2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第九章第三节几何概型Word版含解析.doc

第三节　几何概型2019考纲考题考情1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P (A )＝。

构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)几种常见的几何概型1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关。

2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题。

3．与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题。

一、走进教材1．(必修3P 142A 组T 3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s ，黄灯的时间为5 s ，绿灯的时间为40 s ，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为( )A ．B ．1525C ．D ．3545解析　设事件A 表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A 对应30 s 的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度。

根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P (A )＝＝。

故选B 。

307525答案　B2．(必修3P 140练习T 1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘为( )解析　如题干选项中的各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A)＝，P (B)＝＝，P (C)＝＝，P (D)＝3828142613。

故选A 。

13答案　A二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

课时规范练A组基础对点练1如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85,乙同学的六科成绩的众数为84,则x, y的值分别为（）甲乙57 4 5x 4 28y 43 09 5 SA . 2,4B . 4,4C. 5,6 D . 6,4解析：龙甲= 75+ 82+ 84+ 8°+ X+ 90+ 93= 85,解得x= 6,由图可知y = 4•选D.6答案：D2.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位: 台）的茎叶图，则数据落在区间［22,30）内的频率为（)18921 2 2—9300 3A.0.2B. 0.4C . 0.5D . 0.6解析：由题意知，这10个数据落在区间［22,30）内的有22、22、27、29，共4个，所以其频率为茅0.4,故选B.答案：B3.（2018合肥质检）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图•已知甲班5名同学成绩的平均数为81,乙班5名同学成绩的中位数为73,则x- y的值为（）••• x-y=—3,故选D.答案：D屮乙67 7 27o r 6 %R5091解析：由题意得72 + 77+ 80+ x+ 86 + 90= 81? x= 0，易知y=3, 5C. 3 D . - 34 . （2018淄博模拟）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：cm）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm,但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为___________________ .18 0 117 1 2 jr 4 5解析：由题意可知，1170+ 片X (1 + 2+ x+ 4 + 5+ 10+ 11)= 175,1即7X (33 + x) = 5,即33+ x= 35,解得x= 2.答案：25. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他110个小长方形的面积和的4，且样本容量为160,则中间一组的频数为 ______________ .解析：依题意，设中间小长方形的面积为x,则其余小长方形的面积和为4x,所以5x = 1 ,x= 0.2,中间一组的频数为160X 0.2= 32.答案：326. 两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549 10 74乙：9578768677由此估计_______ 的射击成绩更稳定.解析：因为x甲=7, x乙=7, S甲=4, s i= 1.2,所以s乙＜s甲，所以乙的射击成绩更稳定.答案：乙7. (2018唐山统考)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试.根据体育测试得到了这m名学生的各项平均成绩(满分100分),按照以下区间分为7 组：[30,40), [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]，并得到频率分布直方图(如图).已知测试平均成绩在区间[30,60)内的有20人.(1) 求m的值及中位数n;(2) 若该校学生测试平均成绩小于n,则学校应适当增加体育活动时间. 根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？解析：（1）由频率分布直方图知第1组、第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06,则m x （0.02+ 0.02 + 0.06）= 20,解得m= 200.由直方图可知，中位数n 位于［70,80）内，贝U 0.02 + 0.02 + 0.06+ 0.22+ 0.04（n—70）= 0.5, 解得n= 74.5.⑵设第i(i = 1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为p i和为，由题图知，p i = 0.02, p2= 0. 02 , p3 =0.06, p4= 0.22, p5= 0.40, p6= 0.18, P7= 0.10,则由X i = 200X p i，可得X1= 4, X2= 4, X3= 12, X4 = 44, X5= 80, X6 = 36, x?= 20,故该校学生测试平均成绩是35x1 + 45x2 + 55x3 + 65 X4+ 75x5 + 85x6 + 95x774 V 74.5,200所以该校应该适当增加体育活动时间.&为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）.试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0. 6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52. 5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3. 2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41. 6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解析：（1）设A药观测数据的平均数为x , B药观测数据的平均数为y .