第五章 解析延拓 多值函数及其黎曼面

黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析黎曼曲面解析延拓问题是复变函数理论中的一个重要研究方向。

本文将对黎曼曲面解析延拓问题进行证明逻辑解析。

首先，我们将介绍黎曼曲面和解析延拓的基本概念，然后介绍相关的定理和推论，最后给出证明过程与逻辑推理。

一、黎曼曲面与解析延拓的基本概念黎曼曲面是一种复流形，具有局部欧几里德结构，是复变函数理论的重要基础。

解析延拓是指将函数定义域从一个开集扩展到一个更大的开集上，使函数在定义域的边界上仍然解析。

二、相关定理与推论1. 必要定理在进行黎曼曲面解析延拓的证明前，我们需要先介绍一个必要定理。

根据Cauchy-Riemann方程的性质，如果一个函数在某个点解析，那么它在该点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。

2. 解析延拓定理解析延拓定理是黎曼曲面解析延拓问题的中心定理之一。

该定理表明，如果函数在某个开集上解析，并且可以延拓到该开集的一个更大的开集上，那么函数在整个扩展开集上也解析。

3. 唯一性推论解析延拓定理的一个重要推论是唯一性推论。

这一推论指出，如果一个函数可以延拓到两个不相交的开集上，那么在这两个开集的交集上，这个函数的值必须相等。

三、证明过程与逻辑推理为了证明黎曼曲面解析延拓问题，我们将使用反证法。

假设存在一个函数f(z)在某个开集U上解析，但无法延拓到U的一个更大开集上。

首先，我们根据必要定理可知，如果f(z)在U上解析，那么它在U的每个点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。

然后，我们假设存在一个点z0，使得f(z0)无法延拓到U的一个更大的开集上。

根据解析延拓定理，我们可以得出矛盾，因为f(z)在U上是解析的。

因此，我们可以得出结论，对于任意一个解析函数f(z)，它都可以延拓到它定义域的一个更大开集上。

最后，根据唯一性推论，我们可以断定，在解析延拓的过程中，函数的值不会发生变化。

综上所述，我们证明了黎曼曲面解析延拓问题。

根据所给的证明过程和逻辑推理，我们可以得出结论：任意解析函数f(z)都可以进行解析延拓，且延拓后的函数值与原函数值相等。

黎曼曲面积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析曲面积分在数学中扮演着重要的角色，而黎曼曲面积分是计算曲面上向量场的流量的方法之一。

然而，在某些情况下，黎曼曲面积分的定义范围可能存在限制，因此需要对其进行解析延拓。

本文将通过逻辑解析的方式对黎曼曲面积分表示问题的解析延拓进行证明。

首先，我们来回顾一下黎曼曲面积分的定义。

设M是一个黎曼流形，$D \subseteq M$是一个分割，即$D = \{D_i\}_{i=1}^n$，其中每个$D_i$都是M上的可测集。

假设$f:M \rightarrow \mathbb{R}^n$是一个连续函数，则曲面积分定义如下：$$\int_M f \cdot dS = \lim_{\|D\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdotS(D_i)$$其中，$x_i$是$D_i$中的一个点，$S(D_i)$是$D_i$的面积，$\|D\|$表示分割D的直径。

然而，在某些情况下，我们可能需要计算的函数f在曲面M上处处发散，或者M包含奇点。

这时，直接应用上述定义进行计算可能存在问题。

因此，我们需要对黎曼曲面积分进行解析延拓。

为了实现解析延拓，我们引入黎曼曲面上的良好正规相容性结构。

所谓的良好正规相容性结构可以通过黎曼曲面的结构定理得到。

该定理指出，对于任意的曲面点$p \in M$，都存在一个典范邻域$U_p$，它同胚于某个复平面域，且在$U_p$上定义了一个保角映射。

根据这个典范邻域的性质，我们可以将黎曼曲面M上的任意一个典范邻域$U_p$上的积分表示为：$$\int_{U_p} f(z)dz$$其中，z是$U_p$上的一个复变量。

