >时,函数图象经过第一、四象限,当2x ≥时,2()(1)2f x x a x =---,()2180a ∆=-+>,()242f a =-的值可正,可负可为零,函数图象经过第一、四象限或只经过第一象限,符合题意；(2)若1a =-时,当02x <<时,2()2f x x =-+,函数图象只经过第一象限,当2x ≥时,对称轴112a x -==,()24260f a =-=->,函数图象只经过第一象限,不符合；(3) 若1a <时,当02x <<时,2()(1)2f x x a x =-++,∆<0, 此时函数图象只经过第一象限,当2x ≥时,对称轴112a x -=<,()24260f a =->->,函数图象只经过第一象限,不符合；故答案为：()1,+∞.本题主要考查二次函数以及分段函数的图象和性质,涉及分类讨论思想的应用,属于中档题. 17.已知P 为边长为2的正ABC ∆所在平面内任一点,满足0,PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=则PA PB ⋅的取值范围是________ 【参考答案】2222[,]33- 【试题解析】以AB 的中点为原点,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系：利用坐标进行运算可得答案.以AB 的中点为原点,AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系：则(1,0)A -,(1,0)B , 3)C ,设(,)P x y ,所以(1,)PA x y =---,(1,)PB x y =--,(3)PC x y =-,所以2(1)(1)(1)(3)(1)3)0x x y x x y y x x y y ---+-------=, 所以2233310x y +--=,所以2232()3x y +=,3636y -+≤≤, 所以221PA PB x y ⋅=+-2311y +=-2222[]∈. 故答案为：2222[. 本题考查了解析法,考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,18.已知函数()2cos 2cos f x x x x a =⋅-+(1)求函数()f x 的最小正周期,单调减区间； (2)若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.锐角a 满足()53f α=,求sin 2α的值. 【参考答案】(1)函数()f x 的最小正周期为π,函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++,k Z ∈,(2)6±. 【试题解析】(1)利用二倍角的正、余弦公式和两角和的正弦公式化简函数解析式,利用正弦型函数的周期公式可得最小正周期,根据正弦函数的单调性可得单调递减区间；(2)根据正弦函数的值域可得()f x 的最大值为1a +,可得2a =,()2sin(2)16f x x π=-+,根据()53fα=可得1sin(2)63πα-=,cos(2)6πα-=再根据sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+-可求得结果.(1)()2cos 2cos f x x x x a =⋅-+2cos 21x x a =--+2sin(2)16x a π=--+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==, 由3222262k x k πππππ+≤-≤+,k Z ∈, 得536k x k ππππ+≤≤+,k Z ∈, 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++k Z ∈.(2)当[0,]2x π∈时,52[,]666x πππ-∈-,1sin(2)[,1]62x π-∈-,所以()[2,1]f x a a ∈-++,所以13a +=,解得2a =,可得所以()2sin(2)16f x x π=-+,所以5()2sin(2)163f παα=-+=,所以1sin(2)63πα-=, 因为(0,)2πα∈,所以当(0,)3πα∈时,2(,)662πππα-∈-,122cos(2)169πα-=-=, 所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 1322132232+=⨯+⨯=, 当[,)32ππα∈时,52[,)626πππα-∈,22cos(2)63πα-=-,所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 1322132232326-=⨯-⨯=. 本题考查了二倍角的正弦、余弦公式,考查了两角和与差的正弦公式,考查了正弦型函数的周期公式,考查了正弦函数的单调区间,考查了三角函数的最值,属于中档题.19.如图,在三棱锥D -ABC 中,234,AC BC DC ABC ==为锐角三角形,平面ACD ⊥平面,90ABC BCD ∠=.(1)求证：CD ⊥平面ABC(2)若直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为74,求二面角D -AB -C 的余弦值.【参考答案】(1)证明见详解；(2)77 【试题解析】(1)过B 作BH AC ⊥,交AC 于点H ,利用面面垂直的性质定理可得BH ⊥平面ACD ,从而证出BH CD ⊥,再由BC CD ⊥,利用线面垂直的判定定理即可证出.(2)过C 作CM AB ⊥,交AB 于点M ,则CMD ∠为二面角D -AB -C 的平面角,在ABC 中,由余弦定理求出AB ,利用三角形面积相等求出CM ,即可求解. (1)过B 作BH AC ⊥,交AC 于点H , 平面ACD ⊥平面ABC ,且平面ACD平面ABCAC =,则BH ⊥平面ACD ,CD ⊂平面ACD ,BH CD ∴⊥, 又90BCD ︒∠=,BC CD ∴⊥,BH BC B ⋂=,CD 平面ABC .(2)过C 作CM AB ⊥,交AB 于点M , 则CMD ∠为二面角D -AB -C 的平面角,由(1)可知,BHD ∠为直线BD 与平面ACD 所成角,即7sin BHD ∠=设1CD =,由234AC BC DC ==, 则43BC =,2AC =, 所以2245133BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,由sin BH BHD BD ∠==解得53BH ==,所以12sin 43BH ACB BC ∠===由ABC锐角三角形,所以9cos 16ACB ∠==, 在ABC 中,由余弦定理,2221649252cos 42293169AB CA CB CA CB ACB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=, 所以53AB =, 由1122ABCSAC BH AB CM =⋅=⋅,解得CM =所以2DM ==, 所以cos CM CMD DM ∠====本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、求面面角,考查了考生的逻辑推理能力,属于中档题.20.已知数列{}{},,n n a b 其中12,1,n n a b a =-=且点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上*,n N ∈(1)证明：数列{}n lgb 是等比数列,并求数列{}n a 的通项； (2)记T n 为数列{}n b 的前n 项积,S n 为数列{}n c 的前n 项和,1111n n n c b b =+-+,试比较S n 与213nT -大小.【参考答案】(1)证明见详解；1231n n a -=-；(2)213n nS T >-【试题解析】(1)由题意可得21n n b b +=,再两边取对数化简后,由等比数列的定义即可证明,根据等比数列的通项公式可得数列{}n b 的通项公式,进而可得数列{}n a 的通项.(2)首先利用等比数列的前n 项和公式求出n T ,再利用裂项相消法求出n S ,两式作差即可比较大小.(1)由1n n b a -=,1n n a b ∴=-,12a =,则13b =,点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上, 则()12n n n a a a +=+,()()2111121n n n n b b b b +∴-=--+=-,21n n b b +∴=,21lg lg 2lg n n n b b b +∴==,即1lg 2lg n nb b +=, ∴数列{}n lgb 是等比数列,又1lg lg 3b =,1lg 2lg 3n n b -∴=⋅,112lg32103n n n b --⋅∴==,1231n n a -∴=-.(2)由(1)可知112lg32103n n n b --⋅==,所以02122221233333n n n T b b b b -=⋅⋅=⋅⋅()02111222222112333nn n-⨯-+++--===所以2122221313313n n n T -==--⋅-.由1111n n n c b b =+-+,即1122113131n n n c --=+-+, 所以1223131112n n n c -⎛⎫=--⎝-⎪⎭,所以123n n S c c c c =+++0212222221111112313131313131n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦02222112221131313113n n n ⎛⎫=-=-=+ ⎪----⎝⎭, 所以2222111313213n nn n S T -=+-=---, 所以213n nS T >-.本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项相消法求和,此题综合性比较强,属于难题. 21.已知(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭,点M 在x 轴上,点L 在y 轴上,且2MN ML =,LM LF ⊥,当点L 在y 轴上运动时,动点N 的轨迹为曲线C .过x 轴上一点K 的直线交曲线C 于P ,Q 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程； (2)证明：存在唯一的一点K ,使得2211PKQK+为常数,并确定K 点的坐标.