7第七讲 典型模型方程差分格式_bugers方程

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

求解Burgers 方程的差分格式比较姓名学号 班级一、实验目的1、 了解求解Bugers 方程的多种差分格式。

2、 进行数值实验，比较各种差分格式的实际计算效果。

3、 熟悉matlab 编程。

二、实验问题给定Burgers 方程:00(,0)()t x u uu u x u x +=⎧⎨=⎩式中01,0,()0,0.x u x x >⎧=⎨≤⎩ 01,1/2,()0,1/21/2,1,1/2.x u x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪≤-⎩用多种差分格式求解至t = 0.3s ，并比较数值结果。

三、实验原理数值差分格式可以改写为 11122n nn njjj j uu g g λ++-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭其中()1122,,,nn n nj l j l j l j g g u u u -+-+++=称为数值通量。

为了满足差分格式与守恒律相容，必须满足.),,,,()(R g f ∈∀=ωωωωω此时称数值格式为守恒型差分格式。

下面介绍几种求解Burgers Equation 的差分格式。

1. Upwind 格式 ()()2211/2n n n n j j j j u u u u λ+-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦此时令()()112,nn n nj j j j g g u u f u ++==，我们可以得到UpwindScheme 是一种守恒型差分格式。

2. Engquist-Osher 格式在守恒律中，令 1,'()0()0,'()0.if f u u if f u κ>⎧=⎨<⎩并定义()00()()'()()1()'()uuf u s f s dsf u s f s dsκκ+-==-⎰⎰那么，Engquist-Osher 格式定义为1()()n n n nj j j j u u f u f u λ++--+⎡⎤=-∆+∆⎣⎦式中11,j j j j j j f f f f f f ++--∆=-∆=-。

burgers方程的两种crank-nicolson差分格式Crank-Nicolson方法是一种数值求解偏微分方程的方法，常用于求解Burgers方程。

Burgers方程是用来描述可压缩流体流动的非线性偏微分方程，具有广泛的应用。

Crank-Nicolson方法是一种隐式差分格式，将时间和空间上的离散化结合起来。

通过将方程中的时间导数用向前和向后的差分表示，可以得到Burgers方程的两种Crank-Nicolson差分格式。

第一种Crank-Nicolson差分格式：假设Burgers方程为：∂u/∂t+u*∂u/∂x=ν*∂²u/∂x²其中u是速度场，t是时间，x是空间，ν是动力学粘度。

为了应用Crank-Nicolson方法进行离散化，我们需要将方程表示为差分形式，即在时间和空间上离散化。

首先，在时间上进行差分化。

将时间t离散化为t_n=n*Δt，其中n 是时间步数，而Δt是时间间隔。

将u用中心差分表示，即：u_i^n+1-u_i^n=-(Δt/2)*((u_i^n+u_i^n+1)/2)*(u_i^n+1-u_i^n)/Δx+(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/Δx²这里，u_i^n表示速度场u在位置x_i和时间t_n的值。

将上述差分方程整理后，可以得到：(u_i^n+1-u_i^n)/(Δt/2)+(u_i^n+u_i^n+1)*(u_i^n+1-u_i^n)/(2Δx)-(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/Δx²=0这就是Burgers方程的第一种Crank-Nicolson差分格式。

第二种Crank-Nicolson差分格式：第二种Crank-Nicolson差分格式是基于二次插值，可以更好地保持数值解的容积性。

它的表达式如下：(u_i^n+1-u_i^n)/(Δt/2)+(u_i^n+u_i^n+1)*(u_i^n+1-u_i^n)/(4Δx)-(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/(2Δx²)=(u_i+1^n-2u_i^n+u_i-1^n)/(4Δx)这里，u_i^n表示速度场u在位置x_i和时间t_n的值。

差分方程马尔可夫化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：差分方程马尔可夫化是指利用马尔可夫链模型来描述和分析差分方程系统的动态演化过程。

差分方程是描述在离散时间点上系统变化的数学模型，而马尔可夫链是描述情景之间的概率转移关系的随机过程。

将这两种数学工具结合起来，可以更好地理解系统的演化规律、预测未来的发展趋势，对于许多领域的研究和应用具有重要意义。

我们来了解一下差分方程和马尔可夫链的基本概念。

差分方程是指在离散时间内，描述一个变量如何随时间变化的数学方程。

通常用来描述一些动态系统的演化规律，如人口增长、物种繁衍、金融市场波动等。

而马尔可夫链则是一种随机过程，具有“无记忆性”的特点，即下一个状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。

在马尔可夫链中，各个状态之间的转移概率是已知的，通过这些概率我们可以描绘出整个系统的动态演化过程。

将差分方程系统转化为马尔可夫链可以帮助我们更好地理解和分析系统的演化过程。

在实际应用中，我们往往会遇到一些连续性的情况，如生态系统的演化、金融市场的波动等。

此时，我们可以将连续性的状态空间离散化，转化为一个离散的马尔可夫链模型，通过这种方式，我们可以更好地研究系统的演化规律。

差分方程马尔可夫化的过程主要包括以下几个步骤：我们需要确定系统的状态空间和状态转移概率。

状态空间是指系统中可能出现的各种状态的集合，而状态转移概率则是描述系统在不同状态之间的转移概率。

我们需要构建差分方程模型，描述系统在不同时间点上各个状态的变化规律。

然后，将差分方程转化为离散状态的马尔可夫链模型，并通过状态转移矩阵来描述系统在不同状态间的转移关系。

通过对马尔可夫链模型的分析和计算，可以得到系统在未来的演化过程，并进行一些预测和决策。

差分方程马尔可夫化在许多领域有着广泛的应用，如经济学、生态学、金融学等。

在经济学中，差分方程马尔可夫化可以帮助我们分析宏观经济系统的演化规律，预测未来经济走势，制定相应的政策措施。

热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。

1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。

(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸 戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。

有限差分求解bergers方程python有限差分法是一种求解偏微分方程数值解的有效方法，它通过将偏微分方程离散化成有限个点的函数值来进行数值求解。

Burgers方程是一类重要的偏微分方程，其数学模型描述了物理学中的许多现象，如流体力学、声波传播等。

本文将阐述如何使用有限差分法求解Burgers方程的Python实现方法。

首先，我们需要了解Burgers方程的数学模型。

其一维形式为：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partialu}{\partial x}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 其中，$u(x,t)$是速度场，$\nu$是运动粘性系数。

这个方程的初始条件通常为$u(x,0)=f(x)$，其中$f(x)$是速度场的初始分布。

边界条件可以是周期性边界条件，也可以是固定边界条件。

为了使用有限差分法求解Burgers方程，我们需要将其空间离散化和时间离散化。

我们选择三点中心差分格式来离散化Burgers方程的空间部分。

中心差分格式的一阶导数近似为：$\frac{\partial u}{\partial x}\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\Delta x}$二阶导数近似为：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\Delta x^2}$我们将时间区间$[0,T]$离散化为$N$个时间步长，时间步长为：$\Delta t=\frac{T}{N}$则有限差分格式的离散化形式为：$\frac{u_{i}^{n+1}-u_i^n}{\Deltat}+u_i^n\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Deltax}=\nu\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$ 其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间节点。