《空间直角坐标系中点的坐标》

空间直角坐标系中点到直线距离公式
在空间直角坐标系中，点到直线的距离可以通过以下公式来计算：
设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为P(x1, y1, z1)。

直线的方向向量为n = (A, B, C)。

点P到直线的距离公式为：
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。

这个公式的推导可以通过点到直线的距离公式和向量的点乘运
算来得到。

这个公式可以帮助我们在空间直角坐标系中快速计算点
到直线的距离，是空间几何中一个重要的概念。

除了上述的公式，我们还可以通过向量的投影来计算点到直线
的距离。

这种方法同样可以得到相同的结果。

在实际问题中，根据
具体的情况选择合适的方法来计算点到直线的距离是非常重要的。

希望这个回答能够帮助你理解空间直角坐标系中点到直线的距禋计算。

空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。

它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。

本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。

x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。

在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。

其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。

二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。

通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。

2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。

这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。

3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。

通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。

三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。

例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。

2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。

例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。

3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。

根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。

例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。

四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。

空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。

它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。

x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。

这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。

二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从左往右。

2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从前往后。

3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从下往上。

空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。

三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。

这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。

点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。

例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。

向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。

例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。

五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。

浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
作者：陆海仙
来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第05期
高中几何中，用空间向量解决立体几何问题首先是建立适当的空间直角坐标系，接着是正确写出点的坐标，如果点的坐标书写错误，那么后面几乎没有什么分数可言。

本文试图对立体几何中点坐标的求法做一一些归纳和总结，以求能突破在直角坐标系中求点坐标难的问题。

一、直接法
设空间中任一点P到三个面：面zoy、面xoz、面xoy的距离分别为a、b、c，若点P在x 轴的射影在x轴的正半轴，则点P的横坐标为a；若点P在x轴的射影在x轴的负半轴，则点P的横坐标为-a，点P的纵坐标、竖坐标同理可得。

例1：（2008课标全国2，理19）如图1，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
AA1=2AB=4，点E在上且C1E=3EC。

一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、__________平面．画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝__________，∠yOz ＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的__________，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ．设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组（x ，y ，z ）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x 叫做点M 的__________，y 叫做点M 的__________，z 叫做点M 的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置 点的坐标形式 原点 （0，0，0） x 轴上 （a ，0，0） y 轴上 （0，b ，0） z 轴上 （0，0，c ） xOy 平面上 （a ，b ，0） yOz 平面上 （0，b ，c ） xOz 平面上（a ，0，c ）3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面） 点P 的对称点坐标 原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴（－a ，b ，－c ）z 轴),(,a b c -- xOy 平面(,,)a b c -yOz 平面(),,a b c - xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-．在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-， 根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________． 因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =____________________________． 特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝222x y z ++．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．K 知识参考答案：三、222121212()()()x x y y z z-+-+-222121212()()()x x y y z z-+-+-K—重点1．会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3．记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题．K—难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导．K—易错易混淆平面与空间直角坐标系．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12． 所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ．方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点． 故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）； ②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）； ③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）； ④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）； ⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）； ⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）； ⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++． 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求： （1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．当2|C 1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥BF ，PC ⊥EF ．【解析】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD 是矩形，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥BF ．∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． 4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解． 【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ， 则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-， 解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为 A ．（－1，2，3） B ．（1，－2，－3） C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为A．9 B．29C．5 D．2 65．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是A．3 3 B．3 6C．2 3 D．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，2，0）B．（0，2，3）C．（1，0，3）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．62B． 3C．32D．6311．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<2）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 11 BADBBCBAA1．【答案】B【解析】关于x 轴对称，横坐标不变．故选B ． 2．【答案】A【解析】关于yOz 平面对称，y ，z 不变．故选A ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C 1（0，2，3），∴|AC 1|＝29．故选B ． 5．【答案】B【解析】|AB |2＝（2a －1）2＋（－7－a ）2＋（－2＋5）2＝5a 2＋10a ＋59＝5（a ＋1）2＋54．∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54．∴|AB |min ＝54＝36．故选B ． 6．【答案】C【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz 面上．故选C ． 7．【答案】B【解析】平面yOz 内点的横坐标为0．故选B ． 8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P （1，0，0）；②M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线，其方程为x ＋3z －1＝0； （2）M （1，0，0）．【解析】（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1， 所以P 点坐标为（1，0，0）． ②设M （x ，0，z ），222(1)(2)(1)x z -+-++22(2)(2)x z -+- 整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0． 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线． （2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-22(1)51x -+ 所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知222222111x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴x 2＋y 2＋z 2＝32．∴222x y z ++＝62．故选A ． 11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |2(1)11x -++，|PB |2(3)99x -++，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393．14．【答案】（1221a a -+2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系． 因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）． 因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ， 所以点N （22a ，22a ，0）． （1）由空间两点间的距离公式， 得|MN |2222222()(0)(10)2222a a a a -+-+-- 221a a -+MN 221a a -+ （2）由（1），得|MN |＝221a a -+221()22a -+ 当a ＝22（满足0<a <2221()22a -+取得最小值， 即MN 的长度最短，最短为22． 15．【答案】M ⎝⎛⎭⎫13，1，23；N ⎝⎛⎭⎫16，12，56．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′⎝⎛⎭⎫－23，23，－13；（2）当m ＝12时，|MP |取得最小值22，此时点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 【解析】（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ）， 则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴1AC （﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。