2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第四节空间中的平行关系Word版含解析.doc

第50讲空间中的平行关系1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义．2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行．3．能正确运用“空间直线与平面平行”“平面与平面平行”进行逻辑推理．知识梳理1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有任何公共点；(2)判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示：b?α，a?α，a∥b?b∥α.2．直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.3．两个平面平行的判定(1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(2)垂直于同一直线的两个平面平行．4．两个平面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面．符号表示：α∥β，a?α，则a∥β.(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.1．判断两平面平行的常用结论(1)垂直于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行．2．与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被第三个平面所截，截得的对应线段成比例；(4)同一条直线与两平行平面所成的角相等．热身练习1．下列说法正确的是(D)A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b?α，则a∥αD．若直线a?α，b?α且a∥b，那么直线a∥αA中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故B错；C中缺少a不在平面α内这一条件；D满足线面平行的三个条件，故选 D.2．直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是(D)A．a∥b B．a⊥bC．a，b异面D．a∥b或a与b异面直线a∥平面α，直线b?α，所以a与b无公共点，所以a与b平行或异面，选 D.3．下列命题错误的是(C)A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行B．垂直于同一直线的两平面平行C．平行于同一直线的两平面平行D．平行于同一平面的两平面平行A，B是两个平面平行的两个判定定理，正确；C错误，D正确，故选 C.4．下列命题中不正确的是(D)A．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面B．两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行C．一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行A，B是两个平面平行的性质，正确；C正确，可用反证法进行证明；D错误，这一直线还可能在另一个平面内．故选 D.5．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．直线与平面平行的判断(2017·浙江卷节选)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD ⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面P AB.在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，因此，在处理第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．这同时也考查了考生对信息的综合分析和处理的能力．如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，P A的中点，所以EF∥AD且EF＝12 AD.又因为BC∥AD，BC＝12 AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.因为BF?平面PAB，CE?平面PAB，所以CE∥平面P AB.(1)证线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，转化为证线线平行．②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行．(2)利用判定定理时，要注意强调：(ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外的直线与平面内的直线平行．(3)证线线平行是证线面平行的基础，要注意如下结论的运用：①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中位线定理、平行四边形的性质等．1．(2015·山东卷节选)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.(方法一)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.(方法二)在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.又BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE∥平面FGH.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH?平面FGH，AB?平面FGH，所以AB∥平面FGH.又AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.平面与平面平行的判定(2015·四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定定理，即转化为证线面平行．2．如图，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，E，F分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1F∥平面BEC1.因为E，F分别是AC，A1C1的中点，所以AE＝FC1.又因为AE∥FC1，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1.