数学-高一浙江省杭州学军中学2010至2011学年高一下学期期中考试(数学)

杭十四中二〇一〇学年第二学期阶段性测试高一年级数学试卷考试说明：1．考试时间：2011年04月26日8时至9时30分。

2．本卷不得使用计算器。

3．本卷分试题卷和答题卷，本卷满分100分，附加题满分20分。

共2页。

4．答题前，请在答题卡指定区域内填涂好相关信息。

所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

（1）设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（A ）030 （B ）060 （C ）075（D ）045（2）若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（A ）6π（B ）3π （C ）32π （D ）65π （3）已知下列命题中：A.若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =B.若0a b ⋅=，则0a =或0b =C.若不平行的两个非零向量,a b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-=D.若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅其中真命题的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（4）设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）a c b <<（5）若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=（A ）917 （B ） （C ） （D ）317（6）已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（A ）1925 （B ）1625 （C ）1425（D ）725（7）若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（A ）3,5a b ==-（B ）10a b -+=（C ）23a b -=（D ）20a b -=（8）在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是 （A ）直角三角形（B ）等腰或直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）不能确定（9）已知数列1（A ）第10项（B ）第11项（C ）第12项（D ）第21项（10）定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-， 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin（A ）00⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）11⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是（ ） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 2.已知等比数列{}n a 的各项均为正，35a ，2a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A.12B. 2C.13D. -2【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ()0q >，因为35a ，2a ，43a 成等差数列，则342253a a a =+，即31121253q a q a a q =+，可得23520q q +-=，解答13q =，故选C ． 3.函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（ ） A. π()sin 46g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. π()sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 2g x x =【答案】D【解析】∵函数()π3f x sin x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω＞0）的图象中，最小正周期为π，∴即周期T 2ππω==，则ω＝2，则f （x ）＝sin （2x π3+）， 将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位，得到函数g （x ）， 则g （x ）＝sin[2（x π6-）π3+]＝sin （2x ππ33-+）＝sin2x ，故选：D ．4.已知数列{}n a 满足11a =，()*12n n a a n +-≥∈N ，则（ ） A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥ D. 2n S n ≥【答案】D【解析】∵()12*n n a a n +-≥∈N ， ∴()122n n a a n --≥≥，∴122n n a a ---≥，232n n a a ---≥，……，322a a -≥，212a a -≥， 将以上1n -个式子两边分别相加可得12(1)n a a n -≥-，∴()212n a n n ≥-≥．又11a =满足上式，∴21(*)n a n n ≥-∈N ． 故选项A ，B 不正确． 又212135(21)n n S a a a n n =+++≥++++-=，故选项C 不正确，选项D 正确． 故选D ．5.已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=（ ） A. 5972-B. 5972C. 1336D. 1336-【答案】A【解析】2221(cos cos )cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=, 2221(sin sin )sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=, 两式相加得：1322cos()36αβ+-=，则59cos()72αβ-=- ，选A. 6.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若满足2b =，60B =的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A. 2a <<B. 2a <<C.2a << D.122a << 【答案】B【解析】由题意得，当ABC ∆有两解时，则满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得2a <<B ． 7.已知π1sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B.79C. 79±D. 29-【答案】A【解析】由题意可得ππππ1cos()cos(())cos()32663ααα-=-+=+=， ππππsin(2)sin[(2)]cos(2)6233ααα-=-+=+2ππ7cos 2()2cos ()1669αα=+=+-=-，选A.8.已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1(,1)2D. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意，对于任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列， 由8n ≤时，()7n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013a a <<≠且， ①当113a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减， 所以871()923a a --⨯+≤，解得12a ≥，所以112a <<；②当103a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递增，不符合题意（舍去）．综上可知，实数a 的取值范围是112a <<，故选C ． 9.在ABC △内有任意三点不共线的2016个点，加上,,A B C 三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） A. 4033 B. 4031 C. 4029 D. 4027【答案】A【解析】由题意，三角形的内角和为180， 又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360，则2016个点的角的总和2016360S =⨯，加上三角形原来的内角和180， 所以所有三角形的内角和1802016360180(120162)S '=+⨯=+⨯， 所以三角形的个数为1201624033+⨯=， 故选A ．10.已知O 为锐角ABC △的外接圆的圆心，tan 2A =，若c o s c o s2s i n s i n B CAB AC mAO C B+=，则m 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，取AB中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，则,OD AB OE AC ⊥⊥；所以22cos ,22ABAC AB AO AB AO BAO AC AO ⋅=∠=⋅=，所以由cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则AO R =，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入可得2222cos sin 2cos sin 2B C R C B R mR ⋅+⋅=，的所以sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，又因为tan 2A =，可得sin 5A =，即5m =，故选B ．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =，则b =___，C =_____．【答案】 (1). (2). 30【解析】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b = 又由正弦定理可得sin sin b cB C =，即sin 1sin 2c B C b ===， 又由c b <，所以C B <，所以30C =．12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，若4524a a +=，648S =.则d =____，n S =_____．【答案】 (1). 4 (2). ()22n n -【解析】由题意，因为4524a a +=，所以12724a d +=， 又由648S =，所以1656482a d ⨯+=，即12516a d +=， 联立方程组，解得12,4a d =-=， 所以1(1)(1)(2)42(2)22n n n n n na d n n S n --=+=⨯-+⨯=-．13.已知π0π2αβ<<<<，4tan 3α=，cos()10βα-=，则sin α=_____，cos β=________． 【答案】 (1).45(2). - 【解析】因为π02α<<，且4tan 3α=，所以43sin ,cos 55αα==， 由π0π2αβ<<<<，则0πβα<-<，又因为cos()10βα-=，则sin()10βα-=， 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---341051052=-⨯=-． 14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则5a =___，10b =____． 【答案】 (1). 4 (2). 64【解析】由题意可知n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则12n n n a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除可得22n na a +=， 所以135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，又由11a =，则22a =，所以2251124a a q ==⨯=，441022232a a q ==⨯=，551111232a a q ==⨯=，所以101011323264b a a =+=+=．15.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若()223578log 5a a a a a =，则19a a =_____． 【答案】4【解析】根据等比数列的性质得()()52235782525log log 5log5a a a a a a a ===，52a =，故2219524a a a ===.16.若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．【解析】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3π,2ααα-，由正弦定理可得111sin sin 22sin cos n n n αααα-++==，所以1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理可得222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n α+-=++-+=++-+⋅⋅-，化简可得250n n -=，解得5n =或0n =（舍去）， 所以5n =，故三角形的三边边长分别为4,5,6，又由余弦定理可得的2225643cos 2564α+-==⨯⨯，所以sin α=，所以三角形的面积为1156sin 5622S α=⨯⨯=⨯⨯=． 17.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为_____．【答案】24【解析】由题得2222222222333223()6cos a b b c cb c b c a bc A =-+-∴+=+-=221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ∴==+由题得2222222222222223,cos 322663b c b c b c b c a b c a A bc bc bc bc ++-++-+=∴===≥=所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号. 所以222S b c +的最大值为24,故填24三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数π()22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间.解：（1）由题意，函数3()cos 2sin 2sin 222f x x x x =+-=1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． （2）令222πππππ232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得512πππ21πk x k -≤≤+，k ∈Z ， 由[0,π]x ∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知a =223b c bc +=+.（1）求角A 的大小； （2）求sin b C ⋅的最大值.解：(1)由已知223a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.即1πcos 23A A =⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin ab B B A==， πsin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.1sin 2sin sin 2b C C C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭211π1sin cos cos2sin 222262C C C C C C ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当π3C =时，sin b C 取得最大值32. 20.已知n S 为等差数列{}n a 前n 项和，42a =，21252S =-.（1）求n a ；（2）设12n n T a a a =+++，求n T .解：（1）由4132a a d =+=，及21121210252S a d =+=-， 联立解得18a =，2d =-，所以1(1)102n a n d a n ==--+．（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <， 所以当15n ≤≤时，1229n n n a a a T S n n =++=+=-，当6n ≥时，12567252940()()n n n a a a a S a n a T S n =+++-++=-+=-++，所以229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．21.如图，在ABC △中，π3B =，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足.（1）若BCD CD 的长；（2）若DE =，求角A 的大小.解：(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B BC ＝2，sin B BD ＝23，cos B ＝12．在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289． ∴CD ．(2)∵CD ＝AD＝sin DE A =，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CDBDC B =∠，又∠BDC ＝2A，得2sin2A =cos A，所以A ＝4π．22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =且4n n a S λ=+.其中λ为常数. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式； （2）记22111log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立 ，求实数k 的取值范围.解：（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=， 即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++-=，整理得12n na a +=， 数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，所以()1*2n n a n +=∈N ． （2）由（1）可得12211111log log (1)(2)12nn n a a b n n n n +=⋅==-++++， 所以111111233412n T n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++， 由112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意n ∈*N 恒成立，得1(1)(25)2n nn k ---≥对任意n ∈*N 恒成立， 记1(1)(25)()2n nn f n ---=，n ∈*N ， （1）当n 为偶数时，52()2nnf n -=，高一下学期期中考试数学试题11 若4n ≥，则()0f n <，又1(2)4f =，所以max 1()(2)4f n f ==. （2）当n 为奇数时，25()2n n f n -=，则2196(2)()2n n f n f n +-+-=， 若5n ≥，n 为奇数，则(2)()f n f n +≤，即(5)(7)(9)f f f ≥≥≥，若3n ≤，n 为奇数，则(2)()f n f n +≥，即(5)(3)(1)f f f ≥≥，所以max 5()(5)32f n f ==， 综合（1）（2）知max 1()(2)4f n f ==， 所以实数k 的取值范围是14k ≥.。

浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.已知集合 M 士I 血U ，N 二{Qd .2^ 则 MUN^J ()A. { I.O.HB. !. W ；C.D.【答案】B 【解析】试题分析:由题意知I-1 11 K ；■［小匸；，故选B 。

【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2。

函数f(x )=、：.储In (1-x 2)的定义域为( )A 。

怜 ”.：|B 。

C 。

心！］ D.丨・、1］【答案】B 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于 0联立不等式组求解.【详解】由h ,：仆，得0W x v 1. •••函数 f (x ) (1 - x 2)的定义域为［0 , 1).故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.I 产用I3。

已知函数f ( x )寸隅心心，则f ［f (匸)等于()A o 匸B.C.D 。

11【答案】D【解析】【分析】I1 1L |1f(；J _ /,从而 f [ f (-门=f5 ：i 哩屮推导出 ，由此能求出结果.【详解】•••函数f (x)故选：D.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.使函数f (x) =x a的定义域为R且为奇函数的a的值可以是( )A。

B. C. 3 D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合幕函数的性质依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A a = - 1时，f (x )= x「1,其定义域不是R不符合题意；对于B,a 时,f(x )2厂，其定义域不是R不符合题意；2 - x-对于C a = 3时，f ( x)= x3,其定义域为R且为奇函数，符合题意;对于D,错误，故选：C.【点睛】本题考查幕函数的性质，关键是掌握幕函数的性质，属于基础题.5。

杭州学军中学2010学年上学期期中考试高一年级数学试卷一．（每小题3分，共30分）1．若集合{}||1A x x =≤，{}0B x x =≥，则AB = （ ） A ．{}11x x -≤≤ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．∅2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是 （ ） A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ 3．函数32)(-=xx f 零点所在的一个区间是 （ ）A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2(4.与函数)2(log 22-=x y 表示同一个函数的是 （ ）A ．2-=x y B.242+-=x x y C.|2|-=x y D ．2)22(--=x x y5.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A.4B. 14C.-4D-146.已知定义在实数集R 上的函数)(x f y =满足：)()()(y f x f y x f +=+, 且)(x f 不恒等于零，则)(x f y =是 （ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定7．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．510[,]23 B ．10[3,]3 C ．]25,2[ D ． 10[2,]38．已知0lg lg =+b a ，则函数xa x f =)(与函数x x gb log )(-=的图象可能是 （ ）9．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ．(0,2) C ．(2,8) D ． (,0)-∞ 10．函数)1,0()(||≠>=-a a ax f b x 的图象关于直线b x =对称据此可推测，对任意的非零实数p n m b a ,,,,，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ ） A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64二．填空题（每小题4分，共28分）。

2011学年第二学期期中联考试题卷学科：高一数学满分：100分 考试时间：90分钟考生须知：1、本卷共 4 页；2、本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效；3、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。

一．选择题（每题4分，总计40分）1．半径为1cm ，圆心角为150o 的弧长为 （ ）A ．53cmB ．53cmπC ．cm 65D ．cm65π2．函数y=3cos2x 的最小正周期是 （ ） A ．πB ．2πC ．4πD. 23．sin 71cos 26cos71sin 26︒︒︒︒-的值为 （ ）A ．12B ．1C．－2 D．24．四边形ABCD 中，如果→→=DC AB ，且,AC BD =则四边形ABCD 为 （ ）A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形5．若将某正弦函数的图象向右平移2π以后，所得到的图象的函数式是)4sin(π+=x y ，则原来的函数表达式为 （ ）A.3y sin(x )4π=+[来 B. y sin(x )2π=+C.y sin(x )4π=-D.y sin(x )44ππ=+-6. 若平面向量→b 与向量)2,1(-=→a 的夹角为180︒，且53=→b ，则→b = （ ） A.（-3，6） B.（3，-6） C.（6，-3） D.（-6，3）7．三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ） A.sinA>cosB B. sinA<cosB C. sinA=cosB D. sinA 与cosB 大小不确定 8. 函数y =sin sin x x-的值域是 ( )A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]9．化简：)3cos()3sin(21--+ππ得 （ ）A.sin3cos3+B.cos3sin3-C.sin3cos3-D.(cos3sin3)±- 10．如图，,,O A B 是平面上的三点，向量→→=a OA ，→→=b OB ,设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量→→=p OP ．若|→a |=4，|→b |=2，则)(→→→-⋅b a p 等于 （ ）A 、1B 、3C 、5D 、6二．填空题（每题5分，总计20分）11．与2012︒-终边相同的最小正角是___ ___ _______。

2010学年第二学期期中检测高一数学试题卷一、选择题：（每题3分，共10小题） 1、已知角α的终边经过点P （4-，3），则α+αcos sin 2的值是（ ） A ．1- B ．52或52- C ．1或52- D ．52 2、若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC = （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3、 函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是 （ ） A52π B 25πC π2D π5 4、向量(1,2)a =- ，(6,3)b =.则a 与b 的夹角是 ( )A. 60oB. 90oC. 120oD. 150o5、已知34tan =x ,且x 在第三象限，则=x cos ( ) A. 54B. 54-C. 53D.53-6、 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y7、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， 若,==, ,则 = （ ）A ．1142a b + B.4341+ C. 1124a b + D. 1233a b +8、 已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 （ ） A ．－2B ．2C ．1623 D ．－1623 9、已知α是三角形的一个内角且32cos sin =α+α，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 10、在三角形ABC 中，AB=3， BC= 2，2π=∠A ，如果不等式||||t ≥-恒成立，则实数t 取值范围是 （ ）A.),1[+∞B.]1,21[ C.),1[]21,(+∞⋃-∞ D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 二、填空题：（每题4分，共7小题） 11、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx y 的单调递增区间为____________。