【参考答案】(1)()22,0y px p => (2)证明见解析；(),0K p . 【试题解析】(1)根据题意,画出几何图形,设(),N x y ,由几何关系可知FM FN =,结合点的坐标即可求得,x y 的关系,化简即可求得曲线C 的轨迹方程；(2)由K 点在x 轴上,可设(),0K a ,设出过点K 的直线方程为()y k x a =-,联立抛物线方程,并由两点间距离公式表示出22,PK QK ,并代入2211PKQK+中化简即可求得常数a 的值,即可确定点K 的坐标. (1)根据题意可知,(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭,点M 在x 轴上,点L 在y 轴上,且2MN ML =,LM LF ⊥,画出几何关系如下图所示：设(),N x y ,L 为MN 中点,因为L 在y 轴上,所以点M 的横坐标为x -, 由等腰三角形三线合一可知FM FN =,即2222p p x x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭展开化简可得22y px =, 所以曲线C 的轨迹方程为()22,0y px p =>. (2)证明：点K 为x 轴上一点,设(),0K a ,则过点K 的直线方程为()y k x a =-,交抛物线()22,0y px p =>于()11,P x y ,()22,Q x y 两点. 则()22y k x a y px⎧=-⎨=⎩,化简变形可得()22222220k x ak p x k a -++=,所以221212222222,ak pp x x a x x a k k ++==+=,由两点间距离公式可得()()222211112PKx a y x a px =-+=-+,()()222222222QKx a y x a px =-+=-+,所以2211PKQK+()()2211221122x a px x a px =+-+-+()()22221122112222x p a x a x p a x a =++-++-+()()()()2221212222211222222222x x p a x x a x p a x a x p a x a ++-++=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()2212121222222241212121212122222222222x x x x p a x x a x x p a x x x x a x x p a x x a p a x x a +-+-++=+-++++-+-++将21212222,p x x a x x a k+=+=代入化简可得()22222111p ak a p k PKQK++=+, 所以当a p =时2211PKQK+为常数,且222111p PKQK+=, 此时(),0K p .本题考查了轨迹方程的求法,抛物线中直线过定点问题的解法,直线与抛物线位置关系的综合应用,计算量大,是高考的常考点和难点,属于难题. 22.已知函数()()()ln ,1f x x g x ax a R ==-∈ (1)讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x < (i )求实数a 的取值范围(ii )求证：110,y -<<且122(y ye e e +>为自然对数的底数).【参考答案】(1) 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞. (2)(i)(0,1) (ii)证明见解析. 【试题解析】(1)1(),(0)h x a x x'=->,对a 分类讨论：0,0a a ≤>,利用导数的正负号研究函数的单调性; (2)(i)由(1)可知,当0a ≤时()f x 单调,不存在两个零点,当0a >时,可求得()f x 有唯一极大值,令其大于零,可得到a 的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可; (ii)构造函数2221()()()ln()()1(ln 1),(0)G x h x h x x a x x ax x aa a a=--=---+--+<≤,根据函数的单调性证明即可.由题意知()()()=ln 1h x f x g x x ax =--+,所以1(),(0)h x a x x'=->. 当0a ≤时, ()0h x '>,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增; 当0a >时,令1()0h x a x '=->,解得10x a<<； 令1()0h x a x '=-<,解得1x a>； 所以函数()h x 在1(0,)a上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减. 综上所述：当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞.(2)(i) 函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x <等价于函数()h x 有两个不同的零点12,x x ,其中12x x <.由(1)知, 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;不可能有两个零点.当0a >时, 函数()h x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a +∞上单调递减,此时1()h a为函数()h x 的最大值.当1()0h a≤时,()h x 最多有一个零点, 所以11()=ln0h a a>,解得01a <<， 此时,2211e e a a<<,且1()110a a h e e e =--+=-<,2222()22ln 132ln (01)e e e h a a a a a a=--+=--<<，. 令2()32ln ,(01)e F a a a a =--<<,则222222()0,(01)e e aF a a a a a-'=-+=><<, 所以()F a 在(0,1)上单调递增,所以2()(1)30,F a F e <=-<即22()0e h a<,所以a 的取值范围是(0,1).(ii)因为()ln 1h x x ax =-+在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减, 所以1()110a ah e e e=--+=-<,(1)10h a =->, 所以111x e<<,即11()0f x -<<,所以110y -<<. 构造函数222()()()ln()()1(ln 1)G x h x h x x a x x ax a a a=--=---+--+2ln()ln 22x x ax a =--+-,1(0)x a<<则212()11()2)022()a x a G x a x x x x a a-'=-+=<--, 所以()G x 1(0,)a上单调递减,又因为110x a <<, 所以11()()0G x G a>=,因为2()0,h x =所以11122()()()()G x h x h x h x a=-->,又1()0,h x = 所以122()()h x h x a->由(1)知()h x 在1(,)a +∞上单调递减得：122,x x a-<即122+,x x a >又因为1122ln ,ln y x y x ==,所以1212,y yx e x e ==即122yy e ea+>, 又因为01a <<,所以22a> 所以122y y e e +>.本题综合考查了运用导数解决函数的单调性,证明不等式.属于难题.讨论函数的单调性一定要思路清晰,再结合函数的图像解决函数的零点问题.本题的难点在于找到1()0h e<与22()0e h a<及构造函数()G x .。

2017学年浙江省高三“五校联考”第二次考试答案第一部分：听力（共两节，满分30分）1-5 BACAC 6-10 ACBAB 11-15 CBABA 16-20 CACCB第二部分：阅读理解（共两节，满分35分）21-23 CAB 24-26 DDA 27-30 DCCB 31-35 BCEFA第三部分:语言运用（共两节,满分45分）第一节36-40 BDDAC 41-45 CBDAC 46-50 CBABD 51-55 ABDCA第二节56.importance 57.that 58.the 59.it 60.rising61.to breathe 62. With 63. factories 64. is getting 65.until/before第四部分：写作（共两节，满分40分）第一节：应用文写作范文：Dear parents,It is our pleasure to inform you that Xinhua School is organizing a Science Fair to be held on Saturday, 7 May, 2018. The fair is open for parents from 10:00 a.m. to 11:00 a.m. in the gym.The purpose of conducting a science fair is to promote true scientific spirit. Hands-on scientific investigation is the main focus of our fair. Our school students will present their science projects on that day. The projects are graded by our teachers and various awards will be given.Your gracious presence will be highly appreciated and encouraging for the students of our school.Sincerely yours,Li Ming第二节：读后续写Suggested Version：Ali looked up and saw the other boys rushing ahead.Refusing to give up at this point, he jumped to his feet and ran as fast as he could. He dashed across the finish line and won the fourth