武汉大学数学物理方法5_5多值函数的积分

多元函数积分计算方法在数学中，多元函数积分是一种重要的计算方法，能够求解多元函数在给定区域上的面积、体积以及相关的物理量。

本文将介绍一些常见的多元函数积分计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、重积分的定义重积分是单变量函数积分的推广，用于求解多元函数在给定区域上的面积或体积。

设函数f(x,y)在区域D上有定义，D的边界可以用曲线C表示，则重积分的定义为：∬_D▒〖f(x,y)dA=lim⁡(Δx→0,Δy→0)⁡∑▒f(x_i^*,y_j^*)ΔA〗其中，ΔA为区域D中小面积元素，f(x_i^*,y_j^*)为该小面积元素上一点的函数值。

二、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算若D为矩形区域，可以采用迭代积分的方法求解二重积分。

先对x 进行积分，再对y进行积分，即：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y)dxdy)〗2. 极坐标下的二重积分计算对于极坐标下的积分区域D，可以将二重积分转化为极坐标形式进行计算。

设D在极坐标下的表示为(r,θ)，则二重积分的计算公式为：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(θ_1)^(θ_2)▒(∫_(r_1(θ))^(r_2(θ))▒f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ)〗三、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算若函数f(x,y,z)在空间区域V上有定义，则三重积分的计算公式为：∭_V▒〖f(x,y,z)dV=∫_(a_z)^(b_z)▒(∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y,z)dxdydz )〗2. 柱坐标系或球坐标系下的三重积分计算对于柱坐标或球坐标下的积分区域V，可以将三重积分转化为柱坐标或球坐标形式进行计算。

具体转化公式可以根据坐标系关系进行推导，然后套用相应的公式进行计算。

四、应用举例1. 面积计算对于二维平面上的函数f(x,y)，可以通过二重积分来计算给定区域D的面积。

多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。

多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。

例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。

多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。

2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。

多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。

多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。

3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。

二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。

三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。

其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。

这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。

6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。

多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。

与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。

一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。

它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。

对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。

通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。

在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。

二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。

三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。

与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。

同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。

在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。

三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。

其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。

积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。

这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。

积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。

类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。

积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。

第10章 多元函数积分的计算方法与技巧一、二重积分的计算法1、利用直角坐标计算二重积分假定积分区域可用不等式 表示,其中, 在上连续.这个先对, 后对的二次积分也常记作如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)D a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()ϕ1()x ϕ2()x [,]ab y x f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212显然,(2)式是先对,后对的二次积分.积分限的确定几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.例1计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.x yD ],[b a x x y D D ))(,(1x x ϕ))(,(2x x ϕ)(1x ϕ)(2x ϕx y x [,]a b x x a b xyd D⎰⎰σD y x 2=y x =-22.利用极坐标计算二重积分 1、就是极坐标中的面积元素.2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算.其中函数, 在上连续.则注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy ()rdrd θr →cos θr →sin θrdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r ϕθ1()ϕθ2()[,]αβf r r rdrd d f r r rdrD(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=123、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ). 例6计算解此积分区域为该区域在极坐标下的表示形式为二、三重积分的计算 1、积分区域可表示成则这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积()x y 22+ααI dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin =-=-=--⎰()θθθπππd 402421232Ωa x b y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)1212f x y z dv dx dyf x y z dz aby x y x z x y z x y (,,)(,,)()()(,)(,)Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1212分变量, 次对,最后对的三次积分.例1计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体. 解 在面上的投影区域为确定另一积分变量的变化范围选择一种次序,化三重积分为三次积分z y x xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰Ωx y z 2221++=Ωxoy D x y x y xy :,,22100+≤≥≥0122≤≤--z x y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==2222102210101010)1(21x y x x dyy x xy dx xyzdzdy dxxdydzxyzd dxx x x x x x dx xy y x xy dyxy y x xy dx x x⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(224812462481246224124241cos sin 81cos sin 41cos sin 41cos cos sin 81cos sin 41cos sin 412052033320204232=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰⎰⎰ππππtdtt tdt t dt t tdtt t t t t t2、利用柱面坐标计算三重积分 点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式体积为这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有3、利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标间的关系为这就是球面坐标系下的体积元素。