浙江省杭州学军中学2010届高三上学期期中考试(第3次月考)（数学理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知复数z ·（1+i ）=（1-i ）2，则z= （ ） A ．1-i B ．-1+i C ．-1-i D ．1+i2．已知集合M={x|x<1}，N={x|2x >1}，则M ∩N= （ ） A ．∅ B ．{x|x<0} C ．{x|x<1} D ．{x|0<x<1} 3．将函数y=sin(2x+3π)的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（12π-，0）中心对称（ ）A ．向右平移12πB ．向右平移6πC ．向左平移12πD ．向左平移6π4．已知函数f(x)=ax 2+bx -1（a,b ∈R 且a>0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a -b 的取值范围是 （ ）A ．（1,1-）B ．（1,-+∞）C ．（2,1-）D ．（2,-+∞）5．等差数列{a n }中，a 4+a 10+a 16=30，则a 18-2a 14的值为 （ ） A ．-10 B ．-20 C ．10 D ．206．已知p 、q 是简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 （ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要7．与向量a r =，1），b r=（1，的向量为 （ ）A． B． C．- D．- 8．若函数f(x),g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数且满足f(x)+g(x)=e x ，则有 （ ）A ．f(2)<f(3)<g(-3)B ．g(-3)<f(3)<f(2)C ．f(3)<f(2)<g(-3)D ．g(-3)<f(2)<f(3)9．平面上三个力F 1，F 2，F 3作用于一点且处于平衡状态，12||1,||F N F ==u r u u r ，1F u r ，2F u u r 的夹角为45°，则3F u u v 与1F u v的夹角为 （ ）A ．30°B ．150°C ．15°D ．135°10．已知M （a,b ）由004x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，N （a+b,a -b ）所在平面区域的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32二、填空题（每小题4分，共28分）11．292925sincos()tan()634πππ+-+-= 12．设f(x)=(0)(0)ln x x e x x ≤⎧⎨>⎩，则1[()]2f f =13．要建造一个面积为432m 2的矩形花坛，在花坛左右两侧各留2m 的人行道，前后各留1.5m 的人行道，则总面积最小为14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若（2b -c ）cosA=acosC ，则角A= 15．已知实数a 、b 满足等式67log log ab=，给出下列5个关系式：①a>b>1②b>a>1③0<a<b<1④0<b<a<1⑤a=b ，其中可能正确的有 （只要写上序号）16．设P 为△ABC 内一点，若2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△BCP 的面积之比为17．定义一种运算“*”，对正整数满足下列性质：①2*2009=1 ②(2n+2)*2009=3[(2n)*2009]则2008*2009=三、计算题（共5大题，共72分） 18．（14分）已知函数f(x)=2sincos444x x xπππg （1）求f(x)的最大值及此时x 的值（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值19．（14分）在△ABC 中，满足AB AC ⊥u u u r u u u r，||3,||4AB AC ==u u u r u u u r ，点M 在线段BC 上（1）M 为BC 中点，求AM BC u u u r u u u rg 的值（2）若||AM =u u u r ，求BM ：BC 的值20．（14分）解关于x 的不等式ax 2+2x+2-a>0 21．（14分）等差数列{a n }的各项均为正整数，a 1=3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1=1,且b 2·S 2=16，{n a b }是公比为4的等比数列（1）求a n 与b n （2）设1221111n n C S S S S =++++L ，若对任意正整数n ，当m ∈[-1,1]时，不等式t 2-2mt+34>C n 恒成立，求实数t 的取值范围22．（16分）设f(x)=2103x mx x ++-，已知x=1是f(x)的一个极值点（1）求m 值及f(x)的单调区间（2）g(x)=x 3-2a 2x+a 3-4，若存在实数a ，使得∀x 1∈[0,t],∃x 2∈[0,2],有g(x 1)=f(x 2),求最大正实数t 的值参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）12345678910CDABABCABC二、填空题（每小题4分，共28分）11． 0 12．12 13． 588m 2 14． 3π15． ②④⑤ 16． 1：2 17． 31003 三、计算题（共5大题，共72分）18．解：（1）111()cos sin(2222226f x x x x ππππ=-=-+ 4分∴44()3x k k z =-∈时，max 3()2f x = 8分（2）原式分 19．解：（1）72AM BC =u u u r u u u r g （2）设BM ：BC=λ则(1)AM AB ACλλ=-+u u u r u u u r u u u r∴2236||[(1)]5AM AB AC λλ=-+=u u u r u u u r u u u r ∴35λ=或325 ∴BM ：BC=35或32520．解：①a=0,x>-1 ②a<0，222(1)0x x a a ++-< ∴211x a-<<-③0<a<1,222(1)0x a a ++->，21x a<-或1x >-④a=1，x ≠1-且x ∈R ⑤a>1，x<1-或21x a>-21．解：（1）a n =2n+1,b n =2n-1（2）S n =n(n+2)∵11111113[11324(2)22124n C n n n n =+++=+--<⨯⨯+++L∴222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩∴t ≤2-或t ≥2或t=022．解：（1）2/26310()(3)x x m f x x ---=- ∵/(1)0f = ∴5m =-增区间：(,1)-∞和(5,)+∞减区间：（1，3）和（3，5）（2）∵/22()323()()g x x a x x =-=+当x ∈[0，2]时，4()3f x -≤≤- 要满足x ∈[0，t]时，g(x)的值域为[4,3--]的子集 而3(0)4[4,3]g a =-∈-- ∴01a ≤≤ ∴当a=0时，t 的最大值为1 当0<a<1时，t ≤1又3)(144g a =--<- ∴只要()4g t ≥-∴0t <≤故a=0时，t max =1 0<a<1时，t max。

杭州学军中学2009学年下学期期中考试高一数学试 题一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．42.函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移56π个单位后，得到的图像是 （ ） A. cos 2y x =- B. cos 2y x = C. sin 2y x =- D. x y 2sin =3．对于向量,,a b c ，下列命题正确的个数是 ( ) ①若0a b ⋅=,则0,0a b ==; ②222()a b a b ⋅=⋅; ③若//,//a b b c ，则//a c ; ④若,a b 是非零向量，且a b ⊥，则a b a b +=-; ⑤0AB CB AC --=. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ） A.3365 B.1665 C.5665 D.63655.函数()cos (cos sin ),0,4f x x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是 （ ）A.11,22⎡+⎢⎣⎦B.10,22⎡+⎢⎣⎦C.122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6.函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是 （ ）A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数 7．已知函数()2sin [,]34f x x ππω=-在区间上的最小值为2-，则ω的取值范围是 （ ）A ．[)9,6,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B ．93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(][),26,-∞-+∞8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）AB ．2C ．D．49.已知非零向量AB与AC 满足0=⋅⎪⎫⎛+21=, 则ABC ∆为 ( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 10.已知O 是坐标原点,2009002009A B (,),(,),若点C 满足A C t A B =, t R ∈,令(,)OD x y =，且OD 与OC 的夹角为θ,则对任意t R ∈，满足00[0,90)θ∈的一个),(y x是 ( )A. (-1,-1)B. (1,1)C. (1,2)D. (-1,1) 二、填空题：（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11．若3sin cos 0αα+=,则21cos sin 2αα+的值为______；12. 在△ABC 中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________； 13. 若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为_________； 14.已知θ是第三象限角，且445sin cos 9θθ+=，那么=θ2sin ; 15．求值：002012sin 1212cos 4)312(tan ⋅--= ;16．下面五个命题中，正确命题的序号是 . ①x x y 44cos sin -=的最小正周期是π; ②终边在y 轴上的角的集合是{α|=αZ k k ∈π,2};③ 在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有三个公共点; ④ 把函数.2sin 33)32sin(3的图像个长度单位得到的图像向右平移x y x y =+=ππ; ⑤ 函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数．三、解答题：（本大题共5题，共46分） 17．(本小题8分)已知.21)4tan(=+απ（Ⅰ）求αtan 的值;（Ⅱ）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值.18. (本小题8分)612()32(,34=+∙-==b（Ⅰ）求与的夹角;+.19．(本小题10分)设)sin cos 3(cos 32)(x x x x f -=． （Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．20. (本小题10分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A ()0,t ，()4,0B ，C （ααsin ,cos ），其中t R ∈,4[,].33ππα∈（Ⅰ）若4=t ，22sin sin 22,1tan AC BC ααα+⋅=-+求的值;（Ⅱ）记()f AC α=，若()f α的最大值为3，求实数t 的值.21. (本小题10分)已知向量(1,1)m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且1-=⋅n m ． （Ⅰ）求向量n ；（Ⅱ）若向量n 与向量(1,0)q =的夹角为2π,向量2(cos ,2cos )2C p A =，其中A 、B 、C为ABC ∆的内角，且A B B C ∠-∠=∠-∠，求||n p +的取值范围．杭州学军中学2009学年下学期期中考试高一数学答卷一、选择题：答案涂在答题卡上二、填空题：11. ; 12. ; 13. ;14. ; 15. ; 16. .三、解答题：17.18.19.20.21.杭州学军中学2009学年下学期期中考试高一数学答 案一、选择题：CBBCA CCBDB 二、填空题： 11.;31012.;7 13.;21 14. ;322 15.;4- 16.①,⑤. 三、解答题：17. （Ⅰ）αtan ;31-=;（Ⅱ）ααα2cos 1cos 2sin 2+-65-=.18. （Ⅰ）32π;（Ⅱ）.13 19. （Ⅰ）;;323π+（Ⅱ）.320. （Ⅰ）;167-（Ⅱ）.23312-或 21. 设(),n x y =，由1m n =-，有1x y +=-。

