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【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．考点1 函数的概念1.函数与映射的概念确定2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．答案：对应关系3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．答案：定义域对应关系[教材习题改编]以下属于函数的有________．①y＝±x；②y2＝x＋1；③y＝＋；④y＝x2－2(x∈N)．答案：④解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y 值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．答案：①②④①②解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )A．① B．①③④C．①②③ D．③④[答案] B[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝x2－1[答案] A[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同；C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴两函数的定义域不同；D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.(3)下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．是从集合A到集合B的函数的为________．[答案] ①[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点2 函数的定义域对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．(1)[教材习题改编]函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C (2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A BC D答案：B 定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x的函数解析式为________．答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6)解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．(2)函数y＝的定义域为________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，应使x－1≠0，即x≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y＝＝＝x＋2，从而得函数定义域为R，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．主要有以下几个命题角度：角度一求给定函数解析式的定义域[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f(x)＝的定义域是( )A．(0,2)B．(0,1)∪(1,2)D．(0,1)∪(1,2]C．(0,2][答案] D [解析] 要使函数有意义，则有即所以0<x≤2且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] A[解析] 函数f(x)＝ln(x －1)＋的定义域为⇒1<x<2，故选A.角度二求抽象函数的定义域[典题3] (1)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2][答案] C[解析] 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100， 所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ＋f 的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f ＋f中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.角度三已知定义域确定参数问题[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．[答案] [－1,0][解析] 函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.[点石成金] 求函数定义域的两种方法函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.答案：解析法图象法列表法[典题5] (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.[答案] lg (x>1)[解析] 令t ＝＋1(t ＞1)，则x ＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x ＞1)．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(x)＝________. [答案] 2x ＋7[解析] 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f(x)＝2x ＋7.(3)已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x ，则f(x)＝________.[答案] 2x －(x≠0)[解析] ∵2f (x)＋f ＝3x ，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f ＋f(x)＝.②①×2－②，得3f(x)＝6x －，∴f(x)＝2x －(x ≠0)．(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x ＋，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.[答案] x －－x[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x ＋.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x －， 即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x －. [点石成金] 求函数解析式的方法1.已知f(＋1)＝x ＋2，则f(x)＝________.答案：x2－1(x≥1)解析：令t ＝＋1，∴t≥1，x ＝(t －1)2，则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x ≥1)．2．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2－x ＋3解析：设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 又f(0)＝c ＝3，∴f(x)＝ax2＋bx ＋3，∴f(x ＋2)－f(x)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋3－(ax2＋bx ＋3)＝4ax＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x2－x ＋3.考点4 分段函数及其应用1.分段函数的定义若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系 2．分段函数的性质(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．答案：(1)并集(2)并集[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求分段函数的函数值或取值范围[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f(x)＝则f(f(4))＝________；若f(a)<－1，则a的取值范围为________．[答案] 5 ∪(1，＋∞)[解析] f(4)＝－2×42＋1＝－31，f(f(4))＝f(－31)＝log2(1＋31)＝5.当a≥1时，由－2a2＋1<－1，得a2>1，解得a>1；当a<1时，由log2(1－a)<－1，得log2(1－a)<log2，∴0<1－a<，∴<a<1.即a的取值范围为∪(1，＋∞)．角度二分段函数的图象与性质的应用[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)[答案] D[解析] 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3.解x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－∞，－2]∪[3，＋，x2－1，－2，其图象如图实线所示．由图可知，当－2≤k<1时，函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略间进行分别求解，然后整合.[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法．[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f()＝x ＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．真题演练集训1．[2013·大纲全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵f(x)的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x<－. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C解析：∵ －2<1，∴ f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵ log212>1，∴ f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴ f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C. 3．[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )A．f(sin 2x)＝sin xB．f(sin 2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|答案：D解析：取特殊值法．取x＝0，，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．综上可知，故选D.4．[2014·山东卷]函数f(x)＝的定义域为( )A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)答案：C解析：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．5．[2014·上海卷]设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )B．[－1,0]A．[－1,2]D．[0,2]C．[1,2]答案：D解析：∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时等号成立．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.6．[2016·江苏卷]函数y＝的定义域是________．答案：[－3,1]解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．课外拓展阅读已知定义域求参数问题[典例1] 已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．[解] 函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.归纳总结已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．[典例2] 已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．[解] 由题意知ax＋1≥0，a<0，所以x≤－，即函数的定义域为.因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆，所以－≥1.又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范围是[－1,0)．温馨提示函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．已知分段函数图象求解析式已知函数的图象求函数的解析式y＝f(x)，如果自变量x在不同的区间上变化时，函数y＝f(x)的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．[典例3] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．[解] 当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x －；当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx ＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x －； 当1≤x<2时，f(x)＝1.综上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x<－1，32x －12，－1≤x<1，1，1≤x<2.方法探究由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。
