空间直角坐标系(人教A版)

(-1,-3,-5)
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(1,0,0)
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
O
2
x
3
y
例题讲解
P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，
z
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
z
(0,3,4)
在Oyz平面内的射影坐标为____________
(2,0,4)
在Oxz平面内的射影坐标为____________
P
(2,3,0)
在Oxy平面内的射影坐标为____________
4
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
作=(如图),
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
2
6
3
A(6,3,2)(x, y Nhomakorabea z)，使=xԦ
Ԧ +yԦ+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐
Ԧ
标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x,
Ԧ
y, z).
以坐标原点O为起点的向量 的坐标和终点A的坐标相同。
=(6,3,2)
序实数对(即它的坐标)表示，在空间直角坐标系中是否
也有类似的表示？
新知2.1：空间点和向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一

的个数是(
A.1
B
)
B.2
C.3
D.4
[解析] 在①中,OP的坐标为 1,2,3 ,故①正确;
在②中,点P关于x轴对称的点的坐标为 1, −2, −3 ,故②错误;
在③中,点P关于原点对称的点的坐标为 −1, −2, −3 ,故③错误;
在④中,点P关于Oxy平面对称的点的坐标为 1,2, −3 ,故④正确.故选B.
= x, y, z
直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作___________.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） x, y, z 既可以表示向量,也可以表示点.( √ )
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组 x, y, z 表示,符号 x, y, z 具有双
1 1
1
, ,−
2 2
2
所以EF =
因为CG =
.
1
CD,所以GC
4
=
1
DC，
4
又因为H为C1 G的中点,所以GH =
1 1
8 2
GH = 0, ,
.
1
GC1
2
=
1
(GC +
2
CC1 ) =
1
DC
8
+
1
DD1 ,所以
2
课中探究
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
课中探究
探究点三 空间中点的对称问题
课中探究
探究点二 求空间向量的坐标
例2
如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体
OABC − O′A′B′C′，且OA = 6，OC = 8，OO′ = 5.

= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得

【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。

其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。

二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。

✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。

情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。

- 参与课堂活动：积极参与小组讨论，体验空间直角坐标系的实际应用。
- 提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解空间直角坐标系的基本概念和性质。
- 实践活动法：设计小组讨论，让学生在实际操作中加深对坐标系的理解。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学抽象能力。他们能够通过例题解析和实际问题解决，运用逻辑推理方法，掌握空间直角坐标系的运算规则和解题方法。然而，空间想象能力是学生在学习空间直角坐标系时面临的一大挑战。空间直角坐标系是一个三维的概念，学生需要具备良好的空间想象能力，才能更好地理解和运用空间直角坐标系。
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
其中，r表示点P到原点O的距离。
4. 坐标点的坐标应用
①坐标应用的定义：坐标应用是指在空间直角坐标系中，利用坐标点的坐标值进行实际应用的过程。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解空间直角坐标系的基本概念和性质，掌握其在数学中的应用。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据空间直角坐标系的性质和应用，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕空间直角坐标系的概念和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

答案
1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个 空间直角坐标系Oxyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴，通过 每 两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正 方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
解析答案
5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
类型一 求空间点的坐标 例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5， |AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.

O x x O x
思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成，设想：空间直角 坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间 直角坐标系？ z 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴 ∠xOy=135° ∠yOz=90°
O
y
x
思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？
OABC D A B C 是长方体．以O为原点，分别以 如图， 射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向，，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标 O xyz， 其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz平面、zOx平面．
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的 横坐标、纵坐标的含义如何？
(x,y)
|x| |y|
y
O
x
思考2：怎样确定空间中点M的坐标？
设点M是空间的一个定点，过点M分别作 垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、 y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐 标分别是x，y和zz ，那么点M就对应唯一确定 的有序实数组（x，y，z）．
设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间直角坐标系？ C1 思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？ D1 思考4：什么是右手直角坐标系？ A1 B1
思考5：怎样确定空间中点
O A B
C
M的坐标？
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示，它是一维坐标；平面上的 点M的坐标用一对有序实数（x，y） 表示，它是二维坐标.设想：对于空 间中的点的坐标，需要几个实数表 示？ (x,y) y

2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正方 向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
思考 空间直角坐标系有什么作用？ 答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置 关系解析化.
知识点二 空间一点的坐标
由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 因为 CG＝14CD，G，C 均在 y 轴上，
故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG，可得 DK＝78，HK＝21， 故 H 点坐标为0，78，12. (答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12).
A(x，y，z) ，其中 x 叫做点A的横坐标， y 叫做点A的纵坐标， z 叫做点A的竖
坐标.
思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0). y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0). z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).
反思 感悟
(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y， 即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即 为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).

