2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章 第四节 空间中的平行关系 Word版含解析

第50讲空间中的平行关系1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义．2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行．3．能正确运用“空间直线与平面平行”“平面与平面平行”进行逻辑推理．知识梳理1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有任何公共点；(2)判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示：b?α，a?α，a∥b?b∥α.2．直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.3．两个平面平行的判定(1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(2)垂直于同一直线的两个平面平行．4．两个平面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面．符号表示：α∥β，a?α，则a∥β.(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.1．判断两平面平行的常用结论(1)垂直于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行．2．与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被第三个平面所截，截得的对应线段成比例；(4)同一条直线与两平行平面所成的角相等．热身练习1．下列说法正确的是(D)A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b?α，则a∥αD．若直线a?α，b?α且a∥b，那么直线a∥αA中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故B错；C中缺少a不在平面α内这一条件；D满足线面平行的三个条件，故选 D.2．直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是(D)A．a∥b B．a⊥bC．a，b异面D．a∥b或a与b异面直线a∥平面α，直线b?α，所以a与b无公共点，所以a与b平行或异面，选 D.3．下列命题错误的是(C)A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行B．垂直于同一直线的两平面平行C．平行于同一直线的两平面平行D．平行于同一平面的两平面平行A，B是两个平面平行的两个判定定理，正确；C错误，D正确，故选 C.4．下列命题中不正确的是(D)A．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面B．两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行C．一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行A，B是两个平面平行的性质，正确；C正确，可用反证法进行证明；D错误，这一直线还可能在另一个平面内．故选 D.5．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．直线与平面平行的判断(2017·浙江卷节选)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD ⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面P AB.在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，因此，在处理第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．这同时也考查了考生对信息的综合分析和处理的能力．如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，P A的中点，所以EF∥AD且EF＝12 AD.又因为BC∥AD，BC＝12 AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.因为BF?平面PAB，CE?平面PAB，所以CE∥平面P AB.(1)证线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，转化为证线线平行．②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行．(2)利用判定定理时，要注意强调：(ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外的直线与平面内的直线平行．(3)证线线平行是证线面平行的基础，要注意如下结论的运用：①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中位线定理、平行四边形的性质等．1．(2015·山东卷节选)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.(方法一)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.(方法二)在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.又BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE∥平面FGH.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH?平面FGH，AB?平面FGH，所以AB∥平面FGH.又AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.平面与平面平行的判定(2015·四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定定理，即转化为证线面平行．2．如图，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，E，F分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1F∥平面BEC1.因为E，F分别是AC，A1C1的中点，所以AE＝FC1.又因为AE∥FC1，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1.因为EC1?平面BEC1，AF?平面BEC1，所以AF∥平面BEC1.连接EF.因为EF∥BB1，EF＝BB1，所以四边形BB1FE是平行四边形，所以B1F∥BE，B1F?平面BEC1，BE?平面BEC1，所以B1F∥平面BEC1.因为AF，B1F是平面AB1F内的相交直线，所以平面AB1F∥平面BEC1.线面平行、面面平行的性质的应用(2015·安徽卷节选)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C ∥A1D.又A1D?平面A1DE，B1C ?平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE.又B1C?平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(1)证线线平行，常利用线面平行、面面平行的性质定理．(2)线面平行、面面平行转化为线线平行，都是通过“辅助平面”完成的．3．(2018·石家庄一模节选)已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且P A⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3(S△PEF表示△PEF的面积)．证明：PB∥平面ACE.由题意知四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又CD?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PC，PD的中点，连接BD交AC于G，则G为BD的中点．在△PBD中，EG为中位线，所以EG∥PB.因为EG∥PB，EG?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.1．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”、再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但必须注意，转化方向的确定必须根据题目的条件和问题的特点而定．三种平行关系转化的示意图为：2．线面平行的判定定理中，要特别注意“平面外的一条直线”与“平面内的一条直线”，两者缺一不可；面面平行的判定定理中，要特别注意“两条相交直线”这一条件．3．解决有关平行问题时，要注意常用结论的总结和应用，以下是一些常用结论，在解决有关选择题、填空题时可直接引用．(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(7)两平行平面间的距离处处相等．(8)平行于同一条直线的两条直线平行．(9)平行于同一个平面的两个平面平行．(10)平行于同一直线的两个平面平行或相交．(11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．。

