教案《数据的数字特征》

教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。

定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。

高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。

学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。

在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。

教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。

2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。

3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。

教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。

在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。

例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。

二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。

一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。

日常生活中，有时我们只关心数据的最值。

比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。

《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。

无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。

而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。

这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。

一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。

它表示一组数据的平均水平。

计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

例如，有一组数据：10，20，30，40，50。

那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。

比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。

然而，平均数也有其局限性。

如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。

例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。

二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。

如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。

还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。

将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。

因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。

如果数据变为：10，20，30，40，50，60。

那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。

数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。

在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。

三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。

《数据的数字特征》说课稿瀛湖中学李善斌一、教材分析与学情分析教材地位与作用在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

学情分析：本节课的学习者是普通班学生，他们的观察、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。

二、教学目标1．知识与技能①能结合具体情境理解不同数字特征的意义②结合实际, 能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2.过程与方法通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

3.情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。

三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

四、教学方法与策略本节课让学生通过熟知的一组数据的代表-众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，在课堂结构上，我根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究---小组讨论---总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

四、设计思路（1）、教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解众数、中位数、平均数等基本数字特征的概念及计算方法。

2. 培养学生运用数字特征分析数据、解决问题的能力。

3. 引导学生通过合作、探究等方式，发现数据的数字特征在实际生活中的应用。

二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。

2. 中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数。

3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。

4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。

5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。

三、教学重点与难点1. 重点：众数、中位数、平均数、方差、标准差的概念及计算方法。

2. 难点：方差、标准差的计算及实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解众数、中位数、平均数等基本数字特征的概念及计算方法。

2. 运用案例分析法，让学生通过实际数据案例，掌握数字特征的应用。

3. 采用小组合作、讨论交流等教学方法，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过一组数据，引导学生发现数据的数字特征，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解众数、中位数、平均数的概念及计算方法，并进行示例讲解。

3. 讲解方差、标准差的概念及计算方法，并进行示例讲解。

4. 布置练习题，让学生巩固所学内容。

5. 通过小组合作、讨论交流，让学生发现数据的数字特征在实际生活中的应用。

6. 总结本节课所学内容，布置课后作业。

六、教学评估1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对众数、中位数、平均数等基本数字特征的掌握程度。

2. 观察学生在小组合作、讨论交流中的表现，评估学生的合作能力和解决问题的能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行综合评估。

七、教学资源1. 教学PPT：包含众数、中位数、平均数、方差、标准差的概念及计算方法的讲解。

2. 数据案例：用于让学生分析、解决问题的实际数据案例。

3. 练习题：包括选择题、填空题、计算题等，用于巩固所学内容。

《通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征》教案通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征教案1. 引言本教案旨在介绍通过抽样数据的数字特征来估计总体的数字特征的方法和技巧。

