3讲 多值函数

初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。

也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。

多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。

2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。

a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。

b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。

c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。

3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。

a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。

因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。

b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。

因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。

4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。

但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。

初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。

(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θΛnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．(3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。

为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。

在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。

假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。

比如原点。

在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。

具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。

用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。

取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。

多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧1 引言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判定上对于教学者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握．所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必要的．我主要是针对多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结．多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到，但前人在这方面已做了详细的研究．对于多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧．我们有一些传统的方法，比如割破z 平面法．其主要是在z 平面上从原点0z =起割破负实轴的区域D 内，可以得到Lnz w =的无穷多个不同的单值解析分支函数．下面就针对这个课题详细进行探讨一下．2 预备知识概念1 支点——设()w f z =是多值函数，a 是z 平面上一点，如果z 在a 点的充分小的邻域内绕a 的任一简单闭曲线一周后，()w f z =从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其他一值，则称a 是()w f z =的一个支点．概念２ 支割线——用来割破z 平面，借以分出多值函数()w f z =的单值解析分支函数的割线，叫做()f z 的支割线．3 多值函数w Lnz =的单值化方法与技巧3.1 割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：首先确定多值函数的支点，再在复平面上以连接支点 的曲线作支割线得一区域，然后在这一区域内多值函数分成了单值解析分支函数．ln arg 2ln 2w Lnz z i z k i z k i ππ==++=+ （k Z ∈）． （i ） 其中，ln ln arg z z i z =+（ln z 是Lnz 的主值） (1) 确定w Lnz =的支点在0或∞的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C 围绕0或∞．