因为EC1?平面BEC1，AF?平面BEC1，所以AF∥平面BEC1.连接EF.因为EF∥BB1，EF＝BB1，所以四边形BB1FE是平行四边形，所以B1F∥BE，B1F?平面BEC1，BE?平面BEC1，所以B1F∥平面BEC1.因为AF，B1F是平面AB1F内的相交直线，所以平面AB1F∥平面BEC1.线面平行、面面平行的性质的应用(2015·安徽卷节选)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C ∥A1D.又A1D?平面A1DE，B1C ?平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE.又B1C?平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(1)证线线平行，常利用线面平行、面面平行的性质定理．(2)线面平行、面面平行转化为线线平行，都是通过“辅助平面”完成的．3．(2018·石家庄一模节选)已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且P A⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3(S△PEF表示△PEF的面积)．证明：PB∥平面ACE.由题意知四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又CD?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PC，PD的中点，连接BD交AC于G，则G为BD的中点．在△PBD中，EG为中位线，所以EG∥PB.因为EG∥PB，EG?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.1．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”、再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但必须注意，转化方向的确定必须根据题目的条件和问题的特点而定．三种平行关系转化的示意图为：2．线面平行的判定定理中，要特别注意“平面外的一条直线”与“平面内的一条直线”，两者缺一不可；面面平行的判定定理中，要特别注意“两条相交直线”这一条件．3．解决有关平行问题时，要注意常用结论的总结和应用，以下是一些常用结论，在解决有关选择题、填空题时可直接引用．(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(7)两平行平面间的距离处处相等．(8)平行于同一条直线的两条直线平行．(9)平行于同一个平面的两个平面平行．(10)平行于同一直线的两个平面平行或相交．(11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．。

课时规范练 A 组基础对点练1体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ）A . 12 n B.32nC . 8 nD . 4 n解由正方体的体积为 8可知，正方体的棱长 a = 2•又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R = 3a （R 为正方体外接球的半径），所以R = ,3,故所求球的表面积 S = 4%R 2=12 n.答案：A2.平面a 截球0的球面所得圆的半径为 1,球心O 到平面a的距离为一 2,则此球的体积为 ( ) A. 6 n解析：设球的半径为R ,由球的截面性质得 R = . 2 2+ 12=寸3，所以球的体积 v = 4n R 3=4 3n. 答案：B 3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）4 D.4解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示,A. 32 3B.C .8止住）视圏1i i 8V = V 柱+ V 锥=—X (1 + 1) X 1X 2 +— X —X (1 + 1) X 1 X 2=—,故选 C.2 — 2 — 答案：C4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的三视图，则A . 24 nB . 29 nC . 48 nD . 58 n解析：如图，在3X 2 X 4的长方体中构造符合题意的几何体 （三棱锥A BCD ），其外接球即该几何体外接球的表面积为 （为长方体的外接球，表面积为4T R 2= n （3+ 22+ 42）= 29 n.答案：B5. （2018西安质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4 5代3 B.27C.3 D . 3解析：根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+ V三棱锥=~1X 2 X 1 X 1+ 1X 1X 2 X 1X 1 = 4.故选A.答案：A6. （2018山西四校联考）若三棱锥P ABC 的最长的棱PA = 2，且各面均为直角三角形，则 此三棱锥的外接球的体积是 _______________ .解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接1 4 Q 4球，易得外接球的半径 R = 2PA = 1,所以该三棱锥的外接球的体积V = -X nX 13= 3 n.4 答案：4n7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2的球O 的球面上，且 AB = 3, BC =〔 3,过点D 作 DE 垂直于平面 ABCD ，交球O 于E ,则棱锥E ABCD 的体积为 ________________.解析：如图所示，BE 过球心O ,「. DE = 42- 32- 3 2= 2, 1二 V E -ABCD = 3X 3X 3X 2 = 2 3. 答案：2 3&已知 H 是球O 的直径 AB 上一点，AH : HB = 1 : 2, AB 丄平面 a, H 为垂足, 所得截面的面积为 n 则球O 的表面积为 _____________解析：如图，设截面小圆的半径为 r ，球的半径为 R ,因为AH : HB = 1 : 12, 所以OH = -R.由勾股定理，有 R 2= r 2+ OH 2,又由题意得 n 2= n,则r =1，故R^ = 1+（扌旳2,即卩R^=9.由球的表面积公式，得 s = 4 n R 2= 95答案：字9. （2016高考全国卷H ）如图，菱形 ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交BD 于点 比将厶DEF 沿EF 折到△ D ' EF 的位置.a 截球O(1) 证明：AC 丄 HD ';(2) 若 AB = 5, AC = 6, 解析：（1）证明：由已知得 AC 丄BD , AD = CD.