秩与线性方程组的解

１绍兴文理学院数学专业论文应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用院系：数理信息学院专业：数学与应用数学（师范）2012级曹炼壹 陈楚群 陈杭宇 陈瑶 陈羽白指导老师：何济位目录一、摘要及关键词 (3)二、克拉默法则介绍 (3)三、克拉默法则的局限与推广 (4)四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系 (5)(2)应用关系推导克拉默法则 (6)五、克拉默法则的应用 (8)六、结束语 (11)七、参考文献 (12)２３一、摘 要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。

而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。

本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。

关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用二、克拉默法则介绍克拉默法则（Cramer's Rule ），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。

其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。

对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。

在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。

至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。

引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0

所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠

系数矩阵的秩和基础解系的关系
系数矩阵的秩和基础解系的关系可以通过以下定理说明。

定理：设一个齐次线性方程组的系数矩阵为A，其秩为r，则原方程组的解空间的维数为n-r，其中n为未知数的个数。

根据这个定理，可以得到系数矩阵的秩和基础解系的关系：
1. 当秩r=n时，方程组的解空间的维数为n-r=0，即方程组只有零解，此时基础解系为空集。

2. 当秩r=n-1时，方程组的解空间的维数为n-r=1，即方程组有一个自由变量，此时基础解系中只包含一个解向量。

这个解向量可以视为解空间的一组基。

3. 当秩r<n-1时，方程组的解空间的维数为n-r>1，即方程组有多个自由变量，此时基础解系中包含多个解向量。

这些解向量线性无关，并且可以视为解空间的一组基。

综上所述，系数矩阵的秩决定了解空间的维数，同时也决定了基础解系中解向量的个数。

线性方程组的解与秩的关系
线性方程组的解与秩的关系如下：
如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单的说解向量的个数为零行数。

对有解方程组求解，并决定解的结构。

这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n 时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。

但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。

将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。

当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

代入消去法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。

然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程式的方法。

在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。

组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。

且方程
中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5

则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式.
2
5
4、 设 n 阶可逆矩阵 A，

A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于其阶 数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
一般地，若R( A) min(m , n), 则称A为满秩矩阵 , 若R( A) min(m , n), 则称A为降秩矩阵 .
1) 无解的充要条件R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件 ( A) R A, b n . R
RA RB Ax b无解
RA RB n Ax b有唯一解
一矩阵秩的概念二矩阵秩的求法数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵称为矩阵阶行列式中所处的位置次序而得变它们在不改元素阵的秩等于零并规定零矩的秩记作称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵那末全等阶子式如果存在的话且所有中有一个不等于设在矩阵定义子式的最高阶数中不等于零的显然有显然有
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
例2 另解
1 3 2 2 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5

非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
RA RB n Ax b有无穷多解.
思考题
讨论线性方程组 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1, x 1 3 x 2 6 x 3 x 4 3, 3 x1 - x 2 - p x 3 15 x 4 3, x1 - 5 x 2 - 10 x 3 12 x 4 t 当p, t取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的 情 况下, 求出一般解.
例５ 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时, 有解? 有无穷多个解?
解 对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
B 1 1

1
1 1

1

1 1 ~1 2
其余 n - r个作为自由未知量, 并令 n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，
讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
证 必要性. 设方程组元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解

12:46
proof
2
例子 3.1
解: 线性方程组(3.2)的增广矩阵为范德蒙德矩阵,
所以线性方程组(3.2)无解.
12:46
3
例子 3.2
解法一: 方程的数目与未知量的数目相同. 先算出系数矩阵的行列式：
无穷多解
12:46
4
例子3.2(续)
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵
12:46
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵.
12:46
8
例题 3.3 (续2)
12:46
9
例题 3.3 (续3)
解得
12:46
10
两直线的位置关系
设两条直线都用一般方程表示, 即
它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况
12:46
11
两直线的位置关系（续）
12:46
12
直线与平面的位置关系
§3 线性方程组的解与秩
通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断 线性方程组的解的情况 几个结论
线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组有唯一解的充分必要条件 线性方程组有无穷多解的充分必要条件
应用
两直线的位置关系 直线与平面的位置关系
12:46
1
线性方程组有解判别定理
proof
定理 3.2 设线性方程组(3.1)有解.
5
例子3.2(续2)
方程组有唯一解.
方程组无解 (此时阶梯形方程组的第3个方程为``0 = 3''). 3) 当 a = 1时,
方程组有无穷多解 (此时阶梯形方程组的第2,3个方程均为``0 = 0'').
12:46