由观测结果可得x = 20(0.6 + 1.2+ 1.2+ 1.5 + 1.5+ 1.8 + 2.2+ 2.3+ 2.3+ 2.4+ 2.5 + 2.6+ 2.7 + 2.7+ 2.8+ 2.9 + 3.0+ 3.1 + 3.2+ 3.5) = 2.3,.1y = 20(0.5 + 0.5 + 0.6 + 0.8 + 0.9 + 1.1 + 1.2 + 1.2 + 1.3 + 1.4+ 1.6 + 1.7+ 1.8 + 1.9+ 2.1 + 2.4 +2.5+ 2.6+ 2.7+3.2) = 1.6.由以上计算结果可得 > y ，因此可看出A 药的疗效更好.⑵由观测结果可绘制如下茎叶图:A 药R 两6 仇 5 5 6 8 98 5 5 2 2 1. 1 22 3467 8 99 B 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 14 5 6 75 2 10 3” 2从茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果有 哈的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有7的叶集中在茎0,1上，由此可看出 A 药的疗效更好.B 组能力提升练1•某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是:C . 0.18D . 0.018解析：依题意，0.054X 10+ 10x + 0.01 X 10+ 0.006X 10X 3= 1，解得 x = 0.018,故选 D. 答案：D2. 某高校调查了 200名学生每周的自习时间 伸位：小时），制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是 [17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）, [20,22.5）, [22.5,25）, [25 , 27.5）, [27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于解析：由频率分布直方图可知， 这200名学生每周的自习时间不少于 + 0.08 + 0.04） X 2.5 = 0.7,故这 200名学生中每周的自习时间不少于 200X 0.7 = 140.故选 D. 答案：D3•将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91 ,A . 0.12x 的值等于（）22.5小时的人数是（）A . 56 C . 12022.5小时的频率为（0.1622.5小时的人数为[40,50), [50,60), [60,70),B . 0.012现场作的9个分数的茎叶图后来有 1个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示.[)则7个剩余分数的方差为（ 116 A.-g - C . 367[87 + 94+ 90+ 91 + 90+ (90+ x)+ 91] = 91,二 x = 4.••• s 2= 7[(87 — 91)2+ (94 — 91)2+ (90 — 91)2+ (91 — 91)2 + (90- 91)2 + (94- 91)2+ (91 — 91)2]= 36 答案：B4•已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数 也相同，那么 m + n = ________ . 解析：•• •两组数据的中位数相同，=3,又•• •两组数据的平均数也相同, 27 +33+ 39 20 + n + 32 + 34+ 38 33= 4• m + n = 11. 答案：115. （2018皖南八校第三次联考）第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确 定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划 和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题.某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度， 随机抽取了 300名年龄在［10,60］内的公民进行调查， 所得结果统 计为如下的频率分布直方图.36 B.y解析：根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99,乙7 2 n. 9皿3 2 43•• n = 8,(1)求抽取的年龄在［30,40)内的居民人数；⑵若按照分层抽样的方法从年龄在［10,20)、［50,60］内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在［50,60］内的概率.解析：⑴依题意，知年龄在［30,40)内的频率P = 1 —(0.02 + 0.025+ 0.015+ 0.01) X 10 = 0.3, 故所求居民人数为300X 0.3 = 90.⑵依题意，从年龄在［10,20)、［50,60］内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在［10,20)内的4人为A, B, C, D ,年龄在［50,60］内的2人为1,2,故抽取 2 人进行测试的所有情况为(A, B), (A, C), (A, D), (A,1), (A,2), (B, C), (B , D), (B,1) , (B,2) , (C , D) , (C,1) , (C,2) , (D,1) , (D,2) , (1,2),共15 种,其中满足条件的情况为(A,1) , (A,2) , (B,1) , (B,2) , (C,1) , (C,2) , (D,1) , (D,2) , (1,2),共9 种，故所求概率P = 3 . 56•为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下:248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283(1)完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；280小时；(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限. 解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：0,015 0 ----------------------------0,012 50.010 0 ------------------------ 1—0.007 5亠…………_0.005 0 ... .................... ..... ..... ——一0.002 5 ---・ _I -------------- ■■・「・■・・\ —_I_I -------- -- --- -- -- ---- >0 1^200220 2402602^ 却0 320 341)时佰“小时⑵由题意可得8X (0.30 + 0.10+ 0.05) = 3.6,所以估计8万台电风扇中有 3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.⑶由频率分布直方图可知x = 190X 0.05 + 210X 0.05 + 230X 0.10 + 250X 0.15 + 270 X 0.20 + 290X 0.30 + 310X 0.10 + 330X 0.05= 269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时.。