所以点B′的坐标是（3，4，2）．
【变式练习】 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|
=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C，B′，P的坐标. z
答案：ห้องสมุดไป่ตู้
D
A
P
C
B
AO x
Cy B
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1）是食 盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是 以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
P
O y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x, y, z)
确定的点M. z
R
pO x
M y
Q
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组 (x, y, z)
来表示，有序实数组 (x, y, z) 叫做点M在空间直角坐标 系中的坐标，记作M (x, y, z).其中 x, y, z
分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
关于谁对称谁 不变
在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的 计算公式，对此，我们从理论 上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？

4.3.空间直角坐标系-人教A版必修二教案一、教学目标1.学习直角坐标系的概念，了解在三维直角坐标系中，坐标轴的表示方法和空间点的坐标表示方法；2.掌握在空间直角直角坐标系中作图的方法，能够将空间图形与其在坐标系中的位置相互对应；3.通过课后习题、考试等方式检验学生的综合运用能力。

二、重点难点重点1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法；3.空间直角坐标系中作图方法。

难点1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法。

三、教学内容与过程教学内容1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法；3.在空间直角坐标系中作图。

教学过程步骤一：导入1.利用多媒体课件导入地球上的三个点，比如北京、纽约、悉尼，并在地球仪中显示出来。

从图中引入坐标系的概念，说明坐标系的作用。

步骤二：介绍直角坐标系1.定义直角坐标系，介绍二维平面直角坐标系，强调横坐标和纵坐标，并引入坐标轴的概念。

2.引入三维空间直角坐标系，强调横坐标、纵坐标和高度，说明坐标轴的表示方法。

步骤三：坐标的表示方法1.引入空间点的概念，说明空间点的坐标表示方法；2.强调空间点坐标的有序性和唯一性；3.引入数轴上的正负数概念，解释四象限的概念。

并说明当横坐标、纵坐标和高度均为正时，空间点在哪个象限。

步骤四：作图1.引入有关空间直线的概念，强调表示空间直线所需的两点的空间坐标；2.引入有关空间平面的概念，强调表示空间平面所需的三点的空间坐标；3.演示如何利用坐标轴和空间点的坐标进行三维作图。

步骤五：练习与应用1.练习课前习题，巩固学生对坐标系及其表示方法的掌握。

2.应用：利用已掌握的知识，在三维坐标系中作图，如：作一个正方体、立方体等。

四、教学反思在教学过程中，通过导入地球上的三个点引出坐标系的概念，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂氛围。

在直角坐标系的介绍中，通过多媒体课件、图形等方式进行讲解，更加形象直观地给学生展示了横、纵、高度、坐标轴等概念。

“空间直角坐标系”教案（人教A版必修）一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义，掌握空间直角坐标系的构成和基本概念。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

3. 掌握空间直角坐标系中的距离和向量的概念，学会计算点之间的距离和向量的坐标表示。

4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 点在空间直角坐标系中的坐标表示。

3. 空间直角坐标系中点之间的距离计算。

4. 向量的坐标表示和运算。

三、教学难点1. 空间直角坐标系中点的位置确定。

2. 空间直角坐标系中距离的计算。

3. 向量的坐标表示和运算。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究和思考来理解和掌握空间直角坐标系的知识。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示空间直角坐标系的概念和运算。

3. 结合实际例子，让学生通过解决实际问题来运用空间直角坐标系的知识。

五、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

4. 空间直角坐标系中的距离和向量的概念。

5. 计算点之间的距离和向量的坐标表示。

教学过程：1. 引入：通过实际例子，引导学生思考如何在空间中确定点的位置。

2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 演示：利用多媒体动画，展示空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示的知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握空间直角坐标系的基本概念和运算方法，并能够在实际问题中运用空间直角坐标系的知识。

