2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第六节 双曲线 含解析

8-6 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．(2024·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( A )A ．y ＝±2x B.y ＝±12xC ．y ＝±4xD.y ＝±2x2．(2024·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( C ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( A )A. 5B. 2 C ．2D.524．(2024·贵阳期末)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C ) A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D.y 2－x 22＝1解析：由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝ 3.又e ＝c a＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C .5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( B ) A ．2 B.4 C ．6D.86．(2024·德州模拟)在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)且离心率为3的双曲线的标准方程为( B ) A.x 24－y 22＝1B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 214－y 27＝1 解析：由题意得e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b 2＝2a 2.当双曲线的焦点在x 轴上时，有8a 2－22a 2＝1，解得a 2＝7，b 2＝2a 2＝14，所以双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，有2a 2－82a 2＝1，此方程无解，综上，双曲线的标准方程为x 27－y214＝1，故选B . 7．(2024·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( A ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 8．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( B ) A ．11 B.9 C ．5D.39．(2024·洛阳统考)若圆锥曲线C ：x 2＋λy 2＝1的离心率为2，则λ＝ －13 .解析：由圆锥曲线C 的离心率为2可知该曲线为双曲线，故曲线C 的方程为x 21－y 2－1λ＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1λ，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1－1λ＝4，解得λ＝－13.10．(2024·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 (1，2) .解析：由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. 因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2>0，－k1－k 2>0，1－k 2＋2k －21－k2>0，解得1<k < 2.11．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__8__.12．已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±53x .B 组 实力提升练1．已知A ，B 分别为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D ) A. 5 B.2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在第一象限，则|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2．(2024·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D.2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( C ) A ．±12B.±22C ．±1D.± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，依据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.4．(2024·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( A ) A ．1＋ 3 B. 3 C.233D.2＋ 3解析：因为△OPF 是正三角形，且|OF |＝c ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，±32c ，把点P 的坐标代入双曲线的方程可得c 24a 2－3c 24b2＝1，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－23(舍去)，所以e ＝1＋ 3.故选A .5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( D ) A.223B. 2C. 3D.2解析：由题意得ab ＝34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4， 整理得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4.∴e ＝2.6．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A.52 B.53 C.132D.133解析：设A (x 0，y 0)，由题意，得x 0＝c ，代入渐近线方程y ＝b a x 中，得y 0＝bc a ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，则12×2bc a ×c ＝13bc 3.整理，得c a ＝133，即双曲线的离心率为133.故选D.7．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( A )A.7B.4C.233D. 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c .依据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A.8．已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上随意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( A ) A ．－38B.316C ．－38D.不能确定解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，故选A. 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( B ) A.5＋12 B. 2 C.3＋12D.32解析：设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x ，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝ca＝22＝2，故选B.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满意条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( B ) ①双曲线C 上的随意一点P 都满意||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B.2个 C ．3个D.4个解析：①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，③不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．故选B.11．(2024·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 (27，8) .解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限状况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．12．(2024·郑州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线C 的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线C 的渐近线方程为 y ＝±33x . 解析：由题意得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，F (c ，0)，则|MF |＝b ，由2MF →＝FN →，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理， 得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a .因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a .在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以ba＝33， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x . 13．(2024·湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：假如两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为__3π__.解析：由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，3.记y ＝3与y 轴交于点M (0,3)，则π|MB |2－π|MN |2＝134π－94π＝π，依据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.14．(2024·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__2__.解析：如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.。

第6讲双曲线,)1．双曲线的定义2．双曲线的标准方程和几何性质1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1 B ．x 220－y 216＝1 C ．y 220－x 216＝1 D ．y 220－x 24＝1 B 2a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.3．(2017·南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．233C ．2或233D ．2B 由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以a ＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233. 4.教材习题改编与椭圆x 249＋y 224＝1有相同焦点且离心率为54的双曲线的标准方程为________．椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.x 216－y 29＝1 5.教材习题改编经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.x 28－y 28＝1双曲线的定义(1)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5(2)(2017·云南省第一次统一检测)已知F 1、F 2是双曲线M ：y 24－x 2m 2＝1的焦点，y ＝255x 是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|＝________．【解析】 (1)依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以等腰三角形PF 1F 2的面积 S ＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5. (2)由题意易得，双曲线的方程为y 24－x 25＝1，椭圆的方程为x 27＋y 216＝1，不妨设|PF 1|>|PF 2|，从而可知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝2⇒|PF 1|·|PF 2|＝12.【答案】 (1)C (2)12若本例(1)中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”改为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|. 解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.2．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ， 所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．x 2－y 28＝1(x ≤－1)双曲线的标准方程(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y25＝1D ．3x 25－3y220＝1(2)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【解析】 (1)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|（15－0）2＋（4－3）2－（15－0）2＋（4＋3）2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9①，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.【答案】 (1)A (2)y 24－x 25＝1求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1，(a >0，b >0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0，a >0，b >0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0，12)． (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b ＝6，c ＝10，a ＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)因为双曲线经过点M (0，12)， 所以M (0，12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13.所以b 2＝c 2－a 2＝25. 所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)由双曲线的性质求方程．(1)(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为________．【解析】 (1)如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，根据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2.(2)如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝（2a ）2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .【答案】 (1)2 (2)y ＝±3x与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．角度一 求双曲线的离心率(或范围)1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，所以M 点的坐标为(2a ，3a )． 因为M 点在双曲线上， 所以4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，所以c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D. 角度二 求双曲线的渐近线方程2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x A 由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，故e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以b a＝2，故其渐近线方程为y ＝±2x ，选A.角度三 由双曲线的性质求方程3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 28－y 232＝1B ．y 28－x 232＝1C ．x 274－y 27＝1D ．x 27－y 274＝1B 若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以b a ＝12.①因为A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b2＝1.②①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以a b ＝12.③因为A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4b2＝1.④③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1., )——方程思想在求离心率中的应用(2017·沈阳四校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)、(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 【解析】 由已知，得直线l 的方程为ay ＋bx －ab ＝0， 因为原点到直线l 的距离为34c ， 所以ab a 2＋b2＝34c ，又c 2＝a 2＋b 2， 所以4ab ＝3c 2，两边平方，得16a 2b 2＝3c 4， 即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同除以a 4，并整理，得 3e 4－16e 2＋16＝0，所以e 2＝4或e 2＝43.由0<a <b ，得e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，所以e 2＝4.故e ＝2. 【答案】 2(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a ，c 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(2，1＋2)D ．(1，1＋2)B 若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B., )1．(2017·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 210－y 26＝1 D ．x 26－y 210＝1A 已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．(2017·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22B 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，所以e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，所以其渐近线的斜率为± 2.故选B.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5B 因为∠F 1AF 2＝90°， 故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，故c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102. 4．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48C 由题知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝23|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.5．(2017·江南十校联考(一))已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A ．233B ． 2C ．2D ．263C 由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由 PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.6．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．y 216－x 24＝1 B ．y 2－x 24＝1C ．y 24－x 2＝1D ．x 24－y 2＝1C 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±abx ，其中一个焦点为F 1(0，－c )，则以F 1为圆心，1为半径的圆的方程为x 2＋(y ＋c )2＝1.因为点F 1到直线y ＝a b x 的距离等于该圆的半径，所以|－bc |a 2＋b 2＝1，所以b 2c 2＝a 2＋b 2，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝1，因为e ＝c a ＝52，所以c 2＝54a 2，解得a 2＝4，所以双曲线的方程为y 24－x 2＝1.故选C.7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.538．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________．因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0且n ≠1，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．59．(2016·高考北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.210．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的半焦距为c .已知原点到直线l ：bx ＋ay ＝ab 的距离等于14c ＋1，则c 的最小值为________．根据已知，得ab a 2＋b 2＝14c ＋1， 又ab ≤a 2＋b 22＝c 22，故14c ＋1≤c2，解得c ≥4，即c 的最小值为4. 411．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 则MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上， 所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0， 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 1＋c ，y 1＝－b a x 1得x 1＝－ac a ＋b ，y 1＝bca ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 2＋c ，y 2＝b a x 2，得x 2＝ac b －a ，y 2＝bc b －a ， 由已知得－2ac a ＋b ＝－c ＋acb －a，所以b ＝3a . 所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 3x ±y ＝013．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－（213）22×10×4＝45.14．(2017·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ， 所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， 所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， 所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.。