课时规范练 A 组基础对点练1执行如图所示的程序框图，若输入的a ,b , k 分别为1,2,3,则输出的M =(7 C.7解析：第一次循环：M = 2 3, a = 2,b = 2, n = 2;第二次循环:M =号，a = 4 5 6, b = 3 n = 3; 第三次循环：15 8 15 15M = --, a = 8, b = 丁，n = 4.则输出的 M = 丁，选 D.8 3 8 8答案：D2.执行如图所示的程序框图，如果输入的 x , t 均为2,则输出的S =()C . 61解析：k = 1 w 2,执行第一次循环， M = 1X 2 = 2, S = 2 + 3 = 5, k = 1 + 1 = 2; k = 2< 2,执2行第二次循环， M = |X 2 = 2, S = 2+ 5 = 7, k = 2 + 1 = 3 ; k = 3>2，终止循环，输出 S = 7. 故选D. 答案：D3•阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的20 i 的值为()15B . 5、 * ____/输丸砒A . 3B . 4C . 5D . 6解析：第一次执行，i = 1, a = 2;第二次执行，i = 2, a = 5;第三次执行，i = 3, a = 16;第 四次执行，i = 4, a = 65,此时满足条件a>50,跳出循环，故选 B. 答案：B4•执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值是407, y 的值是259，那么输出的x 的值解析：输入x 的值是407, y 的值是259，第一次循环后，S = 148, x = 259, y = 148;第二次 循环后，S = 111, x = 148, y = 111;第三次循环后，S = 37, x = 111, y = 37;第四次循环后， S = 74, x = 74, y = 37;第五次循环后，S = 37, x = 37, y = 37,结束循环，所以输出的 x 的值是37.故选B. 答案：B5. （2018唐山统考）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 0= 4, a 1=— 1, a ?= 3, a 3=— 2, a 4= 1,则输出的t 的值为（）A . 2 849 C . 74 〔结朿CW}/输人On円，叫阿阿/卓-fl厂「（篩）B . 10D . 14解析：第一次循环，得t = 2X 1 —2 = 0, i = 2;第二次循环，得t = 0+ 3= 3, i = 3;第三次循环，得t = 2X 3 — 1 = 5, i = 4;第四次循环，得t= 2 X 5 + 4= 14, i = 5，不满足循环条件, 退出循环，输出的t= 14,故选D.答案：DA . [ —3,4]C. [ —4,3]3t, t<1 ,解析：作出分段函数s= 2I—t2+ 4t, t> 1在[2 , + )上单调递减，••• t € [—1,3]时,答案：AB . [—5,2]D . [ —2,5]的图象（图略），可知函数s在[—1,2]上单调递增,s€ [ —3,4].7•执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（）6•执行如图所示的程序框图，如果输入的t€ [ —1,3]，则输出的s属于（C. 121+1A . i<5?B . i<6?C . i<7?D . i<8?解析：第一次执行，S =— 1, i = 2;第二次执行，S = 3, i = 3;第三次执行，S =— 6, i = 4; 第四次执行，S = 10, i = 5;第五次执行，S =— 15, i = 6;第六次执行，S = 21, i = 7.此时 不满足条件，跳出循环，判断框中应填入的条件是 “i<7? ”，故选C.答案：C&执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 ___________ .（开的］/输入n /*1巨忘1而I否*L 输护7解析：第一次循环：S = 2, i = 4, k = 2;第二次循环：S = 4, i = 6, k = 3;第三次循环：S =8, i = 8, k = 4,当i = 8时不满足i<n ,退出循环，故输出 S 的值为8. 答案：89•执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是 _________时（5制〔/朿］ \^\解析：由不等式k2—6k+ 5>0可得k>5或k<1，所以，执行程序框图可得k= 6.答案：6‘一x , 1<x W 4,10.关于函数f(x)=*的程序框图如图所示，现输入区间[a , b ],则输出的cos x ,— 1 < x < 1区间是 _________解析：由程序框图的第一个判断条件为 f(x)>0 ,当f(x) = cos x , x € [ — 1,1]时满足•然后进入第二个判断框，需要解不等式 f (x)=— sin x < 0,即0w x < 1•故输出区间为[0,1].