课时规范练 A 组 基础对点练1．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．4 3C ．4 2D ．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝4 3. 答案：B2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )A.41π3B.62π3 C.83π3D.104π3解析：由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π3.答案：D3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.答案：D4．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h ＝23333＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是π×12＝π，C 项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C. 答案：C5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥PABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PN ＝5，PM ＝3，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S △PBC＝12×4×3＝6. 答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22×π×4＝8π.∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A7．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16πB ．12πC ．14πD ．17π解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22＝16π.答案：A8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析：设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.答案： 39．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3. 答案：8－π310.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)． 答案：4π cm 3B 组 能力提升练1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a2 B.3πa3π C.23πa 3πD.23a3π解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa 3π.答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163 B.203 C.152D.132解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.答案：D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3，则体积为13×12×6×3×3＝9.答案：B4．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2＋|AB |2＝3 3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B.14 C.12D.38解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2× (2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C. 答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3C ．4 3D ．23π解析：由题意可得该几何体是有一个侧面PAC 垂直于底面ABC ，高为3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上，且是等边三角形PAC 的外心．这个几何体的外接球的半径R ＝23PD ＝233.则这个几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝16π3. 答案：A7．(2018·郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )A.23B.43C.83D ．2解析：由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V ＝13×12×2×1×2＝23，故选A.答案：A8．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )A.14＋223B.8＋223C.12＋223D ．8＋2 2解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a ＋a )·a ·2＋a2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223，故选A. 答案：A9．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π. 答案：6π10．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝______________________________________________________.解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64，解得DN ＝3，所以CN ＝CD－DN＝1. 答案：1。

课时规范练 A 组基础对点练1设m , n 是不同的直线，a, B 是不同的平面，且 m , n? a,则"all 是"m // B 且n // &的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：若m , n?a, a//B 则m // B 且n // B 反之若 m , n?a,m // B 且n // B 贝U a 与B 相交或平行，即“a// B 是“ m // B 且n // B”的充分不必要条件. 答案：A立，所以m // l i 且n// I 2是a// B 的一个充分不必要条件. 答案：A3 .设a, B 是两个不同的平面， m 是直线且m? a,① AD// BC i ;②平面 AB i D i // 平面 BDC i ;® AD i // DC i ;@ ADJ / 平面 BDC i .2. 设a , B 是两个不同的平面， m , n 是平面相交直线,则a// B 的一个充分不必要条件是a 内的两条不同直线，l i , I 2是平面B 内的两条A . m // l i 且 n // I 2B . m // B 且 n // l 2C . m // B 且 n // B解析：由 m // l i , m? a, l i ? B,得 l i /D . m // a,同理 I ? // a,B 且 l i // a又l i , I 2相交，所以aB,反之不成“ m // B 是 “a// B” 的(A .