非齐次线性方程组解的结构性质

⏹非齐次线性方程组解的性质⏹非齐次线性方程组解结构定理设n 元非齐次线性方程组其中A =(a ij )m ×n 为系数矩阵, A X b（1）X = (x 1, x 2, …,x n )T ,b = (b 1,b 2, …,b n )T .在(1)中,令b =0,得到的齐次方程组AX =0称为方程组(1) 的导出组,或称为方程组(1) 的对应齐次线性方程组.性质1设X1,X2是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，向量.则X1-X2是其导出组AX=0的解设X1 ，X2为AX=b的两个解向量,则有AX1=b, AX2=b ,因为A(X1−X2)即X1−X2为方程组AX=0的解向量.=AX1−AX2=0，证性质2非齐次线性方程组AX =b 的某一个解向量X 0与其导出组的任意一个解向量a 之和仍为AX =b的解向量.设X 0为AX =b 的一个解向量,则有AX 0=b , A a =0,因为A (X 0+a )即X 0+a 为方程组AX =b 的解向量.=AX 0+A a =b ，证a 为AX =0的一个解向量,定理2量,满足,X 0是它的一个解向设非齐次线性方程组AX =b则方程组AX =b 的通解可表为a 1,a 2, …,a n -r 是它的导出组AX =0的一个基础解系, ()()R A R A r n 其中k 1,k 2, …,k n -r 为任意常数.01122n r n r X X k k k证设X是方程组AX=b的任意一个解向量, 由非齐次线性方程组的解向量的性质1, X−X0是其导出组AX=0的解向量, 于是它可由其基础解系a 1,a 2, …,a n -r 线性表出,即从而有01122n r n rX X k k k 证毕.01122n r n r X X k k k定理2表明,非齐次线性方程组AX =b 通解(也称为全部解或一般时,()()R A R A r n 当解)可以表示为它的某个已知解向量(特解)加上它的导出组AX =0的通解.。

３－４非齐次线性方程组一、ｎ元非齐次线性方程组的三种形式及相互转化Ｐ１３７（３．１３）代数形式Ｐ１３７（３．１４）矩阵形式（解向量的定义）Ｐ１３７（３．１５）向量形式ｎ元非齐次线性方程组的导出组（对应的齐次线性方程组）。

二、ｍ×ｎ非齐次线性方程组有解判别定理定理3.5ＡＸ＝ｂ有解⇔秩（Ａ）＝秩（A）。

即ＡＸ＝ｂ无解⇔秩（Ａ）≠秩（A）。

证明：设系数矩阵Ａ的列向量为：α１，α２，…，αｎ，那么ＡＸ＝ｂ有解⇔向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｎαｎ＝ｂ有解；⇔向量ｂ可由向量组α１，α２，…，αｎ线性表出；⇔向量组｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；⇔［注释］秩｛α１，α２，…，αｎ｝＝秩｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；⇔Ａ的列秩＝A的列秩；⇔秩（Ａ）＝秩（A）。

［注释１］等价向量组有相同的秩。

这里是因为：如果秩｛α１，α２，…，αｎ｝＝秩｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝＝ｒ，当ｒ＝０时，α１＝α２＝…＝αｎ＝ｂ＝０，有｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝。

当Ｒ＞０时，取｛α１，α２，…，αｎ｝的最大无关组，不妨设为｛α１，α２，…，αｒ｝。

由于｛α１，α２，…，αｒ｝也是｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝中ｒ个线性无关向量，故｛α１，α２，…，αｒ｝也是｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝的一个最大无关组。

因为｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｒ｝；｛α１，α２，…，αｒ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；所以｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝。

［注释２］等秩的向量组不一定等价。

例如：α１＝（１，０，０，０），α２＝（０，１，０，０）；与向量组β１＝（０，０，１，０），β２＝（０，０，０，１）等秩，但不等价。

作业：Ｐ１４５１３Ｐ１４７１（４）三、非齐次线性方程组解的基本性质：⎩⎨⎧21性质性质［Ｐ１３８ ５——１４行］ 定理［补充］如果η１，η２都是ＡＸ＝ｂ（ｂ≠０）的解，那么ｋ１η１＋ｋ２η２是ＡＸ＝ｂ的解⇔ｋ１＋ｋ２＝１。