估计总体的数字特征是统计学中重要的任务之一，它可以帮助我们了解总体的基本情况，并作出相应的判断和决策。

2. 基本概念2.1 抽样数据抽样数据是从总体中获取的一部分样本数据。

通过对抽样数据的分析，可以推断总体的情况。

2.2 数字特征数字特征是描述数据集的统计指标，例如平均值、中位数、标准差等。

它们可以帮助我们了解数据集的分布和集中趋势。

3. 估计总体的数字特征的方法3.1 点估计点估计是通过样本数据得到总体数字特征的一个具体估计值。

常用的点估计方法有样本均值估计总体均值、样本方差估计总体方差等。

3.2 区间估计区间估计是通过样本数据得到总体数字特征的一个估计范围。

常用的区间估计方法有置信区间估计总体均值、置信区间估计总体比例等。

3.3 抽样方法正确选择抽样方法对于准确估计总体数字特征至关重要。

一些常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。

4. 实例演示通过具体实例对估计总体数字特征的方法进行演示。

实例可以是某个具体调查或研究中的数据集。

5. 练与总结通过练题对学生的掌握情况进行测试，并总结本课程的要点。

6. 参考资料列出相关的参考资料，供学生进一步研究与参考。

以上即为《通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征》教案的内容概要。

通过本教案的学习，学生将能够掌握通过抽样数据估计总体数字特征的方法和技巧，为统计分析提供基础知识和操作指导。

教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。

2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。

3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。

二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。

2. 众数的计算方法和应用。

3. 平均数的计算方法和应用。

4. 中位数的计算方法和应用。

5. 方差的计算方法和应用。

三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。

2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。

3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。

4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。

5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。

2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。

3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。

五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。

2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。

3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。

六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。

2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。

3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。

七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。

2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。

3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。

八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。

2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。

3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。

5.1.2 数据的数字特征【课标要求】课程标准：理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.学习重点：理解最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差的意义和作用.学习难点：根据问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据的信息.【知识导学】知识点一 最值一组数据的最值指的是其中的最 值与最 值，最值反应的是这组数据最 的情况．一般地，最大值用 表示，最小值用 表示． 知识点二 平均数(1)日常生活中，我们经常使用平均数来刻画一组数据的 (或 )． (2)如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为 ．这一公式在数学中常简记为 ，其中的符号“ ”表示求和，读作“ ”． (3)求和符号∑具有以下性质： ①∑i ＝1n(x i ＋y i )＝ ；②∑i ＝1n(kx i )＝ ；③∑i ＝1nt ＝ .知识点三 中位数、百分位数(1)一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的 位置；如果一组数据有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称 为这组数的中位数；如果一组数据有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称 为这组数的中位数． (2)一组数的p %(p ∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据 该值，且至少有(100－p )%的数据 该值．为了方便，我们按如下方式确定p %分位数：设一组数按照从 到 排列后为x 1，x 2，…，x n，计算i＝的值，如果i不是整数，设i0为i的整数，取为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是(即)，100%分位数是(即)．知识点四众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的，出现次数最多的数据称为这组数据的．知识点五极差、方差与标准差(1)一组数的极差指的是这组数据中的减去所得的差．极差反应了一组数的，描述了这组数的．(2)方差和标准差也是描述一组数的的量．如果x1，x2，…，x n的平均数为x－，则方差可用求和符号表示为s2＝.此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为.方差的算术平方根称为，描述了数据相对于平均数的离散程度．【新知拓展】1．平均数、中位数、百分位数、众数的异同(1)平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．由于平均数与该组中的每一个数据有关，因此，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数和众数都不具有的性质．(2)中位数、百分位数与数据的排列位置有关，中位数、百分位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．2．对方差、标准差概念的理解(1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．(2)方差、标准差的取值范围：[0，＋∞)．方差、标准差为0时，样本中各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．3．极差、方差与标准差的区别与联系(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(2)极差是一组数据中的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(3)方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求算出标准差，即样本方差的算术平方根．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． 4．常用结论若x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x －，方差是s 2，则(1)x 1＋b ，x 2＋b ，x 3＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x －＋b ，方差是s 2. (2)ax 1，ax 2，ax 3，…，ax n 的平均数为a x －，方差是a 2s 2.(3)ax 1＋b ，ax 2＋b ，ax 3＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x －＋b ，方差是a 2s 2.【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是这组数据中的某个数．( ) (2)在一组数据中，众数一定是唯一的．( ) (3)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )(4)若x 1，x 2，…，x 100的平均数为x －，x 1，x 2，…，x 40的平均数为a ，x 41，x 42，…，x 100的平均数为b ，则x －＝40a ＋60b100.( )(5)下表记录了某地区某天早晨7点到下午6点的温度变化情况：则这组数据的25%分位数是10 ℃.( ) 2．做一做(1)某班40名学生一次体育测试成绩统计如下：如果已知该班的平均成绩为76分，则x ，y 的值分别为( ) A ．14,4 B ．13,5 C ．12,6 D ．11,7(2)若一组数据按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，且中位数为16，则x ＝________.(3)一位同学进行十次投实心球的练习，每次投出的成绩如表：则此同学成绩的50%分位数是________．(4)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________；②命中环数的标准差为________．【题型探究】题型一平均数、中位数、百分位数、众数的计算例1一次数学测试中，高一(1)班1小组12名学生的成绩分别是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，则这次测试该小组12名学生成绩的众数、平均数、75%分位数分别是()A．82、82、90B．82、81、92C．82、80、91D．82、81、91【规律方法】1.众数、中位数、平均数的特点(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(3)众数考查各数出现的频数，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这种趋势．2．计算一组n个数据的p%分位数的一般步骤第1步，按照从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝np%；第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为i0，则p%分位数为第i0项数据；若i是整数，则p%分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．【跟踪训练1】某校调查某班30名同学所穿的鞋的尺码如下表所示：则这组数据的中位数、众数、平均数、25%分位数分别是()A．