第六节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第139页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[知识拓展]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1 D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第140页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．[跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) 【导学号：97190291】A ．14 B ．13 C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程. (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( )A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________. 【导学号：97190292】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。

2024年广东省高考数学一轮复习第8章第6讲：双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tanθ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)教材改编题1．已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k ＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是()A ．－1<k <5B ．k >5C ．k <－1D ．k ≠－1或5答案C解析若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，＋1<0，－k >0，解得k <－1.2．双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x答案C 解析依题意知，双曲线y 212－x 2＝1的焦点在y 轴上，实半轴长a ＝22，虚半轴长b ＝1，所以双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±22.3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，因为|PF 1|＝9，所以|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－3,0)，B (3,0)，其内切圆圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程为()A.x 24－y 25＝1(x >2)B.x 29－y 25＝1(x >3)C.x 29＋y 25＝1(0<x <2)D.x 29＋y 24＝1(0<x <3)答案A解析如图，设△ABC 与圆的切点分别为D ，E ，F ，则有|AD |＝|AE |＝5，|BF |＝|BE |＝1，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5，所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．答案23解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以动圆圆心M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，解得a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 的右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________.答案4解析如图所示，延长F 2M 交PF 1于Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，即|QF 1|＝8，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1 D.3x 23－y 2＝1答案A解析由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1答案D解析由方程x 2a 2－y 2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，不妨设A 在直线y ＝bax 上，由△OAF 是边长为2的等边三角形，可得c ＝2，直线y ＝bax 的倾斜角为60°，即ba＝3，＝3a，2＋b2＝c2＝4，＝3，＝1，故双曲线的标准方程为x2－y23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为()A.x2 4－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x2 3－y29＝1 D.x29－y23＝1答案A解析易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是23，可得bca2＋b2＝b＝23，则b2＝12，由双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝ca＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝2，c＝4，则双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x 216－y 29＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1答案D解析由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，4，－32b 2＝1，＝2，＝3，故该双曲线的标准方程是x 24－y 23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案－3解析方法一依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.方法二依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线的方程是________．答案4x 2－y 2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x 轴上，则可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则1a2－3b 2＝1且b a ＝2，联立解得a ＝12，b ＝1，则双曲线的方程为4x 2－y 2＝1；②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则3a 2－1b 2＝1，且ab ＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x 2－y 2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝＝±ba x (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60°＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________．答案2((1，5]内的任意值均可)解析双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点，则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5，又e ＞1，∴e ∈(1，5]，∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C ：x 29－k ＋y 2k －1＝1(0<k <1)，则下列结论正A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于42C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于1－kD ．双曲线C 答案ACD解析对于A ，因为0<k <1，所以9－k >0，k －1<0，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对于B ，由A 知a 2＝9－k ，b 2＝1－k ，所以c 2＝a 2＋b 2＝10－2k ，所以c ＝10－2k ，所以双曲线C 的焦距等于2c ＝210－2k (0<k <1)，故选项B 错误；对于C ，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点坐标为(±c ,0)，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)的焦点到其渐近线的距离等于1－k ，故选项C 正确；对于D ，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋1－k 9－k＝2－89－k，因为0<k <1，所以1<2－89－k <109，所以e ＝2－89－k∈D 正确．(2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3|FA |＝|AB |，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±43x解析设C 的左焦点为F 1，连接F 1B ，过F 1作F 1D ⊥FB 于点D ，如图所示，易知F 1D ∥OA ，在双曲线C 中，易知|FA |＝b ，又3|FA |＝|AB |，则D 为线段FB 的中点，所以△F 1BF 为等腰三角形，又|FB |＝4b ，|F 1B |＝4b －2a ＝|F 1F |＝2c ，即c ＋a ＝2b ，又b 2＝c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )，将b ＝c ＋a 2代入得(c ＋a )24＝(c ＋a )(c －a )，得c ＋a ＝4(c －a )，则c ＝53a ，又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝43a ，则渐近线方程为y ＝±43x .课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线x 22－y 24＝λ(λ>0)的离心率为()A.62B.3C.3或62D.2答案B解析因为λ>0，所以x 22λ－y 24λ＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a 2＝2λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝6λ，所以离心率为ca ＝c 2a 2＝6λ2λ＝ 3.2.“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析因为方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，所以mn <0，又当mn <0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，因此“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1答案D解析设双曲线方程为x 22m －y 2m1(m ≠0)，∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.4．(2022·南通模拟)方程x 2＋(cos θ)y 2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为()A ．两条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案B解析因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示双曲线；当cos θ＝0时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示两条直线x ＝±1；当cos θ∈(0,1)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1可化为x 2＋y 21cos θ＝1，因为1cos θ>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：y 23－x 2＝1的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则()A ．|PF 1|－|PF 2|＝23B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．双曲线C 的离心率为233D ．|PF 1—→＋PF 2—→|≥23答案CD解析双曲线C ：y 23－x 2＝1焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2.对于A 选项，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误；对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误；对于C 选项，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D 选项，设P (x ，y )(x ∈R )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当且仅当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1—→＋PF 2—→|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上的一点，PF 1与C 的左支交于点Q .已知PQ →＝2QF 1—→，且|PQ |＝|PF 2|，则()A ．△PQF 2为直角三角形B ．△PQF 2为等边三角形C ．C 的渐近线方程为y ＝±6xD ．C 的渐近线方程为y ＝±7x 答案BC解析因为|PQ |＝|PF 2|，所以由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，所以|QF 2|＝4a ，又PQ →＝2QF 1—→，所以|PQ |＝|PF 2|＝4a ，故△PQF 2是等边三角形．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36a 2＋16a 2－4c 248a 2＝12，则c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝7，即ba＝6，故C 的渐近线方程为y ＝±6x .7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .8．(2022·晋中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________．答案，53解析设∠F 1PF2＝θ1|＝4|PF 2|，1|－|PF 2|＝2a ，1|＝83a ，2|＝23a ，∵|PF 2|≥c －a ，∴23a ≥c －a ，即53a ≥c ，即c a ≤53，∴双曲线离心率的取值范围是1<e ≤53.9．已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)．(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解(1)因为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y＝2x ，所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|，因为△PF 1F 2的面积为9，所以|PF 1|·|PF 2|＝18，又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10，所以b ＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F 1，F 2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF 2交双曲线于另一点N ，求△F 1MN 的面积．(1)解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线焦距为2c ，实轴长为2a ，则2c ＝22a ，即c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，将(4，－10)代入得，a 2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.(2)证明由(1)知，F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∵M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2＝3，以F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝12，将M (3，m )代入得9＋3＝12，∴M 在以F 1F 2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M 坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M 在第一象限，∴M 的坐标为(3，3)，直线MF 2的方程为y －3＝－323－3(x －3)＝－(2＋3)(x －3)，即y ＝(－2－3)x ＋(6＋43)，代入双曲线方程整理可得(6－43)y 2－43(2－3)y ＋6＝0，∵M 的纵坐标为3，∴N 的纵坐标为6(6－43)×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F 1MN 的面积为S ＝12|F 1F 2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋43.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 210＋y 26＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x －3y ＝0，则C 的方程为()A.x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1B ．x 2－y 23＝1或y 2－x 23＝1C.x 23－y 2＝1或y 23－x 2＝1D ．x 2－y 23＝1或y 23－x 2＝1答案A解析在椭圆x 210＋y 26＝1中，c ＝10－6＝2，∴焦距2c ＝4.∵C 的一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴设C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 23λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋3λ＝2，解得λ＝1，则C 的方程为x 23－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－3λ＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y 2－x 23＝1.综上，C 的方程为x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1>0，b >0，e 点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，若A ，B两点的横坐标之比是3∶2，则该双曲线的离心率为()A.5B.322C.2D.52答案C 解析过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|OB |＝|OF 2|＝c ，由渐近线的方程y ＝b a x 可知y 2＝ba x 2，在Rt △OBE中，x 22＋b2a2x 22＝c 2，解得x 2＝a (舍负)，由已知得x 1∶x 2＝3∶2，即x 1＝62a ，即|AF |2＝c 2＝c 2－32a 2，因为离心率e >62，所以c 2－32a 2>0，则点A 代入双曲线方程可得32a 2a 2－c 2－32a 2b 2＝1，化简得2a 2＝c 2，即e ＝ 2.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为()A ．2B ．3 C.2D.3答案B解析如图，设B (m ，n )，则C (－m ，－n )，易知A (a ,0)，F (c ,0)，由M 为线段BF 的中点得M m ＋c 2，n2，又M 在直线CA 上，故CA →，AM →共线，又CA →＝(a ＋m ，n )，AM →＝m ＋c 2－a ，n2故(a ＋m )·n2＝n ·m ＋c2－a整理得c ＝3a ，故离心率e ＝ca＝3.14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则下列命题中正确的是()A ．若|PF 1|·|PF 2|＝2，则PF 1—→·PF 2—→＝0B ．若a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则双曲线的离心率e ∈(1，2＋1]C ．△F 1PQ 周长的最小值为8D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为定值答案ACD解析由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，a 2＋1＝c 2，则|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋4＝4c 2＝|F 1F 2|2，从而PF 1—→⊥PF 2—→，即PF 1—→·PF 2—→＝0，故A 正确；在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2，则sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，解得|PF 1|＝ca|PF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a>c －a ，整理得c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得1<e <2＋1，故B 错误；当直线PQ ⊥x 轴时，|PQ |的最小值为2a，|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋2a ＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋2|PQ |＝4a ＋4a ≥8(当且仅当a ＝1时取等号)，故C 正确；设P (x 0，y 0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x 0a 2x －y 0y ＝1，E 的渐近线方程为y ＝±1ax ，不妨设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与渐近线y ＝1a x 的交点为A ＝1ax ，－y 0y ＝1，解得＝a 2x 0－ay 0，＝a x 0－ay 0，即同理可得又因为点P 在双曲线E 上，则有x 20a 2－y 20＝1，x A ＋x B ＝a 2x 0－ay 0＋a 2x 0＋ay 0＝2x 0，故点P 是AB 的中点．设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与x 轴的交点为G ，易知S △AOP ＝12·a 2x 0y A －y 0|＝a 2·ax 0|ax 0－ay 0－y 0|＝a 2，所以S △AOB ＝2S △AOP ＝a ，故D 正确．。