prize. Thinking he would let her sister down, Ali couldn’t help sobbing. Just then he suddenly heard the announcement from the broadcast that he won the third prize as the runner who collided with Ali was disqualified for breaking the rule. Holding the shoes close to his chest during the award ceremony, Ali felt overjoyed and relieved as he eventually won the shoes for his sister.Filled with delight, Ali walked home quickly. He could not wait to see his sister and share the thrilling news. On his arrival, Ali found Zahra was waiting outside. She was really nervous whether her brother had brought her what she was expecting. “Zahra, see what I have got for you.”he took the prize out of his bag with his trembling hands. The instant Zahra saw the shoes, her face lit up. So thrilled was she that she threw herself at Ali. “Thank you! Ali.” Tears of joy welled up their eyes as the brother and sister hugged tightly together.听力录音原文1M: This math puzzle is really beyond me.W: Well, if you can’t solve it, I won’t stand a chance.2M: Your computer makes such a loud noise. I guess there must be something wrong. You’d better have it checked out.W: You are right. I’ll do that later.3M: What’s the noise? It sounds as if it’s coming from next door. The Nelsons aren’t back yet, are they?W: I don’t think so. It must be the window-cleaner working upstairs.4M: I think there’s a mistake in our bill. We didn’t have dinner here last night.W: I’m sorry, sir. Here is the bill from the hotel restaurant. It’s got your signature on it.M: But that’s not my signature. I’d like to speak to the manager.5W: Good morning, Mr. Smith. I hope I’m not disturbing your work.M: Not at all, Mary. Come in and take a seat. I’m always in my office before lunch.W: I want to tell you that I have already started writing my paper and I’d like to discuss my topic with you.M: Of course. What would you like to work on?6M: This car goes from 0 to 60 in only 5 seconds. Not bad for something built in the old USA!W: Hmm, I usually don’t buy American. How do I know that this is going to be more reliable than something that’s made in Germany?M: Listen, ma’am,I’ve been driving a Ford for the past 20 years, and I mean the same Ford! These are the best in the business. I’m telling you.W: But is it safe?M: Well, that depends on how fast you want to drive!W: What?M: I’m just kidding. That was a joke! Seriously, though, the safety ratings are at the top of its class.I can show you the latest Consumer Reports if you want.W: No, that’s OK. I appreciate your time. I think I’m going to keep looking, though.M: All right. Let me know if I can help.7M: Hello, may I speak to Mr. Or Mrs. Baker, please?W: This is Mrs. Baker speaking.M: Hello, Mrs. Baker, this is Mr. Chin, Timothy’s English teacher. I’m calling because Timothy is struggling in English.W: He isn’t doing well? This is really upsetting. He must study h arder. I will talk to him about that immediately.M: Actually, I’m calling to offer my assistance. Timothy is already working hard in class, but he needs some extra help. If he could stay after class on Mondays and Wednesdays, I’d be able to help him improve. Would it be OK for him to stay after school on those days?W: Definitely. Thank you so much for offering help! I will talk to Timothy today and he’ll startstaying after school next week. Thank you for your concern!M: It’s my pleasure. I enjoy having Timothy in my class.8M: Debbie, I’m sorry to have to say this, but this lateness really can’t go on, you know?W: Oh, no, not again.M: What do you mean by that?W: Well, you’re always going on at me and I’m never more than five minutes late.M: Late is late, my girl! And if you don’t change your ways, I’m afraid I shall have to let you go. W: Let me go? Must you always put things the wrong way round? What you mean is you’ll fire me!M: Will you please stop being so aggressive and so cheeky?W: Oh, why don’t you shut up?M: Really! Debbie ... I never thought you’d... what you do you think you’re doing now?W: Doing? I’m getting my things together. That’s what I’m doing. There’s no need for you to fire me, Mr. Steiner. I resign!9W: How’s your computer c ourse going?M: Well, I’ve just had my class, actually. We have it twice a week and each one lasts two hours. W: That’s too long. Doesn’t it get boring?M: Well, you need that long to actually do a whole document. I can do all sorts of things on my computer that I never knew before.W: I can’t say the same for my cookery course.M: Oh, why not? I thought you were enjoying it.W: It’s enjoyable enough, but we just don’t seem to make much progress. We spent the whole of last week’s lesson learning