课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合． 答案：D4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( )A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 答案：D5．(2018·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝loga |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.答案：D9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：本题主要考查函数的奇偶性及单调性．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a <3，故选B.答案：B10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D. 答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－22＝－f ⎝⎛⎭⎫22＝－⎝⎛⎭⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1.当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫1221log 5＋ C.12D.120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫1222log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x， 根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1.若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：根据题意，log a b ＞1⇔log a b －log a a ＞0⇔log a ba＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜ba ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b a＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 或⎝ ⎛ a ＞1b ＞a .当⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜10＜b ＜a 时，0＜b ＜a ＜1，∴b －1＜0，b －a ＜0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞a 时，b ＞a ＞1，∴b －1＞0，b －a ＞0. ∴(b －1)(b －a )＞0.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A. 答案：A7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1.∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n<1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B.34 C.710D.32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D.答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.答案：C11．设方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．(2017·江西红色七校模拟)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝12⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f⎦⎤⎝⎛⎭⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，114．(2018·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 15．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数， 由于f (x )＞1恒成立， 所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4， 故这样的a 不存在． ∴1<a <83.答案：⎝⎛⎭⎫1，83 16．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1g ⎝⎛⎭⎫a 2＞0，解得1＜a ＜2 5.答案：(1,25)。
课时规范练 A 组 基础对点练1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( ) A ．f (0)<f (3) B ．f (0)>f (3) C ．f (0)＝f (3) D ．无法确定解析：由题意知f (x )的图象是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选B. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：在(－1,0)上f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上f ′(x )单调递减，所以f (x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B. 答案：B3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1，故选D.答案：D4．(2018·辽宁大连高三双基测试)已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：依题意得f ′(x )＝e x －2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，因此对照各选项知选C. 答案：C5．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是( )解析：对f (x )＝e x －(x ＋1)2求导得f ′(x )＝e x －2x －2，显然x →＋∞时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )是增函数，排除A ，D ；x ＝－1时，f ′(－1)≠0，所以x ＝－1不是函数的极值点，排除B ，故选C. 答案：C6．(2018·江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A ．1<a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2D ．0<a ≤3解析：易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x<0，解得0<x <3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2，选A. 答案：A7．已知f (x )＝ln xx ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)，故选D.答案：D8．(2018·四川成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，若a ＝f (0.5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫43，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＞a ＞c B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：因为对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ⎝⎛⎭⎫43＞f (0.5)＝f ⎝⎛⎭⎫32＞f (3)，即b ＞a ＞c . 答案：A9．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞10．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________． 解析：令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，∴当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x )为奇函数，f (－2)＝0，∴f (2)＝0，∴g (2)＝f (2)2＝0，结合奇函数f (x )的图象知，f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，故填(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案：(－2,0)∪(2，＋∞)11．(2018·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． 12．已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R)．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝⎝⎛⎭⎫1x －a ＋ln x e x ， f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e ＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x －a ＋ln x e x ， 若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立． 即1x －a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立． 所以a ≥1x ＋ln x 在x >0时恒成立．令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)． 故f (x )不可能是单调递减函数． 若f (x )为单调递增函数， 则f ′(x )≥0在x >0时恒成立， 即1x－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立， 所以a ≤1x ＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．