数学物理方法讲义05定积分计算定积分计算是数学物理中的重要内容之一，它是微积分学中的一个基本概念。

定积分的计算方法有很多种，本文将介绍其中的几种常用方法。

一、定积分的定义定积分是对函数在一个区间上的面积进行求解的一种方法。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]划分成n个小区间，即[a,b]=[x0,x1]+[x1,x2]+...+[xn-1,xn]，其中xi为小区间的分割点。

函数f(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的微积分值为Δx，而Δx可以近似看作小区间[xi-1,xi]的宽度，我们可以通过将每个小区间的宽度Δx乘以函数在该小区间上的平均值f(ξi)，来估算整个区间的面积。

其中ξi是小区间[xi-1,xi]上任意一点。

当小区间的个数n趋向于无穷大时，估算的结果将逼近真实的面积，这就是定积分的定义。

二、定积分的计算1.函数无界的情况如果函数在积分区间上无界，即在一些点上函数的值趋向于无穷大，那么我们需要将这些无界区间进行拆分，并分别计算积分。

2.分部积分法分部积分法是求解定积分中的乘积形式时常用的方法。

设u(x)和v(x)是具有连续的一阶导数的两个函数，那么可以通过分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx来求解定积分。

这个公式可以通过对等式两边进行求导证明。

3.微元法微元法是定积分计算中的另一种常用方法。

它利用微分符号dx来近似计算积分。

将函数f(x)在区间[a,b]上划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。

将每个小区间上的函数值与宽度相乘，然后将它们求和。

当小区间的宽度Δx趋近于0时，近似的面积将逼近于定积分的结果。

4.定积分的性质定积分具有一些性质，可以简化计算。

例如，定积分具有线性性，即∫[a,b](f(x) + g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx。

另外，对于具有定积分性质的函数，可以通过变量替换的方法来简化计算。

数学物理方法讲义05定积分计算定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积、曲线的弧长、质量、质心等。

本讲义主要介绍定积分的定义、性质以及一些常见的计算方法。

一、定积分的定义设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界，将$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间长度为$\Delta x_i$，选取$x_i^*$在$[x_i,x_{i+1}]$上任意一点。

则$\Delta A_i=f(x_i^*)\Delta x_i$表示每个小区间上的面积。

将这$n$个小面积相加并取极限，得到曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上的定积分：$$\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$其中$x_i^*$是$[x_i,x_{i+1}]$上任意一点。

二、定积分的性质定积分具有以下性质：1. $\int_a^b f(x)dx$表示曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上的面积。

如果$f(x)\geq 0$在$[a,b]$上成立，则该定积分的值为该曲线下的面积；如果$f(x)\leq 0$在$[a,b]$上成立，则该定积分的值为该曲线下的面积的绝对值。

2.如果函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上连续。

3. $\int_a^a f(x)dx=0$。

4. $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$。

5. $\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$。

三、定积分的计算方法1.几何法几何法适用于计算函数与$x$轴围成的面积。

根据图形的特点，将曲线下的区域分成几个几何形状（如矩形、三角形、梯形等），计算每个几何形状的面积，然后求和即可。

2.平均值定理平均值定理适用于已知函数在区间上的平均值，求解该函数在该区间上的定积分。

这是我到学高数二的同学那里去弄的有关函数积分的内容，希望对同学们有帮助。

参考书目：高等教育出版社《高等数学下》、天津大学出版社《高等数学复习指导》）多元函数的积分一、各类函数的计算方法1． 二重积分⎰⎰Dd y x f σ),( 或 dxdy y x f D⎰⎰),(（1） 若D ：b x a x y x ≤≤≤≤),()(21ϕϕ（X-型区域），则dy y x f dx d y x f Db ax x ⎰⎰⎰⎰=)(2)(1),(),(ϕϕσ （先对y ，后对x 的二次积分）（2） 若D ：d y c y x y ≤≤≤≤),()(21ψψ （Y-型区域），则dx y x f dx d y x f Ddcy y ⎰⎰⎰⎰=)(2)(1),(),(ψψσ （先对x ，后对y 的二次积分）（3） 若D ：βθαθϕρθϕ≤≤≤≤),()(21 （极坐标）则ρρθρθρθσβαθϕθϕd f d d y x f D⎰⎰⎰⎰=)(2)(1)sin ,cos (),( （先对ρ，后对θ的二次积分），其中θρρd d 为极坐标下的面积元素。