how to fry an egg.M: So how often is it?W: Just once a week, for an hour and a half. It’s making cakes next week.M: Oh, that sounds fun.W: Yeah. I’m looking forward to it. I wanted to ask you something, actually. Have you learnt how to send e-mails on your cours e yet? I can’t get my computer to send them properly, and I was wondering if you’d show me how it’s done.M: Well, if you bring me one of your cakes, I suppose I could try.W: Great, well, when I’ve made them.10I don’t often lose things and I’m especiall y careful with money, so I was quite surprised when I reached for my wallet to pay for my dinner and it wasn’t there. At first, I thought it was possible that I could have left it at home. Then I remembered taking it out to pay for the taxi, so I knew I had it with me just before I walked into the restaurant. I wondered if it was possible that it could have slipped out of my pocket while I was eating dinner. Thinking about that possibility, I turned and walked back to the table where I had been sitting.Unfortunately, there were several other people sitting at the table at the time, so I called a waiter and explained to him that my wallet had fallen out of my pocket while I was sitting at the table a few minutes earlier. I had the waiter go over to the table to see if my wallet was on the floor. While the waiter was looking for it, the manager came up to me and asked me if anythingwas wrong. I didn’t want to get a lot of people involved in the problem, but I knew I had to get the wallet back. I told the manger what had happened. He had me describe the wallet to him, and then he insisted that I report it to the police. I told him that I didn’t want to set the police involved in it. Besides, I was in a hurry because I had an appointment with my doctor in just a few minutes. I explained to him that my biggest worry at the moment was how I was going to pay the check. He told me not to worry about that. He had me write down my name and address. And he said he would send me the bill.。

浙江新高考名校联考信息卷(五)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式：若事件, A B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件, A B 相互独立,则( )() ()P A B P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|||2},{|13}A x x B x x ==<,则A B =( )A.{|2}x x -B.{|12}x xC.{|23}x x -≤<D.{|3}x x <【参考答案】C 【试题解析】先解绝对值不等式得到集合A ,再根据集合的并运算求AB 即可.由||2x ≤,解得22x -≤≤,故{|22}A x x =-≤≤,又{|13}x B x =≤<, 所以{|23}A B x x ⋃=-≤<. 故参考答案：C.本题主要考查绝对值不等式的求解及集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,考查数学运算核心素养.2.已知复数z 满足2(1)10z ++=,则z =( ) A.1i + B.1i -+C.1i -±D.1i ±±【参考答案】C 【试题解析】设(,)z a bi a b R =+∈,再利用复数的四则运算及复数相等求解即可. 解法一：由题意,设(,)z a bi a b R =+∈, 由2(1)10z ++=,得2(1)10a bi +++=, 所以22(1)12(1)0a b a bi +-+++=,根据复数相等,得22(1)10,2(1)0,a b a b ⎧+-+=⎨+=⎩,解得11a b =-⎧⎨=±⎩,故1z i =-±.解法二：根据2(1)10z ++=,得1z i +=±,所以1z i =-±. 故参考答案：C.本题主要考查复数的定义、复数相等以及复数的四则运算,考查数学运算核心素养. 3.函数cos ()2x f x x =⋅的图象可能是( )A. B. C.D.【参考答案】B 【试题解析】根据奇偶性、特殊值,利用排除法即可得结果. 因为cos()cos ()()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-,所以函数()f x 是奇函数,其图象关于坐标原点O 对称,故排除A,C. 当0x >时,()0f x >,故排除D, 故参考答案：B.本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的识别、函数值的判断,考查考生分析问题与解决问题的能力,考查直观想象核心素养.4.已知数列{}n a 是首项大于零的等比数列,则“12a a <”是“23a a <”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A 【试题解析】根据充分必要性的定义分析即可. 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a a <,且10a >,所以1q >,即23a a <,故充分性成立； 反之,不成立,如121,1a a ==-,31a =. 故“12a a <”是“23a a <”的充分不必要条件. 故参考答案：A.本题主要考查充分必要条件的判断,考查逻辑推理核心素养.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点,若||,||,||FB AB FA 成等差数列,则椭圆C 的离心率为( )C.【参考答案】C 【试题解析】先根据椭圆的几何性质分别表示出||,||,||FB AB FA ,然后根据||,||,||FB AB FA 成等差数列得出等式,并结合222a b c =+化简求解,即可得椭圆C 的离心率. 依题意得,||,|||FB a AB FA a c ====+, 因为||,||,||FB AB FA 成等差数列,所以||||2||FB FA AB +=,即a a c ++=即2a c +=两边平方并整理,得225440c ac a +-=, 两边同除以2a ,得25440e e +-=,解得e =故参考答案：C.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、等差数列的性质等,考查考生的运算求解能力,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中的基本量有如下关系：222a b c =+.很多考生在应用时常与双曲线中三者的关系混淆.6.若实数,x y 满足不等式组3230,360,220,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≤⎩则|3412|z x y =+-的最大值是( )A.15B.152C.332D.33【参考答案】D 【试题解析】作出不等式组表示的平面区域,可以去掉绝对值符号,令3412t x y =+-,先求t 的范围,再求z 的最大值,也可以将问题转化为求可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的最大值问题进行求解.解法一：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.令3412t x y =+-,作出直线340x y +=,并平移,数形结合可知,当平移后的直线经过点A 时,t 取得最大值,当平移后的直线经过点B 时,t 取得最小值.由3230,220,x y x y -+=⎧⎨++=⎩,得(1,0)A -,所以max 13401215t =-⨯+⨯-=-.由3230,360,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(3,3)B --,所以min 3(3)4(3)1233t =⨯-+⨯--=-.所以[]341215,33z x y =+-∈,故|3412|z x y =+-的最大值是33. 