充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：若m? a 且m// B,则平面a 与平面B 不一定平行，有可能相交；而 m? a 且 a/ B 一一定可以推出m // B,所以“m // B 是“a// B 的必要而不充分条件. 答案：B4. （20i8江西赣中南五校联考）已知m , n 是两条不同的直线，a , 则下列命题中正确的是（ ）B,丫是三个不同的平面,A .若a丄Y, a 丄 B则丫// BB .若 m //n , m? a ,n? B ,则 C .若 m //n , m 丄a ,n 丄B ,则 D .若 m //n , m //a ,则n // a解析： 对于A ,若 a 丄Y a 丄BB,则丫// B 或丫与B 相交；对于B , m // n , m? a, n? B,选C. 答案:5.已知正方体 ABCD易知C 正确；对于D ,若m // n , m // a ,则 A i B i C i D i ,F 列结论中，正确的结论是n // a 或n 在平面a 内.故（只填序号）.B 或a 与B 相交;则a a // Ba // B解析：连接AD i, BC i, AB i, B1D1, CQ I, BD，因为AB 綊CQ i，所以四边形AD i C i B为平行四边形，故AD i〃BC i,从而①正确；易证BD // B i D i, AB1// DC 1,又AB 1A B1D1=B1, BD Cl DC 1= D ,故平面AB1D1/ 平面BDC1, 从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因ADJ/ BC1, AD1? 平面BDC1, BC1?平面BDC1，故AD1/平面BDC1，故④正确.答案：①②④6•如图所示，在四面体ABCD中，M , N分别是△ ACD , △ BCD的重心,则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是___________ .解析：连接AM并延长，交CD于E,连接BN,并延长交CD于F，由重心性质可知，E, F重合为一点，且该点为CD的中点E,连接MN , 由EM= EN= 1,得MN // AB.因此，MN //平面ABC 且MN //平面ABD.MA NB 2答案：平面ABC、平面ABD7. (2018咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是n边长为1的菱形，/ ABC = -, OA丄底面ABCD , OA = 2, M为OA4的中点，N为BC的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积；⑵证明：直线MN //平面OCD.解析：⑴•/ OA丄底面ABCD ,••• OA是四棱锥O-ABCD的高.二•四棱锥O-ABCD的底面是边长为1的菱形,n - 寸2 / ABC = 4 ,•••底面面积S 菱形ABCD =于.•「OA = 2,•••体积V O-ABCD= ⑵证明：取OB的中点E,连接ME , NE（图略）. •/ ME // AB, AB// CD , • ME // CD.又••• NE// OC , ME A EN= E, CD A OC = C,•平面MNE //平面OCD.•/ MN?平面MNE ,• MN //平面OCD.D D(1)请将字母F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);& 如图，四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD 丄平面ABCD , PD = DC = 2, 点E , F 分别为AD , PC 的中点.9. (2018昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在 正方体中，设BC 的中点为M , GH 的中点为N.(1)证明：DF //平面PBE ; ⑵求点F 到平面PBE 的距离. 解析:1(1)证明：取PB 的中点G ,连接EG , FG ,贝U FG // BC ,且FG = _BC ,1•••DE // BC 且 DE = 2BC ,「. DE // FG 且 DE = FG ,•••四边形DEGF 为平行四边形，••• DF // EG ,又DF?平面PBE , EG?平面 PBE ,• DF //平面 PBE.⑵由(1)知DF //平面PBE , •点D 到平面 PBE 的距离与 F 到平面 PBE 的距离是相等的， 故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为 d. 连接 BD. •/ V D PBE = V P BDE ,.1 1…§S °PBE d = §S °BDE PD ,由题意可求得 PE = BE = 5, PB = 2 3, --S A PBE = AB = 2X 1 X 2= 1 ,H DFCE AfiF12X 2,3X1='.6，又S ABDE= §DE⑵证明：直线MN //平面BDH ;(3)过点M, N , H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.解析：⑴点F, G , H的位置如图所示.(2)证明：连接BD，设0为BD的中点，连接0M , OH , AC, BH , MN.••• M , N分别是BC, GH的中点，1•••OM // CD，且OM = 2CD ,1NH // CD，且NH = 2CD ,• OM // NH , OM = NH ,则四边形MNHO是平行四边形，• MN // OH ,又MN?平面BDH , OH?平面BDH ,• MN //平面BDH .⑶由(2)知OM // NH , OM = NH,连接GM , MH ,过点M , N , H的平面就是平面GMH , 它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即 3 : 1.B组能力提升练1. 已知直线a , b,平面a,则以下三个命题：①若 a // b , b? a,贝U a // a;②若 a / b , a // a,贝U b // a;③若 a / a, b // a ,贝U a // b.其中真命题的个数是()A . 0B . 1C. 2 D . 3解析：对于①，若a/ b , b? a,则应有a / a或a? a,所以①是假命题；对于②，若a// b , a// a ,则应有b// a或b? a,因此②是假命题；对于③，若a // a, b// a ,则应有a // b或a 与b相交或a与b异面，因此③是假命题.综上，在空间中，以上三个命题都是假命题.答案：A2. 已知直线a , b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面a使b丄a；(1)请将字母F, G , H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);② 一定存在平行于 a 的平面a 使b //a ； ③ 一定存在平行于 a 的平面a 使b? a ；④ 一定存在无数个平行于 a 的平面a 与b 交于一定点. 则其中正确的是（ ）A .①④ C .①②③D .②③④解析：对于①，若存在平面a 使得b 丄a,则有b 丄a ,而直线a , b 未必垂直，因此①不正确； 对于②，注意到过直线 a , b 外一点M 分别引直线a , b 的平行线a 1, b 1，显然由直线a 1, b l 可确定平面a,此时平面a 与直线a , b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B 作直线a 2与直线a 平行，显然由直线 b 与a ?可确定平面a,此时平面a 与直线 a 平行，且b? a,因此③正确；对于④，在直线b 上取一定点N ，过点N 作直线c 与直线a平行，经过直线 c 的平面（除由直线a 与c 所确定的平面及直线 c 与b 所确定的平面之外）均 与直线a 平行，且与直线 b 相交于一定点 N ,而N 在b 上的位置任意，因此④正确.综上 所述，②③④正确• 答案：D3. （2018温州十校联考）如图，点E 为正方形 ABCD 边CD 上异于点C , D 的动点，将厶ADE 沿AE 翻折成△ SAE ,使得平面SAE 丄平面ABCE ,则下列三种说法中正确的个数是 （）① 存在点E 使得直线SA 丄平面SBC ; ② 平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③ 平面ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行. A . 