《空间直角坐标系中点的坐标》

空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）一．选择题（共9 小题）1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若S 1 ，S ，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则S D ABC xOy yOz zOx( )2 3A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 12．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐1 1 1 1标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )1 1A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P ，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)(34．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分1 1 1 1别为A ，1，1) ，，3，，那么该正方体的棱长为( 1 C1(3 3) ( )A．1 B．2 C．3 D．45．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A (3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( ) A． ( 3 ，1，4) B． (3 ，1，4) C． ( 3 ，1，4) D． ( 3 ，1，4)6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系O xyz 中．正四面体P ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]8．（2016 秋•西城区校级期中）点P (3 ，1， 0) 在空间直角坐标系的位置是 ( )第1页（共9页）A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )A．10 B．13 C．14 D． 5二．填空题（共5 小题）10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则P(2 1 1) yOz Q(x y z) xyz．11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则P(2 1 1) yOz Q(x y z) x y z．12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是．113．（2014•海淀区校级模拟）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为．14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是．三．解答题（共1 小题）15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．求（1）球的半径R （2）OA g OB第2页（共9页）空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共9 小题）1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若S 1 ，，S 分别表示三棱锥D ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )S2 3A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：设(2 ，0，，，2，，，2，，，1，，则各个面上的射影分别为，，A 0) B(2 0) C(0 0) D(1 2) A BC D，，1在xOy 坐标平面上的正投影A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1， 0) ，S 2 2 2 ．121在yOz 坐标平面上的正投影A(0 ，0， 0) ，B(0 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(0 ，1，2) ，S . 2 2 2221在坐标平面上的正投影，0，，，0，，，0，，，1，， 2 2 2 ，zOx A(2 0) B(2 0) C(0 0) D(0 2) S32则且S S ，S S3 2 3 1故选：D ．【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．2．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐1 1 1 1标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )1 1A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)【分析】推导出，， 1 2 ，由此能求出C 的坐标．AD DC 3 DD41【解答】解：以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，1 1 1 1过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，第3页（共9页）Q DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，1AD DC 3 DD 1 24 ，，，C 的坐标是： (0 ，3， 2) ．1故选：A ．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P(3，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)【分析】根据题意，由空间中点坐标的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，2 4 0 2 1 3则点P 的坐标为 ( ，，) ，即 (3 ，1， 2) ；2 2 2故选：A ．【点评】本题考查空间直角坐标系，涉及中点坐标公式，属于基础题．4．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分1 1 1 1别为，，，1(3，3，，那么该正方体的棱长为A ( 1 1 1) C 3) ( )A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式即可求出．【解答】解：两顶点坐标分别为，，，1(3，3，，Q A ( 1 1 1)C 3)，| AC | (3 1) (3 1) (3 1)3 42 2 2 2 21设棱长为，则，a a 2 a 2 a 2 3a 2 3 42解得a 4 ，故选：D ．【点评】本题考查了正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式，属于基础题．5．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( )第4页（共9页）A．，1，B．，，C．，，D．，1，( 3 4) (3 1 4) ( 3 1 4) ( 3 4)【分析】根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的A x A相反数．【解答】解：由题意可得：点A(3，1， 4) ，所以根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的相反A x A数，所以可得( 3，，．A 1 4)故选：C ．【点评】本题主要考查对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，此题所以基础题．6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)【分析】点，，关于坐标平面的对称点为，，．(a b c) xOy (a b c)【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 (1 ，2，3) ．故选：D ．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系中．正四面体的顶点，分别在轴，轴上移O xyz P ABC A B x y 动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径．O P PM PM【解答】解：如图所示，若固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，设的中点为，则；AB M PM 22 12 3所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，O P PM M最大距离是PM 加上球M 的半径；所以，3 1…| OP |… 3 1第5页（共9页）即的取值范围是，．| OP | [ 3 1 3 1]故选：．A【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．8．（2016 秋•西城区校级期中）点，，在空间直角坐标系的位置是P (3 1 0) ( )A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上【分析】点 (a ，b ， 0) 在xOy 平面上．【解答】解：点，，在平面上．P (3 1 0) xOy故选：D ．【点评】本题考查空间中点的位置的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )A．10 B．13 C．14 D． 5【分析】根据射影的定义，求出点在坐标平面内的射影，计算线段即可．A xOyB | OB |【解答】解：在空间直角坐标系中，Q点B 是A(1，2，3) 在xOy 坐标平面内的射影，B 点的坐标是 (1 ，2， 0)| OB | 1 2 052 2 2．故选：D ．【点评】本题考查了点在空间直角坐标平面内的射影以及两点间距离公式的应用问题，是基础题目．第6页（共9页）二．填空题（共5 小题）10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点(2 ，，在平面内的射影为，，，则P 1 1) yOz Q(x y z) xyz 0．【分析】根据点(2 ，，在平面内的射影为，，，得到在坐标平面上，竖标和纵标与相P 1 1) yOz Q(x y z) B yOz A 同，而横标为 0，写出Q 的坐标是 (0 ，1，1) ，由此能得到结果．【解答】解：在空间直角坐标系中，Q点，，在平面内的射影为，，，P(2 1 1) yOz Q(x y z)1 1)Q(0 ，，，xyz 0．故答案为：0．【点评】本题考查空间中的点的坐标、考查正投影的性质，是一个基础题，本题的运算量比较小，是一个必得分题目．11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(x ，y ，z) ，则x y z 0．【分析】在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(0 ，1，1) ，由此能求出x y z ．【解答】解：在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，Q P(2 1 1) yOz Q(x y z)Q 1 1)(0 ，，，x y z 0 11 0．故答案为：0．【点评】本题考查代数式求值，考查空间直角坐标系中点的射影的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是1(1 ，2， 2) ．第7页（共9页）【分析】根据空间直角坐标系，利用中点坐标公式求出的中点的坐标即可．BC E【解答】解：Q正方体ABCD A B C D 中，棱长为 2，1 1 1 1B(2 ，2， 2) ，C(0 ，2， 2) ，又Q E 是BC 的中点，(2 0E 的坐标为，，) ，2 2 2 22 2 2即 (1 ，2， 2) ．故答案为： (1 ，2， 2) ．【点评】本题考查了空间直角坐标系与中点坐标公式的应用问题，是基础题目．13．（2014•海淀区校级模拟）已知点A ，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 (3 ，1，4) ．( 3【分析】根据中心对称的性质，得线段AB 的中点为原点O ，由此结合中点坐标公式列方程组，解之即可得到点B 的坐标．【解答】解：设B(x ，y ，z) ，则Q点A(3，1， 4) 与B 关于原点O 对称，x (3)2x 3y 1O AB 0原点是线段的中点，可得，解之得y 12z 4z 42因此点坐标为，，B (3 1 4)故答案为：，，(3 1 4)【点评】本题给出点A 的坐标，求点A 关于原点的对称点B 的坐标，着重考查了空间点的位置关系的中点坐标公式等知识，属于基础题．14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是第8页（共9页）( 1 ，2， 0) ．【分析】直接利用空间直角坐标系，点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，写出结果．【解答】解：在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，即： ( 1 ，2， 0) ．故答案为： ( 1 ，2， 0) ．【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，点的位置关系，考查基本知识的应用．三．解答题（共1 小题）15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．求（1）球的半径R （2）OA g OB【分析】（1）根据球面上的点到球心的距离就是半径，得到只要求出A 到圆心O 的距离即可，利用两点之间的距离公式，得到结果，（2）根据两个点的坐标，写出以原点为起点的向量的坐标，利用两个向量数量积的坐标形式的公式，代入求出结果．【解答】解：（1）A 、B 是球心为O 的球面上的两点半径为 0A或 0B 的长度R | OA| 2 1 1 2（2）Q A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2)OA ( 2 1 1) OB (0 2 2)，，，，，OA g OB 0 2 2 0【点评】本题考查球的计算，考查空间直角坐标系，考查向量的数量积，是一个基础题，在解题时只要细心，这是一个送分题目．第9页（共9页）。