解法二：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示|3412|z x y =+-表示可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的5倍.作出直线34120x y +-=,结合图形可知,点B 到直线34120x y +-=的距离最大,由3230360x y x y -+=⎧⎨--=⎩,得(3,3)B --,故点B 到直线34120x y +-=的距离2233534d ==+,故|3412|z x y =+-的最大值是533d =. 故参考答案：D.本题主要考查简单的线性规划问题,考查作图能力及数形结合思想,体现对直观想象核心素养的考查.7.已知,x y 均为正数,离散型随机变量X 的分布列如下所示：则当()E X 取得最小值时,()P X y >=( )A.14B.12C.34D.1【参考答案】C 【试题解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质得到221x xy +=,由数学期望的计算公式得到()E X ,再利用基本不等式求()E X 的最小值及取得最小值时满足的条件,最后计算()P X y >即可. 解法一：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=. 由数学期望的计算公式得22117()64(2)24(24E X x xy x x y x x y x x x x x=-⋅+⋅+⋅=+=++=,当且仅当242,21,x x y x xy =+⎧⎨+=⎩即1,12x y ==时取等号,所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==.解法二：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=, 所以12y x x =-,故2211711()64244E X x xy x x y x x x x x x x =-⋅+⋅+⋅=+=+⋅=,当且仅当1,12x y ==时取等号, 所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==. 故参考答案：C.本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、概率的求解、基本不等式在最值问题中的应用,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,渗透对数学运算核心素养的考查.8.设数列{}n a 满足113a =,()1*1n a n a e n N -+=∈(其中e 为自然对数的底数),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A.2019201820192018,S S a a >>B.2019201820192018,S S a a <>C.2019201820192018,S S a a ><D.2019201820192018,S S a a <<【参考答案】A 【试题解析】先构造函数证明1x e x +成立,再利用此不等式对11n a n a e -+=进行放缩,得到10n n a a +>>,即可得到结果.设()1x f x e x =--,则()1xf x e =-',所以,当(,0)x ∈-∞时,()0,()f x f x '<单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增, 所以()()00f x f ≥=,所以1x e x +, 所以11n a n n a e a -+=,当且仅当1n a =时等号成立,而113a =,所以10n n a a +>>, 所以2019201820192018,S S a a >>. 故参考答案：A.本题主要考查数列不等式的证明、放缩法的应用,考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.9.如图,在四面体VABC 中,已知VA ⊥平面VBC ,VA 与平面ABC 所成的角为45︒,D 是BC 上一动点,设直线VD 与平面ABC 所成的角为θ,则( )A.60θ︒B.30θ︒C.45θ︒D.75θ︒≤【参考答案】C 【试题解析】先分析出线面角取得最大值时的条件,再求出线面角的最大值,即可求解.通解：过点V 作VG ⊥平面ABC 于点G ,连接DG , 则VDG ∠为直线VD 与平面ABC 所成的角,即VDG θ=∠, 故sin VGVDθ=,显然θ随VD 的增大而减小, 故当VD 最小,即VD BC ⊥时,θ最大.连接AD ,因为VA ⊥平面VBC ,所以BC VA ⊥.所以当VD BC ⊥时,BC ⊥平面VAD ,所以易知,,A G D 三点共线. 因为VA 与平面ABC 所成的角为45︒,所以45VAG ︒∠=.因为VA ⊥平面VBC ,所以VA VD ⊥,所以90AVD ︒∠=,故此时45VDG ︒∠=,故45θ︒. 故参考答案：C.本题主要考查空间中直线和平面所成的角、直线和平面的位置关系等,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.10.已知关于x 的方程20(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根,且322a b -≤+≤-,则2+a b 的最大值为( )A.1-B.0C.12D.1【参考答案】B 【试题解析】先将方程的根的问题转化为函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象的交点问题,再根据1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭将问题转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值问题,最后数形结合求解即可. 由题意,关于x 的方程20x ax b ++=(),a b ∈R 在[0,1]上有实数根,即函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象有交点,作出函数()f x ,()g x 的大致图象如图所示.因为322a b -≤+≤-,所以3(2)2g -≤≤-.又1122222a b a b g ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以求2+a b 的最大值可以转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值. 数形结合可知,当()y g x =的图象经过点(2,3)B -且和()y f x =的图象在[0,1]x ∈上相切时,12g ⎛⎫⎪⎝⎭大.易求得切点为(1,1)-,且()21g x x =-+,此时102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以2+a b 的最大值为0. 故参考答案：B.本题主要考查方程的根,函数的图象和性质,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,试题从方程的根入手设题,使考生将问题进行转化,创设问题的情境,然后利用数形结合思想解题,体现了直观想象、逻辑推理等核心素养.解决本题的关键有两个：(1)将方程的根的问题转化为两个函数图象的交点问题后,发现1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,从而将问题转化为求12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值问题；(2)画出函数图象,数形结合分析出12g ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值时的条件. 非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++⎪=⎨->⎪⎩则((1))=f f ______,()f x 的最大值是_____.【参考答案】 (1).12(2).1 【试题解析】根据分段函数的解析式即可求得((1))f f的值；分别求出0,0x x>时()f x的取值范围,即可得结论.由题意知,11((1))22f f f⎛⎫=-=⎪⎝⎭.当0x时,()1f x,当且仅当1x=-时取等号.当0x>时,()0f x<,故()f x的最大值是()11f-=.故答案为：12,1.本题主要考查分段函数的求值及分段函数的最大值,考查数学运算核心素养.12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______,表面积是_______.【参考答案】 (1).16 (2).3662+【试题解析】先根据三视图还原出空间几何体的直观图,再求出相关数据,最后根据锥体的体积公式和表面积公式求解即可.由三视图还原该几何体的直观图,可知该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD-, 其中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,4,3AP AD AB===,则易得42,5DP BP==.故该几何体的体积1344163V=⨯⨯⨯=,表面积11113434445434236622222S=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故答案为：16,36+.本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积和表面积的计算,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.13.在平面直角坐标系中,已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点,12,F F 分别为双曲线的左、右焦点,1260F PF ︒∠=,且213PF PF =,则双曲线的离心率为_________.【参考答案】2【试题解析】由213PF PF =及双曲线的定义,可得13PF a =,2PF a =,再在12PF F △中由余弦定理求得双曲线的离心率.由题意,设点P 是双曲线右支上的点,122PF PF a ∴-=,又12123,3,PF PF PF a PF a =∴==.