2.三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,( 或 dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(（1） 在直角坐标系下：若Ω：),(),(),()(,2121y x z y x x y x b x a ψψϕϕ≤≤≤≤≤≤，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰b ax x y x y x dz z y x f dy dx )(2)(1),(2),(1),,(ϕϕψψ （先对z ，再对y ，最后对x 的三次积分）若Ω：Dz y x q z p ∈≤≤),(, ，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=dxdy z y x f dz qpDz⎰⎰⎰),,(（2） 在柱面坐标系下：若Ω：βθαθϕρθϕ≤≤≤≤),()(21，),(),(21θρθρz z z ≤≤且⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos ，则dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰βαθϕθϕθρθρθρθρρρθ)(2)(1),(2),(1),sin ,cos (z z dz z f d d（3） 在球面坐标系下：若Ω：),(),(,,21ϕθϕθγϕηβθαr r r ≤≤≤≤≤≤，且⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos cos sin cos sin r z r y r x ，则 dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(=⎰⎰⎰βαγηϕθϕθϕθϕθϕϕϕθ),(2),(12)cos ,sin sin ,cos sin (sin r r dr r r r f d d r3.第一型曲线积分ds y x f L⎰),( ，ds 为弧微分元素物理意义：线密度为f(x,y)，占有平面曲线L 的曲线型构件的质量。

多元函数求积分多元函数求积分是微积分中的重要内容，它包括二重积分和三重积分两种形式。

在进行多元函数求积分时，我们需要根据具体问题选择合适的积分方法。

下面将介绍二重积分和三重积分的概念及计算方法。

一、二重积分二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分求解的方法。

具体而言，若有一个二元函数$f(x,y)$，我们要求解其在闭区域$D$上的积分，即$\iint_D f(x,y)dA$。

其中$dA$表示微元面积，$D$表示平面上的一个有界闭区域。

求解二重积分的方法有两种常见的形式：直角坐标下的二重积分和极坐标下的二重积分。

（1）直角坐标下的二重积分对于直角坐标下的二重积分，我们通常采用分割求和的方法。

将有界闭区域$D$分割成许多小面积的区域，然后对每个小区域内的函数值进行求和，最后取极限即可得到积分的结果。

具体操作时，我们可以选择将$D$划分成矩形形状的小区域，然后分别计算每个小矩形的面积$dA$，并求解$f(x,y)$在每个小矩形上的函数值$f(x_i,y_i)$，其中$(x_i,y_i)$表示小矩形的中心点。

最后的二重积分结果可以表示为$\iint_D f(x,y)dA =\lim_{{\Delta x \to 0} \atop {\Delta y \to 0}} \sum_{i,j} f(x_i,y_j)\Delta A$，其中$\Delta x$和$\Delta y$表示相邻小矩形的边长。

（2）极坐标下的二重积分对于具有旋转对称性的问题，极坐标下的二重积分更加便捷。

我们通过引入极坐标系来简化积分的计算。

首先，我们将直角坐标系转换为极坐标系，即$x =r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$。

然后，我们需要计算雅可比行列式$J = \left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} &\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|$。