35,35,35,33B．35,35,34.5,34C．34,35,34,34D．35,35,34.5,33题型二平均数、中位数、众数的实际应用例2某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为平均数、中位数、众数哪个更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【规律方法】各种数字特征的优缺点中位数、众数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，而平均数与本组中的每一个数据都有关系，可反映出更多的关于本组数据的信息，但受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对本组数据集中趋势的估计，因此用平均数来描述一组数据的集中趋势有时不可靠．(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A．平均数B．极差C．中位数D．方差(2)某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：如果你是鞋店经理，最关心的是哪种型号的鞋销量最大，那么下列统计量中对你来说最重要的是()A．平均数B．众数C．中位数D．方差题型三方差、标准差的计算例3甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【规律方法】在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．题型四数据的数字特征的综合应用例4在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【规律方法】要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从方差的的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．【跟踪训练4】某班共有45名同学，在某次满分为100分的测验中，得分前15名同学的平均分为90分，标准差为3，后30名同学的平均分为72分，标准差为 6.(得分均为整数)(1)求全班同学成绩的平均分；(2)求全班同学成绩的方差；(3)能否下“全班同学全都及格了”的结论？说明理由．(达到60分及以上为及格)【随堂达标】1．某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表：则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和25%分位数分别是()A．2万、1.5万B．2万、2.2万C．2.2万、2.2万D．2万、1.85万2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是() A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,903．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9．4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．9.40.484B．9.40.016C．9.50.04D．9.50.0164．某校高一年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表：(1)根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是________；在动作准确方面最有优势的是________班；(2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%,30%,50%的比例计算各班的得分，那么________班得分最高．5．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：9582888193798478乙：8392809590808575试比较哪个工人的成绩较好．【参考答案】【知识导学】知识点一 最值 大小极端maxmin知识点二 平均数 (1)平均水平中心位置(2)x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )x －＝1n ∑i ＝1n x I∑西格玛(3)①i ＋∑i ＝1ny i②k ∑i ＝1nx i③nt知识点三 中位数、百分位数 (1)中心 x n ＋1 x n ＋x n ＋12(2)不大于不小于小大np %大于最小xi 0x i ＋x i ＋12 x 1最小值 x n最大值知识点四 众数 频数众数知识点五 极差、方差与标准差 (1)最大值最小值变化范围离散程度(2)离散程度 1n ∑i ＝1n (x i －x －)2 a 2s 2标准差标准差【基础自测】1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2．答案 (1)B (2)15 (3)10.3 (4)①7 ②2【题型探究】题型一 平均数、中位数、百分位数、众数的计算例1[解析] 这组数据中82出现的次数最多，故众数为82.平均数为58＋67＋73＋74＋76＋82＋82＋87＋90＋92＋93＋9812＝81. 因为12×75%＝9，所以这组数据的75%分位数为90＋922＝91.故选D. [答案] D【跟踪训练1】答案 B解析 这组数据中处于最中间位置的是第15、第16个数据，故这组数据的中位数为35. 这组数据中35出现的次数最多，故众数为35，平均数为33×7＋34×6＋35×14＋36×1＋37×230＝34.5. 因为30×25%＝7.5，所以这组数据的25%分位数为34.故选B.题型二 平均数、中位数、众数的实际应用例2[解] (1)平均数是x －＝5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈2091， 中位数是1500，众数是1500.(2)新的平均数是x －′＝30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈3288， 新的中位数是1500，新的众数是1500.(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．【跟踪训练2】答案 (1)C (2)B解析 (1)判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．(2)鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大，由表可知，型号为37的鞋销量最大，共销售了16双，并且这组数据的众数为37.题型三 方差、标准差的计算例3[解] (1)x －甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x －乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s 2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2] ＝73， s 2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2] ＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s 2甲>s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 【跟踪训练3】解 x －甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33， s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝473， s 甲＝473≈3.96； x －乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33， s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝383， s 乙＝383≈3.56， 由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33，甲的标准差约为3.96，乙的标准差约为3.56. 说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.题型四 数据的数字特征的综合应用例4[解] (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．(2)s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．【跟踪训练4】解(1)该班45人分成两组，这两组的平均分分别是90,72；∴全班的平均分是145×(90×15＋72×30)＝78.(2)s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2＝1n∑i＝1nx2i－n x－2，s1＝3，∴s21＝115×[(x21＋x22＋…＋x215)－15×902]＝3，∴x21＋x22＋…＋x215＝45＋15×8100＝121545；∵s2＝6，∴s22＝130×[(x216＋x217＋…＋x245)－30×722]＝6，∴x216＋x217＋…＋x245＝180＋30×722＝155700；∴全班的方差是s2＝145×[(x21＋x22＋…＋x245)－45×782]＝145×[(121545＋155700)－273780]＝77.(3)能．若后30名中有人不及格，设该同学为b30，则b30≤59，该同学比平均分低至少13分，那么其他同学比平均分高出的分数至少有13分，所以(b1－72)2＋…＋(b30－72)2≥13＋169＝182>180，而(b1－72)2＋(b2－72)2＋…＋(b30－72)2＝180，矛盾，所以必定全部及格．【随堂达标】1．答案 A解析 游客人数的平均数为17×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万)．将数据由小到大排列，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的25%分位数为1.5万．故选A.2．答案 C解析 由平均数、中位数、众数的定义可知，平均数x －＝1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×751＋1＋2＋4＋1＋1＝87；因为得85分的有4人，所以众数是85；把成绩由大到小排列为100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位数是85.3．答案 D解析 去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，其平均数x －＝3×9.4＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15×(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)＝0.016. 4．答案 (1)89 高一甲 (2)高一甲解析 (1)在服装统一方面，三个班得分的平均数为80＋97＋903＝89，在动作准确方面最有优势的是高一甲班．(2)高一甲班的得分为80×20%＋84×30%＋87×50%＝84.7(分)，高一乙班的得分为97×20%＋78×30%＋80×50%＝82.8(分)，高一丙班的得分为90×20%＋78×30%＋85×50%＝83.9(分)，故高一甲班的得分最高．5．解 x －甲＝18×(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85， x －乙＝18×(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85. s 2甲＝18×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定．综上可知，甲的成绩较好．。