B 组 能力提升练1．已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，e ＋1)B ．[0,2e －1)C ．[0，e)D ．[0，e －1)解析：依题意，知k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，所以由xe x＜1k ＋2x －x2可得k ＜e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x .则f ′(x )＝e x(x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e xx 2＋2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k ＜f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 答案：D2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ＞0，b ∈R)，若对任意x ＞0，f (x )≥f (1)，则( ) A ．ln a ＜－2b B ．ln a ≤－2b C ．ln a ＞－2bD ．ln a ≥－2b解析：f ′(x )＝2ax ＋b －1x ，由题意可知f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝1，由选项可知，只需比较ln a＋2b 与0的大小，而b ＝1－2a ，所以只需判断ln a ＋2－4a 的符号．构造一个新函数g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1x －4，令g ′(x )＝0，得x ＝14，当x ＜14时，g (x )为增函数，当x＞14时，g (x )为减函数，所以对任意x ＞0有g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1－ln 4＜0，所以有g (a )＝2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0⇒ln a ＜－2b ，故选A. 答案：A3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．由f ′(x )＜0，得1＜x ＜3，由f ′(x )＞0，得x ＜1或x ＞3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a ＜b ＜c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc ＞0，y 极小值＝f (3)＝－abc ＜0，∴0＜abc ＜4. ∴a ，b ，c 均大于零，或者a ＜0，b ＜0，c ＞0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)＜0，∴f (0)f (1)＜0，f (0)f (3)＞0，∴正确结论的序号是②③. 答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意． 当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a ＞0时，2a ＞0，所以函数f (x )＝a x 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫0，2a上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立． 当a ＜0时，2a ＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎫0，1＋e e 2解析：令g (x )＝ln x ，h (x )＝ax 2－x ， 将问题转化为两个函数图象交点的问题．当a ≤0时，g (x )和h (x )的图象只有一个交点，不满足题意； 当a ＞0时，由ln x －ax 2＋x ＝0，得a ＝x ＋ln xx2.令r (x )＝x ＋ln xx2，则r ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ·x 2－(ln x ＋x )·2x x 4＝1－x －2ln x x 3，当0＜x ＜1时，r ′(x )＞0，r (x )是单调增函数，当x ＞1时，r ′(x )＜0，r (x )是单调减函数，且x ＋ln xx 2＞0，∴0＜a ＜1.∴a 的取值范围是(0,1)．故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x (x ＞0)，∴f ′(x )＝－x －3＋4x，∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)， ∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点． 答案：08．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则m 的取值范围为__________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，当x ＝1时，g (0)＝1，由g (0)＝g ′(1)e 0－1，解得g ′(1)＝e ，所以g (x )＝e x －x ＋12x 2，则g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，所以当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1，根据题意将不等式转化为2m －1≥g (x )min ＝1，所以m ≥1. 答案：[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t ln x (t ∈R)．(1)若t ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程以及f (x )的极值；(2)设函数g (x )＝(1－t )x ，若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数t 的最大值． 解析：(1)依题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当t ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.由f ′(1)＝0，f (1)＝－2，得曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由表格知，f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－54＋ln 12，f (x )极小值＝f (1)＝－2. (2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解， 即x 2－2x ＋t (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解．∵当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，∴ln x －x <0，∴t ≤x 2－2xx －ln x 在区间[1，e]上有解．令h (x )＝x 2－2xx －ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2. ∵x ∈[1，e]，∴x ＋2>2≥2ln x ，∴h ′(x )≥0，h (x )单调递增，∴x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝e (e －2)e －1.∴t ≤e (e －2)e －1，∴实数t 的最大值是e (e －2)e －1.10．已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a <0，若对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．求导，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时， f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)不妨设x 1≤x 2，而a <0，由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x 1)≤f (x 2)．从而对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)， |f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于 对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，4x 1－f (x 1)≥4x 2－f (x 2)．①令g (x )＝4x －f (x )，则g ′(x )＝4－f ′(x )＝4－⎝⎛⎭⎫x ＋1－a －a x ＝ax －x ＋3＋a .①等价于g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )＝ax－x ＋3＋a ≤0对∀x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≤x 2－3xx ＋1对∀x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x x ＋1min .又x 2－3x x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－5≥2(x ＋1)·4x ＋1－5＝－1，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1]．。
第1节 函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[常用结论与微点提醒]1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.(3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].答案 B3.(2018·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1]解析由⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，x >0，解得0<x <1.答案 C4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2018·九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2（x ＋1）的定义域是( )A.(－1，3)B.(－1，3]C.(－1，0)∪(0，3)D.(－1，0)∪(0，3](2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________.解析(1)由题意得⎩⎨⎧9－x 2≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1⇒－1<x ≤3且x ≠0.(2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎨⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1). 答案 (1)D (2)[0，1)规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.【训练1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)(2018·内蒙古名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)解析 (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]， 则⎩⎨⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1. 故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 答案 (1)B (2)B考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1(2)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，则f (x )＝x ＋1. (2)当x ∈(－1，1)时， 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1).