秩和方程组解的关系在线性代数中，一个方程组由一系列线性方程组成，而秩和方程组解的关系是解决这些方程的一种方法。

秩是指方程组的系数矩阵的秩，也就是矩阵中线性无关的行或列的数量。

而方程组的解是指一组满足所有方程的变量值，使得方程组有解。

对于一个秩为r的方程组，如果它有无穷多个解，则解的数量为n-r，其中n是未知数的数量。

这是因为有些未知数可以自由取任意值，而另外一些未知数则由自由变量的取值决定。

在求解秩和方程组时，首先需要将方程组转化为增广矩阵的形式。

增广矩阵是将系数矩阵和常数向量拼接在一起得到的矩阵，它的最后一列是方程组的常数项。

接着，我们需要对增广矩阵进行初等行变换，使其变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵。

阶梯矩阵是一种特殊的矩阵形式，它的每一行都有严格的零元素，而非零元素出现在每一行的左侧。

简化阶梯矩阵是阶梯矩阵的一种形式，它的主对角线上的元素都为1，且每个主元素的下方都是0。

通过初等行变换将增广矩阵变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵后，我们可以得到方程组的通解。

对于一个秩为r的方程组，如果它的阶梯矩阵或简化阶梯矩阵中有r个非零行，则方程组有唯一解。

否则，方程组有无穷多个解。

当方程组有无穷多个解时，我们可以通过选取自由变量的取值来得到方程组的所有解。

自由变量是指在阶梯矩阵或简化阶梯矩阵中对应的非基本变量，它可以取任意实数值。

每个自由变量的取值都对应着一个解，因此方程组的解的数量为n-r，其中n是未知数的数量，r是方程组的秩。

秩和方程组解的关系是求解线性方程组的一种方法。

通过初等行变换将增广矩阵变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵，可以得到方程组的通解。

当方程组有唯一解时，解是唯一的。

当方程组有无穷多个解时，解的数量为n-r，其中n是未知数的数量，r是方程组的秩。

高等代数中的重要知识触点——秩
高等代数中，秩是一个重要的概念。

它代表了某个矩阵，或者某个系统的解的性质。

可以把秩给定义为：“秩是一个矩阵或者线性系统的最大秩，它确定了此矩阵或者线性系统允许拥有多少自由变量。

”
在线性代数和数学建模中，秩是一个重要的概念。

它表示矩阵中非零元素的最大秩，这个最大秩决定系统解可以有多少变量。

当矩阵保持秩不变时，系统有一个唯一解；当总秩缩小时，系统有无穷多个解；这将要求求解系统中的自由变量的数量。

秩可以用来衡量矩阵的维度，它可以根据矩阵的非零元素的秩来计算，从而可以得出矩阵的高维度。

例如，一个4×4矩阵有4个行向量和4个列向量，那么它的秩可以是0，即矩阵中的每一个元素都是0，它的维度是0；也可能是1，即矩阵中存在1个非零元素，它的维度是1；因此可以根据向量的秩来测量矩阵的维度。