根据Argz 的连续变化情况，当一点z 从C 上一点1z 出发沿C 连续变动一周时，Lnz 从它在1z 的任一值连续变动到其他一值．这可以由（i ）式看出，（任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差2π的整数倍）．所以由预备知识概念1，0或∞称为对数函数w Lnz =的支点． (2) 对w Lnz =做支割线，确定区域一般在复平面上，取连接0及∞的任一条无界简单连续曲线1K 作为割线隔开z 平面．即由预备知识概念2可知1K 为支割线．w Lnz =就是取这样的1K 作为支割线的，且通常是取负实轴．现在确定区域：设区域11D C K =-，并且11z D ∈，则1D 即为所确定区域． (3) 将w Lnz =单值化在1D 内任意取定一点0z ，并指定0z 的一个辐角值，则在1D 内的每一点z ，皆可由0z 的辐角依连续变化而唯一确定z 的辐角．若支割线从原点割破负实轴，C 是1D 内任一简单闭曲线，C 不会穿过负实轴，它的内部不包含原点0z =，当变点z 从0z 绕C 一周后，这时arg z 又回到起点的辐角0arg z ，而z 的像点()ln arg 2k k w w z z i z k i π==++，（k Z ∈） 则画出一条闭曲线而回到原来的位置()0k w z ，（如图１）．画出的闭曲线是包含在w 平面上的宽为2π的带形域k B 内k B ： ()()()2121,k v k k Z ππ-<<+∈这些带形域互不相交而填满w 平面．因此，在1D 内可得到的无穷多个单值解析分支函数，记作()()ln ln arg 2k k w z z i z k π==++，（k Z ∈）． 同理，w Lnz =的支割线也可以取正实轴割破z 平面，方法同上.图1例１ 将函数Lnz 沿正实轴（包括原点）割破z 平面，试在所得区域D 内取定函数Lnz 在正实轴上岸的点1z =处取12ln i π=的一个解析分支，并求这一分支在1z =-处的值及正实轴下岸的点1z =处的值（区域的边界可以看作是有不同两岸，上、下或左、右，且同一单值解析分支在两岸所取的值不同）．如图２图２解 因12ln i π=，从而arg12π=，所以取定的单值解析分支函数为[]ln ln 2L z z i Argz i π=++，z D ∈．([]L Argz 表示Argz 在曲线L 上的改变量，如下同义)，在D 内逆时针作以正实轴上岸的点1z =为起点、分别以1z =-和正实轴下岸的点1z =为终点的简单曲线1L 和2L ,则[]1LArgz π=，[]22L Argz π=,()[]1ln 1ln 123L i Argz i i ππ-=-++=，[]2ln1ln 124L i Argz i i ππ=++=下．这里接下来简单介绍一下具有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与w Lnz =的 单值化方法基本相同．它也是先确定函数的支点，只不过是有多个支点，再适当连接支点作支割线来割破z 平面，最后在z 平面上以此支割线为边界的区域D 内就能分出该函数的单值解析分支．因为，在D 内变点z 不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一周，函数就不能在D 内同一点取不同的值．看如下例题例２ 试证()21Ln z -在割去线段[][]1,,1,i i -，及射线0,1x y =≥的区域内可取出单值分支？ 并求0z =时等于零的那一支在2z =的值解 (1) ()21Ln z -的支点为1z =±及∞ 因 ()()()2ln 1ln 1ln 1z z z -=-++，当变点z 单绕1-或+1一周时,()2ln 1z -的值就改变2i π（沿正向）或2i π-（沿负向），即()2ln 1z -从一支变成另一支；当变点z 同绕+1及1-一周时, ()2ln 1z -共改变4i π（沿正向）或4i π-（沿负向），即()2ln 1z - 也从一支变成另一支．将z 平面沿题中要求割破后（如图2），变点z 既不能单绕1-或+1转一周，也不能同绕1- 及 +1转一周．于是，在这样割破了的z 平面上任一区域D 内，()21Ln z-就能分出无穷多个单值解析分支．(2) 当z 从0z =沿D 内一条简单曲线C 变动到2z =时，由图３图３()()()()()2arg 1arg 11arg 1arg 10C C C Cz z z z z ππ⎡⎤-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=．已知此指定分支在0z =的值为0，从而此初值的虚部为零，故由公式()()()()221ln ln arg arg C f z f z i f z i f z =++⎡⎤⎣⎦可知该分支在2z =的值为22ln 1ln3z z i i ππ=-+=+．3.2 给定某点函数值法多值函数w Lnz =有支点0z =，z =∞，适当割破z 平面后（如沿着负实轴割破z 平面，相当 于限制z 的辐角范围为：arg z ππ-<≤），多值函数w Lnz =可分出如下无穷多个单值解析分支()[]ln arg 2k k w lnz z i z k π==++ （z D ∈，k Z ∈）（D 为割破z 平面后的区域），一般是选取从0z =开始沿着z =∞的射线来割破z 平面，随着 割破z 平面的射线选取不同，z 的辐角范围也不相同．于是，有下面在给定某点0z z =函数值()0w w z =时，单值解析分支确定的具体方法：(1) 确定z 的辐角范围．