0 B . 1 C . 2D . 3解析：由题图，得 SA 丄SE ,若存在点 E 使得直线 SA 丄平面SBC ，贝U SA 丄SB, SA 丄SC ,贝U SC , SB, SE 三线共面，则点 E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为 SA 与平面SBC 相交，所以在平面 SBC 内不存在直线与 SA 平行，故②错误；显然，在平面 ABCE 内，存在 直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行，故③正 确.故选B. 答案：B 4.下列命题中，错误的是 （）A .一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B .平行于同一平面的两个不同平面平行B .②③C .如果平面 a 不垂直平面 伏那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面 3D .若直线I 不平行平面a,则在平面a 内不存在与I 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行， 不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理， B 正确；C 中，如果平面 a 内有一条直线垂直于平面 3则平面a垂直于平面 3这是面面垂直的判定定理），故C 正确；D 是错误的，事实上，直线 I 不平行 平面a,可能有I? a,则a 内有无数条直线与I 平行. 答案：D5. （2018唐山统一考试）在三棱锥 P ABC 中，PB = 6, AC = 3, G PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ,则截面的周长为 ___________ .解析：过点G 作EF // AC ,分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN // PB 、FM // PB , 分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN （图略），则四边形EFMN 是平行四边形，所以 即EF = MN = 2, FM = FM =-，即FM = EN = 2,所以截面的周长为 2X 4 = 8.PB 6 3 答案：86. 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线 B 。

课时规范练A组基础对点练1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA ⊥平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△PBC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形．答案：A2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：对于C项，由α∥β，a⊂α可得α∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.答案：C3．(2018·兰州诊断考试)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( )A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β，故选D.答案：D4．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b ⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确。

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确． 答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ， 由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63. 9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ， 则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组 能力提升练1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题． 答案：A2．已知直线a ，b 异面，给出以下命题； ①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0B．1C．2 D．3解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC 相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.答案：B4．下列命题中，错误的是()A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行． 答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

课时规范练A组基础对点练1．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．答案：D2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．答案：A3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案：D4．过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案：D5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能．答案：D6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.答案：B7．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC 和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A8．(2018·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析：依题意知，A、B、C均不能得出α⊥β.对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D9．下列命题中，错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选项A显然正确．根据面面垂直的判定定理，选项B正确．对于选项C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过点P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，∴a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又∵a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故选项C正确．对于选项D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l不垂直于β，故在α内存在直线不垂直于平面β，选项D 错误．答案：D10．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析：A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.答案：C11．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有() A．0个B．1个C．2个D．3个解析：将α，β分别换成直线a，b，则命题变为“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题；将α，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥β，a⊥b⇒β⊥b”是假命题；将β，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥a ，α⊥b ⇒a ⊥b ”是真命题，故真命题有2个．