教师应该根据学生的实际情况，适当调整教学方法和节奏，确保学生能够顺利地掌握空间直角坐标系的知识。

4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

新人教A版高二1.3.1 空间直角坐标系(2016)1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,−2,3)，B(3,2,−5)，则线段AB的中点坐标为（）A.(−1,−2,4)B.(−2,0,1)C.(2,0,−2)D.(2,0,−1)2.如图所示，正方体ABCO−A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A.(1，0，0)B.(1，0，1)C.(1，1，1)D.(1，1，0)3.在空间直角坐标系中，点P(1,5,6)关于Oxy平面的对称点Q的坐标是（）A.(1，−5，6)B.(1，5，−6)C.(−1，−5，6)D.(−1，5，−6)4.若点P(−4，−2，3)关于坐标平面xOy及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为（）A.7B.−7C.−1D.15.在空间直角坐标系中，已知点P(−2,1,3)，过点P作Oxz平面的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为（）A.(0,1,0)B.(0,1,3)C.(−2,0,3)D.(−2,1,0)6.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，P在线段BD′上，且BP=13BD′，则P点的坐标为（）A.(13,13,13) B.(23,23,23) C.(13,23,13) D.(23,23,13)7.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E在棱A1B1上，且B1E=14A1B1，则BE→等于（）A.(0,14,−1) B.(−14,0,1) C.(0,−14,1) D.(14，0，−1)8.设y∈R，则点P(1,y,2)的集合为（）A.垂直于Oxz平面的一条直线B.平行于Oxz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面9.点P(2,−1,8)在坐标平面Oxz内的射影的坐标为.10.若点A(2,−3,−5)关于原点对称的点为B(a,b,c)，则a+b+c=.11.在如图所示的棱长为3a的正方体OABC−O′A′B′C′中，点M在B′C′上，且C′M=2MB′，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为.12.已知点A(−4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于Oxz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为.13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，N为棱CC1的中点，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求ND→的坐标.14.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2,OP=2，连接AP,BP,CP,DP,M,N分别是AB,BC的中点.以O为原点，以OM→,ON→,OP→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求点P，A,B,C,D的坐标.15.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a+b，a−b，c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a−b，c}下的坐标为（）A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)16.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，OE//AD，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标.参考答案1.【答案】:D【解析】:根据中点坐标公式得所求中点坐标为(2,0,−1).故选 D.2.【答案】:C【解析】:解：根据题意，可得∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．故选：C．由正方体的棱长为1，结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标，即可得到点B1的坐标．本题给出坐标系和正方体的棱长，求定点B1的坐标．着重考查了空间坐标系的定义和正方体的性质等知识，属于基础题．3.【答案】:B【解析】:在空间直角坐标系中，点P(1，5，6)关于Oxy平面的对称点Q的坐标是(1，5，−6).故选B.4.【答案】:D【解析】:∵点P(−4，−2，3)关于坐标平面xOy的对称点为(−4，−2，−3)，点P(−4，−2，3)关于y轴的对称点的坐标为(4,−2,−3),∴c=−3，e=4，∴c+e=1，故选D.5.【答案】:C【解析】:因为过点P作Oxz平面的垂线PQ，垂足为Q，所以可得P,Q两点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标不同，又在Oxz平面中所有点的纵坐标都是0，P(−2,1,3)，所以Q(−2,0,3).故选 C.6.【答案】:D【解析】:连接BD，易知点P在xDy平面内的射影在BD上，∵BP=13BD′，∴P x=P y=23，P z=13，故P(23,23,13).7.【答案】:C【解析】:由题意知，{DA →，DC →，DD 1→}为空间的一个单位正交基底，且BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+14B 1A 1→=−14DC →+DD 1→，故BE → =(0,−14,1).故选C.8.【答案】:A【解析】:点P(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1,y,2)的集合为垂直于Oxz 平面的一条直线，故选A.9.【答案】:(2,0,8)【解析】:设所求的点为Q(x,y,z)，则P,Q 两点的横坐标和竖坐标相同，且点Q 的纵坐标为0，即x =2,y =0,z =8，所以点Q 的坐标为(2,0,8).10.【答案】:6【解析】:由题意知B(−2，3，5)，故a +b +c =−2+3+5=6.11.【答案】:(2a,3a,3a)【解析】:∵C ′M =2MB ′，∴C ′M =23B ′C ′=2a ， ∴点M 的坐标为(2a,3a,3a).12.【答案】:(−4,0,0)【解析】:由题意知A 1(4,−2,−3)，则A 1关于Oxz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2,−3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(−4,−2,−3).易得M(−4,0,0).13(1)【答案】由题意知，A(0,0,0).由于点B 在x 轴的正半轴上，且AB =4，所以B(4,0,0). 同理可得D(0,3,0)，A 1(0,0,5).由于点C 在坐标平面Oxy 内，且BC ⊥AB ，CD ⊥AD ，所以C(4,3,0). 同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5).与点C 的坐标相比，点C 1的坐标只有竖坐标与点C 不同，且CC 1=AA 1=5，所以C 1(4,3,5).(2)【答案】由题意知14A ，→13A ，→15AA 1→为单位正交基底， ND →=NC →+CD →=−AB →−12AA 1→=−4×14AB →−52×15AA 1→， 所以ND →=(−4,0，−52).14.【答案】:由题意知，点P 的坐标为(0，0，2)，点B 的坐标为(1,1,0). 由点A 与点B 关于x 轴对称，得A(1,−1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C(−1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D(−1,−1,0).15.【答案】:C【解析】:设向量p 在基底{a +b ，a −b ，c}下的坐标为(x ，y ，z)， 则4a +2b +3c=(x +y)a +(x −y)b +zc ，p =4a +2b +3c=x(a +b)+y(a −b)+zc ，整理得∴{x +y =4,x −y =2,z =3,解得{x =3，y =1，z =3，∴向量p 在基底{a +b ，a −b ，c}下的坐标是(3，1，3).故选C.16.【答案】:因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE//AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直.因为AB =AC =6，BC 是⊙O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形，则AF ⊥BC ，AF =BC =6√2. 以O 为原点，O ，→O ，→OE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A(0，−3√2，0)， B(3√2，0,0)，C(−3√2，0,0)，D(0，−3√2，8)，E(0,0,8)，F(0,3√2，0).。