多元函数积分方法技巧摘要：对于不同的背景，如讨论一般形状的物体的体积、质量、重心等问题的时候我们一般就要运用多元积分的内容。

多元函数有各种不同的概念，因而多元函数积分学具有十分丰富的内容，其中最重要的还是多元函数积分的计算方法。

关键词：多元函数 积分技巧提到积分，首先想到的应该就是二重积分了。

这类积分实际上是通过计算曲顶柱体的体积来引出的。

若f(x,y)=1则∫∫f(x,y)dδ=A(D),即积分区域的面积。

计算方法如下：1、二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：一是先积y 后积x 的累次积分，即：若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]b a x ,∈，积分其()dy y x f d c ⎰,存在，则累次积分()dy y x f dx dc b a ⎰⎰,也存在，且：()=⎰⎰σd y x f D ,()dy y x f dx dc b a ⎰⎰, 其二是先积x 后积y 的累次积分，即：若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]d c y ,∈，积分()dx y x f b a ⎰,存在，则累次积分()dx y x f dy ba d c ⎰⎰,也存在，且：()=⎰⎰σd y x f D ,()dx y x f dy ba d c ⎰⎰, 2、二次积分在极坐标系下的积分：当一些二重积分的积分区域D 用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.例如:dxdy y x dxdy y x dxdy e a y x a y x a y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤+--++22222222222)cos(,)sin(,2222等.用极坐标计算二重积分的步骤(1)画出积分区域的草图;(2)将(,)D f x y dxdy ⎰⎰转化为(cos ,sin )Df r r rdrd θθθ⎰⎰,根据积分区域的草图确定r 和θ的积分范围;(3)将(cos ,sin )Df r r rdrd θθθ⎰⎰转化为二次定积分,并计算得出结果.三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

第10章多元函数积分的计算方法与技巧一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分假定积分区域 D 可用不等式 a 空x 空b i (x)岂卄 2(x)表示, _—1 -------------- 1_—I ----------------------------- 1 0 a b x 0 a b *这个先对y,后对x 的二次积分也常记作b ^2(x)f(x, y)d ：二 dx f(x, y)dy D a 】(x)如果积分区域D 可以用下述不等式c 兰 y 兰d ,J(y)兰 x 兰 *2(y)表示，且函数\(y), 2(y)在［c, d ］上连续,f (x, y)在D 上连续,则d *(y)1f (x, y)df (x, y)dx dy 二Dc 一 】(y)dydi2(y)f(x,y)dx (2)i (y)其中S(x),2(x)在［a,b ］上连续.2显然,（2）式是先对x ,后对y 的二次积分. 积分限的确定几何法.画出积分区域D 的图形（假设的图形如下）在［a, b ］上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线，该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点（x, i （x ））与（x, 2（x ））, 这里的i （x ）. 2（x ）就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和 上限；又因x 是在区间［a,b ］上任意取的，所以再将x 看作变 量而对x 积分时，积分的下限为a 、上限为b .例1计算D 如，其中D 是由抛物线…及直线…2 所围成的区域. 解：Z)］： 0<x £)2：l<x<4,x-2<y<A/^ 為yda= fj 砂c/b 十fj 秽亦Di\ r>214 V?=\dx \ xydy dx \xycfy 0 — l 工—2V74C A = J- JC -(^-2) 1 2Ld x -勺-Jx4r =0+ f —yx-245dx~~82)2D: _ 1 乞 y 乞 2, y x -2 y 2xyd = dy xydx =D-1 y 21 22 y(y 2)2-2 -i2. 利用极坐标计算二重积分 1、rdrd-就是极坐标中的面积元素2、极坐标系中的二重积分，可以化归为二次积分来计算.:_ 71 _ -£ ) - r - 2⑴其中函数W,二⑴在V / ］上连续.pY)则 f(rcos ,rsin)rdrd 二 d f(rcos,rsin )rdr D:1C)【例5】计算JJt?7 —F 丛创』其中D:x 2 -h y 2 <a 2. D解：加? ms2 2 2\\^~x ~y dxdy = |[e~r -rdrdO D 2 凭 ct 22?z=\ d&\ e~rrdr = J0 0 0 2?r 1 J )朋=兀Q Y0 2注：本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确 值.y 22「1 2 严 d厉X y」2dy-1 yy 5丽458<X ' rcos y rsin dxdy rdrd 匚〉JJ f(rcos,rsin)rdrd0<r<aDT 1尸 ---- e 21住dG 0 < < 2^-3、使用极坐标变换计算二重积分的原则（1）、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 （含圆弧, 直线段）；⑵、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单（含 （x 2 y 2r ,，为实数）.解此积分区域为D : 0 乞 x 乞 a , 一 x 乞 y 乞 一 a 一 a 2 一 x 2 该区域在极坐标下的表示形式为D:丁小0 ,°汀」2站32二、三重积分的计算 1、积分区域"可表示成a ^ xb , %（x ） ' y y 2（x ） , ^（x,y ）乞 z' Z 2（x, y ）by 2（x ） Z 2（x,y ） 贝y !!! f （x, y, z ）dv = dx dy f （x, y, z ）dzay'x ）N （x,y ）这就是三重积分的计算公式，它将三重积分化成先对积a -a+\ a 2 _x 2例6计算M dx-xdyx 2 y 2 4a 2 -（x 2 y 2）（a 0）rdrd"D r \ 4a 2 - r 20 -2a si nvd ，dr0 fJIarcsin n -2as in日 r2a2JI2- r 248分变量z ,次对y,最后对x 的三次积分 例1计算…xyzdxdydz ,其中门为球面x^ y^ z^ 1及三坐QJ标面所围成的位于第一卦限的立体 . 解 “在 xoy 面上的投影区域为2 2D xy ： x y 「，x 一 0, y — 0确定另一积分变量的变化范围0 岂 z 岂 1 一 X 2 — y 2选择一种次序，化三重积分为三次积分111xyzd xdydzQ1心2c —y 2dx dy xyzdz0 0 01心21dx — xy (10 0 2 12 1 13 13 dx (—xy x y xy )dy0 2 2 2十—1 32 1 4-X y - - xy4 8 06 4 28 6 42x 2 - y 2)dy 0_4xydxI 2 I 3X (1 - X ) X (1 - X ) 11 -0 IL 4n?1 ■J J- _____ 0 I 4 21 sin t cos41 2 1-—x(1 -82 2x) dx-sin t cos 21 - — sin 31 cos 21 -二sin t cos 41 cos tdt 421 dt sin 31 cos 3tdt0 4 2 2 1 4 2兀刁15—sin t cos tdt 082、利用柱面坐标计算三重积分x = r cos 点M的直角坐标与柱面坐标之间有关系式* y = rsinez= z体积为dv 二rdrd ^dz这便是柱面坐标系下的体积元素，并注意到(1)式有I, f (x, y, z)dv 111 f (r cos^ , r sin ^, z)rdrd ^dz3、利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标间的关系为x = r sin cos71Iy = r sin sin 二、z = r cos®dv= r2s in ^drd^ d9 这就是球面坐标系下的体积元素。