第6讲 双曲线[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(X 围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)性质X围x≥□01a或x≤□02－a，y∈Rx∈R，y≤□03－a或y≥□04a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1□05(0，－a)，A2□06(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1□07(0，－c)，F2□08(0，c)渐近线y＝±ba x y＝□09±ab x离心率e＝□10ca，e∈□11(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴：|A1A2|＝□122a；虚轴：|B1B2|＝□132ba，b，c的关系c2＝□14a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)假设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，那么1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(2，0)，那么C 的方程为________．答案x22－y22＝1解析由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由得a＝2，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝2，所以C的方程为x22－y22＝1.(2)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，假设|PF1|＝9，那么|PF2|＝________.答案17解析由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，那么有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.(3)(2018·高考)假设双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，那么a＝________.答案 4解析由，b2＝4，e＝ca＝52，即c2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a2＋b2＝c2，所以a2＋4a2＝54，a2＝16，a＝4.(4)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，那么双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±2 2x解析由，得2b＝2,2c＝23，所以b＝1，c＝3，所以a＝c2－b2＝2，所以双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，即y＝±22x.题型一双曲线的定义及应用1．假设双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，那么|PF|＋|P A|的最小值是()A．8 B．9C．10 D．12 答案 B解析由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，那么B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|P A|＝4＋|PB|＋|P A|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|P A|的最小值为9.应选B.2．F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，那么cos∠F1PF2＝________.答案3 4解析由条件及双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，那么cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.条件探究将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|〞改为“∠F1PF2＝60°〞，那么△F1PF2的面积为________．答案2 3解析不妨设点P在双曲线的右支上，那么|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(22)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|sin60°＝2 3.1．利用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离〞．假设定义中的“绝对值〞去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．利用焦点三角形需注意的问题在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．1．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，那么|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 易知双曲线的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，所以|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6.2．(2020·某某普宁市华侨中学月考)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，假设|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，那么△PF 2Q 的周长是________．答案 12解析 由双曲线的定义知，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2a ＝2，所以|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝4，又|PQ |＝4，所以|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，|PF 2|＋|QF 2|＝8，所以△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝12.题型二 双曲线的标准方程及应用1．动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．条件探究 将本例中的条件改为“动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9都外切〞，那么动圆圆心M 的轨迹方程为____________．答案 x 2－y28＝1(x ≤－1)解析如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)与双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解(1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)由，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ， 解得λ＝－12，所以双曲线方程为x 2－4y 2＝－12，即y 23－x 212＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．见举例说明1.(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．见举例说明2(1)．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．注意：求双曲线的标准方程时，假设焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解．见举例说明2(3)．1．(2019·某某模拟)双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，那么C 的方程是( )A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1答案 B解析 因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.2．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，假设F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q (5，3)，那么该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，∵F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a 2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.应选D.题型三 双曲线的几何性质角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点 及X 围问题1．M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．假设MF 1→·MF 2→<0，那么y 0的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，那么F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，那么MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.应选A.2．(2019·某某武昌区调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，那么C 的实轴长等于________．答案 8解析 双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y a ±x b ＝0，即ax ±by ＝0，因为焦点(0，c )到直线ax ＋by ＝0的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝3，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3，又因为2c ＝10，c ＝5，所以a ＝c 2－b 2＝4，所以C 的实轴长为8.角度2 与双曲线渐近线有关的问题3．(2019·某某模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，假设∠F 1MF 2＝45°，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba ＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .4．(2019·某某四地七校联考)直线x ＝4与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，假设OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，那么以下不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12 B ．a 2＋b 2≥18 C ．a 2＋b 2≤12 D ．a 2＋b 2≤18答案 B解析 因为双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线为y ＝±x2，与直线x ＝4交于A (4,2)，B (4，－2)，设P (x ，y )，那么OP→＝(x ，y )，OA →＝(4,2)，OB →＝(4，－2)，因为OP →＝aOA→＋bOB →，所以x ＝4a ＋4b ，y ＝2a －2b ，由于点P (x ，y )在双曲线上，故(4a ＋4b )24－(2a －2b )2＝1，解得ab ＝116，那么a 2＋b 2≥2a 2b 2＝18(当且仅当a 2＝b 2且ab ＝116时取“＝〞)．应选B.角度3 与双曲线离心率有关的问题5．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →， 得A 为F 1B 的中点． 又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3， ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点， ∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ， 且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2.1．与双曲线有关的X 围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，那么借助此关系直接转化求解．见举例说明1. (2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标X 围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C：x29－y216＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的选项是()A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变答案 C解析当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程x29－y216＝λ中，令λ＝0，得y＝±43x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．应选C.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，假设S△AOF2S△AOB＝2，那么双曲线的离心率为()A. 2B. 3C．2 D. 5 答案 B解析由题意，知|F2A|＝|bc|a2＋b2＝b，又S△AOF2S△AOB＝2，那么|AB|＝b2，|OA|＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以a 2＝b 22，得2a 2＝c 2－a 2，即3a 2＝c 2，e 2＝c 2a 2＝3，从而e ＝ 3.应选B.3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，那么双曲线离心率的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D ．[53，＋∞]答案 B解析 由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，结合|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 2|＝2a 3，从而2a 3≥c －a ，得5a 3≥c ，所以e ＝c a ≤53，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.题型四 直线与双曲线的综合问题1．过双曲线M ：x 2－y 23＝1的左焦点F 作圆C ：x 2＋(y －3)2＝12的切线，此切线与M 的左支、右支分别交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点到x 轴的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y －0＝k (x ＋2)，易知|2k －3|1＋k 2＝22，解得k ＝1或k ＝177.当k ＝177时，切线不与双曲线M 的右支相交，故舍去，所以切线方程为y ＝x ＋2，与双曲线方程联立，消元得2y 2－12y ＋9＝0，所以y 1＋y 2＝6，即线段AB 中点的纵坐标为3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为3.2．