D7-1空间直角坐标系

第七章第七章 多元函数微分学第七章第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离三、曲面方程的概念四、空间曲线方程的概念x横轴y 纵轴z 竖轴•原点o 空间直角坐标系三条坐标轴的正方向符合右手法则.即以右手握住 轴，当右手的四个手指从轴正向以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向.一、空间点的直角坐标ⅦxyozxOy 面yOz 面zOx 面空间被分为八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组),,(z y x ⎯⎯⎯→←一一对应特殊点的表示:)0,0,0(O 坐标原点),,(z y x M •xyzO)0,0,(x P )0,,0(y Q ),0,0(z R )0,,(y x A ),,0(z y B ),0,(z x C 坐标轴上的点,P ,Q ,R 坐标面上的点,A ,B ,C解例1 求点)111,,x y z 关于(1)xOy 面；(2)z 轴；(3)坐标原点；(4)点(),,a b c 的对称点坐标.设所求对称点的坐标为 ，则()222,,x y z (1)即所求的点的坐标为212112,,0,x x y y z z ==+=()111,,;x y z −(2)1212210,0,,x x y y z z +=+==即所求的点的坐标为 ()111,,;x y z −−(3)1212120,0,0,x x y y z z +=+=+=即所求的点的坐标为 ()111,,;x y z −−−(4)121212,,,222x x y y z z a b c +++===即所求的点的坐标为()1112,2,2.a xb yc z −−−设,,(1111z y x M 、,,(2222z y x M 为空间两点，xy zO•1M P N Q R•2M ?21==M M d 在直角1NM M ∆及直角PM 1∆中，使用勾股定理知,222212NM PNP M d ++=二、空间两点间的距离,121x x P M −=∵,12y y PN −=,122z z NM −=22221NM PN P M d ++=∴()()().21221221221z z y y x x M M −+−+−=空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(z y x M )0,0,0(O OM d =则.222z y x ++=xyzO•1M PNQ R•2M解例2 在y 轴上求与点)3,1,1A −和点)0,1,2B 等距离的点.依题意有因所求点M 在y 轴上，可设其坐标为 ，()0,,0y ,MA MB =即()()()()()()2222220310100102y y −+++−=−+−+−解之得 3,2y =−故所求点为 30,,0.2M ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠例3 求证以1,3,4(1M 、2,1,7(2M 、3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解=221M M ,14)12()31()47(222=−+−+−=232M M ,6)23()12()75(222=−+−+−=213M M ,6)31()23()54(222=−+−+−32M M ∴,13M M =原结论成立.例4 设在轴上，它到点)3,2,0(1P 的距离为到点1,1,0(2−P 的距离的两倍，求点的坐标.解设P 点坐标为),0,0,(x 因为在轴上， =1PP ()22232++x ,112+=x =2PP ()22211+−+x ,22+=x =1PP ∵,22PP 112+∴x 222+=x ,1±=⇒x 所求点为).0,0,1(),0,0,1(−定义0),,(=z y x F 如果曲面 S 与方程 F ( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程则 F ( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F ( x, y, z ) = 0 的图形.(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程Sz yx O 三、曲面方程的概念两个基本问题:两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2) 已知方程时，研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ).例5求三个坐标平面的方程.解容易看到xOy平面上任意一点的坐标必有满足的点也必然在xOy平面上，所以xOy 平面的方程为x=同理，yOz平面的方程为0.y=zOx平面的方程为0.例6 作（c 为常数）的图形. 解z c =方程=中不含，这意味着x 与y 可取任意值而总有值，其图形是平行于xOy 平面的平面. 可由xOy 平面向上或向下移动个单位得到. 同理，和 分别表示平行于yOz 平面和xOz 平面.x a =y b =求到两定点A (1,2,3) 和B (2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(−+−+−z y x 07262=−+−z y x 化简得即说明说明:: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.例7:222)4()1()2(−+++−=z y x 解:设轨迹上的动点为,),,(z y x M ,BM AM =则轨迹方程.前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程，所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平面的方程式三元一次方程0,Ax By Cz D +++=,,,A B C D ,,A B C 其中均为常数， 且不全为0.故所求方程为例8. 求动点到定点),,,(z y x M ),,(0000z y x M 方程.特别,当M 0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为R M M =0即依题意距离为 R 的轨迹MO x yzM 222y x R z −−±=表示上(下)球面 .R z z y y x x =−+−+−202020)()()(2202020)()()(R z z y y x x =−+−+−2222R z y x =++例9. 研究方程042222=+−++y x z y x 解 配方得5,)0,2,1(0−M 可见此方程表示一个球面说明 如下形式的三元二次方程 ( A ≠ 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为0)(222=++++++G Fz Ey Dx z y x A 球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹.5)2()1(222=+++−z y x柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面。

C L这条定曲线C 叫柱面的准线(directrix) ,动直线L 叫柱面的母线(generatrix).柱面举例xozyxozyxy22=抛物柱面xy=平面从柱面方程看柱面的特征：只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上曲线.实例12222=+c zb y 椭圆柱面 母线// 轴x 12222=−by a x 双曲柱面 母线// 轴z pzx 22=抛物柱面 母线// 轴y旋转曲面定义以一条平面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面..转曲面这条定直线叫旋转曲面的轴．例10 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角⎟⎠⎞⎜⎝⎛π<α<α20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为α的圆锥面方程． 解y o z面上直线方程为αcot y z =圆锥面方程αcot 22y x z +±=oxz y),,(z y x M α),,0(111z y M ⋅抛物线⎨⎧==022x pz y 绕z 轴 pzy x 222=+旋转抛物面旋转，形成：例11※四、空间曲线方程的概念空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2S L),,(=z y x F 0),,(=z y x G 1S 例如,前面方程组中的两个曲面方程分别是两个不平行的平面方程，即22220,0,A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩这就是空间直线方程，其图形为空间直线.。