在12PF F △中,1260F PF ︒∠=,由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅⋅, 即22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=, .2274c a ∴= ,即2e =.故答案为：2. 本题主要考查双曲线的几何性质,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.14.已知2012(1)(1)(1)nn n x a a x a x a x =+-+-++-(其中n 为正整数),若5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,则n 的值为_____,1n a -的值为_____.【参考答案】 (1).10 (2).10 【试题解析】根据题意,令1x t -=,对已知等式变形,再根据5(0,1,,)i a i n a =求得n 的值,最后求1n a -的值.由题意,2012[(1)1](1)(1)(1)nnn n x x a a x a x a x =-+=+-+-++-,令1x t -=,则20110012(1)nn n n n n n n n t a a t a t a t C t C t C t -+=++++=+++,因为5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,所以n 是偶数,所以52n=,解得10n =. 所以1191010n a a C -===. 故答案为：10,10.本题主要考查二项展开式中系数的最大值、指定项的系数,考查换元法的应用,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.()n a b +的展开式中二项式系数最大项的确定方法：(1)如果n 是偶数,则中间一项(第12n ⎛⎫+⎪⎝⎭项)的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数,则中间两项(第12n +项和第32n +项)的二项式系数相等并且最大.15.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若12tan ,5C a b ===BC 边上的中点为D ,则sin BAC ∠=______,AD =______.【参考答案】 (1).13 (2).2【试题解析】解法一根据三角形内角和定理及三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得sin BAC ∠,然后根据正弦定理求得c ,最后根据向量的线性运算及数量积即可求得AD 的长；解法二先根据同角三角函数的基本关系求得sin ,cos C C ,利用余弦定理求得c ,然后根据正弦定理求得sin BAC ∠,最后在ACD 中利用余弦定理即可求得AD 的长.解法一因为a b ==所以BAC B ∠=,又12tan 5C =, 所以12tan()tan 2tan()tan 5BAC B BAC C C π∠+=∠=-=-=-, 即22tan 12tan 21tan 5BAC BAC BAC ∠∠==--∠,即26tan 5tan 60BAC BAC ∠-∠-=, 解得3tan 2BAC ∠=或2tan 3BAC ∠=-(舍去),所以sin BAC BAC ∠=∠=易知12sin 13C =,又a =, 所以由sin sin a cBAC C=∠,得4c =.因为BC 边上的中点为D ,所以()12AD AC AB =+, 所以()22221145()2444AD AC AB AC AC AB AB =+=+⋅+=,所以AD =解法二因为12tan 5C =,所以125sin ,cos 1313C C ==,又a b ==所以22252cos 131321613c a b ab C =+-=+-=, 所以4c =.由sin sin a c BAC C =∠,41213=,得sin BAC ∠=.因为BC 边上的中点为D ,所以2a CD =, 所以在ACD ∆中,222452cos 224a a AD b b C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以2AD =.故答案为：13. 本题主要考查三角函数的诱导公式,同角三角函数的基本关系,正、余弦定理的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.16.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的四位数,则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个. 【参考答案】60 【试题解析】根据题意,将0,1,2,3,4,5,6,7这8个数字分为以下三类：被3整除的有0,3,6；被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,再利用排列组合即可. 由题意,四位数的个位数字一定是5,且4位数字之和能被3整除, 当四位数中有0时,满足题意的四位数有1112232224C C C A =(个)；当四位数中没有0时,满足题意的四位数有2132323333181836C C A C A +=+=(个), 所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个. 故答案为：60.本题主要考查排列组合的有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理.17.已知平面向量,m n 满足||2,||1m n m n +=-=,若平面向量a 满足||||a m n +=,则||a 最大值为_____. 【试题解析】先得到||||||a m n +,将||a 的最大值转化为||||m n +的最大值,再分别将||,||m n 用||,||m n m n +-表示,最后利用基本不等式求解即可.因为||||a m n +=, 所以||||||||a m a m n -+=,所以||||||a m n +.又||||m n +22|()()||()()|22222m n m n m n m n m n m n m n m n +-+-++-++--=++-=222||2||52m n m n ++-=,所以||a 的最大值为5. 故答案为：5.本题主要考查平面向量的模,基本不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.18.已知函数()sin (,0,0)4f x A x x R A πωω⎛⎫=+∈>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,其中点M 的坐标为(1,)A .(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若5cos 5PMQ ∠=-,求(2)f 的值. 【参考答案】(1)8(2)(2)2f =【试题解析】(1)先根据点()1,M A 在函数()f x 的图象上及()f x 的图象特征得到ω的值,即可求得函数()f x 的最小正周期；(2)可以根据5cos PMQ ∠=-,利用两角和的余弦公式进行求解,也可以在三角形中利用余弦定理进行求解,还可以借助向量进行求解.(1)因为点()1,M A 在函数()f x 的图象上,即sin 4A A πω⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以2()42k k Z ππωπ+=+∈,即2()4k k Z πωπ=+∈.由题意可知函数()f x 的最小正周期4T >, 所以24πω>,解得2πω<.又0>ω,所以4πω=,所以函数()f x 的最小正周期8T =. (2)解法一：如图,过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -, 所以22sin 44PMN PMN A A ∠=∠=++,sin QMN QMN ∠=∠=,所以cos cos()cos cos sin sin QMP PMN QMN PMN QMN PMN QMN∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠5=-=-, 所以42401440A A -+=,即()()224360A A--=,又0A >,所以2A =或6A =(舍去).所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法二：过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知,函数()f x 的最小正周期8T =,又(1,)M A , 所以13||8,||2,||644PQ PN T QN T =====,所以|||PM QM ==所以在PMQ 中,222||||||2||||cos PQ PM QM PM QM PMQ =+-⋅⋅∠,即22644365A A ⎛=+++-- ⎝⎭,化简得42401440A A -+=,即()()224360A A--=,所以2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法三：过点M 作MN x ⊥轴于N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -,又(1,)M A ,所以(2,),(6,)MP A MQ A =--=-, 所以2225cos 5436PMQ A A ∠==-+⋅+,解得2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,故3(2)2sin24f π==. 本题主要考查三角函数的图象和性质、两角和的余弦公式、余弦定理的应用,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.试题以考查三角函数的图象和性质、三角恒等变换等为目标,通过正弦型函数在一个周期上的图象的特征设题,考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)问大部分考生可以由点(1,)M A 在函数()f x 的图象上得到2()4k k Z πωπ=+∈,但不能从题中的图象获得4T >,从而无法准确求出ω的值.第(2)问有相当一部分考生在求得2A =或6A =后,不进行验证,从而丢分.19.