大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分

1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。

规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。

而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。

4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。

lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。

既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。

因此，可导一定是连续的。

反之，如果连续，不一定可导。

不多说。

同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。

同理要注意左右导数的问题。

如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。

如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。

为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。

比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。

x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。

X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。

因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。

大一高数知识点笔记整理一、导数与微分1. 导数的定义在数学中，导数是用来描述函数某一点附近的变化率的概念。

导数的定义是函数在某一点的极限，即函数在该点的切线斜率。

2. 常见函数的导数公式- 常数函数：导数为0- 幂函数：导数为幂次减一乘以原幂次系数- 指数函数：导数等于指数函数的自变量乘以常数函数ln的导数- 对数函数：导数等于自变量倒数乘以常数函数ln的导数- 三角函数：导数等于三角函数的导函数3. 微分的概念微分是导数的另一种表示方式。

微分表示函数在某一点附近的近似线性变化。

4. 微分的性质- 微分可加性：如果f(x)和g(x)都在某一点可微分，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)- 常数倍法则：如果f(x)在某一点可微分，则(c · f(x))'(x) =c · f'(x)，其中c为常数二、变化率与速度1. 平均变化率平均变化率是用来衡量函数值在一个区间内的平均变化程度的概念。

计算公式为函数在两个点上的差值除以自变量的差值。

2. 瞬时变化率瞬时变化率是用来衡量函数值在某一点上的瞬时变化程度的概念。

计算公式为函数在某一点的导数值。

3. 速度与加速度在物理学中，速度是描述物体位置变化的物理量。

速度的导数是加速度。

三、函数的极值与最值1. 函数的极值函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

极大值是函数在某一点局部最大的函数值，极小值是函数在某一点局部最小的函数值。

极值点是函数在该点的导数为0或不存在的点。

2. 求极值的方法求解函数的极值可以使用导数的概念。

具体步骤为：求出函数的导数，将导数等于0的解称为临界点，再利用导数的符号来分析临界点的性质，得出函数的极值。

3. 函数的最值函数的最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值是函数的最大函数值，最小值是函数的最小函数值。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念不定积分是求函数的原函数的过程。

高等数学 第二章 导数与微分3—4节 课堂笔记及练习题主 题：第二章 导数与微分3—4节学习时间：2015年11月2日—11月8日内 容：这周我们将学习第二章导数与微分（3—4节）。

其中一定要注意区别导数与微分的概念。

导数是函数的变化率，是增量比（平均变化率）的极限（在某点的变化率）；函数的微分是增量的线性主部（)0)(0≠'x f ，并有不同的几何解释。

本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解微分的定义及几何意义，微分与导数的关系。

2、掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则，会求微分。

3、了解微分在近似计算中的简单应用4、理解高阶导数的定义，掌握高阶导数的求导方法。

基本概念：微分知识点：高阶导数求导知识结构图第三节、函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由0x 变到x x ∆+0，问此薄片的面积改变了多少？（如下图）设此正方形的边长为x ,面积为A ，则A 是x 的函数：2)(x x A =。

金属薄片的面积改变量为202020)(2)()(x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。

几何意义：x x ∆02表示两个长为0x 宽为x ∆的长方形面积；2)(x ∆表示边长为x ∆的正方形的面积。

数学意义：当0→∆x 时，2)(x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即)()(2x x ∆=∆ο；x x ∆02是x ∆的线性函数，它的系数02x 是函数2)(x x A =在0x 处的导数。

当||x ∆很小时，x x A A ∆'≈∆)(0。

定义：设函数)(x f y =在x 处可导，则增量)()(x f x x f y -∆+≈∆的线性主部x x f ∆')(称为)(x f 在x 处的微分，记作dy 或)(x df ，即x x f dy ∆'=)(。

注1：规定x dx ∆=，所以)(x f y =的微分记作x x f dy ∆'=)(，所以)(x f dxdy '=，因此，导数也叫做微商。

大一高数知识点总结上册一、导数与微分在大一高数的学习中，导数与微分是其中的重要知识点。

导数和微分是解决实际问题中变化率和极值问题的有力工具。

1. 导数的定义与计算方法导数是函数变化率的极限值，用于描述函数在某一点上的切线斜率。

导数的计算可以使用以下方法：- 利用导数的定义进行计算；- 使用求导法则，包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、商法则等。