答案：[0,1]B 组能力提升练1.(2017长沙模拟)执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为43,则判断框内应填入的条件B . z w 20? D . z w 52?解析：运行程序：x = 0, y = 1,因为z = 1不满足输出结果，则 x = 1, y = 1;因为z = 2 x1 + 1 = 3不满足输出结果，则 x = 1, y = 3;因为z =2 x 1 + 3= 5不满足输出结果，则 x = 3, y =5;因为z = 2 x3 + 5= 11不满足输出结果，则 x = 5, y = 11;因为z = 2X 5+ 11 = 21不满 足输出结果，则x = 11, y = 21;因为z = 2X 11 + 21 = 43满足输出结果，此时需终止循环， 结合选项可知，选 A. 答案：AA . z w 42? C . z w 50?i 输人区间|dh] /a 值为1，则输出的k 值为（_N/ 输 Aa/C . 3B . 30,3答案：D（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了2•执行如图所示的程序框图，若输入的 Z+1足/输出未/结束解析：输入a= J 则b= X 第一次循环，a「* 1—1 12, k = 1;第二次循环,—1 a =1 1 —- 2—12, k = 2；第三次循环，a = 口 = 1，此时a = b ，结束循环，输出k = 2.故选 B.答案：B3.执行如图所示的程序框图，若输入 p = 5, q = 6,则输出a , i 的值分别为（A . 5,1 C . 15,3解析：执行程序框图可知，当i = 1时, D . 30,6a = 5X 1；当 i = 2 时，a = 5X 2;…；当 i = 6 时，a=5 X 6，此时a 能被q 整除，退出循环,输出 a , i 的值分别为30,6.査.-1利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为（）A. 20C. 183解析：初始值n, x的值分别为4,3，程序运行过程如下所示：v = 1, i = 3; v= 1 x 3 + 3= 6, i = 2; v = 6x 3+ 2= 20, i = 1, v = 20x 3+ 1= 61, i = 0; v= 61 x 3+ 0= 183, i = —1;跳出循环，输出v的值为183，故选C.答案：C5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t= 50,则输出的S=0,a：=2n=0n =（A . 5B . 6C. 7 D . 8解析：第一次运行后，S= 2, a = 3, n= 1;第二次运行后，S= 5, a= 5, n = 2;第三次运行后，S= 10, a = 9, n= 3;第四次运行后，S= 19, a = 17, n = 4;第五次运行后，S = 36, a = 33, n = 5; 第六次运行后，S = 69, a = 65, n = 6, 此时不满足S<t ,输出n =6,故选B. 答案：B6. （2018郑州一中质检）执行如图所示的程序框图，若输出 y =—•. 3，则输入的0=（）（站束J冗 冗 A.:B .—；6 6冗 冗C.3D• — 3解析：对于A ，当0=n时，y = sin 0= sin n 1，则输出y = 2，不合题意；对于 B ,当0=—訓时y = sin = sin （ — f ） = — 2，则输出丫=一 2，不合题意；对于 C ,当0=守寸，y = tan 0=tan n= ,3,则输出y = .3,不合题意；对于3 则输出y =— .3,符合题意•故选 D. 答案：D7. （2018临沂模拟）某程序框图如图所示，若判断框内是 k >n ,且n € N 时，输出的S = 57, 则判断框内的n 应为 __________ .解析：由程序框图，可得：S = 1, k = 1;S = 2X 1 + 2= 4, k = 2; S = 2 X 4+ 3= 11, k = 3;D ，当 0= —,y = tan 0= ta n (-n =-V 3,W+1s= 2X 11 + 4 = 26, k= 4;S= 2 X 26 + 5 = 57, k= 5.答案：5&执行如图所示的程序框图, 则输出的实数m的值为实数m的值为11.答案：11此时|a— 1.414|= |1.5- 1.414|= 0.086>0.005 ;第二次执行循环体a= 7, n = 3;5此时|a— 1.414|= |1.4— 1.414|= 0.014>0.005 ;n= 4.答案：44 •秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州解析：分析框图可知输出的m应为满足m2》99的最小正整数解的后一个正整数, 故输出的解析：第一次执行循环体第三次执行循环体17a= 12，n= 4;此时|a—1.414|<0.005，此时不满足判断框内的条件，输出9 •执行如图所示的程序框图a = 2，n= 2;。