双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)假设l 与C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)假设l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值．解(1)假设双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，那么方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值X 围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2<k <2且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．3．一组常用结论 直线与双曲线位置关系与右支交于两个不同点与左支交于两个不同点与左、右两支各有一个交点满足条件⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1x 2<01．(2019·某某4月调研)过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，假设P 为线段AB 的中点，那么|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3答案 D解析 解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－8k (2k －1)1－2k 2＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2＝10. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.应选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 212－y 21＝1， ① x 222－y 22＝1. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.那么直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于2b 2a (a ，b 分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，假设M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ ⊥l 于点Q ，且|MQ |＋|MF 1|的最小值为3，那么双曲线C 的通径长为________．答案 2解析 如下图，连接MF 2，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MQ |＋|MF 1|＝|MF 2|＋|MQ |＋2a ≥|F 2Q |＋2a ，当且仅当Q ，M ，F 2三点共线时，|MQ |＋|MF 1|取得最小值3.此时，F 2(c,0)到直线l ：y ＝－1a x 的距离|F 2Q |＝c 1＋a2，∴c 1＋a2＋2a ＝3⇒c c ＋2a ＝3⇒a ＝1，由定义知通径长为2b 2a ＝2.组 基础关1．(2019·某某统考)“k <9〞是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9〞是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线〞的充分不必要条件，应选A. 2．(2019·某某高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2答案 C解析 由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.应选C.3．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，假设曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线C 2的标准方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 2169－y 225＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 2169－y 2144＝1答案 A解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，那么||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.应选A.5．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，那么该双曲线的实轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为C (2,0)，半径r ＝1.双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆C 相切，所以圆心到渐近线的距离d ＝|2b |a 2＋b2＝1，所以3b 2＝a 2.由x 2a 2－y 23＝1，得b 2＝3，那么a 2＝9，所以2a ＝6.应选B.6．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，那么|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.应选A.7．双曲线C ：x 2－y 24＝1，经过点M (2,1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，那么直线l 的方程为( )A ．8x －y －15＝0B ．8x ＋y －17＝0C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0答案 A解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，4x 22－y 22＝4，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为________．答案 32解析 解法一：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么c ＝a 2＋b 2＝6.①如图1，在x 2a 2－y 2b 2＝1中，令x ＝6，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2＝25.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝20，所以a ＝4，所以离心率e ＝c a ＝32.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，易知AC ＝13.由双曲线的定义可知2a ＝|AC |－|BC |＝8，即a ＝4.又c ＝12|AB |＝6，所以离心率e ＝c a ＝32.9．(2020·某某摸底)双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么P A 1→·PF 2→的最小值为________．答案 －2解析 由题意可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，那么P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x－2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 10．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，那么△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．答案 a解析 ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，假设设△PF 1F 2的内切圆圆心在x 轴上的投影为A (x,0)，那么该点也是内切圆与x 轴的切点．设B ，C 分别为内切圆与PF 1，PF 2的切点．由切线长定理，那么有|PF 1|－|PF 2|＝(|PB |＋|BF 1|)－(|PC |＋|CF 2|)＝|BF 1|－|CF 2|＝|AF 1|－|F 2A |＝(c ＋x )－(c －x )＝2x ＝2a ，所以x ＝a .所以内切圆圆心的横坐标为a .组 能力关1．(2019·某某一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，假设|MN |＝2，△ABF 的面积为8，那么C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为F ′，由OA ＝OB ＝OF ＝OF ′＝c ，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，点F (－c,0)到直线y ＝－ba x (即bx ＋ay ＝0)的距离为|b ·(－c )|a 2＋b2＝b ，所以S △ABF ＝12·2c ·b ＝8，即bc ＝8.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2c ，所以|MN |＝2b 2c ＝2，所以b 2＝c ，所以b ＝2，c＝4，所以a ＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2019·某某六市第二次联考)直线y ＝2b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的斜率为正的渐近线交于点A ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，假设tan ∠AF 2F 1＝15，那么双曲线的离心率为( )A.1611 B ．2 C ．4或1611 D ．4答案 D解析由⎩⎨⎧y ＝2b ，y ＝b a x ，得点A (2a,2b )，所以tan ∠AF 2F 1＝2b |c －2a |＝15.所以4b 2＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即4(c 2－a 2)＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即64a 2－60ac ＋11c 2＝0，所以11e 2－60e ＋64＝0.解得e ＝4或e ＝1611.经检验，当e ＝1611时，tan ∠AF 2F 1＝－15，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.3．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2＝0时，不符合题意，当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2·16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.综上可知，这样的直线有3条．4．(2019·某某七中高三上学期入学考试)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，那么该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 D解析 过右焦点F 且与渐近线垂直的直线方程为y ＝±a b (x －c )，不妨取直线y ＝－a b (x －c )．设渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－ab (x －c )的交点为M .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b (x －c )，解得x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ，y ＝abc ，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .由中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c －c ，2ab c .将其代入双曲线的方程，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2b 2c 2＝1，化简，得c 2＝5a 2，由此，得e ＝ca ＝ 5.5．等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，那么顶点C 的横坐标t 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，那么x 0> 6.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，于是x 0(x 1－x 2)－2y 0(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 02y 0.又k MC ＝y 0x 0－t ，由k MC ·k AB ＝y 0x 0－t·x 02y 0＝－1，得x 0＋2(x 0－t )＝0，即t ＝3x 02>362.6．F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析 如图，设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1，可知a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如下图)．由题意可知直线AF 1的方程为 y ＝26x ＋66，由⎩⎨⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.7．(2020·某某摸底)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，那么双曲线E 的离心率e ＝________；假设双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，那么实数m 的取值X 围是________．答案 3 (－3,5)解析 因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以ba ＝22，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋(22)2＝3.又因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3，0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值X 围是(－3,5)．组 素养关1．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解(1)设双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝33，b ＝1，故双曲线的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0， 由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠±3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又因为x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3， 所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1， 所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.综上，当k ＝±1时，以线段AB 为直径的圆过原点．2．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解(1)由题意，知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ， 即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 那么x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，x 0>23，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM→＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