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}5A x x =<， {}31B x x =-<则A B =I （ ） A ．()2,5- B ．()4,5C ．()2,5D ．(),2-∞2．若复数i(,)12ia b a b +∈+R 为纯虚数，则a b =（ ）A ．52-B ．－2C ．25D ．123．一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为91003m ，若它的两底面边长分别为60m 和50m ，则此时鱼塘的水深（ ） A ．2mB ．3mC ．3.5mD ．4m4．如图，A B C '''V 为水平放置的ABC V 的直观图，其中2A B ''=，A C B C ''''=，则在原平面图形ABC V 中有（ ）A ．AC BC =B ．2AB =C ．BC =D ．ABC S =V 5．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（ ）A ．15B ．13 C ．35D ．456．函数())lncos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．正方形ABCD 的边长为6点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE EA =，2=CF FB .如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立，那么λ的取值范围为（ ）A ．13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．()3,12D ．1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭8．在ABC V 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC V 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（ ） A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数10．已知O 为坐标原点，点()()()()()()123cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,1,0P P P A ααββαβαβ-++，则（ ）A ．12OP OP =u u u r u u u rB ．12AP AP =u u u r u u u rC ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u rD ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r11．已知函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（ ）A ．ω的值可能是3B ．()f x 的最小正周期可能是2π3C ．()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 图象的对称轴可能是3π8x =三、填空题12．在△ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，则BC = ；若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC ABλ=-u u u r u u u r u u u r （R λ∈），且4⋅=-u u u r u u u rAD AE ，则λ的值为 . 13．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，则它的外接球的表面积为 ；若E 为11B C 的中点，则过B 、D 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为 .14．函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程120f x t x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭恰好有4个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 .四、解答题 15．求值：(1)2log 30.255218log 102log 5--； (2)已知0a >，0b >，1a b +=，求11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.16．在①π2sin 6a c A b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，②()()3a c b a c b ac +-++=，③sin sin sin A B C a c a b -=-+这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且______． (1)求B ；(2)若3BC AB =，求sin A ．17．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y （单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：(1)给出下列三种函数模型：①(0)y at b a =+<，②(0,01)t y a b c a b =⋅+><<，③log ()(0,1)a y t b c b a =++>>，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型，（i ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：lg30.477,lg50.699≈≈）18．如图所示，ABC V 为等边三角形，AB =I 为ABC V 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.(1)求出()()()222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的值.(2)求PA PB ⋅u u u r u u u r的范围.(3)若()0,,xPA yPB zPC x y z ++=∈R u u u r u u u r u u u r r ，当x y最大时，求z x y +的值.19．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，2n x D ∈，使得()()0i g x f x =（其中1i =，2，…，n ，*n ∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断()221g x x x =-+（[]0,4x ∈）是否为()4f x x =+（[]0,5x ∈）的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；(2)若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；(3)函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-，若()[]h x a x ax =-，[)0,2x ∈为()21xf x x =+，[)0,x ∈+∞的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.。

三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本题8分）己知集合{}31<<-=x x A , 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)1,0()0,3(,1x x y y B , 集合{}0822<-+=mx x x C ． （1）求)(B C A B A R 、；（2）若C B A ⊆)( ，求m 的取值范围．17．（本题10分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点．已知2=AB 米，1=AD 米．（1）设x BM =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于9平方米，求x 的取值范围； （2）若]3,1[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．18．（本题8分）已知函数ba x f x x+⋅+=221)(是奇函数，并且函数)(x f 的图像经过点)3,1(，（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)(x f 在0<x 时的值域．19．（本题12分）已知函数)21(log )(2+-=x ax x f a ． （1）当83=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间； （2）当10<<a 时，)(x f 在]2,1[∈x 上恒大于0，求实数a 的取值范围．20．（本题12分）已知函数kx x x x f ++-=221)(． （1）若2=k ，求函数)(x f 的零点；（2）若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(上有2个不同的解21,x x ，求k 的取值范围，并证明2010学年第一学期期中杭州地区七校联考参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）DDCAD CDCBB二、填空题（每小题4分，共20分）11.1 12.)2,1(或)1,2( 13. ]1,32( 14. 3 15. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,32,31 三、解答题16.（本题8分）解：（1）),1()31,(+∞--∞= B)3,1()31,1( --=B A)3,1()(-=A B C R ……………………………………………………4分（2）令82)(2-+=mx x x f ，由题意可得 ⎩⎨⎧≤≤-0)3(0)1(f f ，解得3106-≤≤-m …………………………………………4分18.（本题8分）解：（1）)(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-∴，即0221221=+⋅+++⋅+--b a b a x xxx ，得012)(22)1(2=+++++ab b a ab x x ， 所以⎩⎨⎧=+=+001b a ab ，得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1111b a b a 或， ………………………………2分 又3)1(=f ，所以3221=++ba，即532=-b a 所以1,1-==b a . …………………………………………………………2分（2）1221)(-+=x x x f =1221-+x ，0<x ，120<<∴x…………………2分可得)(xf的值域为)1,(--∞. ……………………………………………2分19.（本题12分）解：(1))2183(log)(283+-=xxxf，021832>+-∴xx，得232><xx或，法二：)10(],2,1[21)(2<<∈+-=axxaxxg，设aaxaxg4121)21()(2-+-=………………………………………………1分121.1<a当，即121<<a时，⎩⎨⎧<>1)2()1(gg，解得8521<<a.23211.2<≤a当，即2131≤<a时，⎪⎩⎪⎨⎧<>1)2()21(gag，无解.22123.3≤≤a当，即3141≤≤a时，⎪⎩⎪⎨⎧<>1)1()21(gag，无解.221.4>a当，即410<<a时，⎩⎨⎧<>1)1()2(gg，无解. ……………………6分综上：8521<<a. …………………………………………………………1分法三：由题意得，12102<+-<xax对任意的]2,1[∈x恒成立……………1分)10(],2,1[21)(2<<∈+-=axxaxxg，设，则⎩⎨⎧<<<<.1)2(0,1)1(0g g ，解得8521<<a . ………………………………………3分再验证：当8521<<a 时，12154<<a，所以，124)2()(max <3-==a g x g ，021)1()(min >-==a g x g ，故a 的取值范围为8521<<a . …………………………………………………4分（2）⎩⎨⎧≤<+<<-+=10,121,12)(2x kx x kx x x f ， ……………………………………1分因为方程0122=-+kx x 在)2,1(上至多有1个实根，方程01=+kx ，在]1,0(上至多有一个实根，结合已知，可得方程0)(=x f 在)2,0(上的两个解21,x x 中的1个在]1,0(，1个在)2,1(不妨设]1,0(1∈x ，)2,0(2∈x ， 法一：设12)(2-+=kx x x g数形结合可分析出⎪⎩⎪⎨⎧><<0)2(0)1(0g g k ，解得127-<<-k ， ……………………3分48,1221++-=-=k k x k x ，4811221kk x x -+=+，127-<<-k ， 令)27,1(,∈-=t k t ，4811221t t x x ++=+在)27,1(∈t 上递增，当27=t 时，41121=+x x 因为)27,1(∈t ，所以41121<+x x …………4分。