3.1.1点在空间直角坐标系中的...1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.32.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=05.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A到坐标平面yOz的距离是.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.2614.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B 的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.3答案A解析在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为d=(1-1)2+(-2-0)2+(5-5)2=2.故选A.2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)答案B3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对答案C解析若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=0答案A解析由|MA|=|MB|,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A.5.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.答案5解析因为点P(3,-2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2),所以x=3,y=0,z=2,所以x+y+z=3+0+2=5.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.答案4解析∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),∴|M1M2|=(-1+1)2+(-2-2)2+(-3+3)2=4.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A 到坐标平面yOz的距离是.答案3 1解析根据空间两点间的距离公式,得|OA|=(1-0)2+(2-0)2+(2-0)2=3.∵点A(1,2,2),∴点A到平面yOz 的距离为1.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.解(1)点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,5);(2)点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标为(1,-3,5).9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.解建立如图所示空间直角坐标系.点E在xDy平面上的投影为点B,点B坐标为(1,1,0),点E的竖坐标为12,所以E1,1,12.点F在xDy平面上的投影为BD的中点G,点G的坐标为12,12,0,点F的竖坐标为1,所以F12,12,1.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)答案C解析选项A的距离为8+5+4=17,选项C的距离为8+5+0=13,选项D的距离为8+5+144≠13,故选C.11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对答案A12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b答案C解析点P在xOy平面的投影点的坐标是P＇(a,b,0),∴|PP＇|2=(a-a)2+(b-b)2+(c-0)2=c2,∴点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是|c|.故选C.13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.26答案B解析|AB|=(2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2=5a2+10a+59=5(a+1)2+54,当a=-1时,|AB|min=54=36.14.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)答案AC解析设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间距离公式可得|AB|=(-2)2+32+(4-c)2=7,解得c=-2或10,所以B点的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)答案等腰解析由空间两点间距离公式可求得三角形三边长分别为|AB|=14,|AC|=6,|BC|=6.所以△ABC为等腰三角形.16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.答案过点(1,0,3)且平行于y轴的一条直线解析由空间中点的坐标特点可知,由于x轴上坐标与z轴上坐标已确定,所以点P的集合为过(1,0,3)且平行于y轴的一条直线.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵|AP|=|AB|=2,|BC|=22,四边形ABCD是矩形,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2),∴|PB|=(0-2)2+(0-0)2+(2-0)2=22,∴|PB|=|BC|,又F为PC的中点,∴PC⊥BF.∵E(0,2,0),∴|PE|=(0-0)2+(2-0)2+(0-2)2=6,|CE|=(0-2)2+(2-22)2+(0-0)2=6,∴|PE|=|CE|,又F为PC的中点,∴PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.解(1)因为直线EF 是AB的垂直平分线,所以在平面ABB1A1内只有线段EF上的点到A,B 两点的距离相等,又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得(1-2)2+(2-0)2+(m-0)2=20.所以m2=15.因为m∈[0,4],所以m=15.故平面ABB1A1内的点P(1,2,15),使得△ABP为等边三角形.(2)设MN 上的点Q(0,2,n)满足题意,由AB为Rt△AQB斜边,且F为AB中点,所以|QF|=12|AB|,又F(1,2,0),则(0-1)2+(2-2)2+(n-0)2=12(0-2)2+(4-0)2+(0-0)2,整理得n2+1=5.所以n2=4.因为n∈[0,4],所以n=2.故MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.。