答案 (1)A (2)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度1 求分段函数的函数值【例3－1】 (2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2B.4C.6D.8解析 由已知得0<a <1，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C命题角度2 求参数的值或自变量取值范围【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解之得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.(2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34D.－14(2)(2018·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7， 此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74. (2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A.{x |x >6} B.{x |－3<x <6} C.{x |x >－3}D.{x |－3≤x <6}解析 由⎩⎨⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6，故函数的定义域为{x |－3≤x <6}.答案 D2.设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. 答案 C3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞). 答案 D5.(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数a 为( )A.－54B.－13C.14D.52解析 易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋a ＝32＋a .当32＋a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋a ＝3＋3a ，所以3＋3a ＝2，a ＝－13不满足32＋a <1，舍去. 当32＋a ≥1时，即a ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋a ＝2，解得a ＝52. 答案 D6.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( )A.12B.14C.－25D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C7.设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x . 答案 D8.(2018·武汉调研)已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝( ) A.－72 B.92 C.72 D.－92解析 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，① 令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，② 联立①②解得f (－2)＝72.答案 C二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________. 解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].答案 (0，1]10.(2018·东北三省四校联考)已知f (2x )＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 解析 令t ＝2x ，则t >0，且x ＝log 2t ，∴f (t )＝3＋log 2t ，即f (x )＝3＋log 2x ，x >0.则有log 2a ＋3＝5，解之得a ＝4.答案 411.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 答案 f (x )＝－log 2 x12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________. 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 能力提升题组(建议用时：10分钟)13.函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A.(2，3) B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6] 解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0， ∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4].答案 C14.(2018·大同模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.① 解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意. 答案 B15.(2018·广雅中学联考改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f （x ＋5），x >2，e x ，－2≤x ≤2，f （－x ），x <－2，则f (－2 017)＝________.解析 当x <－2时，f (x )＝f (－x )，∴f (－2 017)＝f (2 017).当x >2时，f (x )＝f (x ＋5)，∴f (2 017)＝f (2 012)＝…＝f (2)＝e 2.答案 e 216.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集是________.解析 当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，则f [f (x )]<2解集为∅.当x <1时，f (x )＝2e x －1<2. 所以f [f (x )]<2等价于f (x )<1，则2e x －1<1，得x <1－ln 2.故f [f (x )]<2的解集为(－∞，1－ln 2).答案 (－∞，1－ln 2)。
课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C7．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A8．(2018·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A10．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C11．(2018·长沙统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫作函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.答案：D13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)14．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________． 解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞15．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－616．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]B 组 能力提升练1．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞ 解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∵f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 答案：A2．(2018·陕西西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e 的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．(2018·重庆模拟)若函数f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g (x )＝x －1＋14；②p (x )＝1x ；③q (x )＝ln x ；④h (x )＝x 2.其中“和谐函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，需满足f (a )＝a 2，f (b )＝b2，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，需满足f (b )＝a 2，f (a )＝b2.①g (x )＝x －1＋14在[1，＋∞)上为增函数，则g (a )＝a 2，g (b )＝b 2，即a ，b 是函数g (x )＝x2的两个根，即x －1＋14＝x2，则x －1＝－14＋x2，作出函数y ＝x －1和y ＝－14＋x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．②p (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p (b )＝a 2，p (a )＝b2，即⎩⎨⎧1a ＝b 21b ＝a2，即ab ＝2，当a ＝12，b ＝4时，满足条件．③q (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，则q (a )＝a 2，q (b )＝b 2，即a ，b 是函数q (x )＝x2的两个根，即ln x ＝x 2，作出y ＝ln x 和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．④当x ≥0时，h (x )＝x 2为增函数，则h (a )＝a 2，h (b )＝b 2，即a ，b 是函数h (x )＝x2的两个根，作出y ＝x 2和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C. 答案：C12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________． 解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2， 由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)， 所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1， 所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－1226－6 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2＜2|a －1|＜2，则|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，3215．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝x x 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论： ①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是________．解析：对于①，∵函数f (x )＝x x 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1， ∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.答案：3。