杭州学军中学2010—2011学年高三年级第二次月考数 学 试 题（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的, 请将答案填入答题卡中） 1．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是 （ ） A ．若a =0或b =0,则ab =0 B ．若0≠ab ，则0≠a 或0≠b C ．若0≠a 且0≠b ,则0≠ab D ．若0≠a 或0≠b 则0≠ab 2．设集合{sin,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}22P M -=U 的集合P 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．83．下列命题中的真命题是 （ ）A ．x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B ．(0,),1xx e x ∀∈+∞>+C ．(,0),23x xx ∃∈-∞<D ．(0,),sin cos x x x π∀∈>4．设M 为实数区间，若且.10≠>a a “M a ∈”是“函数|1|log )(-=x x f a 在（0，1）上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M 可以是（ ）A ．),1(+∞B ．（1，2）C ．（0，1）D ．)21,0(5．已知,,a b c 为正数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根．则方程2(1)(2)10a x b x c +++++=的实数根的个数是（ ）A ．1B ． 1或2C ． 0或2D ．不确定6．已知函数)6(sin 22cos 1)(2π--+=x x x f ，其中R x ∈，则下列结论中正确的是 （ ）A ．)(x f 是最小正周期为π的偶函数B ．)(x f 的一条对称轴是3π=xC ．)(x f 的最大值为2D ．将函数x y 2sin 3=的图象左移6π得到函数)(x f 的图象 7．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有)()1(x f x f -=+，且当时，2()log (1f x x =+），则(2010)(2011)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．如图，函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知映射()/:(,)(,)0,0f P m n P m n m n →≥≥．设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，/:f M M →．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点/M 所经过的路线长度为 （ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π10．已知函数.)22)(1(sin )(22+-+=x x x xx f π关于下列命题正确的个数是 （ ）①函数)(x f 是周期函数；②函数)(x f 既有最大值又有最小值；③函数)(x f 的定义域是R ，且其图象有对称轴；④对于任意(1,0),()0x f x '∈-<（()f x '是函数()f x 的导函数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）x y O 22-1-1211-2-x yO 22-1-22-1)(x f y =)(x g y =11．函数)62tan(π-=x y 的图象的对称中心的是 ．12．函数2()2ln f x x x =-的单调增区间是 13．已知2()sin 2cos ()4f x x xf π'=+，则)4('πf =＿＿＿＿14．函数()()()sin 3cos 3f x x x =+-的值域为 ． 15．已知函数2()1f x x =-，集合M ＝{(,)|()()0}x y f x f y +≤，N ＝{(,)|()()0}x y f x f y -≥，则集合M N I 所表示的平面区域的面积是 ．16．使得关于x 的不等式a x ≥x ≥log a x （0<a≠1）在区间),0(+∞上恒成立的正实数a 的取值范围是_____________．17．已知函数()()[2,2]y f x y g x ==-和在的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程[()]0f g x =有且仅有6个根（2）方程[()]0g f x =有且仅有3个根（3）方程[()]0f f x =有且仅有5个根 （4）方程[()]0g g x =有且仅有4个根其中正确命题是 ．三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f（1）当)2,0(π∈x 时，求函数)(x f 的值域；（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求122cos(π-x ）的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （1）求cos B 的值；（2）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值．20．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y ＝2150x+；（2）y ＝4lg x －3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？21．（本题满分13分）对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ，使得对任意1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2[,]x a b ∉时，2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数．（1）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式||||||()t k t k k f x -++≥⋅ 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，求m 和n的值．22．已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)('[)(23mx f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；（3）求证：ln 2ln 3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈L ．参考答案一、CCBDC DCCCB 二、11．Z k k ∈+),0,412(ππ12．}21(∞+ 13．12- 14．191932,3222⎡⎤---⎢⎥⎣⎦15．π 16．a ≥ee 1． 17．（1）（3）（4） 18．由已知.4)62sin(242cos 2sin 33cos 22sin 3)(2++=++=++=πx x x x x x f当)2,0(π∈x 时，]1,21()62sin(),67,6(62-∈+∈+ππππx x故函数，)(x f 的值域是（3，6]（II ）由528)(=x f ，得5284)62sin(2=++πx ，即54)62sin(=+πx因为125,6(ππ∈x ），所以53)62cos(-=+πx故10222)62sin(22)62cos(]4)62cos[()122cos(=⋅++⋅+=-+=-πππππx x x x 19．（I ）解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a20．【解】（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f （x ），则公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[10，1000]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤9恒成立；③()5xf x ≤恒成立 （Ⅱ）（1）对于函数模型()2150xf x =+： 当x ∈[10，1000]时，f （x ）是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<．所以f （x ）≤9恒成立． 因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()111[]15055f x x =+>．从而()1211505f x x x =+≤，即()5x f x ≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．（2）对于函数模型f （x ）＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f （x ）是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=． 所以f （x ）≤9恒成立． 设g （x ）＝4lg x －3－5x ，则4lg 1()5e g x x '=-． 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-≤=<，所以g （x ）在[10，1000]上是减函数，从而g （x ）≤g （10）＝－1＜0．所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x，所以()5xf x <恒成立．故该函数模型符合公司要求．21．【解】（1）对于函数1()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1f x =．当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故1()f x 是“平底型”函数． 对于函数2()|2|f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，2()222f x x =->．所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立．故2()f x 不是“平底型”函数．（Ⅱ）若||||||()t k t k k f x -++≥⋅对一切t ∈R 恒成立，则min (||||)||()t k t k k f x -++≥⋅．所以2||||()k k f x ≥⋅．又0≠k ，则()2f x ≤． 则|1||2|2x x -+-≤，解得1522x ≤≤．故实数x 的范围是15[,]22． （Ⅲ）因为函数2()2g x mx x x n =+++是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，则存在区间[,]a b [2,)⊆-+∞和常数c ， 使得22mx x x n c +++=恒成立． 所以222()x x n mx c ++=-恒成立，即22122m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩．解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩． 当111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()|1|g x x x =++． 当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时，()211g x x =+>-恒成立． 此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数．当111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()|1|g x x x =-++． 当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =．此时，()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数． 综上分析，m ＝1，n ＝1为所求． 22．（Ⅰ）)0()1()('>-=x xx a x f ,当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1； 当0=a 时，)(x f 不是单调函数-------------------- （Ⅱ）12)2('=-=af 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x m x xg 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g -----∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g -------由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m（Ⅲ）令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由（Ⅰ）知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈L L。

A BCDEF G 浙江省杭州学军中学2010/2011学年高一下期中考试数学卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。