如图,已知四边形ABCD 是正方形,AE ⊥平面ABCD ,PD ∥AE ,PD ＝AD ＝2EA ＝2,G ,F ,H 分别为BE ,BP ,PC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析(2)3434【试题解析】(1)通过证明BC⊥平面ABE,FH∥BC,证得FH⊥平面ABE,即可证得面面垂直；(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法求线面角的正弦值.(1)由题：,AE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以AE⊥BC,四边形ABCD是正方形,AB⊥BC,AE与AB是平面ABE内两条相交直线,所以BC⊥平面ABE,F,H分别为BP,PC的中点,所以FH∥BC,所以FH⊥平面ABE,HF⊂平面GHF,所以平面ABE⊥平面GHF ；(2)由题可得：DA,DC,DP两两互相垂直,所以以D为原点,DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,2,1,2B C P H G⎛⎫⎪⎝⎭,所以()()10,2,2,2,0,0,2,0,2CP CB HG⎛⎫=-==-⎪⎝⎭,设平面PBC的法向量(),,n x y z=,22020CP n y zCB n x⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取()1,0,1,1y n==为平面PBC的一个法向量,12sin cos,1424n HGn HGn HGθ⋅====⋅+⨯3434所以直线GH与平面PBC所成的角θ34此题考查面面垂直的证明,关键在于准确找出线面垂直,建立空间直角坐标系,利用向量方法解决直线与平面所成角的问题.20.已知数列{}n a 满足11a =,且()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的前n 项和为n S ,且13b =,()*2330n n S b n N -+=∈,数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求满足1992100n T <<的所有正整数n 的值. 【参考答案】(1)()*21,n a n n N =-∈(2)所有正整数n 的值为2,3,4,5【试题解析】(1)先根据题中的递推关系式求得2a 的值,得到121(2)21n n n a a n n ++=-,再利用1221213n na a a n n +===+-求解,也可利用累乘法进行求解； (2)先根据数列的通项与前n 项和之间的关系求得数列{}n b 的通项公式,即可得到nna b ,再利用错位相减法求n T ,最后根据{}n T 的增减性求解即可. (1)解法一由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得,12(2)21n n n a a a n n +=--,即121(2)21n n n a a n n ++=-. 所以12121213n n a aa n n +====+-, 所以21(2)n a n n =-.又11a =也符合上式,所以()*21n a n n N =-∈.解法二由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得12(2)21n n na a a n n +=--,即121(2)21n na n n a n +'+=-. 又213a a =也符合上式,所以()*12121n n a n n N a n ++=∈-,所以121(2)23n n a n n a n --=-, 所以()*1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n n N a a a n n -----=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-∈--, 故数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N =-∈.(2)由()*2330n n S b n N-+=∈③,得当2n 时,112330n n S b ---+=④,③-④得112233n n n n S S b b ---=-,所以13(2)n n b b n -=, 所以数列{}n b 是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以()*3nn b n N =∈,所以213n n n a n b -=, 所以122121321333n n nn a a a n T b b b -=+++=+++, 所以231113213333n n n T +-=+++, 两式相减得1211121121222112122293133333333313n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++-=+-=--,所以113n nn T +=-. 所以111121122111033333n n n n n n n n n n n n T T +++++++++⎛⎫-=---=-=> ⎪⎝⎭, 所以数列{}n T 递增. 又12111332T =-=<,23211932T =-=>,567999124381100T =-=<,67722991729729100T =-=>, 所以满足1992100n T <<的所有正整数n 的值为2,3,4,5. 本题主要考查数列的递推关系、数列的通项与前n 项和之间的关系、错位相减法求和、数列的增减性等,考查数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)间的关键是对121(2)21n n n a a n n ++=-的处理.第(2)问的关键有三点：①数列{}n b 的通项公式的求解；②n T 的求解；③数列{}n T 的增减性的证明.21.如图,,A B 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的两个不同的点,且线段AB 的中点M 在直线1x =上,当点M 的纵坐标为1时,点A 的横坐标为1-.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点,A B 在y 轴两侧,抛物线C 的准线与y 轴交于点N ,直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.【参考答案】(1)25x y =(2)411,102⎛⎤-∞--⎥⎝⎦【试题解析】(1)根据题意,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,再将其代入抛物线方程解得即可；(2)设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,设()()1122,,,A x y B x y ,由线段AB 的中点M 在直线1x =上,可得25k =,进而可得直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>,再表示出直线,NA NB 的斜率12,k k ,进而运算即可.(1)由题意知,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,因为,A B 为抛物线C 上的两个不同的点,所以12,92(2),pt p t =⎧⎨=-⎩解得5,21,5p t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以抛物线C 的标准方程为25x y =.(2)显然直线AB 的斜率存在且不为0,故可设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,联立方程,得25,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去y ,化简并整理得2550x kx m --=.则2(5)450k m ∆=-+⨯>,即2540k m +>.设()()1122,,,A x y B x y ,则121252,5x x k x x m +===-, 所以25k =, 故直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>. ()()221212121224,222555x x y y m y y x x m m ==+=++=+, 易知50,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1212125544,y y k k x x ++==,所以()21212121212125425525552141545164164455162m m y y y y y y k k m x x x x m m ⎛⎫+⨯+++++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅===-++ ⎪-⎝⎭.因为0m >,所以414121616mm m +⨯=当且仅当4m =时取等号,所以12151522k k ⎛⎫-⨯+=- ⎪⎝⎭.故12k k 的取值范围为1,102⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦. 本题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线的斜率、基本不等式的应用等,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.本题涉及的信息量较大,很容易让考生找不到解题方向,本题给出的解法体现了“主元思想”,如第(1)问根据点(1,1)M 设点,A B 的坐标时,将其设为(1,),(3,2)A t B t --；第(2)问在得到25k =后,得到12y y +以及12k k 的表达式都以m 为元. 22.已知函数()221()ln 2f x ax x x ax x =--+. (1)当0a =时,求证：2()2f x x x -+；(2)若不等式()0f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)证明见解析；(2)[0,2] 【试题解析】(1)构造新函数,利用导数研究新函数的单调性,根据新函数的最值即可证得结论； (2)对函数()f x 求导,分情况求a 的取值范围. (1)当0a =时,()ln f x x x x =-+.