设割破z 平面的射线与x 轴正向夹角为α（02απ<≤）则z 的辐角范围为:arg 2z z απα<≤+(2) 确定w Lnz =的带形区域为arg 2w απα<≤+，并由此得出()0arg w z 的值(3) 确定各个单值解析分支k w 所在的带形：()()2arg 21k k w k k Z παπα+<≤++∈并由()()()02arg 21z k w k k Z παπα+<≤++∈来求出k 值，从而可得所求单值解析分支．例3 设w Lnz =是在沿上半虚轴割破了的z 平面上，并且()32w i i π=-左（上半虚轴左岸i 点的值），现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴取正实值的一个解析分支，及求()w i 右的值．解 所求的解析分支是3ln arg arg 22z i z z ππ⎛⎫+-<< ⎪⎝⎭．这里32απ=-，于是3arg 22z ππ-<<，则3arg 22w ππ-<<． 又因为()32w i i π=-左，所以()arg 2w i π=-左，再由()()33221222k k k Z πππππ-<-≤+-∈，解得0k =故所求得单值解析分支为()()()0ln 2w Lnz r z i z k k Z θπ==++∈⎡⎤⎣⎦，于是()()()()0ln arg 02w i w i Ln i i i i i π⎡⎤===++=⎣⎦右右右右右．例4 设w Lnz =是在沿正实轴割破了的z 平面上，并且()1w i π-=，现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，及求在正实轴下沿的值．解 所求的的解析分支是()ln arg 0arg 2z i z z π+≤<这里0α=，于是0arg 2z π<≤，则0arg 2w π<≤．又因为()1w i π-=，所以()arg 12w π-=．再由()()2212k k k Z πππ<≤+∈，解得0k =，于是在正实轴下沿z x =处的值是()()()()()0ln arg 0ln 2w x w x Ln x x i x x i π⎡⎤===++=+⎣⎦下下下下下3.3 取单值域法相关概念 为了确定多值函数的单值域和单值分支，所以要先引入一些概念．设多值函数()F z 在a 点的空心邻域上定义，环绕a 作一简单闭曲线C ，取定一点0z C ∈和多 值函数()F z 在0z 的值．让动点z 从0z 出发沿C 绕行，同时使()F z 的值连续地变化．若动点z 不管绕C 多少周，()F z 总不回到原来的值，则称a 是()F z 的一个对数支点； 若动点z 绕行n 周后，()F z 回到原来的值，则称a 为一个代数支点．因此将复平面沿连接支点的曲线（可以是一条或几条）切开，得到区域D （可以是单连通域或多连通域），只要动点z 沿D 内任一简单闭曲线绕行一周时，函数()F z 总是回到出发点时的值，则D 即为多值函数()F z 的一个单值域．取定多值函数()F z 在一点0z C ∈的值，即取定它在D 内的一个单值分支函数．例5 求多值函数()z aLna b z b -≠-的支点与单值域． 解 多值函数()z aLn a b z b-≠-在a 点的空心邻域内定义，动点沿环绕z a =的充分小闭曲线一周 时，函数虚部增加2π，绕行n 周时，虚部增加2k π，所以z a =是一个对数支点．同理z b =，也是Lnz 的对数支点．考虑z =∞，当沿包含z =∞的充分小简单闭曲线C 绕行一周后，因为这时函数在C 上的该变 量为()()000C C Cz a Ln Ln z a Ln z b z b -⎡⎤=---=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦， 所以z =∞不是支点．用一曲线或直线段连接z a =，z b =这两支点，记此曲线为γ．则{}\D C γ=即为()z aLna b z b-≠-的单值域． 取定()z a Ln a b z b -≠-在0z D ∈的值，即得()z aLn a b z b-≠-的一个单值分支．4 总结多值函数单值化方法与技巧，前人已经做了大量的研究，但大多都是对根式函数的单值化方法与技巧进行了详细的研究，而对数函数的单值化方法与技巧却研究者甚少，大多也只是在判定其支点，支割线的方法上．因此，针对多值函数w Lnz=的单值化方法与技巧可以仿照根式函数单值化方法进行，比如3.1割破平面法；但其本身还是有一些巧妙的方法，比如3.2给定某点函数值法、3.3取单值域法，读者可以多加注意一下．由于这方面内容本身对初学者就是一个难以解决的问题，所以要能熟练掌握对数函数单值化方法与技巧还需要大量的练习来巩固，所以希望我的课题能给好学的人带来一点帮助．我暂时只能对=的单值化方法与技巧做这几点研究，也希望好学的读者还能提供一些更好的方法多值函数w Lnz与技巧．参考文献[1] 方企勤．复变函数教程[M]．北京：北京大学出版社，2003[2] 余家荣．复变函数[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2004[3] 路可见，钟寿国，刘士强．复变函数[M]．第二版．武汉：武汉大学出版社，2007[4] 钟玉泉．复变函数论[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2005[5] 钟玉泉．复变函数学习指导书[M]．北京：高等教育出版社，2005[6] 于慎根，杨永发，张相梅．复变函数与积分变换[M]．天津：南开大学出版社，2006[7] Marsden JE．1973．Basic Complex Analysis．San Francisco：WH Freeman and Company。

