当前位置：文档之家 › 4.5 线性方程组解的结构

4.5 线性方程组解的结构

  • 格式：ppt
  • 大小：1.56 MB
  • 文档页数：31

下载文档原格式

  / 31

合集下载

第4章 线性方程组解的结构

第4章 线性方程组解的结构
A m n x 0 , r( A ) r
例1
回答所提问题.
x4 3 x5 0 x1 2 x 2 x1 2 x 2 x 3 3 x 4 8 x 5 0 2 x4 6 x5 0 2 x1 4 x 2 x 2x x 5x 2x 0 1 2 3 4 5
(向量形式)
其中，
j
( a 1 j , a 2 j , a mj )， j 1, , n .
-3-
定理4.1.1 对于非齐次方程组 A m n x b ( b 0 ) (4-1)
~ ~ ( 1 ) 有解 r ( A ) r ( A ) 无解 r ( A ) r ( A )
只要令
为三个线性无关的向量.
代入同解方程组(1)中求得
x1 , x 3
然后再拼成解向量.
必然是线性无关的, 从而也是基础解系.
由此得到下面关于齐次线性方程组的的解法二.
-17-
第一步: 同前（化系数矩阵为最简阶梯型） 第二步: 同前 第三步: 令
x1 2 x 2 x 4 3 x 5 x3 4 x4 5 x5
-19-
例2 : 求下列齐次方程组
x1 3 x1 2 x1 x1
解：A 1 3 2 1

2 6 5 2
2 x2 6 x2 5 x2 2 x2
3 10 7 4

第四章 线性方程组的解的结构
§1 线性方程组解的存在性定理
§2 齐次线性方程组解的结构 §3 非齐次线性方程组解的结构
§4 线性方程组在几何中的应用
1
§4.1 线性方程组解的存在性定理

4.5线性方程组解的结构

4.5线性方程组解的结构

若R(A)=R(B)<n，无穷多解，转4）
3） 将增广矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并 据此写出同解方程组，进而求出方程组的唯一解 4） 将增广矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并据此 写出同解方程组，将n-R(A)个自由未知变量移到等式右边。 令自由未知变量全为0，求得AX=b的一个特解U0 ；求得相应 齐次线性方程组AX=0的基础解系V1,V2,…,Vn-R(A) 。则通解为 V= U0 +k1V1+k2V2+…+kn-R(A)Vn-R(A)
n元线性方程组 AX=0的求解步骤（先求通解再求基础解系）：
1） 将系数矩阵A化为行阶梯形，求出R(A) 2） 若R(A)=n，则只有零解
若R(A)<n，转3） 3） 将系数矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并 据此写出同解方程组，将行最简形中每行的首非零元所 在列对应的未知数放在方程等式的左边，将其余的未知 数都移到方程等式的右边，并作为可任意取值的参数， 然后写出带参数的通解。
系，证明： 1 1 2 1 2 3也是方程组的基础解系。 证：令 1 1 ， 2 1 2 ， 3 1 2 3 ．它们显然都
1 , 2 , 3 也是方程组 AX 0 是1 , 2 , 3的线性组合，所以，
的解向量，下面只需证明 1 , 2 , 3 线性无关即可。
n元线性方程组 AX=0的求解步骤（先求基础解系再求通解）：
1） 将系数矩阵A化为行阶梯形，求出R(A)
2） 若R(A)=n，则只有零解
若R(A)<n，转下一步 3） 将系数矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并 据此写出同解方程组，将行最简形中每行的首非零元所 在列对应的未知数放在方程等式的左边，将其余的未知 数都移到方程等式的右边，这些未知数称为自由未知数， 自由未知数共有n-R(A)个。 n-R(A)个 4） 分别令自由未知数取值为 将它们依次代入方程组，求得n-R(A) 个线性无关的解V1,V2,…,Vn-R(A) ，