多元函数的积分多元函数的积分是微积分中的一个重要分支，它与单变量函数的积分有很大的不同之处。

在单变量函数的积分中，我们只需要考虑一维空间中的积分问题，而在多元函数的积分中，则必须考虑多维空间的积分问题。

由于空间维度增加，函数的复杂度也随之增加，多元函数的积分也因此变得更加复杂和困难。

多元函数的积分可以分为两类，一类是定积分，即计算函数在一个有限区域内的积分值；另一类是无限积分，即计算函数在无穷区间内的积分值。

无限积分和定积分的计算方法略有不同，有些技巧和方法只适用于其中的一种类型，因此了解两种积分类型的区别和计算方法是必要的。

在多元函数的积分中，常用的计算方法之一是变量代换法。

在单变量的积分中，我们常用变量代换法将积分限制在一段特定的区间内，以此来简化积分的计算。

在多元函数的积分中，变量代换法同样具有重要作用。

通过变量代换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的积分。

变量代换的关键在于选择合适的变换方式和变换原理，这需要一定的数学功底和经验。

除了变量代换法外，还有其他很多重要的积分技巧。

例如，积分的分部积分法、换元积分法、极坐标系下的积分等等。

这些方法可以帮助我们计算各种复杂的积分，是多元函数积分中的重要一环。

需要注意的是，多元函数的积分在物理学、工程学、统计学等领域中有很广泛的应用。

例如在热力学中，我们需要计算体积和温度之间的积分以求出物质的热容量；在材料力学中，需要计算弹性应变能密度积分以求解固体材料的力学性能；在概率统计学中，需要计算概率密度函数积分以求出随机变量的期望值等等。

由于多元函数积分在实际应用中有很大的价值，因此学习多元函数积分的相关技巧和方法也是很有意义的。

总之，多元函数积分是一门很重要的学科，与单变量函数积分有很大的不同和区别。

了解多元函数积分的计算方法和技巧对于各种实际应用具有重要意义。

需要注意的是，掌握多元函数积分需要一定的数学功底和经验，需要耐心和勤奋的学习过程。