第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。

第六节 几何概型几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．知识点 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[自测练习]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A.34B.13C.12D.23解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于18米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：A2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝35，选B.答案：B3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83考点一 与长度(角度)有关的几何概型|1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23. 答案：233.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16(1)与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点二 与体积相关的几何概型|在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.[答案] 1－π12对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：D考点三 与面积有关的几何概型|与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π探究二 与线性规划交汇命题的问题2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.答案：B探究三与定积分交汇命题的问题3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－⎠⎛12x2d x＝4－13x3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝S阴影S＝534＝512.答案：512求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．22.混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，所以x<12，y<12，且x ＋y>12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. [答案] 14[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A.12 B ．1－22C.22D. 2解析：依题意得知，所求的概率等于12＝22，选C. 答案：CA 组 考点能力演练1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C.1625D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B. 答案：B2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC <12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P -ABC <12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案：A3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1， 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：C4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.答案：C5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916，故选D.答案：D6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：137．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15. 答案：π158．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.答案：π89．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 高考题型专练1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.故选A. 答案：A2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.答案：B3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14淘宝店铺：漫兮教育－12π，故选D. 答案：D4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB＝2－142＝78.故选D. 答案：D。

课时规范练 A 组 基础对点练1．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( ) A.19 B.16 C.118D.112解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P ＝636＝16，故选B. 答案：B2．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112 B.19 C.536D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，而以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.答案：A3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( ) A.13 B.23 C.16D.56解析：甲、乙两人参加三个不同的学习小组共有9个基本事件，其中两人参加同一个小组有3个基本事件，因此所求概率为39＝13，故选A.答案：A4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35D.910解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.答案：D5．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13.答案：B6．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 解析：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种，故所求概率为410＝25.答案：257．某校有A ，B 两个文学社团，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，则三人不在同一个社团的概率为________．解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择参加A ，B 两个文学社团中的一个社团，共有8种情况，其中3人同在一个文学社团中有2种情况，因此3人同在一个社团的概率为28＝14.由对立事件的概率可知，三人不在同一个社团的概率为1－14＝34.答案：348．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种． a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.(2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为636＝16.9．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4, 4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.B 组 能力提升练1．(2018·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) A.34 B.710 C.45D.35解析：设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.答案：D2．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B.58 C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C3．(2018·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B.13 C.59D.23解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的共有6个，P ＝69＝23. 答案：D4．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b2<2，得b >a ，满足b >a 的共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：5125．(2018·长沙长郡中学检测)在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________．解析：所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.答案：236．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解析：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝35.7．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解析：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率为615＝25.。