线性方程组的参数化形式和解的结构

线性方程组的参数化形式和解的结构

线性方程组的参数化形式和解的结构线性方程组是高等数学中的一个重要概念，其在各种领域中都有广泛的应用，包括物理、工程、计算机科学等。

在研究线性方程组的参数化形式和解的结构时，我们需要掌握基本的概念及其相关的定理，同时还需要深刻理解它们之间的关系。

本文将探讨线性方程组的参数化形式及其解的结构。

一、线性方程组的基本概念首先，我们需要了解线性方程组的基本概念。

一般来说，一个线性方程组包含n个未知量x1，x2，…，xn，以及m个线性方程。

一般可以表示为：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm其中，a11，a12，…，anm是方程的系数，b1，b2，…，bm是常数，x1，x2，…，xn是未知量。

此外，方程组中的每个方程都是线性的，可以总结为以下两种基本形式：ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = biai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0其中，第一种形式是常数项不为零的一般形式，第二种形式是常数项为零的齐次形式。

我们在研究线性方程组的参数化形式和解的结构时，主要关注齐次形式。

二、线性方程组的参数化形式对于一个线性齐次方程组，其形式为：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0我们将其表示为一个矩阵方程Ax=0，其中：A = (a11 a12 … ana21 a22 … an… … … …am1 am2 … amn)x = (x1 x2 … xn)T其中，T表示矩阵的转置。

我们可以看出，该矩阵是m行n列的矩阵，其秩为r(A)。

根据线性代数的基本定理，其零空间的维数为n-r(A)。

在此基础上，我们可以给出线性齐次方程组的参数化形式：x = c1α1 + c2α2 + … + cmαm其中，c1，c2，…，cm是任意常数，α1，α2，…，αm是满足Ax=0的n维列向量。

线性方程组解的结构

线性方程组解的结构

性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs

r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2

1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0

0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )

《线性代数》(四川大学原稿) §4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

《线性代数》(四川大学原稿) §4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
把BX=0的含x4 , x5的项移到等式右边得到
x1 x4 20 x5 x x 5 x , 2 4 5 x 2 x 5 3
6
令x4 1, x5 0, 解得X1 1 1 0 1 0 ,
T
19
证 设X1 , X 2 ,
, X nr(I)为AX=0的一个基础解系.
( i ) 设1 , 2 ,
, t(II)为AX=0的任意一个基
础解系，则(I)与(II)皆线性无关且可以相互 线性表示，故t=n-r;
(ii ) AX=0的任意n-r+1个解可由含n-r个 向量的(I)线性表示，故线性相关;
... k1n
1 ... 0 k2,r 1 k2,r 2 ... k2 n ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 kr ,r 1 kr ,r 2 ... krn 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0
设X=(c1 ,
, cr , cr+1 ,
, cn )为AX=0(BX=0)的 c n X n r , 0)
T
任意解，则 X-cr+1 X 1 c r+2 X 2 （d1 , d 2 , , d r , 0,0,
为B0
ax0ax0iiiax0ax0ax0nrax0是齐次线性方程组的基础解系所含向量个数故可考虑利用齐次线性方程组的解的由基础解系于是可由线性表示即是也为满秩矩阵所以所以的余子式也为零从而全部为零所以阶子式则知所有的是自由变量分别代入值1001解出基础解系
§5 齐次线性方程组有非零解的条件及解 的结构

线性代数—线性方程组解的结构

线性代数—线性方程组解的结构

r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1

线性方程组解的结构(课堂PPT)


0
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2 ,3 表示吗? 1 ,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证 记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解 因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
设一个基础解系为: 1 ,2 , ,n r 则通解为: x k11 k22 kn rn r (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和 为零，写出ＡＸ＝０的通解． 解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
-3-
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
-4-
§4.2 齐次线性方程组解的结构
设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x 是 (2)的解,从而存在 ki 使得 x k11 k22 kn rn r x k11 k22 knrnr 其中1,2, ,nr为（2）的基础解系， 由此得:

线性方程组解的结构(1)