我们可以通过该积分的计算来实现黎曼曲面积分的解析延拓。

接下来，我们将对黎曼曲面积分的解析延拓进行证明。

假设我们需要计算的函数f在一点$p \in M$处有一个奇点。

根据良好正规相容性结构的性质，我们可以找到一个以p为中心的典范邻域$U_p$，且在$U_p$上存在一个保角映射。

解析延拓定理
解析延拓定理是数学分析领域中的一个重要定理，其核心概念为复变函数。

复变函数是指将复平面上的点映射到复平面上的函数，其定义域和值域均为复数集合。

根据解析延拓定理，所有的解析函数都可以在其定义域外的某些点上进行无限次的解析延拓，从而得到一个唯一的全纯函数。

全纯函数是指在复平面上处处可微的复变函数。

解析延拓定理对于研究复变函数的性质和行为具有重要的作用。

它可以用于解决一些在某些特定条件下无法解决的问题。

例如，对于某些解析函数，其定义域可能出现断点或奇点，这就导致了函数在该点处失去了解析性质。

解析延拓定理就可以帮助我们在该点处重新定义函数，从而使其在该点处具有复变函数的解析性质。

解析延拓定理还可以用于研究复变函数的奇点和极点。

奇点是指函数在该点处失去解析性质的点，而极点则是指该点处函数值趋向于无穷大或无穷小的点。

通过解析延拓定理，我们可以在这些点处重新定义和计算函数值，并且可以更加清晰地理解函数在这些点附近的行为和性质。

总之，解析延拓定理是一条重要的数学定理，它对于研究复变函数的性质和行为有着重要的意义。

通过解析延拓定理，我们可以更加全面和深入地理解这一领域的重要概念和基本原理。

复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。

为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。

我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。

按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。

黎曼函数解析延拓
根据黎曼猜想，黎曼函数定义为ζ(s)=∑(n=1->∞)(1/n^s)，其中s
是复数。

该函数在s的实部大于1时是收敛的，但无法扩展到实数或负实数，因为这些位置上的函数会发散。

为了解决这个问题，数学家尝试将黎曼函数解析延拓到实数轴的左侧。

最著名的方法是使用函数方程ζ(s)=2^(s)π^(s-1)sin(πs/2)Γ(1-
s)ζ(1-s)，其中Γ(s)是伽玛函数。

通过这个方程，可以将黎曼函数延
拓到所有的复数平面。

使用黎曼函数的解析延拓，我们可以得到一些有趣的结果。

首先，黎
曼函数在s=1的解析延拓之后，可以得到黎曼上假设的结论，即ζ(s)在
s=1的解析延拓值为0。

这是因为方程ζ(s)=2^(s)π^(s-
1)sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)中的sin(πs/2)因子使得ζ(s)的值在s=1
处为0。

其次，通过黎曼函数的解析延拓，我们可以发现ζ(-2n)=0，其中n
是正整数。

这意味着黎曼函数在负偶数的位置上有无穷多个零点。

这个结
果是黎曼猜想的一个重要推论。

总之，黎曼函数解析延拓是将黎曼函数的定义从实数轴扩展到复数平
面的过程。

通过这个延拓，我们可以得到一些关于黎曼猜想的结论，并与
素数分布的规律相关联。

黎曼函数解析延拓对于数论和复变函数理论的发
展有着重要的意义。

(完整版)黎曼定理及其应用
黎曼定理是数学上的一个重要定理，它与复数论和解析函数密切相关。

黎曼定理的完整版是指黎曼定理的一般形式，它包含了多个重要的推论和应用。

黎曼定理
黎曼定理是由德国数学家黎曼于1851年提出的。

它阐述了复变函数的非常重要的性质。

黎曼定理可以表述为：设 $f(z)$ 是定义在区域 $D$ 内的解析函数，且 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的任意两个路径的积分是相等的，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内是解析的。