[核心必知]1．众数、中位数、平均数（1）众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法:把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．（3）平均数：①平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、x n，那么错误!＝错误!,叫作这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1）标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝错误!［（x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］．其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝错误![(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)－n错误!2]＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）－错误!2.3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考］1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示:不一定．若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数；不是,可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．（2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1。

据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元）如下：（1)(2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元)（3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答］(1)平均数是错误!＝1 500＋错误!≈1 500＋591＝2 091（元）．中位数是1 500元,众数是1 500元．(2)新的平均数是错误!′＝1500＋错误!≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下:(1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2）假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：（1)平均数为错误!（1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2）＝320(件)，中位数为210件,众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额。

数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。

2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。

3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。

二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。

2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。

3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。

4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。

5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。

三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。

2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。

2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。

3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。

五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。

3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。

6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。

3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。

2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。

3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。

八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。

数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解众数、平均数、中位数、方差等基本概念。

2. 培养学生运用数字特征分析数据的能力。

3. 引导学生通过实际问题，感受数字特征在生活中的应用。

二、教学内容1. 众数的定义及其求法。

2. 平均数的定义及其求法。

3. 中位数的定义及其求法。

4. 方差的定义及其求法。

5. 数字特征在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

2. 教学难点：方差的计算及其实际应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

2. 采用案例分析法，分析数字特征在实际问题中的应用。

3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引出数据的数字特征这一概念。

2. 讲解：讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

3. 案例分析：分析数字特征在实际问题中的应用，如统计考试成绩、分析商品销售数据等。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学知识分析数据。

6. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。

2. 练习题：布置相关的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和分析问题的能力。

七、教学拓展1. 引入更多类型的数据特征，如标准差、离差等。

2. 探讨数字特征在实际领域中的应用，如经济学、生物学等。

八、教学资源1. 教材：《数学统计基础》、《数据分析与应用》等。

2. 网络资源：相关在线教程、视频讲解等。

3. 实际案例数据：收集各类实际数据，用于案例分析。

九、教学建议1. 注重学生的基础知识培养，加强对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3. 布置多样化的作业，让学生在实践中巩固知识。

课时教案4课题：数据的数字特征一、教学分析在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。

在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

二、教学建议1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。

2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。

在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。

3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。

三、教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。

23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。

四、教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。

教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。

（一）课题引入数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。

（二）探求新知请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。