圆锥的截线 作业1 高中数学 选修4-1 苏教版

三平面与圆锥面的截线课时过关·能力提升基础巩固1已知圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线α=50°= 5°,β=30°,β>α,故截线是椭圆,故选B.2已知平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()A.2B.C.3D.23β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e==2.3若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是()A.不存在的B.椭圆C.双曲线D.抛物线,应选D.4已知双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A. B.3 C.6 D.232a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知2c=·3,故e=3.5已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.>1,∴曲线为双曲线.e= 45°60°双曲线6设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则当时,平面π与圆锥面的交线为圆;当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.=90°α<β<90°β<αβ=α7一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.β=30°,α=30°,则β=α.则截线是抛物线,如图.8已知一圆锥面S的轴线为Sx,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O,使SO=3 cm,球O与这个锥面相切,求球O的半径和切点圆的半径.,OH=SO=3cm,HC=OH in60°=33334(cm).所以球O的半径为3cm,切点圆的半径为334cm.能力提升1已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为()A.35B.45C.1D.532a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=53.2线段AB是抛物线的焦点弦,F为焦点.若点A,B在抛物线准线上的正射影分别为点A1,B1,则∠A1FB1等于() A.45° B.60° C.90° D. 0°,由抛物线定义,知AA1=AF,∴∠AA1F=∠AFA1.又AA1∥EF,∴∠AA1F=∠A1FE,∴∠AFA1=∠A1FE,∴FA1是∠AFE的平分线.同理,FB1是∠BFE的平分线,∴∠A1FB1=∠AFE+∠BFE=(∠AFE+∠BFE)=90°.+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共3如图,F1,F2是椭圆C1:4点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A. B.3C.3D.6C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,解得|AF1|=2-,|AF2|=2+.所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=2,故e=36,故选D.4已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为.2a,短轴长为2b,焦距为2c.由 0,0,得a=5,c=5,则2b=2-=53.35已知一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面内切球的半径为.2a=6,得a=3.又e= 45°=,∴c=e·a=×3=3.∴b=-3-93.∴圆柱面内切球的半径r=3.6如图,抛物线的焦点为F,顶点为A,准线为l,过点F作PF⊥AF.求证:AF=PF.,过点P作PB⊥l于点B.由抛物线的定义知PB=PF,AH=AF,又HF=BP,故AF=HF=BP=PF.★7如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O,.在Rt△O1F1O中,OF1=n∠ n.在Rt△O2F2O中,OF2=n∠ n.则F1F2=OF1+OF2=n.同理,O1O2=in连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2.·cosα.在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=in又O1H=A1A2,由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,·cosα.故G1G2=in。