课时规范练 A 组 基础对点练1．(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.14解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 答案：D2.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4解析：由题意知，两个四分之一圆补成半圆，其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.答案：A3．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ) A.127 B.2627 C.827D.18解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝V 1V ＝127.答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12B.14C.32D.74解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝74，故选D.答案：D5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析：由几何概型的概率计算公式可知，质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝半圆的面积长方形的面积＝12π2＝π4，故选B.答案：B6．在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于22与32之间的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.16解析：区间⎣⎡⎦⎤－12，12的长度为1，满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝⎛⎭⎫－14，－16∪⎝⎛⎭⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16.答案：D7．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.答案：B8．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12 B.32C.13D.14解析：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13.答案：C9.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38D.12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14.答案：B10．(2018·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.答案：C11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1πD.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14－12π，故选D. 答案：D12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，b ，则事件“⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>0”发生的概率为( )A.49 B.19 C.23D.13解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤1.该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>00≤a ≤10≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是49，所以所求概率为49.答案：A13．(2018·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案：π2414．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由几何概型知56＝m －(－2)6，解得m ＝3.答案：315．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________． 解析：由题意知0≤a ≤1，事件“3a －1>0”发生时，a >13且a ≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P ＝1－131＝23.答案：2316．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．解析：令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.答案：310B 组 能力提升练1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为()A.78B.34C.12D.14解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.答案：B2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1π B.1π C ．1－2πD.2π解析：设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2[14π·(r 2)2－12×(r2)2]＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分的面积为14πr 2－[12π(r 2)2×2－(π－2)r 28]＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr 2＝1－2π.答案：C3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2解析：如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.答案：D4.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为( ) A.12 B.13 C.25D.34解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －ya ，y ＝a －x ，S矩形＝xy ＝x (a －x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋a －x 22＝a 24，其概率的最大值为(S 矩形)max S △＝12.故选A.答案：A5.把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 ( )A.4π－1 B.2π C.4π－12D.12解析：星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝π×22－⎝⎛⎭⎫π×224－12×2×2×2×4π×22＝4π－1，故选A.答案：A6．已知A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P (a ，b )满足0≤OP →·OA →≤2，且0≤OP →·OB →≤2，则动点P 到点C 的距离大于14的概率为( )A ．1－5π64B.5π64 C ．1－π16D.π16解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2a ＋b ≤2，0≤a －2b ≤2，目标函数⎝⎛⎭⎫a －352＋⎝⎛⎭⎫b ＋152>14表示以C ⎝⎛⎭⎫35，－15为圆心，半径为14的圆外．画出可行域如图所示，可行域的面积为45，可行域内的圆外面积为45－π16，故概率为45－π1645＝1－5π64.故选A.答案：A7．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x 的值，则输出的f (x )值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1eC ．1＋1eD.1e ＋1解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x ≤1，ln x ＋e ，1<x ≤e ，如图所示，当1<x ≤e 时，f (x )>e ，故输出的f (x )值不小于常数e 的概率是e －1e ＝1－1e，故选B.答案：B8. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴a >b >0，a <2b.它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.答案：B9．已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A.12 B.22C ．1－32D ．1－22解析：在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22，故选D.答案：D10．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15.答案：π1511．(2018·南昌质检)在边长为2的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M 的面积的估计值为________． 解析：由题意，因为在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个， 所以概率P ＝2 00010 000＝15.∵边长为2的正方形ABCD 的面积为4， ∴不规则图形M 的面积的估计值为 15×4＝45. 答案：4512．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________．解析：如图，设E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，则满足|PH |<2的点P在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π(2)2＋12×1×1×22×2＝π8＋14. 答案：π8＋1413．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．解析：对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2，由题意可得12·|3m ＋2|·|33－m |<98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m <2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23. 答案：23。