黎曼定理的推论包括：
- 解析函数的导数一定也是解析函数。

- 解析函数的积分与路径无关。

- 解析函数在其定义区域内具有无穷阶导数。

黎曼定理的应用
黎曼定理在解析函数、复变函数和数学物理等领域都有重要的
应用。

以下是黎曼定理的一些应用：
1. 奇点研究：通过分析解析函数的奇点情况，可以揭示函数的
性质和行为。

2. 积分计算：利用黎曼定理的路径无关性质，可以简化复杂的
积分计算。

3. 函数逼近：通过黎曼定理可以构造逼近函数序列，用于函数
逼近问题的求解。

4. 物理模型：黎曼定理在物理学中的应用非常广泛，可以解决
电磁场问题、热传导问题等。

结论
黎曼定理是复变函数理论中的重要定理，它揭示了解析函数的
特性和性质。

黎曼定理的应用涵盖了多个领域，包括数学、物理等。

深入理解和应用黎曼定理对于进一步探索解析函数的性质和应用具有重要意义。

解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。

通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。

在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。

而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。

通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。

这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。

通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。

因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。

在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。

首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。

然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。

最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。

通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。

希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。

接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。

对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。

首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。

然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。

最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。

正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。

首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。

黎曼曲面讲义
黎曼曲面是复变函数理论中的重要概念，它是复平面上的一种特殊结构，可以用来研究多值函数、解析函数的延拓、全纯函数等问题。

黎曼曲面的定义是：设S为一个复数平面上的有界开集，若给定S上的一个拓扑结构和在S上定义的复坐标函数，使得这些复坐标函数满足某些特定的连续性和解析性条件，则称S 为黎曼曲面。

黎曼曲面的基本性质包括：
1. 维数：黎曼曲面的维数是一维的，即它是一个二维实流形。

2. 局部同胚：黎曼曲面上的每个点都有一个局部同胚映射，将该点映射到复平面上的某个开集。

3. 解析结构：黎曼曲面上定义了一种解析结构，使得可以在曲面上定义全纯函数。

全纯函数在黎曼曲面上满足解析方程。

4. 亏格：黎曼曲面的亏格是一个拓扑性质，由欧拉公式给出。

亏格是一个标志了曲面拓扑结构复杂程度的量。

5. 延拓：某些函数在黎曼曲面上可以得到延拓，即在原定义域以外的点上也有定义，并满足解析方程。

黎曼曲面的研究在复变函数理论中具有重要的意义，它不仅提
供了对复变函数更深层次的理解，也为其他数学领域如代数几何、微分几何、奇点理论等提供了重要工具和观点。

黎曼zeta函数解析延拓黎曼zeta函数是数学中的重要函数之一，其解析延拓在数学和物理学领域有着广泛的应用。

本文将介绍黎曼zeta函数的相关性质和解析延拓的概念。

I. 黎曼zeta函数的定义和性质1. 定义黎曼zeta函数是指以下级数的和函数：$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$其中，s是一个复数。

需要注意的是，当s的实部大于1时，该级数收敛，即$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}$$ 存在。

否则，该级数发散。

2. 基本性质2.1 函数关系：$\zeta(s)$和$\eta(s)$黎曼zeta函数与Dirichlet eta函数的关系式为：$$\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}}\cdot\eta(s)$$其中，$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$2.2 函数零点黎曼猜想认为$\zeta(s)$在s = -2, -4, -6, ...处有无穷多个零点。

目前已证明该猜想成立至少在实部大于1/2的范围内。

2.3 函数极点在s=1处，$\zeta(s)$有一个一阶极点。

2.4 函数奇偶性当s为实数时，$\zeta(s)$为离散奇函数。

即当s=-n时（n为整数），$\zeta(s)$的值为0。

II. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在其定义域之外进行延拓，使得函数在整个复平面上都有定义并且具有解析性质。

黎曼zeta函数的解析延拓有两种方法，即黎曼方法和维尔斯特拉斯方法。

1. 黎曼方法黎曼方法就是将$\zeta(s)$进行下列等式展开：$$\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{p^{ns}}$$将该等式带入到$\zeta(s)$的表达式中，$$\zeta(s) = \prod_{p\in\text{primes}}\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$对于s的实部大于1的情况，该级数收敛。