） 1．已知3sin ,(,),tan 52πααπα=∈且则等于 （ ）A ．43B ．34C ．—43D ．—342．设a 3(,sin )2α=，b 1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭, 且a ∥b ，则锐角α为 （ ）A 、30︒B 、60︒C 、45︒D 、75︒ 3．若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后， 与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为 （ ）A 、61 B 、41 C 、31D 、214．平面向量,的夹角为060，,1||),0.2(== 则=+2|b （ ）AB． C ．4 D ．125．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AD交EF 于点G ，则下列各式能表示向量DG的有 （ ▲ ）①1()2DE DF + ， ②1()2CF BE + ，③1()2BF CE + ， ④1()4AB AC -+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知22ππθ-<<，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值， 在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）A ．－3B ．3 或13C ．13- D ．－3或13-7．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系2)sin(++=ϕωx A y ，则有 （ ▲ ）A 、3,125==A πω B 、2,315A πω== C 、5,125==A πω D 、2,515A πω==8．已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2，若关于x 的方程在区间]32,4[ππ-上有解， 则a 的取值范围是 （ ▲ ）A ．[－8，0]B ．[－3，5]C ．[－4，5]D ．[1]-9．已知||2||0a b =≠ ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根,则a 与b的夹角的取值范围是 （ ▲ ）A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为切点，那么PA PB ∙的最小值为 （ ▲ ）A ．3-+B ．3-C ．4-+D ． 4-+二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共24分。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．（5分）（2015春•杭州校级期中）sin600°=（）A． B． C． D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解答：解：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：A．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为3cm，则扇形的面积为（）A． 3cm2 B． 6cm2 C． 9cm2 D． 18cm2考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．解答：解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=6，根据扇形的面积公式可得S=lr=×3×6=9．故选：C．点评：本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．3．（5分）（2015春•杭州校级期中）在△ABC中，=，=，点D满足+2=，则=（）A．+ B．﹣+ C．﹣ D．+考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：首先利用平行四边形法则，求得的值，再由+2=，求得的值，即可求得的值．解答：解：∵，=，=，∴=﹣=﹣，∵+2=，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+，故选：D．点评：此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平行四边形法则与数形结合思想的应用．4．（5分）已知x，y为锐角，且满足cos x=，cos（x+y）=，则sin y的值是（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：依题意求出sinx的值，通过cos（x+y）=，求出sin（x+y）的值，然后利用y=x+y ﹣x的关系求解siny的值．解答：解：已知x，y为锐角，且满足cos x=，sinx=；cos（x+y）=，sin（x+y）= siny=sim（x+y﹣x）=sin（x+y）cosx﹣cos（x+y）sinx=故选C点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查计算能力，其中角的变换技巧y=x+y﹣x是解题关键，注意三角函数象限符号，本题是基础题．5．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知函数，下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间上单调递增C．函数f（x）的图象关于y轴对称D．点（π，0）是函数f（x）的一个对称中心考点： 正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由条件利用诱导公式化简函数的解析式为f （x ）=﹣cosx ，再利用余弦函数的图象、性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答： 解：对于函数f （x ）=sin （x ﹣）=﹣cosx ，由于它的周期为2π，故A 正确；显然，f （x ）在区间上单调递增，故B 正确；再根据f （x ）为偶函数，它的图象关于y 轴对称，可得C 正确；由于当x=π时，求得f （x ）=1，故点（π，0）不会是函数f （x ）的一个对称中心，故D 错误，故选：D ．点评： 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 6．（5分）（2014春•庆安县校级期末）在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）A ．m B ．m C ．m D ．m考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 由tan30°==得到BE 与塔高x 间的关系，由tan60°=求出BE 值，从而得到塔高x 的值．解答： 解：如图所示：设山高为AB ，塔高为CD 为 x ，且ABEC 为矩形，由题意得 tan30°===，∴BE=（200﹣x ）．tan60°==，∴BE=， ∴=（200﹣x ），x=（m ），故选A ．点评： 本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE 值是解题的关键，属于中档题．7．（5分）（2015春•杭州校级期中）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=sinx，则f（）=（）A． B． C． D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：将x换成﹣x，由函数方程法，可得f（x）的解析式，再由两角差的正弦公式，代入由特殊角的函数值，即可得到．解答：解：由f（x）+f（﹣x）=sinx，①可得f（﹣x）+f（x）=sin（﹣x）=cosx，②由①②可得f（x）==sin cosx﹣cos sinx=sin（﹣x），则f（）=sin（﹣）=sin=．故选B．点评：本题考查函数的解析式的求法：函数方程法，同时考查三角函数的求值，注意运用两角和差的正弦公式，属于中档题．8．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知O为△ABC的外心，满足，则△ABC 的最大内角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，分别求出cos∠AOB=0，cos∠BOC=﹣，cos∠AOC=﹣，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍，以及二倍角公式计算即可．解答：解：设外接圆的半径为R，∵，∴3+4=﹣5，∴（3+4）2=（﹣5）2，∴9（）2+16（）2+12=25（）2，∴9R2+16R2+12=25R2，∴9R2+16R2+12R2cos∠AOB=25R2，∴cos∠AOB=0，同理，求得cos∠BOC=﹣，cos∠AOC=﹣，∴△ABC的最大内角∠BAC，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得，∴∠BAC=∠BOC，∴2cos2（∠BAC）﹣1=cos∠BOC，∴2cos2（∠BAC）=1﹣=∴cos2（∠BAC）=，∴cos∠B AC=故答案为：B．点评：本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．二、填空题：（本大题共7小题，第9、10小题每空2分，第11、12小题每空3分，第13、14、15小题每空4分，共36分.）9．（6分）（2015春•杭州校级期中）函数的周期为4π，振幅为 2 ，初相为．考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的解析式的意义进行求解即可．解答：解：三角函数的周期T==4π，振幅A=2，初相为．故答案为：4π，2，点评：本题主要考查三角函数A，ω和φ的意义和求解，比较基础．（6分）（2015春•杭州校级期中）已知α为第二象限角，，则cosα= ，10．tanα= ，cos2α= ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数关系及二倍角公式，即可得出结论．解答：解：∵α为第二象限角，，∴cosα=﹣=﹣；tanα==；cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：；；．点评：本题考查同角三角函数关系及二倍角公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（6分）（2015春•杭州校级期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则a= ，= ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求a的值，由正弦定理可得=，从而得解．解答：解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，可得a=，由正弦定理可得：===．故答案为：，．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基本知识的考查．12．（6分）（2015春•杭州校级期中）函数的图象可由y=cosx的图象先沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，变换得到．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式可得结论．解答：解：把y=cosx的图象先沿x轴向右平移个单位，可得y=cos（x﹣）的图象；再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，可得y=cos（2x﹣）=sin（2x+）的图象，故答案为：，．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．13．（4分）（2015春•杭州校级期中）△ABC满足AB=AC，BC=2，G为△ABC的重心，则= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，，，=0，代入展开即可得出．解答：解：如图所示，∵，，=0，∴=•=+===2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）（2015春•杭州校级期中）已知非零向量的夹角为60°，，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据条件求，从而需求的最大值：k=0时，显然；k≠0时，可以看成关于的二次函数，这样即可求其最小值为，从而取到最大值，从而求出的最大值．解答：解：=；∴=；（1）若k=0，则；∴；（2）若k≠0，的最小值为，则：取到最大值为；∴取到最大值；综上得的最大值为．故答案为：．点评：考查数量积的计算公式，知道要求的最大值，先去求，注意不要漏了k=0的情况，二次函数的最值的计算公式．15．（4分）（2015春•杭州校级期中）已知sin（x﹣40°）=cos（x+10°）﹣cos（x﹣10°），则tanx= ．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由和差角的公式变形已知式子可得tanx=，再由和差角的公式化简即可．解答：解：∵sin（x﹣40°）=cos（x+10°）﹣cos（x﹣10°），∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=cosxcos10°﹣sinxsin10°﹣cosxcos10°﹣sinxsin10°，∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=﹣2sinxsin10°，∴（cos40°+2sin10°）sinx=cosxsin40°，∴tanx========故答案为：点评：本题考查和差角的三角函数公式，熟练应用公式是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：（本大题共4小题，共44分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）（2015春•杭州校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足，．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，求出cosC的值，根据内角的范围求出角C；（2）由题意和余弦定理列出方程，利用整体代换求出ab的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：（1）由得，…3′解得，…4′又0＜C＜π，则…5′（2）∵，∴由余弦定理得7=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab…7′又∵a+b=5，∴ab=6…9′∴△ABC的面积…10′点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及二倍角余弦公式的变形，属于中档题．17．（10分）（2015春•杭州校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π）的部分图象如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由图知A的值，由，利用周期公式可求ω，又，结合范围0≤ϕ＜2π，可求ϕ，即可求得解析式；（2）由题意可求解析式g（x）=，由即可解得g（x）的单调递增区间．解答：（本小题满分10分）解：（1）由图知：A=1，…1分，得T=π，所以ω=2…3分又，得，又因为0≤ϕ＜2π，故．所以…5分（2）=…7′由解得：…9分所以，g（x）的单调递增区间为．…10分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015春•杭州校级期中）如图，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且∥．（1）求x与y间的关系；（2）若，求x与y的值及四边形ABCD的面积．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据向量的加法法则得到=++=（4+x，y﹣2），再根据向量共线的充要条件，即可得出x与y间的关系；（2）先表示出=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．再根据向量垂直的充要条件，即可得出和的坐标，从而求得四边形ABCD的面积．解答：解：（1）∵=++=（4+x，y﹣2），∴由，得x（y﹣2）=y（4+x），故x+2y=0．（2）由=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．∵，∴（6+x）（x﹣2）+（1+y）（y﹣3）=0，又x+2y=0，∴或∴当=（﹣6，3）时，=（﹣2，1），当=（2，﹣1）时，=（6，﹣3）．故与同向，四边形ABCD的面积=点评：本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系．考查数形结合思想，属于中档题．19．（12分）（2015春•杭州校级期中）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，化简函数f（x）的解析式为f（x）=，t∈[﹣，]，再利用二次函数的性质求得它的值域．（2）化简函数的解析式f（x）=，在内有且只有一个零点，在上无零点，利用二次函数的性质求得a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，=，令t=sinx+cosx，则，f（x）=．当t=1时，，当时，．所以，f（x）的值域为．（2）=，令u=sinx+cosx，则当x∈[0，π]时，，f（x）=，f（x）在[0，π]内有且只有一个零点等价于h（u）在内有且只有一个零点，在上无零点．因为a≥1，所以h（u）在[﹣1，1）内为增函数，①若h（u）在[﹣1，1）内有且只有一个零点，内无零点．故只需，即，求得．②若为h（u）的零点，内无零点，则，得．经检验，符合题意．综上：或．点评：本题主要考查三角恒等变换，函数零点的判断，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．（5分）（2015春•杭州校级期中）sin600°=（）A． B． C． D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解答：解：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：A．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为3cm，则扇形的面积为（）A． 3cm2 B． 6cm2 C． 9cm2 D． 18cm2考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．解答：解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=6，根据扇形的面积公式可得S=lr=×3×6=9．故选：C．点评：本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．3．（5分）（2015春•杭州校级期中）在△ABC中，=，=，点D满足+2=，则=（）A．+ B．﹣+ C．﹣ D．+考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：首先利用平行四边形法则，求得的值，再由+2=，求得的值，即可求得的值．解答：解：∵，=，=，∴=﹣=﹣，∵+2=，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+，故选：D．点评：此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平行四边形法则与数形结合思想的应用．4．（5分）已知x，y为锐角，且满足cos x=，cos（x+y）=，则sin y的值是（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：依题意求出sinx的值，通过cos（x+y）=，求出sin（x+y）的值，然后利用y=x+y ﹣x的关系求解siny的值．解答：解：已知x，y为锐角，且满足cos x=，sinx=；cos（x+y）=，sin（x+y）= siny=sim（x+y﹣x）=sin（x+y）cosx﹣cos（x+y）sinx=故选C点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查计算能力，其中角的变换技巧y=x+y﹣x是解题关键，注意三角函数象限符号，本题是基础题．5．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知函数，下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间上单调递增C．函数f（x）的图象关于y轴对称D．点（π，0）是函数f（x）的一个对称中心考点： 正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由条件利用诱导公式化简函数的解析式为f （x ）=﹣cosx ，再利用余弦函数的图象、性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答： 解：对于函数f （x ）=sin （x ﹣）=﹣cosx ，由于它的周期为2π，故A 正确；显然，f （x ）在区间上单调递增，故B 正确；再根据f （x ）为偶函数，它的图象关于y 轴对称，可得C 正确；由于当x=π时，求得f （x ）=1，故点（π，0）不会是函数f （x ）的一个对称中心，故D 错误，故选：D ．点评： 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 6．（5分）（2014春•庆安县校级期末）在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）A ．m B ．m C ．m D ．m考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 由tan30°==得到BE 与塔高x 间的关系，由tan60°=求出BE 值，从而得到塔高x 的值．解答： 解：如图所示：设山高为AB ，塔高为CD 为 x ，且ABEC 为矩形，由题意得 tan30°===，∴BE=（200﹣x ）．tan60°==，∴BE=， ∴=（200﹣x ），x=（m ），故选A ．点评： 本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE 值是解题的关键，属于中档题．7．（5分）（2015春•杭州校级期中）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=sinx，则f（）=（）A． B． C． D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：将x换成﹣x，由函数方程法，可得f（x）的解析式，再由两角差的正弦公式，代入由特殊角的函数值，即可得到．解答：解：由f（x）+f（﹣x）=sinx，①可得f（﹣x）+f（x）=sin（﹣x）=cosx，②由①②可得f（x）==sin cosx﹣cos sinx=sin（﹣x），则f（）=sin（﹣）=sin=．故选B．点评：本题考查函数的解析式的求法：函数方程法，同时考查三角函数的求值，注意运用两角和差的正弦公式，属于中档题．8．（5分）（2015春•杭州校级期中）已知O为△ABC的外心，满足，则△ABC 的最大内角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，分别求出cos∠AOB=0，cos∠BOC=﹣，cos∠AOC=﹣，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍，以及二倍角公式计算即可．解答：解：设外接圆的半径为R，∵，∴3+4=﹣5，∴（3+4）2=（﹣5）2，∴9（）2+16（）2+12=25（）2，∴9R2+16R2+12=25R2，∴9R2+16R2+12R2cos∠AOB=25R2，∴cos∠AOB=0，同理，求得cos∠BOC=﹣，cos∠AOC=﹣，∴△ABC的最大内角∠BAC，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得，∴∠BAC=∠BOC，∴2cos2（∠BAC）﹣1=cos∠BOC，∴2cos2（∠BAC）=1﹣=∴cos2（∠BAC）=，∴cos∠B AC=故答案为：B．点评：本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．二、填空题：（本大题共7小题，第9、10小题每空2分，第11、12小题每空3分，第13、14、15小题每空4分，共36分.）9．（6分）（2015春•杭州校级期中）函数的周期为4π，振幅为 2 ，初相为．考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的解析式的意义进行求解即可．解答：解：三角函数的周期T==4π，振幅A=2，初相为．故答案为：4π，2，点评：本题主要考查三角函数A，ω和φ的意义和求解，比较基础．（6分）（2015春•杭州校级期中）已知α为第二象限角，，则cosα= ，10．tanα= ，cos2α= ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数关系及二倍角公式，即可得出结论．解答：解：∵α为第二象限角，，∴cosα=﹣=﹣；tanα==；cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：；；．点评：本题考查同角三角函数关系及二倍角公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（6分）（2015春•杭州校级期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则a= ，= ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求a的值，由正弦定理可得=，从而得解．解答：解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，可得a=，由正弦定理可得：===．故答案为：，．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基本知识的考查．12．（6分）（2015春•杭州校级期中）函数的图象可由y=cosx的图象先沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，变换得到．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式可得结论．解答：解：把y=cosx的图象先沿x轴向右平移个单位，可得y=cos（x﹣）的图象；再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，可得y=cos（2x﹣）=sin（2x+）的图象，故答案为：，．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．13．（4分）（2015春•杭州校级期中）△ABC满足AB=AC，BC=2，G为△ABC的重心，则= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，，，=0，代入展开即可得出．解答：解：如图所示，∵，，=0，∴=•=+===2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）（2015春•杭州校级期中）已知非零向量的夹角为60°，，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据条件求，从而需求的最大值：k=0时，显然；k≠0时，可以看成关于的二次函数，这样即可求其最小值为，从而取到最大值，从而求出的最大值．解答：解：=；∴=；（1）若k=0，则；∴；（2）若k≠0，的最小值为，则：取到最大值为；∴取到最大值；综上得的最大值为．故答案为：．点评：考查数量积的计算公式，知道要求的最大值，先去求，注意不要漏了k=0的情况，二次函数的最值的计算公式．15．（4分）（2015春•杭州校级期中）已知sin（x﹣40°）=cos（x+10°）﹣cos（x﹣10°），则tanx= ．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由和差角的公式变形已知式子可得tanx=，再由和差角的公式化简即可．解答：解：∵sin（x﹣40°）=cos（x+10°）﹣cos（x﹣10°），∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=cosxcos10°﹣sinxsin10°﹣cosxcos10°﹣sinxsin10°，∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=﹣2sinxsin10°，∴（cos40°+2sin10°）sinx=cosxsin40°，∴tanx========故答案为：点评：本题考查和差角的三角函数公式，熟练应用公式是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：（本大题共4小题，共44分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）（2015春•杭州校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足，．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，求出cosC的值，根据内角的范围求出角C；（2）由题意和余弦定理列出方程，利用整体代换求出ab的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：（1）由得，…3′解得，…4′又0＜C＜π，则…5′（2）∵，∴由余弦定理得7=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab…7′又∵a+b=5，∴ab=6…9′∴△ABC的面积…10′点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及二倍角余弦公式的变形，属于中档题．17．（10分）（2015春•杭州校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π）的部分图象如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由图知A的值，由，利用周期公式可求ω，又，结合范围0≤ϕ＜2π，可求ϕ，即可求得解析式；（2）由题意可求解析式g（x）=，由即可解得g（x）的单调递增区间．解答：（本小题满分10分）解：（1）由图知：A=1，…1分，得T=π，所以ω=2…3分又，得，又因为0≤ϕ＜2π，故．所以…5分（2）=…7′由解得：…9分所以，g（x）的单调递增区间为．…10分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015春•杭州校级期中）如图，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且∥．（1）求x与y间的关系；（2）若，求x与y的值及四边形ABCD的面积．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据向量的加法法则得到=++=（4+x，y﹣2），再根据向量共线的充要条件，即可得出x与y间的关系；（2）先表示出=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．再根据向量垂直的充要条件，即可得出和的坐标，从而求得四边形ABCD的面积．解答：解：（1）∵=++=（4+x，y﹣2），∴由，得x（y﹣2）=y（4+x），故x+2y=0．（2）由=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．∵，∴（6+x）（x﹣2）+（1+y）（y﹣3）=0，又x+2y=0，∴或∴当=（﹣6，3）时，=（﹣2，1），当=（2，﹣1）时，=（6，﹣3）．故与同向，四边形ABCD的面积=点评：本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系．考查数形结合思想，属于中档题．19．（12分）（2015春•杭州校级期中）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，化简函数f（x）的解析式为f（x）=，t∈[﹣，]，再利用二次函数的性质求得它的值域．（2）化简函数的解析式f（x）=，在内有且只有一个零点，在上无零点，利用二次函数的性质求得a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，=，令t=sinx+cosx，则，f（x）=．当t=1时，，当时，．所以，f（x）的值域为．（2）=，令u=sinx+cosx，则当x∈[0，π]时，，f（x）=，f（x）在[0，π]内有且只有一个零点等价于h（u）在内有且只有一个零点，在上无零点．因为a≥1，所以h（u）在[﹣1，1）内为增函数，①若h（u）在[﹣1，1）内有且只有一个零点，内无零点．故只需，即，求得．②若为h（u）的零点，内无零点，则，得．经检验，符合题意．综上：或．点评：本题主要考查三角恒等变换，函数零点的判断，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