由此得 EF 丄HD , EF 丄HD '，所以AC 丄HD ', 小 OH AE 1(2)由 EF // AC得DO =AD =4.由 AB = 5, AC = 6 得 DO = BO = AB 2 — AO 2= 4. 所以 OH = 1, D ' H = DH = 3.于是 OD ' 2+ OH 2= (2 2)2 + 12= 9= D ' H 2, 故OD '丄OH. 由(1)知，AC 丄 HD '，又 AC 丄 BD , BD n HD ' = H , 所以AC 丄平面BHD '，于是AC 丄OD '.又由OD '丄OH , AC n OH = O ,所以OD '丄平面 ABC.DHDO119 69五边形ABCFE 的面积S =产6 X 8 — § X 产3=孑 所以五棱锥D' -ABCFE 的体积V = 3 X 69X 2 2= 23^2.3 4 2 10•如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形, 点，SA = SB = 2, AB = 2 3, BC = 3. （1）证明：SC //平面BDE ;⑵若BC 丄SB,求三棱锥 C BDE 的体积.解析：（1）证明：连接 AC ,设AC n BD = O , •••四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点.在厶ASC 中，E 为AS 的中点，••• SC// OE , 又 OE?平面 BDE , SC?平面 BDE ,• SC //平面 BDE .D 1又由AE = CF 得 AE _ A D =CFCD ，故 AC // EF. 5 一4 =E A=2 2，求五棱锥 D ' -ABCFE 的体积.(2) •/ BC 丄AB, BC 丄SB, AB A SB= B,••• BC 丄平面SAB,又BC // AD AD 丄平面SAB.•/ SC//平面BDE ,•••点C与点S到平面BDE的距离相等，•V C BDE = V S BDE=V D SBE,在厶ABS 中，SA= SB= 2, AB= 2 3,1•- S A ABS= 2 X 2 ,3 X 1 = 3.又T E为AS的中点，• S A BES=*S A ABS=又点D到平面BES的距离为AD,•V D BES=^S A BES AD = 3= 23,•- V c BDE =于，即三棱锥C BDE的体积为于.B组能力提升练1•一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()112B. 3 nD . 28 n解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为的正方形，高是2 ,3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面A • 36 nC. 32 n是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球•三棱柱的底 面是边长为 4的正三角形，•••底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2 3 = 3答案：B2. （2018广州模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称 为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA 丄平面ABC , PA = AB = 2, AC = 4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的 表面积为（ ）A . 8 nB . 12 nC . 20 nD . 24 n解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O ,易得2R = PC ={20,所以R =¥°,球O 的表面积为4K R 2= 20n 选 C.答案：C 3.在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球•若 AB丄BC , AB = 6, BC = 8, AA 1= 3，则V 的最大值是（ ）9 nA . 4 n B.y 32 nC . 6 nD. 3解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求 得球的半径为2,球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下 底面相切，此时球的半径 R = 3，该球的体积最大，V max = 4n R 3= 4兀>< 27=聖23 3 8 2答案：B4. 四棱锥S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同 一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时， 其表面积等于8+ 8 3,则球O 的体积等于（ ）112 n故选B.二外接球的半径3 28S = 4n R =4nxg =解析：依题意，设球O 的半径为R ,四棱锥S ABCD 的底面边长为a 、高为h ，则有h < R , 1 2 2R 3即h 的最大值是R ,又AC = 2R ,则四棱锥S ABCD 的体积V s ABCD = 3X 2R 2 3hWg.因此，1当四棱锥 S ABCD 的体积最大，即 h = R 时，其表面积等于 (.2R)2+ 4X X 2R X答案：A35•多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ____________ cm .解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥D ABC 中，底面ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为E ,则底 边AB 及底边上的高 CE 均为4,侧棱AD 丄平面ABC ，且AD = 4,所1 11 32以三棱锥 D ABC 的体积 V = ~S A ABC AD = 3 X - X 4X 4X 4 = ~3(cm ‘).3 3 2 32解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE(图略)，贝y E 为正方形ABCD 的中心.由题意可知-3X ( ,3)2X OE =乎，所以OE = ¥,故球的半径 R = OA = OE 2+ EA 2=. 6，则球的表面积3S = 4 T R =24 n.答案：24 n7.