所以()22()2ln (ln 1)f x x x x x x x x x x --+=--=--. 设()ln 1g x x x =--,则1()1g x x'=-,所以()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)0g x g =, 所以2()2f x x x -+.(2)因为()221()ln 2f x ax x x ax x =--+, 所以()21()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x '=-+-⋅-+=-,在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上, ①当12ae ,210ax -≤,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若(1,)x e ∈,则()0f x '<, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在(1, )e 上单调递减,所以由题意得10,()0,f e f e ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,解得403e a ,所以102ae. ②当2ea时,210ax -,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若(1,)x e ∈,则()0f x '>, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在(1, )e 上单调递增, 所以()(1)f x f ,所以由题意得(1)0f ,解得2a ,所以22ea . ③当122e a e <<时, (i)当1122a e <<时,112e a <<,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若1,2x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以由题意得10102f e f a ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，所以324,31,2e a a e ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1122a e <<； (ii)当12a =时,在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0f x '恒成立,所以()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增, 所以21183(),04e f x f f e e e -⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12a =满足题意； (iii)当122e a <<时,1112e a <<,易得函数()f x 在11,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭,(1,)e 上单调递增,在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以由题意得10,(1)0,f e f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩所以4,32,e a a ⎧⎪⎨⎪⎩所以122e a <<.综上,实数a 的取值范围为[0,2].本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明及由不等式恒成立求参数的取值范围,考查分析问题、解决问题的能力,运算求解能力及分类讨论思想,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.求解本题第(2)问的关键是对参数a 的分类标准的确定,在确定分类时,头脑一定要清醒,厘清层次,做到不重不漏.。

2020届杭州市学军中学等五校2017级高三下学期联考数学试卷★祝考试顺利★选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ,集合{|1,},R A x x x ∈=„集合{|21,R}x B x x ∈=„.则集合A∩B 是 ( )A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[)1,-+∞2．已知双曲线221x y a b-=(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐近线方程为( ) A．y = B．y = C．y x = D．y x = 3某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是 ( )A．2 B．3 C．4 D ．134．已知x,y 满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,若2x y m +≥恒成立,则m 的取值范围是( )A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤ 5．在△ABC 中”sin cos A B >”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()|2|122x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象可能是( )7．新冠来袭,湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成,他们全部要分配到三家医院。

每家医院分到医生1名和护士1至3名,其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种A ．252B ．540C ．792D ．6848．如图,矩形ABCD 中,1,AB BC E ==是AD 的中点,将△ABE 沿BE 翻折,记为,AB E '∆在翻折过程中,①点A ’在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ’E 和A ’B 与平面BCDE 所成的角分别为α,β,则tan tan βα-的最大值为0;③设二面角'A BE C --的平面角为θ,则'A BA θπ+∠≥.其中正确命题的个数是( )。

浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三第二学期联考数学试卷选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合{|1,},R A x x x ∈=„集合{|21,R}x B x x ∈=„.则集合A∩B 是 ( )A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[)1,-+∞ 2．已知双曲线221x y a b-=(a>0，b>0)的离心率为2，则其渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x =±3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．134．已知x ，y 满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是( )A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤ 5．在△ABC 中”sin cos A B >”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()|2|122x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象可能是( )7．新冠来袭，湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院。

每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种A ．252B ．540C ．792D ．6848．如图，矩形ABCD中,1,AB BC E ==是AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折，记为,AB E '∆在翻折过程中，①点A ’在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ’E 和A ’B 与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则tan tan βα-的最大值为0;③设二面角'A BE C --的平面角为θ，则'A BA θπ+∠≥.其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的(0,),x ∈+∞都有()134f f x log x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()32|3|694f x x x x a -=--++在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是( ) A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 10．已知数列{}+1,(N ),0,n nn n a a n a a ∈+>则当2n ≥时，下列判断不一定．．．正确的是 ( ) A ．n a n ≥ 211..n n n n B a a a a +++-≥-c ．211n n n na a a a +++≤ D ．存在正整数k ，当n≥k 时，1n a n ≤+恒成立. 非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．二项式()*N n n ⎛∈ ⎝的展开式中，所有二项式系数之和为256，则n = ▲ ;且此展开式中含x 项的系数是 ▲12．已知复数,(,,R)z x yi x y =+∈若|2|1z i +=，则max ||z = ▲ ;2x y +的取值范围是 ▲。