同步测控我夯基 我达标1.如图1.1-25,l 1∥l 2∥l 3，则下列比例式中正确的是( )图1.1-25A.BC CE DF AD= B.AF BCBE AD= C.BC AD DFCE = D.CEBEDF AF= 解析:∵AD 与CE 、DF 与BC 不是对应线段，故A 错.∵AD 与BC 是对应线段，BE 与AF 也是对应线段，但AD 与BE 及BC 与AF 不是同一条直线被l 1∥l 2∥l 3所截的线段，故B 错，同理C 错. 答案:D2.如图1.1-26，DE ∥BC,EF ∥AB,下列比例式正确的是（ ）图1.1-26A.FC BF DB AD= B.EC AE =FB CFC.BC DE DBAD = D.ABEFBC DE = 解析:∵DE ∥BC,∴DB AD =EC AE.∵EF ∥AB,∴EC AE =FCBF.∴DB AD DB AD =FCBF . 答案:A3.如图1.1-27,已知：直线l 1∥l 2∥l 3,两直线被l 1、l 2、l 3分别截于A 、B 、C 和D 、E 、F 各点，则下列各式中不一定成立的是（ ）图1.1-27A.EF DEBC AB= B.DF DEAC AB= C.CA BCFDEF = D.CEBE BE AD= 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立，只有D 不成立. 答案:D4.如图1.1-28,AD ∥EF ∥BC,AD=15,BC=21,2AE=EB,则EF 等于（ ）图1.1-28A.15B.16C.17D.18 解析:作AG ∥DC ，设AG 交EF 于K ，∵四边形ADCG 为平行四边形.∴KF=AD=15,BG=BC-GC=21-15=6. 在△ABG 中，EK ∥BG . ∴AB AE BG KB ==31,由BG=6，得EK=2,从而EF=EK+KF=2+15=17. 答案:C5.如图1.1-29，在△ABC 中，DE ∥BC,若31=AB AD ,DE=2，则BC 的长为（ ）图1.1-29A.2B.4C.6D.8 解析:因为DE ∥BC ，所以BC DE =AB AD =31.所以BC=6. 答案:C6.如图1.1-30，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）图1.1-30A.18B.12C.9D.3 解析:因为DE ∥BC ，所以BD AD =EC AE =21. 所以DB=12，所以AB=AD+DB=18.答案:A7.已知梯形中位线长为12，一条对角线分中位线所成两条线段的比是2:1，则梯形两底长分别是……（ ）A.8，16B.10，14C.6，18D.4，20解析:设梯形ABCD 中AB ∥DC ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，连AC 交EF 于G ，则G 分EF 为2:1的两段，设EG=8，GF=4，则上底AB=2GF=8，下底CD=2EG=16. 答案:A8.如图1.1-31,AB ∥CD ∥EF,AF 、BE 相交于O ，若AO=OD=DF ，BE=10 cm ，则BO 的长为（ ）图1.1-31A.310cm B.5 cm C.25cm D.3 cm 解析:根据AB ∥CD ∥EF 和AO=OD=DF ，有BO=OC=CE ，所以BO=31BE.答案:A9.如图1.1-32，ABCD,E 在CD 延长线上，AB=10，DE=5，EF=6，则BF 的长为 …（ ）图1.1-32A.3B.6C.12D.16 解析:∵AB ∥DE,则EFBFDE AB =, 即6510BF=,∴BF=12. 答案:C10.如图1.1-33,DE ∥AB,DF ∥BC,若AF:FB=m:n,BC=a,则CE 等于（ ）图1.1-33A.n am B.m an C.n m am + D.n m an+解析:∵FD ∥BC,∴nm mBC FD AB AF +==,∵四边形BEDF 为平行四边形，故BE=FD=n m m +·BC=nm am+. CE=BC-BE=nm ann m am a +=+-. 答案:D11.如图1.1-34,AB ∥CD ∥EF,且AO=OD=DF,OE=6,则BE 等于（ ）图1.1-34A.9B.10C.11D.12 解析:过O 作OP ∥AB ∥CD ∥EF ，由平行线等分线段定理知OB=OC=EC=21OE=3. ∴BE=OB+OC+EC=9. 答案:A12.如图1.1-35，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）图1.1-35A.DB AD =EC AE B.AD AB =AE ACC.AB AC =DB ECD.DB AD =BCDE 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立. 选择项D 中应为AB AD =BCDE. 答案:D我综合 我发展13.如图1.1-36，l 1∥l 2∥l 3,l 4与l 5交于点P ，PA=a ，AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf 等于…（ ）图1.1-36A.abB.bdC.aeD.ce 解析:过P 作PQ ∥l 1∥l 2∥l 3,由平行截割定理知：PA:AB:BC=PD:DE:EF,即a:b:c=d:e:f ⇒b:c=e:f ⇒bf=ce. 答案:D14.如图 1.1-37所示，l 1∥l 2∥l 3,若CH=4.5 cm,AG=3 cm,BG=5 cm,EF=12.9 cm,则DH=__________，EK=__________.