§3 初等多值函数一、教学目标或要求：掌握 基本的初等多值函数的定义、性质； 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质； 重点：基本的初等多值函数的定义、性质； 难点：支点的概念 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。

(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a为函数)F的支点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。

为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。

在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。

假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。

第二章复变函数第三节初等多值函数6、根式函数7、对数函数8、幂函数.,,,v e r e z iv u w re z u wi ===+==θθ可得则从令.,,0000u w e r v u u v v v e z =<<-====”变成圆周把线段“变成射线把直线因此，变换ππθ.0000v z v v w e z w<<<<=θ平面上的角形变成平面上的带形把指数函数（2）指数函数的变换性质：.轴的区域平面上除去原点和负实变成平面上的带形把指数函数z v w e z wππ<<-=,2 .w z e z 指数函数单叶性区域是: 平面上平行于实轴宽度不超过的带形区域p =.)()12()12(2轴的区域平面上除去原点和负实变成的带形平面上宽为把指数函数z Z k k v k w e z w∈+<<-=πππ因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子的个数.一般幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任何复数，则定义z 的α次幂函数为当α为正实数，且z = 0 时，还规定Ln (0)z w z ez αα==≠由于0.z a =ln 2(ln10,arg )z k i w z e e z αααπππ===-<≤0,z w z α≠=)(2Z k ei k a ∈⋅π幂函数的映射性质:(略)关于幂函数当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。

考虑D*内的角形，ωπωω2,0<<a 并取在D*内的一个解析分支ω<<z A arg 0:)11(==a a z w a z w =ω当z 描出A 内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l 扫过角形A ，而相应的射线扫过角形0arg :θ=z l 01arg :θa w l =0θωω1l ωa w A <<arg 0:1ωωa （不包括0），w 在w 平面描出一条射线因此)11(==aa z w 1A ωωa ωωa 把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

对多值解析函数的理解与认识
多值解析函数是一类允许参数有多种可能的解析函数。

这类函数
可以通过调整参数来确定单个参数是否具有独特属性，或者如何表现
在原始函数上。

一个常见的例子就是机器学习中常用的sigmoid函数，通过调整参数来优化函数性能，以便能够对不同的数据表现出不同的
趋势。

此外，多值解析函数还可以探索数据之间的复杂关系，使研究
人员能够直观地理解各项因素的影响程度。

多值解析函数的基本思想是利用参数来反映数据的特性，可以将
多维数据表述成一维参数集合，以便能够对函数进行调整、估计参数
之间的关系，以及综合评估函数性能。

与其他解析方法相比，多值解
析函数可以很好地满足较低维度的数据需求，而且参数之间的关系也
更容易理解，从而实现函数调整的准确性和效率。

总而言之，多值解析函数可以帮助更好地理解数据，对参数有更
直观的认识，有助于高效的函数调整和高维度数据的探索，最终达到
优化函数性能的目的。

复变函数的多值函数
复变函数的多值函数指的是一个复变函数可以对应多个不同的复数值。

这是因为复数平面在极坐标下表示时，有多种表示方式（即模相等，但幅
角不同），导致同一个函数的值可以对应于多个不同的解。

常见的多值函
数包括幂函数、对数函数和根式函数。

例如，对于函数$f(z)=z^{1/2}$，它的解可以表示为
$z^{1/2}=re^{i\theta/2}$，其中$r$为$z$的模，$\theta$为$z$的幅角。

由于幅角有无数个解，因此这个函数可以有两个不同的值：
$$。

z^{1/2}=re^{i\theta/2}=re^{i(\theta/2+\pi)}。

$$。

这说明，即使在复平面上，两个点的距离相等，它们在不同的位置上，通过函数得到的值也可能不相等。

因此，对于多值函数，我们需要特别注
意它的定义域和值域，以免导致计算误差。