0
0
0
0
相应的同解方程组为：
相应的同解方程组为：
x1 x3
x2
4x5 x5
x 4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1 ,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝ c11c22c1,c2R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
4 0 0
0
,
4
,
0
0 0 4
x1
9 4
x3
3 4
x4
1 4
x5
x2
3 4
x3
7 4
x4
5 4
x5
9
3
1
3
7
5
得基础系： 4 , 0 , 0
1
0
2
4
3
0
0
0
4
※ 求基础解系的两种方法: (1) 求出通解后写成向量形式找出基础解系; (2) 分别取自由变量为一组线性无关的向量,
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，分别取
xr1 1 0 0
x
r2
0
,
1
,
,
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r 1
b
2
r
1
b1r 2
b
2
r
2

线性方程组解的结构

28
例
x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0, 求解方程组 x1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1, x − x − 2 x + 3 x = −1 2. 2 3 4 1
对增广矩阵作初等行变换
1 3 1 1 初等行变换 1 3 − 3 2 5 − 2 1 1
的基础解系及通解. 的基础解系及通解. 解
2 1 4 2 A= −1 − 2 0 0
23
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 − 1 0 0
(1)
x1 b a11 a12 L a1n 1 2 a21 a22 L a2n X = x2 , β = b 若记 A= M M , M M M x b a am2 L am n m n m1
5
二、齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
+ a11x1 +a12x2 +L a1nxn = 0 a x +a x +L a x = 0 + 2n n 21 1 22 2 L L L L L L L L L L L L am1x1 +am2x2 +L amnxn = 0 +
1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 r3 − 2 r2 r2 − 2 r1 4 A = 2 −5 3 2 r − 7r 0 − 7 5 1 3 1 7 − 14 10 8 r2 × ( − ) 7 − 7 3 1 7
21
x = k1ξ1 +k2ξ2 +L kn−rξn−r +η∗, +