图1.1-37解析:由l 1∥l 2∥l 3可得AG BG CH DH =，所以DH=AG CH BG ∙=35.45⨯=7.5,同理可得EK 的长度. 答案:7.5 cm 34.4 cm15.如图1.1-38,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP.若AB=6 cm,则AP=__________;若PM=1 cm,则PC=______________.图1.1-38解析:由AB=AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，有D 是BC 的中点，再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点，P 是AN 的中点，由此，AP=31AB ，PM=41PC. 答案:2 cm 4 cm16.如图1.1-39，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC,若AE:EC=7:3，则DB:AB 的值为__________.图1.1-39解析:由AE:EC=7:3有103=AC EC . 根据MN ∥DE ∥BC 可得ACECAB DB =，即得结论. 答案:10317.如图1.1-40,测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10 mm ，AC 被分为60等份.如果小管口DE 正好对着量具上30份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是__________mm.图1.1-40解析:根据106030DEAB DE ==，所以DE=5 mm. 答案:518.如图1.1-41，DE ∥AB ，EF ∥BC ，AF=5 cm ，FB=3 cm ，CD=2 cm ，求BD=__________cm.图1.1-41解析:∵DE ∥AB,EF ∥BC,∴四边形BDEF 是平行四边形，∴BD=EF.∵EF ∥BC,∴BC EF AB AF =,∴DC BD BDFB AF AF +=+. 设BD=x cm,∴2355+=+x x ,∴x=310,即BD=310cm. 答案:310我创新 我超越19.如图1.1-42，D 为△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE ∥BC ，DF ∥AC,AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H.求证：GH ∥AB.图1.1-42分析:要证GH ∥AB ，由三角形一边的平行线的判定定理可知，只要能证明GH ，AB 所在的三角形中，被截得的四条线段对应成比例即可，即证DG EG =HB EH 或HDFHGA FG =，在证明时，平行线得到的比例线段较多，要注意取舍.证明:∵DE ∥BC,∴FB DG AF AG FC GE ==,∴FB FCDG GE =. 又∵DF ∥AC,∴HB EH =FBCF.∴HBEHDG GE =,∴GH ∥AB. 20.(1)阅读下面材料，补全证明过程：如图1.1-43，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于F ，作FG ⊥BC 于G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等分点.图1.1-43证明：在矩形ABCD 中，OE ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴OE ∥DC. ∴DC OE =21.∴FD EF =DC OE =21.∴ED EF =31.（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. 分析:（1）要让G 是BC 的三等分点，只须证明AB GF =31，又AB=CD ，故只需证明31=CD GE ，本题要补全证明过程，故应将前面的证明意图及思路弄清楚.（2）由G 点的作法猜想：连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M ，则M 即为所求.解:（1）补充证明 ∵FG ⊥BC,DC ⊥BC,∴FG ∥DC,∴ED EF DC FG ==31. ∵AB=DC,∴AB FG =31,又∵FG ∥AB, ∴AB FG BC CG ==31. (2)连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M.M 即为所求.21.如图1.1-44，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE:ED=1:3，BE 的延长线交AC 于F.求AF:FC.图1.1-44分析:由已知线段的比，求另外线段的比，通常作平行线，构造平行线分线段成比例定理的基本图形，本题过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，则由DG ∥AF 得DE AF DG AF ==31，从而AF=31DG ，又由DG ∥CF 得BDBCDG CF ==2，得CF=2DG ，由此求得AF:FC=1:6.证明:过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，∵DG ∥AF,∴EDAEDG AF =. ∵ED AE =31,∴DG AF =31. ∵DG ∥CF,∴DG CF =BD BC.∵BC=2BD,∴DGCF=2,∴61=CF AF .。

