线性方程组解的结构

§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c x t c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。

§3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构11211000s a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⋅⋅⋅+=⎧⎪⋅⋅⋅+=⎪⎨⎪⎪⋅⋅⋅+=⎩11221n n 12222n n 1s22sn n ++++…………………………++（1）1．解的性质性质1 方程组（1）的两个解的和还是（1）的解. 证明 设),,,(21n k k k 与),,,(21n l l l 是方程组⑴的两个解.则∑==nj j ijk a10 ),,,2,1(s i =两个解的和为),,,(2211n n l k l k l k +++ (2)代入方程组，得即⑵是方程组的解. 证毕性质2 方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解； 证明 设),,,(21n k k k 是⑴的一个解，因为所以),,,(21n ck ck ck 还是方程组的解.证毕由性质1和性质2得：性质3 方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解．2．基础解系定义 齐次线性方程组（1）的一组解12,r ηηη,,，若满足1) ,ηηη12r ,,线性无关；2)（1）的任一解可由,ηηη12r ,,线性表出． 则称,ηηη12r ,,为（1）的一个基础解系．3 ．基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中)(A R r =．证：若()R A r n =<，不防设112110r a a a a a a a a a ≠121r222r r2rr?… ?………………… ?…，则方程组（1）与方程组11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=---⎧⎪++⋅⋅⋅+=---⎪⎨⎪⎪++⋅⋅⋅+=---⎩（2） 同解,用n r -组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++⋯⋯，就得到（2）的解，也就是（1）的n r -个解则r n -ηηη,,,21 为方程组(1)的一个基础解系.ⅰ) r n -ηηη,,,21 线性无关 事实上，若 1122k k ηη++--0n r n r k η+=，即112212(*,*,*,,,)(0,0,,)n r n r n r k k k k k k ηηη---+++==……，，0比较最后n －r 个分量，得021====-r n k k k .因此, r n -ηηη,,,21 线性无关.ⅱ) 任取方程组（1）的一个解),,,(21n c c c =η，η可由12,n r ηηη-,，线性表出．事实上，由12n r ηηη-,,,是方程组（1）的解知： 也为（1）的解，又 r n n r r c c c -+++++ηηη 2211=（n r c c ,,,*,*,1 +）它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即11r n n r c c ηηη+-=++……．由ⅰ) ⅱ)知，r n -ηηη,,,21 为（1）的一个基础解系． 证毕推论 任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（1）的基础解系．证明：12t ηηη，，，为（1）的一个基础解系，12,s ααα,,线性无关，且与12t ηηη，，，等价，则s t =，且i α可由12t ηηη，，，线性表出，即i α也为（１）的解向量．。

线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。

本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。

一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。

（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。

称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。

二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。

线性方程组解的结构11111221n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 22112222n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 33113223n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+…………………………………1122n n n nn n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+表示从变量12,n x x x ⋅⋅⋅到变量12,n b b b ⋅⋅⋅的线性变换，其中ij a 是常数。

确定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。

上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程：Ax=b线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。

一、 定理4：N 元线性方程组Ax=b（1) 无解的充要条件是R(A)<R(A.B)（2) 有唯一解的充要条件是R （A ）=R(A.b)=n （3) 有无限多个解的充要条件是R(A)=R(A. b)<n二、 非齐次线性方程组求解步骤：Ax=b （1)对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化为行阶梯型矩阵，从而根据定理4 判断其解的结构。

（2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。

（3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。

带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。

三、 齐次线性方程组求解步骤：Ax=0（1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构：A. R(A)<n 有非0解B. R(A)=n 只有0解（2) 设R(A)<n ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。

带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式： 自由未知量赋值的步骤（写成向量组形式）： i.例如：112523x c c =+212423x c c =-+31x c =42x c =向量形式：1212123142523423c c x x c c x c x c ⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=12210c ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+2534301c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3) 可写出基础解系：12210η⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2534301η⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4) 写出通解：1122c c ηηη=+ i c R ∈。

如果为齐次线性方程组=若，为（）的解，则也是（只要验证满足方程（.即也是方程组若为（）的解，为实数，则也是（.即若为（对于的任意一组常数组合也是（证 ==即线性组合也是方程组对于元齐次线性方程组,若,有个自由未知量这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方对于,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组系数矩阵的秩,而未知量的个数,个数为,个任意常数,=, ,,如果在解向量的一般表达式中令和可得解向量,则是线性无关的解向量组已知齐次线性方程组有无穷多解并且含有个自由未知量(为任意常数则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题解向量为所给方程组的一个基础解系解向量与为所给方程组的一个基础解系对增广矩阵作初等行变换(为自由未知量则上式可表示为(其中为任意常数若令,则为原方程组的一个基础解系原方程组的通解可表示为.通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组设及都是方程组（）的解，则为对应齐次方程即是方程组（设是方程组（）的解，是方程组（则仍是方程组（是方程组（设是非齐次线性方程组的一个解, 是相应齐次线性方程组的基础解系则方程组一般解为其中为任意常数易知，是方程组为证它是的一般解只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可设是的任意一解已知也是的一个解4, 是的又是齐次线性方程组的基础解系故存在一组常数, =对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为(为自由未知量令则方程组的解表示为向量形式(其中为任意常数令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系,则为原方程组的一个特解为把解表示得更清楚些，可把它写成.对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组无解对增广矩阵作初等行变换由于,亦即（为任意实数）或令，上式简化为，（）令则为对应的齐次方程组的一个基础解系为非齐次方程组的一个特解。