浙江省杭州学军中学高一上学期期中考试（数学）一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设A={1，2}，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数是 （ ） A ．1 B ．4 C ．7 D ．82. 下列关系式中正确的是 ( ) A 313232215121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B 323231512121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛C 323132212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ D 313232212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3. 函数()15--=x x x f 的一个正零点的区间可能是 ( )A. []2,1B. []1,0C. []3,2D. []4,34．下列四组函数中，表示相同函数的一组是 （ ） A. 2()lg ,()2lg f x x g x x ==B. ()()f x g x =C. 21(),()11x f x g x x x -==+- D. 1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭5. 已知函数 f (n )= ⎩⎨⎧<+≥-)10)](5([)10(3n n f f n n ，其中n ∈N ，则f (8)等于 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 7 6. 设2()lg2x f x x +=-，则()2xf 的定义域为 ( ) A ．(1,1)- B ．(4,4)- C ．(4,2)- D ． (2,4)-7. )(x f 是定义在]6,6[-上的奇函数,若),1()3(f f <则下列各式中一定成立．．．．的是 ( ) A ．)3()1(-<-f f B. )1()0(f f > C. )3()2(f f > D. )5()3(f f <- 8. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值集合是( )A. (0,1)B. 1(0,)3C. 11[,)73D. 1[,1)79.ｙ＝f (x )的曲线如图所示，那么方程ｙ＝f (2－x )的曲线是 ( )10. 设定义域为R的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg|)(xxxxf，若则关于x的方程0)()(2=++cxbfxf有7个不同实数解，则 ( )A．0<b且0>c B．0>b且0<c C．0<b且0=c D．0≥b且0=c二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）11．函数2y=定义域是____________________；12．函数)4(log23xy-=单调递减区间为_______________；13. 函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0<x时，).1()(-=xxxf则当0>x时_______)(=xf；14. 函数2213xyx+=-值域是_________ ；15. 设函数⎩⎨⎧-≥--<+=131)1()(2xxxxxf，则使得1)(≥xf的自变量x的取值范围为_____；16. 已知()422ln(21xxf x x⨯+=+++，若()f x在[2,2]-上的最大值，最小值分别为M，N，则M+N= ；三、解答题（本题5小题，共46分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