课时规范练A组基础对点练1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)一个焦点，则点F到C一条渐近线距离为()A、3B．3C、3m D．3m解析：双曲线方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线距离为3、选A、答案：A2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)离心率为2，则a＝()A．2 B、6 2C、52D．1解析：因为双曲线方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1、选D、答案：D3．(2018·邢台摸底)双曲线x2－4y2＝－1渐近线方程为() A．x±2y＝0 B．y±2x＝0C．x±4y＝0 D．y±4x＝0解析：依题意，题中双曲线即y214－x2＝1，因此其渐近线方程是y214－x2＝0，即x±2y＝0，选A、答案：A4．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1两个焦点，P 是双曲线上一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2面积S ＝12×6×8＝24、 答案：C5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1两条渐近线互相垂直，那么它离心率为( ) A ．2 B 、 3 C 、 2D 、32解析：由渐近线互相垂直可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·ba＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝2、 答案：C6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 是( ) A ．x 2－y 24＝1B 、x 24－y 2＝1C 、y 24－x 2＝1 D ．y 2－x24＝1解析：A 、B 选项中双曲线焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C 、 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 方程为( ) A 、x 24－y 23＝1 B 、x 29－y 216＝1 C 、x 216－y 29＝1 D 、x 23－y 24＝1解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 方程为x 216－y29＝1、答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)焦距为25，且双曲线一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线方程为( ) A 、x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C 、3x 220－3y 25＝1D 、3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1、 答案：A9．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 离心率是( ) A 、 5 B 、 2 C ．2D 、52解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线方程为y ＝2x ，可得b a ＝2，∴e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5、故选A 、 答案：A10．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线相同，且双曲线C 2焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：C 1渐近线为y ＝±2x ，即ba ＝2、 又∵2c ＝45，c ＝25、 由c 2＝a 2＋b 2得， ∴20＝14b 2＋b 2，b ＝4、 答案：B11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)焦距为10，点P (2,1)在C 一条渐近线上，则C 方程为( ) A 、x 220－y 25＝1 B 、x 25－y 220＝1 C 、x 280－y 220＝1D 、x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎨⎧a 2＋b 2＝251＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 方程为x 220－y 25＝1、 答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 下方．设该双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b 2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1、法二：因为双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1、 答案：x 24－y 2＝113．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)焦距为10，焦点到渐近线距离为3，则Γ实轴长等于________． 解析：双曲线焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8、 答案：814．已知双曲线C ；x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，且双曲线C 渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 方程为________． 解析：易得椭圆焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，ba ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 方程为x 2－y24＝1、 答案：x 2－y24＝115．(2018·西安质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x2a 2－y 2＝1(a >0)一个交点为M ，F 为抛物线焦点，若|MF |＝5，则该双曲线渐近线方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，故n 2＝24，可得n ＝±26、将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，可得9a 2－24＝1，解得a ＝35、所以双曲线渐近线方程为y ＝±53x 、 答案：y ＝±53xB 组 能力提升练1．等轴双曲线C 中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 实轴长为( )A 、2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 坐标代入得a ＝2，所以C 实轴长为4、 答案：C2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率取值范围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5] C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线一条渐近线方程为y ＝ba x ， 则由题意得ba >2， ∴e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5、 答案：C3．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线焦距相等． 答案：D4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线离心率为( ) A 、52 B 、102 C 、152D 、 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102(负值舍去)． 答案：B5．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1一条渐近线，P 是l 上一点，F 1，F 2分别是C 左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴距离为( ) A 、233 B 、 2 C ．2D 、263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴距离为2|x 0|＝2，故选C 、 答案：C6．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线实半轴长为半径长圆与双曲线两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 面积为2b ，则双曲线方程为( ) A 、x 24－3y 24＝1B 、x 24－4y 23＝1C 、x 24－y 24＝1 D 、x 24－y 212＝1解析：根据圆和双曲线对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D 、 答案：D7．(2018·甘肃两市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径圆与双曲线渐近线一个交点为(3,4)，则此双曲线方程为( ) A 、x 216－y 29＝1 B 、x 23－y 24＝1 C 、x 29－y 216＝1D 、x 24－y 23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径圆与双曲线渐近线一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线方程为x 29－y 216＝1、 答案：C8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点F 作一条渐近线垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线离心率为( )A 、 2B 、 3C ．2D 、 5解析：不妨设B (x ，－ba x )，|OB |＝x 2＋(－b a x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝ba x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2、 答案：C9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 距离为3c4，则双曲线离心率为( ) A 、223 B 、 2 C 、 3D ．2解析：由题意得ab ＝34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4， 整理得3e 4－16e 2＋16＝0、 解之得e 2＝4或e 2＝43，又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4、 ∴e ＝2、 答案：D10．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1中点M 在第一象限，则以下结论正确是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a <|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 中点，O 为F 1F 2中点，∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A 、答案：A11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左焦点F 1作斜率为1直线，该直线与双曲线两条渐近线交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线渐近线方程为________．解析：由⎩⎨⎧ y ＝x ＋c ，y ＝－b a x得x ＝－ac a ＋b ， 由⎩⎨⎧ y ＝x ＋c ，y ＝b a x ，解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝ac b －a ，由F 1A →＝AB →可得－ac a ＋b＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b，整理得b ＝3a 、所以双曲线渐近线方程为3x ±y ＝0、 答案：3x ±y ＝012．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 面积等于________．解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|、又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为12×22×22＝4、答案：413．设双曲线x 2－y 23＝1左，右焦点分别为F 1，F 2、若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|取值范围是______． 解析：由题意不妨设点P 在双曲线右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27、因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|取值范围为(27，8)．答案：(27，8)14．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线两条渐近线垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB→值是________．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38、答案：－38。