另外，秩同样可以用来求解线性方程组。

若线性方程组的系数矩阵的秩恰好等于方程组的未知数的个数，则此线性方程组有唯一解；若系数矩阵秩小于方程组未知数的个数，则此线性方程组无解。

得到这个解答之后，我们才能把线性方程组的未知数求出来。

此外，秩还可以被运用到特征值与特征向量的求解中。

一般来说，利用矩阵特征值计算矩阵的特征向量是一种很好的方式，矩阵特征值也可以通过矩阵的秩来求得，因此我们可以运用秩来得到矩阵的特征向量，从而得到特征值。

总而言之，秩在高等代数中占据着重要的地位。

通过分析秩，我们可以得到更好的理解，从而解决高等数学中各种线性系统和矩阵的求解问题。

矩阵秩的应用
线性方程组可解判别法
01
通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等，可

以判断线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解。
特征值与特征向量的计算
02 对于给定的方阵，可以通过计算其行列式因子和
Cramer法则来求得其特征值和特征向量。
行列式计算
03
利用矩阵的秩和行列式的关系，可以计算行列式的值
03
在求解过程中，需要注意初等 变换不改变矩阵的秩，因此可 以利用这一性质来验证求解过 程是否正确。
CHAPTER 05
特殊线性方程组可解的判别法
唯一解的判别法
系数矩阵的秩等于增广矩 阵的秩
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有唯一解。这是因为系数矩阵和增广 矩阵具有相同的行数，当它们具有相同的秩 时，方程组中的方程个数与未知数的个数相 等，从而可以唯一确定一组解。
如果增广矩阵的最后一列中的常数项与系数矩阵的秩相等 ，则线性方程组有唯一解；如果增广矩阵的最后一列中的 常数项与系数矩阵的秩不相等，则线性方程组无解或有无 穷多解。这是因为增广矩阵包含了线性方程组的所有未知 数和常数项，因此可以通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩 来判断线性方程组的可解性。
CHAPTER 04
系数矩阵的行列式为零
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能有无穷 多解。这是因为行列式为零意味着系数矩阵是奇异的 ，无法通过逆矩阵得到唯一解，但可能存在无穷多解 。
无解的判别法
系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩
当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，线性方程组无解 。这是因为增广矩阵中的列无法由系数矩阵中的列线性 组合得到，从而无法满足方程组中的所有方程，因此无 解。
系数矩阵的行列式为无穷大

x1 x 2 xn
故方程组有唯一解, 故方程组有唯一解
= d1 , = d2 , M = dn ,
~ 3. 若R(A) =R(B)= r ＜n,则B中的 r+1= 0 中的d 则 中的 ~ 不出现),于是B对应的方程组 ),于是 对应的方程组B (或dr+1不出现),于是 对应的方程组
d1 d2 M dr d r +1 0 M 0
1. 若R(A)＜R(B), 则r+1行对应矛盾方程 行对应矛盾方程0=1, ＜ 行对应矛盾方程 故方程组无解. 故方程组无解 2. 若R(A) =R(B)= r = n,则B中的 r+1=0(或dr+1 中的d 则 ~中的 ( ~ 不出现), ),且 都不出现,于是B对应方程组 不出现),且bij都不出现,于是 对应方程组
由于参数c 可取任意值, 由于参数 1,···, cn-r可取任意值, 故方程组有 无限多个解.证毕. 无限多个解.证毕. 称为线性方程组的通解. 解(6)称为线性方程组的通解 称为线性方程组的通解
(6)
由定理4容易得出线性方程组理论中两个最 由定理 容易得出线性方程组理论中两个最 基本的定理: 基本的定理 定理5 定理5 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解
的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
定理6 定理 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n.
下面把定理5推广到矩阵方程 下面把定理 推广到矩阵方程 定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 定理 矩阵方程 有解的充分必要条件是 R(A) =R(A, B) . 矩阵, 矩阵, 证 设A为m×n矩阵 X为n×l矩阵 则B为m×l 为 × 矩阵 为 × 矩阵 为 × 矩阵. 按列分块, 矩阵 把X和B按列分块 记为 和 按列分块