复变函数中的解析延拓理论复变函数是数学中的一个重要分支，它研究了在复平面上定义的函数。

解析延拓是复变函数理论中的一项重要内容，它可以将函数在有限定义域外延拓到无限大的区域上，并保持函数的性质不变。

一、解析延拓的概念和基本思想解析延拓是指将一个函数从其有限定义域延拓到更大的定义域上，使其在新的定义域内解析。

在复数域上，解析延拓的基本思想是利用解析性的特点，通过对函数进行适当的变换或构造，使其在原有定义域之外也能满足解析性的条件。

二、解析延拓的方法解析延拓可以通过多种方法实现。

其中一种常见的方法是使用奇点理论，通过分析函数的奇点性质，找到可以延拓函数定义域的方式。

例如，我们可以通过去除奇点或添加极点的方式，使函数在更大的定义域上解析。

另一种常见的方法是利用解析函数的特殊性质，通过构造新的函数来延拓原函数。

例如，可以利用指数函数、三角函数等基本函数的解析性质，来延拓原函数的定义域。

这种方法常用于实数域上的函数延拓。

三、解析延拓的应用解析延拓在复变函数的研究中具有广泛的应用。

首先，通过解析延拓可以扩大函数的定义域，使其在更大的区域内解析。

这对于研究函数的性质和行为具有重要意义。

其次，解析延拓可以用于求解解析函数的特殊值和积分。

通过延拓函数的定义域，可以使得函数在原有定义域之外的点上取得有意义的值。

这对于解析函数的计算和应用具有重要意义。

最后，解析延拓还可以用于解决一些数学问题。

例如，在数论中可以使用解析延拓的方法来研究整数的性质；在微分方程中可以使用解析延拓来求解特殊的微分方程等。

四、解析延拓的发展和挑战解析延拓作为复变函数理论的重要内容，已经在数学和应用领域取得了广泛的应用。

但同时也面临着一些挑战。

首先，解析延拓的方法和理论较为复杂，需要深入的数学思想和技巧。

其次，解析延拓涉及到函数的极限和连续性等概念，需要严格的数学推导和分析。

在未来的发展中，我们可以进一步探索解析延拓的理论和应用。

通过研究更加复杂的函数和问题，深化对解析延拓的理解和应用，推动复变函数理论的发展。

复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数complex function第二章复变函数的积分complex function integral第三章幂级数展开power series expansion第四章留数定理residual theorem第五章傅立叶变换Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角(ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。

第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.（定理5.1）：收敛圆环H，（1）H内绝对收敛且内闭一致收敛于f(z)=f1+f2（2）函数f在H内解析（3）f在H内可逐项求导p次（4）可沿H内曲线C逐项积分注：对应于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圆环内解析的函数f必可展成双边幂级数，其中c n=12πi∫f(ξ)(ξ−a)n+1Γdξ,(n=0,±1,±2…)Γ为圆周|ξ−a|=ρ,f和圆环唯一决定系数c n4.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形5.孤立奇点（奇点：不解析点）注：多值性孤立奇点即支点6.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f(z)在点a的去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内可展成洛朗级数§2.解析函数的孤立奇点1.正则部分、主要部分2.可去奇点、极点（m阶极点，单极点）、本质奇点3.（定理5.3）可去奇点的特征（三点等价）：（1）f(z)在a点主要部分为零（2）可去奇点的判定条件：limz→af(z)=b(≠∞)（3）f(z)在a的去心邻域内有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1),则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|，且有|f′(0)|≤1如果上式等号成立，或在圆|z|<1内一点z0≠0处前一式等号成立，则（当且仅当）f(z)=e iαz（|z|<1）其中α是一实常数。

5.（定理5.4）：m阶极点的特征（三点等价）（1）主要部分为有限项（系数c−m≠0）（2）f(z)在点a的某去心邻域内能表示成f(z)=λ(z) (z−a)m其中λ(z)在点a的邻域内解析，且λ(a)≠0;（3）g(z)=1f(z)以点a为m阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a为m阶极点⇔1f(z)以点a为m阶零点6.（定理5.5）：函数f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是limz→af(z)=∞7.（定理5.6）：函数f(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是lim z→a f(z)≠{b（有限数）∞，即limz→af(z)不存在8.（定理5.7）：若z=a为函数f(z)之一本质奇点，且在点a的充分小去心邻域内部委零，则z=a亦必为1f(z)的本质奇点。

很多人如果对高等数学和复变函数没有一点儿概念的话，说起黎曼猜想，估计只是认识这几个字而已。

那么，这个黎曼猜想到底说了些什么呢？证明过程肯定很复杂的，我们就先不管它了，至于黎曼猜想的内容原来是这样的。

在自然数序列中，质数（素数）的概念，是小学生都能够理解的，数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。

4，6，8，9等等都不是质数。

由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。

质数的特性，让数学界历来都为它们迷恋不已。

但是质数是没有规律可循的，最早用数学表达式来表达质数的普遍规律，还是瑞士的天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。

在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。

这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。

在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。

其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。

出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。

在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

就是数学界在一百多年前，在研究质数的过程中，黎曼定义出来的黎曼Zeta函数，就是黎曼猜想的主要内容。

现在关键的问题，是当时黎曼认为很显然的定理，没有证明，出现了类似费马猜想的乌龙，让整个数学界前赴后继，却不能证明，但是他们延伸出来的应用，已经遍布整个科学体系的方方面面了。