线性方程组的解结构

迭代过程
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
为什么要取下列n-r组数？因为我们要得到线性无关的解
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
B的列向量组只是解向量全体的部分向量组，故
R(B) R 1 2 L s n r
于是有 R(A) R(B) n
例6 设A为n阶方阵，证明(可当结论记住直接用)
n, 当 R A n,
R
A*
1,
当 R A n 1,
0, 当 R A n 1.
证（1）当 R A n时， A 0,
2020/5/6
三、应用-求通解
解：根据非齐次线性方程组的解的结构，可知本题 中 C、E是正确的
例5 证明 当 Amn Bns O时，R(A)+R(B) ≤n
(做题时可直接当结论用)
证明 AB=0，将B按列分块，有：
B 1 2 L s
则B的每一列均是线性方程组Ax=0的解。 若R(A)=r, 解向量的全体为S，则R(S)=n-r.
n R( A)=未知量的个数－系数矩阵的秩
（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要特征 基础解系即Ax=0解向量全体的一个最大无关组。 基础解系中的向量共有__n_-_R_(_A_)_个； 基础解系中的向量一定线性_无____关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 任意n-R(A)个线性无关的满足Ax=0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
且当 c1, c2 ,L , ck 为任意常数时，
c11 c22 L ckk
称为Ax 0 的通解.
显然，方程组 Ax 0 的基础解系就是它的解的
全体组成的向量组S 的最大无关组．
定理1 若齐次线性方程组 Ax 0 的系数矩阵的 秩（未知量的个数）满足R(A) r n ，则方程组
Ax=0 的基础解系存在,且恰含有n－r个线性无关的
两个通解形式虽不一样,但都含有两个任意常数, 都表示了方程组的任一 解．
(方法二：先求通解，再得基础解系，推荐） 事实上，由以前的方程组求解方法，可直接得：
x1 x2 x4
1 1
x2 x3
x2 2 x4
得方程组的通解为
x
c1
1
0
c2
0 2
x4 x4
0 1
现在我们知道了：
的一个基础解系，并给出通解．
解 对系数矩阵施行初等行变换，化为行最简
形矩阵，有
1 1 1 1
1 1 0 1
A 1 1
1 1
1 2
3 3
r
0 0
0 0
1
2
0 0
(方法一：先求基础解系，再得通解）
便得同解方程组
x1 x2 x4
x3
2 x4
其中 x2 , x4为任意常数. 令
x2 x4
于是 A* A n1 0, R A* n.
（2）当 R A n 1时，由矩阵秩的定义知，
A中至少有一个n-1阶子式不为零，即 A* 中至少
有一个元素不为零，故R A* 1.
反过来，当R A n 1时，A 0,
则有 AA* A E 0, 故R A R A* n, 于是有 R A* n R A 1, 故 R A* 1.
２．齐次线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A 可化为
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br ,n r
0 0
0
0
1 0 b11 b1,nr x1 x2
第五节 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
对于下面的齐次线性方程组，先讨论解的性质．
Amn x 0
性质1 若向量 x 1, x 2 是 Ax 0的解， 则 x 1 2 也是 Ax 0的解．
性质2 若向量 x 1 为 Ax 0 的解，k 为实数， 则 x k1 也是 Ax 0 的解．
1
1
1
1 0 0
及
2
0
12
即原方程组的基础解系。
关于Ax=0的基础解系的几点说明： 基础解系中的向量共有_n_-_R__(A__)_个； 基础解系中的每个向量均是Ax=0的解； 基础解系中的向量一定线性__无___关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 例2
D
2,
总结（：1）齐次线性方程组解的结构 Ax=0的通解，可以表示为基础解系的线性组合。 注意 基础解系所含解向量的个数=自由未知量的个数
r1 1 r2 0 n 0
0
1
0
0
0
1
r 1 1 r22 L nnr
即 Ax 0的任一解都可以由 1,2 ,L ,nr 线性表示。
例1 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0
x1
x2
x3
3x4
0
x1 x2 2x3 3x4 0
x1
b11 xr1 b1,nr xn
2 (b21r1 L b2，nrn )
LLLL
xr
br1 xr1
br ,nr xn
r
(br1r1 L
br，nrn )
r 1 =r 1
L
n =n
整理得
b11
b12
b1,nr
br
1
br
2
br
,nr
（3）当R A n 1时，由矩阵秩的定义知，
A中所有n-1阶子式即 A* 中所有元都为零，A* 0,
故R A* 0.
补充：两届期末考试试卷：
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0
.
0
1
分别代入上述方程组，依次得:
x1 b11 , xr br1
b12
,
br 2
b1,nr
, .
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
br 1
1 1 ,
１．基础解系的定义
定义1 设齐次线性方程组 Ax 0有非零解，如果它 的 k个解向量1,2 ,L ,k 满足： （1）1,2 ,L ,k 线性无关； （2）Ax 0 的任一个解 都可由 1,2 ,L ,k 线
性表示，即
c11 c22 L ckk .
则称 1,2 ,L ,k是方程组Ax 0 的基础解系，
x4
1 1
,
1
1
则得
x1 x3Βιβλιοθήκη 2 2,0 2
只需保证这两个
即可得不同的基础解系
向量线性无关
2
0
1
1 12
,
2
1
12
从而得通解
x1
2 0
x2 x3 x4
c11
c22
c1
1 12
c2
1
12
其中 c1, c2 是任意常数.
显然，向量组 1, 2与向量组1, 2 等价，
解向量．
对 n 元齐次线性方程组 Ax 0有： 1）当R(A) n 时，上述方程组只有零解, 无基础解系;
2）当 R A r n时,上述方程组有无穷多解
此时方程组的基础解系由 n r 个解向量组成.
其通解可以表示成
x k11 k22 L knr nr
其中 k1, k2 , L , knr为任意常数.
0
0
b12
b1,nr
br
2
br
,n r
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
Why? （线性无关的向量组的加长向量组仍线性无关）
设x 1 r r1 n T 为上述
方程组的一个解. 将解代入原方程组，有：
1 (b11r1 L b1，nrn )
1
0
,
0
1
是最简单的两个
向量线性无关的 向量
代入原方程有
x1 x3
1
0
,
1
2
从而得基础解系
1
1
1
0 0
1
,2
0 12
故原方程组的通解为
1 1
c1
1
0
c2
0
2
c11
c22
0 1
其中 c1, c2是任意常数.
另外，由同解方程组，如果取
x2