答案：C12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α；③设α∩β＝l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β；④直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β，所以①正确；若α外的一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α，所以②正确；设α∩β＝l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α与β不一定垂直，所以③错误；直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.答案：①②13.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行②EF 与GH 异面③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ， 所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ，因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．14．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．答案：3B组能力提升练1．(2018·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．故选B.答案：B2．(2018·贵阳监测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.答案：B3．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1 B．2C．3 D．4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故①正确；由于不能确定直线m，n相交，不符合线面垂直的判定定理，故②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故③正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，可得l∥n，故④正确．答案：C4．(2018·宁波模拟)下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条解析：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.答案：D5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故①错误；②因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故②正确；③过直线m作平面γ交平面β于直线c，因为m，n是两条异面直线，所以设n∩c＝O.因为m∥β，m⊂γ，γ∩β＝c，所以m∥c.因为m⊂α，c⊄α，所以c∥α.因为n⊂β，c⊂β，n∩c＝O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正确；④由面面垂直的性质定理可知④正确．答案：C7.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F.则下列命题中真命题有()①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1F ；③对于任意的点E ，平面A 1C 1D ⊥平面BED 1F ；④对于任意的点E ，四棱锥B 1BED 1F 的体积均不变．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：当点E 为棱CC 1中点时，A 1C 1∥EF ，可得A 1C 1∥平面BED 1F ；因为B 1D 与BD 1不垂直，因此B 1D ⊥平面BED 1F 不成立；因为正方体的体对角线BD 1与平面A 1C 1D 垂直，因此平面A 1C 1D ⊥平面BED 1F ；四棱锥B 1BED 1F 的体积等于2VB 1BED 1＝2VD 1BEB 1＝2×13·D 1C 1·12·BB 1·BC 为定值，故选D. 答案：D8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22解析：如图，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綊12B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成的角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010. 答案：C9．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16B.36C.13D.33解析：设正四面体ABCD 的棱长为2.如图，取AD 的中点F ，连接EF ，CF .在△ABD 中，由AE ＝EB ，AF ＝FD ，得EF ∥BD ，且EF ＝12BD ＝1. 故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．在△ABC 中，CE ＝32AB ＝3； 在△ADC 中，CF ＝32AD ＝ 3. 在△CEF 中，cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 22CE ·EF＝(3)2＋12－(3)223×1＝36. 所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为36. 答案：B 10．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是( )A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n解析：由线面平行、垂直之间的转化知A 、B 正确；对于C ，因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，又n ⊂β，所以β⊥α，即C 正确；对于D ，m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ，或m 与n 是异面直线，故D 不正确．答案：D11．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，过点A ，C ，B 1的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是________．解析：平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ∩平面ACB 1＝AC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面ACB 1＝l ，由面面平行的性质定理得AC ∥l .答案：平行12．如图所示，四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为________．解析：如图所示，延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE .∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，∴DE ＝BC ，DE ∥BC .∴四边形CBED 为平行四边形，∴CD ∥BE .∴∠PBE 就是异面直线CD 与PB 所成的角．在△P AE 中，AE ＝P A ，∠P AE ＝120°，由余弦定理，得 PE ＝P A 2＋AE 2－2P A ·AE cos ∠P AE ＝ AE 2＋AE 2－2AE ·AE ·⎝⎛⎭⎫－12＝3AE .在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°，∴BE ＝2AE .∵△P AB 是等边三角形，∴PB ＝AB ＝AE ，∴PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，∴∠PBE ＝90°.答案：90°13．(2018·济南模拟)在正四棱锥V -ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，因为四棱锥V -ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2. 答案：π2。