8.6 双曲线[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(2017届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝ca＝13.答案：C6．(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(2018届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝22＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

【三年咼考】2 21.【2019高考北京文数】已知双曲线笃_爲=1 ( a 0 , b 0 )的一条渐近线为a b2x + y =0，—个焦点为(J5,0)，贝U a = ________ ； b= ___________ .【答案】a =1,b =2.【解析】依题意有\b_ 結合八八沪解得—2 +2 22.【2019高考天津文数】 已知双曲线 笃一爲=1(a . 0,b 0)的焦距为2 5 ,且双曲线的一a b条渐近线与直线2x • y = 0垂直，则双曲线的方程为(2 2 3x 3y (C)/2 23x 3y =15 20 一【答案】A【答案】22c = 4,c=2;2a= DF 2 — DR =5—3 =2,a =1,故离心率-=-=2a 1双曲线【解析】依题意，不妨设 AB =6,AD =4，作出图象如下图所示：则(D )=1【解析】由题意得c 「5,— aa 2 2—x =2,b =1 =A.3.【2019高考山东文数】 已知双曲线2x ~2a2占=1 (a >0, b >0).b 2矩形ABC 啲四个顶点在E 上，AB CD 的中点为 E 的两个焦2|AB =3| BQ ，则E 的离心率是24.【2019高考浙江文数】设双曲线X2- £=1的左、右焦点分别为F,冃•若点P在双曲线3上，且△ F1PE为锐角三角形，则| PF|+| PF|的取值范围是 __________ .【答案】（2、、7,8）.【解析】由已知口 = 1』=曲上则0=- = 2,设TV/）眾双曲纟址任一点，由对称性不妨诗戸在右a 支上』则1<%<2, |^| = 2.^+1, |PF;|=2x-hr 、 r 斤F/片卩£为锐角，则『巧f+|刃叮>1片，即（2工+1）：+（2工-1）： X：』解得工>巻，所以斗昭|十二牡丘（2祈⑻.25.【2019高考上海文科】双曲线x2-占=1（b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2 b且与双曲线交于A B两点•（1）若I的倾斜角为匸,△ FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2（2）设b =£3，若I的斜率存在，且I AB=4，求I的斜率•【解析】⑴设A(X A ； v A ).由题意，坯(匚0),沪，垃"讥：一1匸几因为AF^B 是等边三角形，所以比=的吐|,即4{^b z] = 3b\解得b z= 2.故双脱的渐近线方程为1 = ±^2x ・r ^2_=i(2)由已如，F ;(2.0).设A (.勺戸)，直线门)二利尤一2)・由f 3 ，得 y=k(x-2} I- k F(^-3)^-4^+4^;+3 = 0.因为/与双曲I 姣于两気 所以P —3丸，且A = 36(l+^)>0.由 _ g 4F +3 /曰•” p 36|+1) 血+总二〒 ~,两花—~~—，得I 可—兀」=j r~ >竹耙 7 k -3 \ir _3j. | r -；~~; ------- ~r } --------- , , 6|Ar _+l| _ , 3 丄」..,|AB |二{何一对+山-圮)二忖一芒卜 二」",解得k^-}故r 的斜率为土宁.F^a.J、—*2. 22 2丄2bx y a + c 行，其方程为y (x-c)，代入一22-1求得点P 的横坐标为x，由aa a2ca 2 c 2c 2 ccc2a ，得(一)-41= 0，解之得2• ■■、3，2-£3 (舍去，因为离心率2ca aa ac>1)，故双曲线的离心率为 2+J 3. a27.【2019高考新课标1,文16】已知F 是双曲线C : X 2 -上 1的右焦点，P 是C 左支上一8点，A 0,6、、6 ，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________________ . 【答案】12^6【解析】设双曲线的左焦点为 F 1，由双曲线定义知，|PF |=2a | PF 11 ,•••△ APF 的周长为近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 •6. 【2019高考山东，文 15】过双曲线y ~~2 a【答案】2 •、、3=1( a0,b【解析】双曲线2x~~2a2y ~2 a=1的右焦点为(c,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a - |PF i |+|AF|=|PA|+ | PR |+|AF|+ 2a ，由于 2a | AF | 是定值，要 使A APF 的周长最小，贝V |PA|+ | PF i |最小，即 P 、A F i 共线，T A 0,6-、6 , F i (- 3,0 ),2二直线AF 1的方程为 — y =1,即x =—y -3代入x 2-》1整理得 -3 6^6 2弟8y 2 • 6、., 6y - 96 = 0 ,解得y = 2・、.6或y - -8. 6 (舍)，所以P 点的纵坐标为2,6，二 11 —S.APF =S A FF ^S P FF I = 2 6 6、6一2 6 2j6 = 12、、6.2 29】设双曲线 务-占= 1(a>0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分a b别是A 1,A 2,过F 做A 1A 2的垂线与双曲线交于 B, C 两点，若A j B — A z C ,则双曲线的渐近 线的斜率为()(A) ±-(B) ±- - (C)±1(D)士、22 2【答案】CL2T 2【解析】由已知得右焦点(其中二/ +石9 > 0) J 热(一足0)43=0「)?aa■h * ■ h * , * ■从而為占=(c +—・L/rC = (c ~ cr.—)，又因为A[B Ai C j 所臥為占•= 0 即(C -^) (c+fl)+(-—)-(—) = 0,化简得到二= ln? = ±l,即机曲线的渐近线的耕率为±1,故选U a a a" a8.9.【2019高考湖北，文9】将离心率为e 的双曲线G 的实半轴长 a 和虚半轴长b (a = b)同时【2019高考重庆，文增加m(m・0)个单位长度，得到离心率为e,的双曲线C2，则( )A.对任意的a, b,B.当 a b 时，e V ;当 a ：：：b 时，e：：： e?b m b (b m)a -b(a m) (a -b)m 0，所以 a 亠m a(a 亠m)a(a 亠m)a& 知当 a ；：：b 时，S-b =(b m )a b(a m) =(a-b)m ，所以丄』丄，所以 a+m a (a+m)a (a+m)a a+m afb+m 予 ,z b : 比⑴ 丄…、丄 ------ c 一 ，所以◎ ce ；故应选D . 乜+m 丿 <a 丿2 2 2 210. [2019广东，文8】若实数k 满足0：：：k ：：：5，则曲线- y 1与曲线」 匕=116 5 —k16 —k 5的( )A.焦距相等 B .离心率相等 C •虚半轴长相等 D .实半轴长相等 【答案】A.【解析】本题可儿采用一般法和特殊法，一般法在这里不藝述亠令^ = 4,则这两个曲线方程分别为 裁rIF二上"和二-匚"，它们井别对应的< =16+1=1\^：=12 + 5 = 17,故臼二6 一所以它们的 16 112 5焦距相等，故答案为A.距离为 3，则C 的焦距等于()【答案】D .【解析】不妨设双曲线G 的焦点在X 轴上，即其方程为:2 2笃一占=1，则双曲线C 2的方程为:a bx 2 乏—一2 =1，所以e =也+b =(a m) (b m)a (a m)2 (b m)2缶，当a>b 时b m b---- >- a m a11.【2019大纲，文11】双曲线C :X 2 2y 一2=1(a2,焦点到渐近线的A. 2B.2 2C.4D.【答案】C【解析】易知双曲线 2 2务討1的渐近线方程是y =± b x，不妨设焦点(c，°)到其中一条渐近，所以暑22 2 2e = a + b ,所以e = 2,即卩2e = 4,即双曲线 C 的焦距等于4.2 212. [2019重庆，文8】设R, F 2分别为双曲线 牛-爲=1（a ■ 0,b ■ 0）的左、右焦点，双a b2 2曲线上存在点P 使得（I PF ! |-| PF ? |） b -3ab,则该双曲线的离心率为（）A.2B. 、.. 15C.4D.【答案】D.【解析】由双曲线定义知||眄|一|丹7」| =加，故^ = lr-3ab r 即4/+3込沪"分解因式得:（4a —占）（住 +方）=0 ,故方=4^,从而 £ = + 号亠=Jif +16 jf故"亠悶#选择D□【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点： （1）双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程.