O
y
x
P4
在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
• 点P关于x轴的对称点是_P_1_(x_,_-_y,_-z) • 点P关于y轴的对称点是_P_2_(-_x_,_y,_-z) • 点P关于z轴的对称点是_P_3_(-_x_,_-y_,z) • 点P关于原点的对称点是_P_4_(-_x_,_-y_,-z) • 点P关于平面xOy的对称点是_P_5_(x_,_y_,-_z) x
D.(1,0,2)
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
(3)在空间直角坐标系中，点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于
（ C ）对称
A.原点 B.x轴 C.y轴 D.z轴
例3 空间向量的坐标表示
B
z
P7
P
O
y
例1 空间直角坐标系
(1)下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是①____④__
例1 空间直角坐标系
(2)如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，
BC⊥BD，请叙述如何建立空间直角坐标系。
解：因为AB⊥底面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD。又因为BC⊥BD， 所以以点B为坐标原点，以DB所在 直线为x轴，BC所在直线为y轴，BA 所在直线为z轴，建立空间直角坐标 系。
标Ox向y平量面，，通O过yz平每面两，条O坐z标x平轴面的。平面叫做坐标平面，分z 别成为
数学中，常用的空间直角坐标系 是”右手系“
kj
iO
y
x
空间中一点M的坐标：
用有序实数对（x，y，z）表示。
x→横坐标 y→纵坐标 z→竖坐标
z
V1S
2M
T
3
Q
O

空间中点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离是 |P1P2|＝_____x_1－__x_2_2_＋___y_1－__y_2_2_＋___z1_－__z_2_2______.
1．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是 导学号 09025061 ( C )
设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面)
点P的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面 关于谁谁不变，其它变相反
(a，－b，c)
3．空间两点间的距离公式
平 面 上 任 意 两 点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 之 间 的 距 离 公 式 |AB| ＝ x1－x22＋y1－y22，那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距 离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义
以空间中两两___垂__直_____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y
『规律方法』 确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作 PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作 MB⊥y轴于点B；③设P(x，y，z)，则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|.当点A、B、 C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在 x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时， 则x、y、z的值为0.