课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案：C3．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：∵f (－2)＝2－2＝14，∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12，故选C. 答案：C4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.故选C. 答案：C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，π，x ＝0，π2＋1，x ＜0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1B ．π2＋1C ．πD ．0解析：由函数的解析式可得f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252b -＝4，解得b ＝12.故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0x ＋3＞0，所以－3＜x ≤0.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)． 答案：B10．设x ∈R ，则f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x (x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：对于A ，f (x )＝x 2(x ∈R)，与g (x )＝x 2＝|x |(x ∈R)的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B ，f (x )＝(x )2x ＝1(x ＞0)，与g (x )＝x (x )2＝1(x ＞0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C ，f (x )＝1(x ∈R)，与g (x )＝(x －1)0＝1(x ≠1)的定义域不同，所以不是同一函数；对于D ，f (x )＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)，与g (x )＝x －3(x ∈R)的定义域不同，所以不是同一函数．故选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是__________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是__________．解析：当x ≥8时，x 13≤3，x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立．综上，x ∈(－∞，27]． 答案：(－∞，27]B 组 能力提升练1．(2018·郑州教学质量监测)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 015] B ．[－1,1)∪(1,2 015] C ．[0,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 016]解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 015]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015x －1≠0，故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 015]．答案：B2．(2018·大同质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A.答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意 x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2e x，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝⎛⎭⎫133log 15＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ． 4B ．－2C ．4或－12D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝⎛⎭⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确． ②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3，∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12，∴④错误．故选B. 答案：B13．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是________． 解析：因为函数f (2x )的定义域是[－1,1]，所以－2≤2x ≤2，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]，所以f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域应满足的条件为－2≤2x －1≤2且－2≤2x ＋1≤2，即－12≤x ≤32且－32≤x ≤12，所以－12≤x ≤12，所以函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]． 答案：[－4,2]15．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－816．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________. 解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足 f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝14k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033. 答案：4 033。
课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案：C3．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：∵f (－2)＝2－2＝14，∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12，故选C. 答案：C4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，π，x ＝0，π2＋1，x ＜0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1B ．π2＋1C ．πD ．0解析：由函数的解析式可得f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252b -＝4，解得b ＝12.故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0x ＋3＞0，所以－3＜x ≤0.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)． 答案：B10．设x ∈R ，则f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：对于A ，f (x )＝x 2(x ∈R)，与g (x )＝x 2＝|x |(x ∈R)的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B ，f (x )＝(x )2x ＝1(x ＞0)，与g (x )＝x (x )2＝1(x ＞0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C ，f (x )＝1(x ∈R)，与g (x )＝(x －1)0＝1(x ≠1)的定义域不同，所以不是同一函数；对于D ，f (x )＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)，与g (x )＝x －3(x ∈R)的定义域不同，所以不是同一函数．故选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1， 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是__________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是__________．解析：当x ≥8时，x 13≤3，x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立． 综上，x ∈(－∞，27]． 答案：(－∞，27]B 组 能力提升练1．(2018·郑州教学质量监测)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 015] B ．[－1,1)∪(1,2 015] C ．[0,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 016]解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 015]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015x －1≠0，故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 015]． 答案：B2．(2018·大同质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋x B.21＋x 2 C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意 x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2e x，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝⎛⎭⎫133log 15＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ． 4B ．－2C ．4或－12D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝⎛⎭⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确． ②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3，∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12，∴④错误．故选B. 答案：B13．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是________． 解析：因为函数f (2x )的定义域是[－1,1]，所以－2≤2x ≤2，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]，所以f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域应满足的条件为－2≤2x －1≤2且－2≤2x ＋1≤2，即－12≤x ≤32且－32≤x ≤12，所以－12≤x ≤12，所以函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]． 答案：[－4,2]15．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－816．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________. 解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足 f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝14k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033. 答案：4 033。