（3）以双曲线的方程为载体，研究与参数a,b,c,e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为 主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2019年咼考复习建议与咼考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出，双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现，解答题很少考查，主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率 ，最值或范围问题，过定点问题，定 值问题等，直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大，故预测2019年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主•备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的 方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素a,b,c .另外，要深入理解参数a,b,c 的be线bx - 3，整理得b =3.又双曲线C 的离心率e =a = 2,..17y = 0的距离为-J 3 ,则关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2019年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点•【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1. 双曲线的定义：把平面内与两定点F i, F2的距离之差的绝对值等于常数（小于| F I F2 |）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：|PF!H|PF2^-2a（2a 卄丘|）.注意：（1）当2a =|F,F2 |时，轨迹是直线£F2去掉线段F i F2 .（2）当2a」F,F2|时，轨迹不存在•2 22. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为冷一每=1（a . 0,b 0）；a b2 2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为与一笃刊心0,b 0）.给定椭圆a bx2y1（m与n异号），要根据m, n的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的m n那个坐标轴上.⑵双曲线中a,b,c关系为：a2 =c2-b2.【规律方法技巧】1. 利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理2. 求双曲线的标准方程方法（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只（2）待定系数法，用待定系数法求双线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量a,b,c,e的关系曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲式，解出参数即可求出双曲线的标准方程 3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在 x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为Ax 2 By 2 =1，其中 代B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算4.若已知双曲线的渐近线方程为 ax _bx = 0，则可设双曲线的标准方程为(■ - 0 )可避免分类讨论. 【考点针对训练】1.【2019年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲方程X =-4，则双曲线C 的方程是(33,其中一条准【答案】B2—一1 5【解析】依題竜可得*二］解得心心从而八屯—所以所求双曲线方程为+_斗=1 •故3正确2.【2019届宁夏石嘴山三中高三下三模】X 2过双曲线4二1的左焦点2 2F 1,作圆 x y= 4的切线交双曲线右支于点 P,切点为T , PF 1的中点为M 则|MO | —|MT F ___________________ 【答案】,5 -21 1【解析】由已知， MT = PT - PM 二 PR -TRPF 1 PF^TF 1，则 |MO|-|MTF 2 2AAA* --------------------------------_PF 2 _(—PF r _TFJ = —(PF 2 _PFJ 寸片 _a = . OF 』_4 _ 2 f ；5 - 2 .2 2 2【考点2】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量a,b,c,e的关系线C的离心率等于2.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为x2 - y2二•（■ = 0）,离心率为2，渐近线为y = x.【规律方法技巧】1. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系•2. 双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用3. 求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出a, b, c的等式或不等式，结合2 2 2 Cc =b a化出关于a,c的式子，再利用e ，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的a4 522b4.双曲线 冷一爲 “(a .0,b .0)的渐近线方程为y 二-x ，可变形为- y ，即 a b aa b2 2务-0，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的•a b4. 椭圆的通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径)长度为是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值 .5.双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为【考点针对训练】2 21.【2019年湖北安庆一中高三一模测试】设点 A 、F C,0分别是双曲线 仔-每=1a b2a(a 0, b 0)的右顶点和右焦点，直线x交双曲线的一条渐近线于点 P .若 PAF 是c等腰三角形，则此双曲线的离心率为( )A.3 B . 3 C .、、2D . 2【答案】D【解析】显然\PF\> \PA\ \PF\>所以由*匹是等腰三甬形得|耳l| = |廿|易知話@, 0)：P(—-a)3+(—)2 =<c-a/tc c c c=>+(—)2(c' - a 2) = (c -a)1 => (-):=1cc c c c —a耳丄+ 2■三也■二1.解得e-1 .选二一君" 总亠€-12 22.【2019年河北石家庄高三二模】已知双曲线 二一」1的一条渐近线方程为2m m +4y = J3x ，则实数m 的值为 _______ .值或范围•离心率e 与a,b 的关系为:2b 2 a[c_ a,：：).2 2.2 .2c a b , b - =i — 2 2 2 — a aa【答案】【考点3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】2 2X y设双曲线的方程为 —2 =1(a ■ 0,b .0)，直线Ax By ^0，将直线方程与双曲线方a b程联立，消去y 得到关于x 的方程mx 2 • nx • p = 0.(1)若m 工0,当厶> 0时，直线与双曲线有两个交点.当厶=0时，直线与双曲线有且只有一个 公共点，此时直线与双曲线相切.当△<0时，直线与双曲线无公共点.(2)当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行【规律方法技巧】1.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆 交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来， 这是进一步解题的基础.2.直线y = kx + b (k 丰0)与椭圆相交于 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)两点，则弦长|AE | =1 + k 2|刘—X 2| =1 + k2 • x 1 + X 22— 4x 1x 2 =1 + ：2.星 y 1 + y 22— 4y 1y 2.3•对中点弦问题常用点差法和参数法 【考点针对训练】2 21.【2019年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线令-占=1(a 0,b 0)的右焦点F 作a b一条直线，当直线斜率为 1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心【解析】因为双曲线 2 2笃一爲=1的两条渐近线为a bx所以-2m—y1m 4 11 + k2 •l 屮一y 2| =率的取值范围为( )A. (1^2) B . (1,710) C .(屁師D .(賦局【答案】C【解析】戏曲线右焦点为(J/+X*),过右焦点的直线为y = ,与双曲线方程联立消去y 可得到-a :k 2)x :-2a :k : yja z +b-x-a :(ti V - b :k~ +i :) = 0,由题意可知，当上=1时，此万程有两个不相等的异号实根“所臥芈尹 ＞。