杭州二中2011学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．cos75cos15sin 255sin15⋅-⋅的值是（ ）（A ）0（B ）12（C ）32（D ）1 2．函数2(sin cos )1y x x =+-是（ ） （A ）最小正周期为π2的偶函数 （B ）最小正周期为π2的奇函数（C ）最小正周期为π的偶函数 （D ）最小正周期为π的奇函数3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）由增加的长度决定4．下列说法中，正确的个数为（ ） （1）AB MB BC OM CO AB ++++=（2）已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是0k < （3）若向量1213(2,3),(,)24e e =-=-能作为平面内所有向量的一组基底 （4）若//a b ，则a 在b 上的投影为||a（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5．已知330,cos ,sin()255παβπααβ<<<<=+=-，则cos β的值为（ ） （A ）－1（B ）－1或725-（C ）2425-（D ）2425±6．已知ABC ∆中，2=AB , 3π=C ,则ABC ∆的周长为（ ）（A ）2)3sin(34++πA （B ）2)6sin(34++πA （C ）2)6sin(4++πA（D ）2)3sin(8++πA7．若cos 22sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）（A ）34（B ）34-（C ）12（D ）12-8．在ABC ∆中，3,2AB BC AC ===，若O 为ABC ∆的垂心，则AO AC ⋅的值为( )（A ）2（B ）73（C ）3（D）59．如图，放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含原点)上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）（A ）1 （B ）2 （C）（D ）以上均不对10.若,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足112a b c+<，则C ∠的取值范围是（ ）（A ）,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭（C ）0,4π⎛⎫⎪⎝⎭（D ）0,3π⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 12．tan10tan 20tan 20tan60tan60tan10_______.++=13．已知,,a b c 是ABC ∆的三边,S 是ABC ∆的面积,若4,5,a b S ===则_________c =.14．如图，,,O A B 是平面上三点，向量||OA =3，||OB =2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ⋅-的值为__________.15．已知向量,,a b c 满足||||2,||1,()()0a b c a c b c ===--=，则||a b -的取值范围是_______________．杭州二中2011学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.11．___________________； 12．___________________；13．___________________；14．___________________； 15．___________________； 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分. 16．（本小题满分10分）已知,a b 是两个单位向量． （Ⅰ）若|32|3a b -=，试求|3|a b +的值；（Ⅱ）若,a b 的夹角为60，试求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角． 17．（本小题满分10分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若不等式22()cos 2sin 216f x x m x m π+<-++对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分10分）某观察站C 在A 城的南偏西20方向，由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40，距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 地，此时CD 距离为21千米． （Ⅰ）此人还需走多少千米才能到达A 城；（Ⅱ）在如图所示的平面内，若以A 为圆心，AC 为半径作圆交BA 于E 点，在劣弧CE 上有一动点P ，过P 引平行于AC 的直线和AE 交于点F ，试求APF ∆面积的最大值．19．（本小题满分10分）已知三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边．（Ⅰ）若466,cos 36c B ==，AC 边上的中线5BD =，求sin A 的值； （Ⅱ）若ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，若1,2,3AH BH BC ===，试求::AOB AOC BOC S S S ∆∆∆．杭州二中2011学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．________7__________； 12．________1__________；13．___；14．_______52__________； 15．______1⎤⎦_______；三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分. 16．（本小题满分10分）已知,a b 是两个单位向量． （Ⅰ）若|32|3a b -=，试求|3|a b +的值；（Ⅱ）若,a b 的夹角为60，试求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角． 解答：（1）21|32|941293a b a b a b -=+-⋅=⇒⋅=，故|3|91612a b a b +=++⋅==（2）|||2|414cos607m a b =+=+=|||23|4912cos607n b a =-=+=故(2)(23)62cos601cos 772||||m n a b b a m n θ⋅+--++====-⋅，故夹角为12017．（本小题满分10分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若不等式22()cos 2sin 216f x x m x m π+<-++对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．解答：（1） 211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<< ∴11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+-， 1111sin 2sin cos 2cos (sin 2sin cos 2cos )cos(2)2222x x x x x ϕϕϕϕϕ=+=+=-又函数图像过点1(,)62π∴11cos(2)226πϕ=⨯-即 cos()13πϕ-=又0ϕπ<<∴3πϕ=（2）由条件可得：2sin 2sin 210x m x m -+--<对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 故21sin 12(1sin )2(1sin [0,1])2(1sin )2(1sin )x m x x x x ⎡⎤+>-=--+--∈⎢⎥--⎣⎦，设12()(1sin )2(1sin [0,1])2(1sin )y f x x x x ⎡⎤==--+--∈⎢⎥-⎣⎦; 故max 1(1sin )(1)2f x f -==-，由题意可得max 12m y >=-．18．（本小题满分10分）某观察站C 在A 城的南偏西20方向，由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40，距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 地，此时CD 距离为21千米．（Ⅰ）此人还需走多少千米才能到达A 城；（Ⅱ）在如图所示的平面内，若以A 为圆心，AC 为半径作圆交BA 于E 点，在劣弧CE 上有一动点P ，过P 引平行于AC 的直线和AE 交于点F ，试求APF ∆面积的最大值．解答：（1）如图，设,AD x AC y ==．204060BAC ∠=+=，∴在ACD 中，有2222cos6021x y xy +-=，即22441x y xy +-= ①而在ABC 中，()()22220220cos 6031x y x y ++-+=，即22561x y xy +-=②②-①得26y x =-，代入①得261350x x --=，解得15x =（千米），即还需走15千米才能到达A 城．（2）解：//FP AC ，∴120PFA ︒∠=，设PAF θ∠=在PFA 中，由正弦定理得sin120sin AP FPθ=，∴24sin120sin FPθ︒=，∴48sin 3FP θ=.又()24sin120sin 60AF θ︒︒=-，∴()48sin 603AF θ︒=- 因此APF ∆的面积为：()1sin1202S AF PF θ︒=⋅()148483sin sin 602233θθ︒=⋅⋅-⨯ 314843sin cos sin 22θθθ⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=4832sin(2)16πθ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，故当6πθ=时，S 取得最大值为483． 19．（本小题满分10分）已知三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边．（Ⅰ）若466,cos 36c B ==，AC 边上的中线5BD =，求sin A 的值； （Ⅱ）若ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，若1,2,3AH BH BC =，试求::AOB AOC BOC S S S ∆∆∆．解答：（1），如图，过D 作//DE AB 交BC 于E 点，222656cos 1262BE DEB BE BE+-⎝⎭∠==⇒=⋅，故22BC BE ==，又30sin B =22464628422cos 333AC B ⎛=+-⨯= ⎝⎭，所以30370sin sin sin 27BC AC A A B =⇒==（2）由条件||=||=||OA OB OC ，由OH OA OB OC=++可得EBHOA||||1AH OB OC AH OB OC =+⇒=+=，所以2221(1)OB OC OB OC ++⋅=，又||||3BC OC OB =-=，所以2223(2)OB OC OB OC +-⋅=；(1)(2)-可得12OB OC ⋅=-，(1)(2)+可得||||1OB OC ==，所以120BOC ∠=，故BOC S ∆= ()22||2BH OA OC OA OCBH =+⇒+==，又||=||=||10OA OB OC OA OC =⇒⋅=故90AOC ∠=，所以1,2AOC S ∆=又150AOB ∠=，可得14AOB S ∆=。