2. 导数的几何意义和物理意义导数的几何意义是函数曲线上某一点的切线斜率，可以用来研究曲线的变化趋势和几何性质。

导数的物理意义是描述物理量的变化率，例如速度的导数是加速度。

3. 微分的定义和应用微分是导数的一个近似值，描述函数在某一点上的局部变化情况。

微分的定义可以使用导数进行计算，在实际应用中可以帮助解决极值问题。

4. 高阶导数与高阶微分高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。

高阶微分是微分的微分，表示函数局部变化情况的变化情况。

二、一元函数与极限一元函数是大一高数中另一个重要的知识点，它是导数和微分的基础。

1. 一元函数的定义和性质一元函数是自变量和因变量之间的关系，在数学中常用符号表示。

一元函数具有以下性质：- 定义域和值域；- 奇偶性和周期性；- 单调性和最值；- 对称性和反对称性。

2. 极限的定义与性质极限是函数趋近于某一点的稳定值，是一元函数的重要概念。

极限具有以下性质：- 极限的存在与唯一性；- 极限的四则运算性质；- 极限的保号性质；- 极限的夹逼性质。

三、无穷级数无穷级数是在大一高数中需要掌握的重要概念，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。

1. 数列与无穷级数的定义数列是按一定规律排列的一系列数，无穷级数是数列的部分和构成的。

2. 等比级数与等比数列等比数列是相邻两项之比为常数的数列，等比级数是以等比数列的项作为部分和构成的级数。

3. 幂级数与函数展开幂级数是以幂函数的项作为部分和构成的级数。

幂级数可以通过展开函数的泰勒级数来表示函数。

大一高数导数与微分知识点在大一的高数课程中，导数与微分是重要的概念和知识点。

导数是微积分的基础，它们在数学和其他科学领域中具有广泛的应用。

本文将介绍大一高数导数与微分的基本概念、求导法则以及常见的应用。

一、导数的定义在高数中，我们通常使用极限的思想来定义导数。

对于函数y=f(x)，如果存在一个常数a，当x无限接近a时，函数在点a处的变化率趋近于一个确定的值，那么我们称该函数在点a处可导，并将该变化率值称为函数在点a处的导数，记作f'(a)。

导数表示了函数在某一点处的斜率或变化率。

二、导数的求法与求导法则在实际应用中，我们需要根据具体的函数形式来求导。

以下是一些常见函数求导的法则：1.常数法则：对于常数c，它的导数为0，即d/dx(c) = 0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，求导结果为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

3.和差法则：对于函数y=u(x) ± v(x)，其中u(x)和v(x)可导，求导结果为d/dx(u ± v) = u' ± v'。

4.乘积法则：对于函数y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)可导，求导结果为d/dx(uv) = u'v + uv'。

5.商法则：对于函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)可导且v(x)≠0，求导结果为d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v^2。

6.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)可导，求导结果为d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)。

三、微分的概念与计算微分是导数的相关概念，是用来描述函数在某一点处的局部线性逼近。

对于函数y=f(x)，它的微分表示为dy=f'(x)dx。

微分可用于线性近似、函数值的估计以及误差的分析。

四、常见的导数与微分应用1.函数的极值点：导数在极值点处为0，通过导数的求解可以找到函数的极值点。

大一高数知识点全总结一、导数与微分大一高数的第一个重点知识点是导数与微分。

导数是研究函数变化率的工具，表示函数在某一点处的切线斜率。

微分则是导数的另一种表达方式，它是建立在导数的基础上，用于在某一点附近对函数进行线性逼近。

在学习导数与微分时，需要注意以下几个重要的概念和公式：1. 导数的定义：导数可以用函数的极限表示，即 f'(x) =lim(Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中 f'(x) 表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。

2. 常见函数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数可以利用一些基本的求导法则确定。

3. 高阶导数：函数的导数也可以再次求导，得到的导数称为高阶导数。

4. 微分的定义：函数 y = f(x) 在点 x 处的微分可以表示为 dy = f'(x)dx。

5. 微分的应用：微分可以用来进行近似计算，比如在物理上的位移、速度和加速度等问题中的应用。

二、极限与连续极限与连续是大一高数的第二个重点知识点。

极限是数列、函数趋近于某个确定值的概念，连续则是函数在某一区间内无断点的特性。

在学习极限与连续时，需要注意以下几个重要的概念和定理：1. 数列极限的定义：对于一个数列 {an}，若存在常数 A，使得当 n 趋于无穷时，an 与 A 的差值无限接近，则称数列 {an} 的极限为 A。

2. 函数极限的定义：对于一个函数 f(x)，若存在常数 A，使得当 x 趋于某个值 x0 时，f(x) 与 A 的差值无限接近，则称函数 f(x) 的极限为 A。

3. 极限的性质与四则运算：极限具有唯一性和有界性，并且可利用四则运算法则求解。

4. 无穷小量与无穷大量：无穷小量是指当 x 趋于某个值时，其极限为 0 的量；无穷大量是指当 x 趋于某个值时，其绝对值无限增大的量。

5. 连续函数的定义与性质：函数在某一点 x0 处连续，意味着函数在 x0 处的极限等于函数在 x0 处的取值，并且连续函数的四则运算结果仍然是连续函数。

高数大一导数和微分知识点在高等数学学科中，导数和微分是非常重要的概念和知识点。

导数用于描述函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的一种具体形式。

本文将介绍导数和微分的基本概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。

函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它的定义如下：f'(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a) 当 x -> a时导数具有以下一些性质：1. 可导性：如果函数f(x)在点x=a处有导数，那么我们说函数在点x=a处可导。