同步测控我夯基 我达标在空间中,取直线l 为轴,直线l′与l 相交于O 点,夹角为α,l′围绕l 旋转得到以O 为顶点.l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l 的交角为β（当π与l 平行时,记β=0）.请完成1~4题.1.当β＞α时,平面π（不过O 点）与圆锥面的交线为（ ）A.椭圆B.圆C.椭圆或圆D.双曲线解析:若β=90°,则平面π与圆锥面的交线为圆;若α＜β＜90°,则平面π与圆锥面的交线为椭圆. 答案:C2.当β=0时,平面π(不过O 点)与圆锥面的交线为……（ ）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析:β=0时,交线为双曲线.答案:D3.若平面π过O 点,当β＜α时,则平面π与圆锥面的交线为（ ）A.两条相交直线B.双曲线C.椭圆D.可能为圆、椭圆、双曲线或抛物线中的某一个 解析:若平面π过O 点,当β＜α时,平面π与圆锥面的交线一定是两条相交直线.答案:A4.当α=30°,β=45°时,平面π(不过O 点)与圆锥面的交线的离心率为（ ） A.2 B.36 C.22 D.26 解析:e=3630cos 45cos cos cos =︒︒=αβ. 答案:B5.若圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为60°,圆锥的截面与轴成30°角时,截线的离心率为…（ ） A.3 B.22 C.33 D.1 解析:2α=60°,β=30°,故α=β,∴截线为抛物线,离心率e=1.答案:D6.关于Dandelin 球的说法正确的是（ ）A.Dandelin 双球一定是两个半径相等的球B.利用Dandelin 双球证明平面π与圆锥面的交线为双曲线时,两球的半径相等C.利用Dandelin 双球证明平面π与圆锥面的交线为椭圆时,两球的位置应一个在平面π上方,一个在平面π下方且都与平面π和圆锥面相切D.利用Dandelin 球证明平面π与圆锥的交线为抛物线时,两球的位置应一个在平面π的上方,一个在平面π的下方,且都与平面π和圆锥面相切解析:因为利用Dandelin 球证明平面π与圆锥面的交线为双曲线时，两球的半径不一定相等.故A 、B 错误,又因为证明平面π与圆锥面的交线为抛物线时,只需一个Dandelin 球,故D 错. 答案:C7.利用Dandelin 双球证明平面π与圆锥面的交线为椭圆时,Dandelin 双球与圆锥面的切点圆所在的两平面间的距离为（ ）A.椭圆的长轴长B.椭圆的焦距长C.椭圆的短轴长D.一定小于椭圆的长轴长解析:椭圆的长轴长等于两切点圆所在平行平面间的与母线平行的线段的长度,大于两平行平面间的距离.答案:D我综合 我发展8.设圆锥面V 是由直线l′绕直线l 旋转而得,l′与l 交点为V ,l′与l 的夹角为α（0°＜α＜90°）,不经过圆锥顶点V 的平面π与圆锥面V 相交,设轴l 与平面π所成的角为β,则:当_____________时,平面π与圆锥面的交线为圆;当_____________时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;当_____________时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;当_____________时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.答案:β=90° α＜β＜90° β＜α β=α9.条件同7题,平面π与圆锥面交线若为圆锥曲线,则该圆锥曲线的离心率e=_____________. 答案:αβcos cos 10.设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为120°,当圆锥的截面与轴成45°角时,求截得二次曲线的形状及离心率.解析:如下图所示,设平面π与圆锥内切球相切于点F 1,球与圆锥的交线为S,过该交线的平面为π′,π与π′相交于直线m.在平面π与圆锥的截线上任取一点P,连结PF 1.过点P 作PA ⊥m,交m 于点A,过点P 作π′的垂线,垂足为B,连结AB,则AB ⊥m,所以∠PAB 是π与π′所成二面角的平面角.连结点P 与圆锥的顶点,与S 相交于点Q 1,连结BQ 1.则∠BPQ 1=α,∠APB=β.在Rt △APB 中,PB=PAcosβ.在Rt △PBQ 1中,PB=PQ 1cosα. ∴PA PQ 1=αβcos cos . 又∵PQ 1=PF 1,α=β,∴PAPF 1=1, 即PF 1=PA,动点P 到定点F 1的距离等于它到定直线m 的距离,故当α=β时,平面与圆锥的交线为抛物线.这时,π与π′的交线m 为抛物线的准线,离心率e=PA PF 1=1. 解:由题意知α=60°,β=45°,满足β＜α,这时截面截圆锥得的交线是双曲线,其离心率为e=︒︒60cos 45cos =2. 我创新 我超越11.在一平面π上放了一个直径为d 的球,一个点光源P 照在球上（P 不在过(球与平面的)切点而与平面π垂直的直线上）.若P 的高度（P 与平面π的距离）为h,试分别就h,d 的大小关系,判断球在平面π上的投影的形状:（1）h ＞d;（2）h=d;（3）0＜h ＜d.解:（1）h ＞d 时,连PO （O 为球心）,则球在点光源P 的照射下的投影可看作圆锥面.取过圆锥面的轴PO 且与平面π垂直的轴截面POK,则α、β如下图所示.当h ＞d 时,β=α+γ＞α,又由已知β≠90°,故球在平面π上的投影为椭圆.（2）当h=d 时,如下图,圆锥面的母线PQ ∥平面π.取过圆锥面的轴PO 且与平面π垂直的截面π′,则α、β如下图所示.∵PQ ∥O 1K,∴α=β,故当d=h 时,球在平面π上的投影是抛物线.（3）当0＜h＜d时,同理可得出β＜α,这时球在平面π上的投影是双曲线（其中的一支）.。

圆锥的截线【学习目标】1．掌握圆锥的截线的内容。

2．熟练运用圆锥的截线的相关结论。

3．亲历圆锥的截线结论的证明过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】重点：掌握圆锥的截线的结论。

难点：圆锥的截线结论的证明与应用。

【学习过程】一、新课学习知识点一：圆锥的截线如图所示：（1）当_____________时，平面π截圆锥所得截线是椭圆；（2）当_____________时，平面π截圆锥所得截线是双曲线；（3）当_____________时，平面π截圆锥所得截线是抛物线。

根据前面的知识做一做：练习：1．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是________，该曲线的形状是________。

2．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为（）A．62B．63C．32D．22二、思考探究试着独立写出圆锥的截线结论的证明过程。

三、课程总结1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？四、习题检测1．设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为（）A．22B．2C．1D．1 22．如图所示，AB，CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面。

已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线。

3．设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为60°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的形状及离心率。