如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA = 6•顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D , D 在平面FAB 内的正投影为点 E ,连接PE 并延长交AB 于点G.6.已知正四棱锥O ABCD 的体积为-2一，底面边长为 3，则以O 为球心，OA 为半径的答案:球的表面积为 _________A. 32 n 32 2 n 3C . 16 n8+ &,3,解得R = 2，因此球O 的体积等于4 T R 3_ =32 n选A. 323B.正视图D(1)证明：G是AB的中点；⑵在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积. 解析：⑴证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB丄PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB丄DE.因为PD A DE = D ,所以AB丄平面PED，故AB丄PG.又由已知，可得PA = PB,所以G是AB的中点.⑵在平面PAB内，过点E作PB的平行线交FA于点F, F即为E在平面FAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB丄PA, PB丄PC,又EF // PB，所以EF丄PA, EF丄PC.因此EF丄平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.2由⑴知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD = 3CG.32 1由题设可得PC丄平面PAB, DE丄平面PAB，所以DE // PC,因此PE = "PG , DE = §PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA= 6,可得DE = 2, PE = 2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF = PF = 2,11 4所以四面体PDEF的体积V= - X-X 2X 2 X 2 =-.3 2 3&如图所示，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE ;(2) 求三棱锥E ABD的侧面积和体积.解析：(1)证明：在厶ABD 中，T AB= 2, AD = 4,/ DAB = 60° ••• BD = AB2+ AD2- 2AB ADcos/ DAB = 2 3.••• AB2+ BD2= AD2,：AB 丄BD.又平面EBD丄平面ABD，平面EBD门平面ABD = BD , AB?平面ABD , •AB 丄平面EBD.又DE?平面EBD , • AB 丄DE.(2)由⑴知AB丄BD.•/ CD // AB, • CD 丄BD，从而DE丄BD.在Rt△ DBE 中，T DB = 2 3, DE = DC = AB = 2,1•-S A EDB= ^DB DE = 2 3.•/ AB 丄平面EBD, BE?平面EBD, • AB丄BE.T BE = BC= AD = 4,•S A EAB= ^AB BE= 4.•/ DE丄BD，平面EBD丄平面ABD ,•ED丄平面ABD，而AD?平面ABD,1--ED丄AD，…S A EAD = ?AD DE = 4.综上，三棱锥 E ABD 的侧面积S= S A EDB+S A EAB + S A EAD = 8+ 2 3.•/ DE丄平面ABD,且S A ABD = EBD = 2\!3, DE = 2,•V E ABD = ^S A ABD DE = 1X 2；?3 X 2 = 433.。

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确． 答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ， 由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63.9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组 能力提升练1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a ∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b 相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B4．下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行． 答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

9.4 空间几何中平行问题一．线面平行的判定定理和性质定理则该则过这条直线的任一平简a βαβ⎫⎪⎬⊂⎪⎭考向一 线面平行【例1】（1）如图1，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，E 是线段PC 上的中点，证明： //PA 平面EBD（2）如图2， 是菱形， ， . 求证： 平面 .（3）如图3，在直角梯形中ABCD ， 90ADC BAD ︒∠=∠=，截面CDE 交SB 于点F ,求证： //EF CD ； （4）如图4，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；（5）如图5，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =．求证：//EF 平面ABCD ；（6）如图6，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝5∶8. 求证：直线MN ∥平面PBC ．图5图6【答案】见解析【解析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图A∵底面ABCD 是菱形，∴O 是AC 中点，又∵E 是PC 的中点，∴//PA EO ，且PA ⊄平面EBD ， EO ∈平面EBD ，∴//PA 平面EBD . （2）证明：设 ，取 中点 ，连结 ，如图B 所以，且.因为 ， ，所以 且 ，从而四边形 是平行四边形， . 因为 ⊂平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即 平面 . （3）//CD AB //CD ∴平面SAB 又平面CDEF ⋂平面SAB EF =//CD EF ∴（4）证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE ∩GF=G ，AC ∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC ．（5）证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH = D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =，∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ． (6)∵=∴与，共面．∴∥平面PBC．∵MN平面PBC，∴MN∥平面PBC．【举一反三】1.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：MN∥平面BB1C1C【答案】见解析【解析】证明：连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，又因为MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.2．如图四边形是平行四边形为直角梯形，.求证：平面；【答案】见解析【解析】取的中点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A ， ，且 ，四边形 是平行四边形， .⊂平面 平面 ， 平面 .3．如图所示， //,24BE CD BE CD ==，F 为棱AE 的中点，求证: //DF 平面ABC【答案】见解析【解析】证明：如图，取AB 中点G ，连接CG FG 、，因为F 为AE 中点，所以//FG BE 且12FG CD =， 2BE CD =，所以//FG CD 且FG CD =，所以四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .CG ⊂平面ABC ， DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC .4．如下图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 为正方形， G 是线段BE 的中点， 2AB =， F 是线段CD 上的中点，求证: //GF ADE 平面【答案】见解析【解析】解法一：取AE 的中点H ，连接HG ， DHG 是线段BE 的中点，∴HG AB 且12HG AB =， 四边形ABCD 为正方形， F 是线段CD 上的中点∴DFAB 且12DF AB =， ∴HG DF 且HG DF =，∴四边形DFGH 是平行四边形，//GF DH ∴，DH GF ADE ADE ⊄⊂平面，平面，//GF ADE ∴平面。

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7-4 空间中的平行关系课时规范练A组基础对点练1．(2018·陕西质检)已知平面α,β和直线a，b，下列说法正确的是( C )A．若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β,且a∥b，则α∥βD．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ B )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α,则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β"是“α∥β"的（ B )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2017·江西赣中南五校联考）已知m，n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α,n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α,则n∥α5．(2018·唐山质检）如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M,N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：（1)BE∥平面DMF；（2)平面BDE∥平面MNG.证明：（1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O。

课时规范练A组基础对点练1•如图，在Rt△ ABC中，/ ABC = 90 ° P为厶ABC所在平面外一点, PA丄平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为（）CA . 4B . 3C. 2 D . 1解析：由PA丄平面ABC可得△ FAC,^ FAB是直角三角形，且PA丄BC.又/ ABC = 90°即AB丄BC,所以△ PBC是直角三角形，且BC丄平面PAB,又PB?平面FAB,所以BC丄PB, 即厶PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形.答案：A2. 设a, b是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，则能得出a丄b的是（）A . a丄a , b l 3,a丄3B . a丄a, b丄3 , all 3C. a? a, b± 3,all 3 D .a? a, b // 3, a丄3解析：对于C项，由a//3, a? a 可得a// 3,又b± 3,得a丄b,故选C答案：C3. （2018兰州诊断考试）设a, 3 丫为不同的平面，m, n为不同的直线，则m丄B的一个充分条件是（）A . a丄 3 aA 3=n, m l nB . aA Y= m, a丄Y 3丄丫C. a 丄3, 3-L Y m 丄 aD. n丄 a , n丄3, m± a解析：A不对，m可能在平面3内，也可能与3平行；B , C不对，满足条件的m和3可能相交，也可能平行；D对，由n丄a , n丄3可知all 3结合口丄a知m l 3,故选D.答案：D4. 设a , b , c是空间的三条直线,a , 3是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A .当C丄a时，若C丄3贝U all 3B .当b? a时，若b± 3,贝U a丄3C.当b? a,且c是a在a内的射影时，若b丄c ,贝U a丄bD .当b? a,且c? a 时，若c//a,贝U b // c解析：A的逆命题为：当C丄a时，若all 3则C丄3由线面垂直的性质知c丄3故A正确；B的逆命题为：当b? a时，若a丄3,贝U b± 3,显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b? a ,且c是a在a内的射影时，若a丄b,贝U b丄c.由三垂线逆定理知b丄c ,故C正确；D 的逆命题为：当b? a ,且c?a时，若b// c ,则c ll a.由线面平行判定定理可得c// a,故D正确。