2. 右导数和左导数：如果函数f(x)在点x=a处的右导数和左导数存在且相等，那么函数在点x=a处可导。

3. 常数导数：常数函数的导数为0。

4. 和差法则：(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)，(f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)。

5. 乘法法则：(f·g)'(a) = f'(a)·g(a) + f(a)·g'(a)。

6. 除法法则：(f/g)'(a) = (f'(a)·g(a) - f(a)·g'(a)) / (g(a))^2，其中g(a) ≠ 0。

7. 复合函数的导数：如果y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为f'(g(x))·g'(x)。

二、导数的计算方法1. 基本函数的导数：- 常数函数的导数为0。

- 幂函数y=x^n的导数为y'=n·x^(n-1)。

- 三角函数的导数：正弦函数的导数为y'=cos(x)，余弦函数的导数为y'=-sin(x)，正切函数的导数为y'=sec^2(x)。

大一高数笔记知识点总结一、导数与微分1.1 定义与性质在数学中，导数（derivative）是一个用于衡量函数变化率的概念。

对于函数f(x)，它在某一点x处的导数可以通过求函数在该点处的切线斜率来定义，记作f'(x) 或 dy/dx。

1.2 求导法则求导法则是用于计算导数的一些基本规则。

常见的求导法则包括：1.2.1 常数法则如果f(x)为常数，则其导数为0。

即对于任意常数c，有d(c)/dx = 0。

1.2.2 基本函数法则对于基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），我们可以通过一些特定的求导公式来计算其导数。

1.2.3 和、差、积、商法则这些法则提供了计算复合函数导数的方法。

其中，和差法则可用于计算两个函数之和或差的导数，积法则可用于计算两个函数的乘积的导数，商法则可用于计算两个函数的商的导数。

1.2.4 链式法则链式法则是求导中的一个重要工具，可以用于计算复合函数的导数。

它将复合函数的导数与内外函数的导数联系起来。

1.3 微分微分指的是对函数的导数进行操作。

在微积分中，微分可以用来衡量函数对自变量变化的敏感程度。

根据微分的定义，我们有dx = f'(x)dx。

这里，dx表示自变量的一个小增量，f'(x)表示函数在x处的导数。

二、极限与连续2.1 极限极限是描述函数趋近某一值的概念。

对于函数f(x)，当x无限接近于某个值a时，函数的极限可以用lim(x→a)f(x)来表示。

2.2 极限的性质极限具有许多重要的性质，其中一些常见的性质包括极限的唯一性、极限的四则运算、复合函数的极限等。

2.3 连续性连续性是数学中一个重要的概念。

如果函数在某一点x=a处的极限等于该点处的函数值，即lim(x→a)f(x) = f(a)，则称函数在该点处连续。

2.4 连续函数性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及复合函数的连续性等。

三、导数应用3.1 切线与法线对于函数f(x)，导数f'(x)可以用于求解函数曲线上某点处的切线斜率。

大一高数b第一二章知识点一、导数与微分在大一高数B课程中，导数与微分是一个非常重要的知识点。

导数的基本概念是刻画函数在某一点的变化率，它是函数的斜率，可以用来求解函数的极值和最值。

微分是导数的几何解释，给出了函数的局部变化的近似值。

1. 导数的定义导数定义为函数在某一点处的极限。

对于函数f(x)，在点x处的导数定义为：\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]导数还可以表示为函数f(x)的变化率，即函数值随着自变量的变化而变化的速率。

2. 导数的基本运算导数具有一些基本的运算性质。

例如，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有：\[ (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) \]\[ (cf)'(x) = cf'(x) \]（其中c为常数）\[ (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]\[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{g^2(x)} \]（其中g(x) ≠ 0）3. 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数。

二阶导数表示函数的一阶导数的导数，用符号f''(x)表示。

高阶导数可以用来描述函数的曲率和凹凸性等性质。

4. 微分微分是导数的几何解释。

对于函数f(x)，在点x处的微分表示为：\[ dy = f'(x) \cdot dx \]微分可以理解为函数在某一点处的线性近似。

它提供了函数在极小变化下的值。

5. 微分中值定理微分中值定理是导数的一个重要应用。

定理表明，在开区间(a, b)上连续且在开区间内可导的函数f(x)，存在一个点c，使得f'(c) = \[\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]二、穷尽法与定积分1. 穷尽法穷尽法是计算曲边梯形的面积的一种方法。