《空间直角坐标系》（人教）第一章：空间直角坐标系的引入1.1 学习目标(1) 了解空间直角坐标系的定义和意义。

(2) 学会在空间直角坐标系中确定一个点的坐标。

1.2 教学内容(1) 空间直角坐标系的定义：三维空间中的一个参照系统，由三个互相垂直的坐标轴组成。

(2) 坐标轴的表示：通常用x, y, z表示三个坐标轴。

(3) 坐标点表示：一个点在空间直角坐标系中的位置由一对有序实数(x, y, z)表示。

1.3 教学活动(1) 利用实际例子（如地图上的位置表示）引出空间直角坐标系的定义。

(2) 通过图形和模型展示坐标轴的互相垂直关系。

(3) 让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中表示一个点。

1.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括在给定的坐标系中表示不同点的坐标。

(2) 设计一个小项目，要求学生自己创造一个坐标系，并标出一些特定的点。

第二章：坐标系的转换2.1 学习目标(1) 学会在不同坐标系之间进行转换。

(2) 理解坐标系转换的原理和意义。

2.2 教学内容(1) 坐标系之间的转换：通过变换矩阵实现不同坐标系之间的转换。

(2) 变换矩阵的定义和性质：变换矩阵是一个方阵，用于描述坐标系的转换关系。

2.3 教学活动(1) 通过图形和实例解释坐标系转换的原理。

(2) 引导学生学习变换矩阵的定义和性质。

(3) 进行实际操作，让学生学会使用变换矩阵进行坐标系之间的转换。

2.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括使用变换矩阵进行坐标系转换。

(2) 设计一个小项目，要求学生自己创建一个坐标系转换问题，并给出解答。

第三章：坐标系的应用3.1 学习目标(1) 学会使用坐标系解决实际问题。

(2) 了解坐标系在各个领域中的应用。

3.2 教学内容(1) 坐标系在几何中的应用：通过坐标系解决几何问题，如计算距离、角度等。

(2) 坐标系在物理学中的应用：描述物体的运动轨迹和速度等。

3.3 教学活动(1) 通过实际例子展示坐标系在几何中的应用。