第六节 双 曲 线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0}。

(1)当a ＜c 时，M 点的轨迹是双曲线。

(2)当a ＝c 时，M 点的轨迹是两条射线。

(3)当a ＞c 时，M 点不存在。

2．双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。

(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。

(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。

(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。

2．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。

(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。

3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)。

一、走进教材1．(选修2－1P 61A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。

解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1>2，故|PF 2|＝6。

第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a ＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4³3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)²(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一 双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4， 4－a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常，且该常必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二 渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一 已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x .答案：C探究二 已知渐近线求离心率2．(2016²海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca＝ 5.答案： 5探究三 由离心率或渐近线求双曲线方程3．(2016²宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.答案：D探究四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a或|m |＝ab讨论． (2)注意形结合思想在处渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三 直线与双曲线的位置关系|(2016²汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝c a＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12 x 1＋1 . 同，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22 x 2＋1 .∴MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 12 x 1＋1 ， NF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 22 x 2＋1 . ∴MF 2→²NF 2→＝94＋9y 1y 24 x 1＋1 x 2＋1＝94＋9y 1y 24 ty 1＋3 ty 2＋3 ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2 ＋9]＝94＋9³93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2³93t 2－1＋3t ³－12t3t 2－1＋9＝94－94＝0，∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015²厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4³23³160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|²|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝c a ＝12.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|²4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴b a＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中， 由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3³3(x －2)2＝3k 2. 简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2362－4³8³ 36＋3k 2 8＝ 9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)，F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015²高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015²高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ²－b 2a c －a ＝－1，整得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015²高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015²高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015²高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pba，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p 22pb a＝4b 2－a 24ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.答案：32。