一些重要的结论:
1. 零 矩 阵 的 秩 等 于0; 2. 若 矩 阵A中 有 某 个s阶 子 式 不 为0,则R( A) s; 3. 若 矩 阵A中 所 有 的t 阶 子 式 为0,则R( A) t;
4. R( A) R( AT ) (因 为AT的 子 式 与A的 子 式 对 应 相 等);
5. 若A为m n矩 阵,则0 R( A) min{m,n }
6. n阶 方 阵A可 逆 的 充 分 必 要 条 件R是( A) n. 当 A 0时, R( A) n, 称A为 满 秩 矩 阵, 也 称 为 非 奇 异 阵,否 则 称 为降 秩 矩 阵(不 可 逆 矩 阵, 或 奇 异 矩 阵).
一
个m
n矩
阵A的k阶
子
式
共
有C
mk C
k n
个.
定 义 2 设 在 矩 阵A中 有 一 个 不 等 于0的r阶 子 式D, 且 所 有 的r 1阶 子 式(如 果 存 在 的 话)全 等 于0,那 么D称 为 矩 阵A的 最 高 阶 非 零 子 式 , 数r称 为 矩 阵A的 秩, 记 作R( A) , 或 记 作r( A).
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
1 0
1 0
故
R(B) 3 R(A) 2
从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应 的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵 的第三行表示矛盾方程0=1。
三、线性方程组的解
n个 未 知 数m个 方 程 的 非 齐 次 线 性程方组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
再 求A的 一 个 最 高 阶 非 零 子.因式R( A) 3, 知 A的
最

设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1

齐次方程组的解与秩的关系(一)齐次方程组的解与秩的关系1. 什么是齐次方程组？齐次方程组是指所有方程的右边都是0的线性方程组。

一般形式为：{a11x1+a12x2+...+a1n x n=0 a21x1+a22x2+...+a2n x n=0 ...a m1x1+a m2x2+...+a mn x n=0其中，a ij为已知系数，x i为未知数。

2. 解的定义对于齐次方程组，如果存在一组未知数的数值解(x1,x2,...,x n)，使得代入方程组中的所有方程等号两边成立，即所有方程的左边都等于0，则称其为方程组的解。

解可以是唯一的，也可以有无穷多个解。

3. 秩的定义矩阵是齐次方程组的一种表示方式，通过对矩阵的运算，可以求解方程组的解。

对于一个矩阵，可以定义其秩为矩阵所含的线性无关的行或列的最大数目。

4. 解与秩的关系情况一：矩阵的秩等于未知数个数当矩阵的秩等于未知数个数，即r=n时，方程组有唯一解。

这是因为矩阵表示的方程组中的每个未知数，都有对应的线性无关的方程与之相等，从而可以通过矩阵运算求解出唯一的解。

情况二：矩阵的秩小于未知数个数当矩阵的秩小于未知数个数，即r<n时，方程组有无穷多个解。

这是因为矩阵表示的方程组中的部分未知数，没有对应的线性无关的方程与之相等，从而无法通过矩阵运算求解出这部分未知数的具体值，只能表示为自由变量，即可以任意取值。

情况三：矩阵的秩大于未知数个数当矩阵的秩大于未知数个数，即r>n时，方程组没有解。

这是因为矩阵表示的方程组中的方程之间存在线性相关性，从而无法通过矩阵运算求解出一组使得所有方程成立的解。

5. 总结通过分析齐次方程组的解与矩阵的秩的关系，我们可以得出以下结论：•当矩阵的秩等于未知数个数时，方程组有唯一解；•当矩阵的秩小于未知数个数时，方程组有无穷多个解，其中部分未知数为自由变量；•当矩阵的秩大于未知数个数时，方程组没有解。

了解齐次方程组的解与秩的关系，有助于我们在实际问题中求解方程组，并对方程组的解空间有更深入的理解。

作者： 张凯
作者机构： 武钢职工大学基础课部
出版物刊名： 武汉工程职业技术学院学报
页码： 76-78页
主题词： 矩阵的秩 方程组的解 齐次线性方程组 基础解系 线性表示 矩阵秩 有关知识 再考虑 矩阵乘积 线性无关
摘要： 在现代课程中,有一个简单的结论:齐次线性方程组AX=0中,设R(A)=r,(r＜n),n为未知量的个数,则它一定有基础解系,含有n—r个线性无关的解。

这一结论反映了系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的直接关系。

本文利用此关系以及向量的有关知识得到几个结论,并利用它们去证明有关矩阵秩的命题,显得较方便简捷。