2021届广西南宁市普通高中高三10月摸底测试理科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|13A x x =-<<，{}21,|B t Z t x x A =∈=+∈，则A B 的元素个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B ，再利用交集的运算求解.【详解】由已知{}|13A x x =-<<，则21(1,7)t x =+∈-， 所以{}0,1,2,3,4,5,6B =， 所以AB ={}0,1,2，故选：B .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 复数22ii+-的虚部是（ ） A.12B.12i C.32i D.32【答案】D 【解析】【分析】先利用复数除法运算化简，即可求虚部.【详解】2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i i i i i ++++===+--+， 所以虚部为：32故选: D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，考查了求复数的虚部，属于基础题.3. 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120°，b c a λμ=-，若a c ⊥，则下列结论正确的是（ ） A. 20λμ+= B. 20λμ-=C. 0λμ-=D. 0λμ+=【答案】A 【解析】 【分析】根据a c ⊥，由()0a c a a b λμ⋅=⋅-=求解. 【详解】因为a c ⊥， 所以()0a c a a b λμ⋅=⋅-=， 即20a a b λμ-⋅= 所以02μλ+=，即20λμ+=.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.4. 设直线4x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥(O 为坐标原点)，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,0D. ()2,0【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】由对称性可知：点D 的坐标为()4,4或()4,4-，代入拋物线22y px =，解得2p =，所以拋物线方程为：24y x =，它的焦点坐标为()1,0.故选：C【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 这组新数据的平均数为m B. 这组新数据的平均数为a m +C. 这组新数据的方差为anD. 这组新数据的标准差为【答案】D 【解析】 【分析】设原数据为12,p x x x ⋅⋅⋅，分别列出原数据的平均数、方差和新数据的平均数、方差，逐一分析选项，即可得答案.【详解】设原数据为12,p x x x ⋅⋅⋅，共p 个，则平均数12px x x m p++⋅⋅⋅+=，方差222121[()()()]p n x m x m x m p=-+-+⋅⋅⋅+- 对于选项A 、B ：新数据的平均数为1212()pp ax ax ax a x x x am pp++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，故A 、B 错误；对于选项C ：新数据的方差为222121[()()()]p ax am ax am ax am p -+-+⋅⋅⋅+-=22222121[()()()]p a x m x m x m a n p⨯-+-+⋅⋅⋅+-=，故C 错误；对于选项D =，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查一组数据的平均数、方差、标准差的定义与性质，考查分析理解，推理计算的能力，属基础题.6. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 着4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=（ ） A12B.23C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式、正弦定理角化边和余弦定理可求得结果.【详解】∵222sin 22sin cos 2456443cos 1sin sin 325634A A A a A C C c +-===⨯=⨯=⨯⨯，故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.7. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A. 442+B. 262+C. 332+D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积.【详解】由已知三视图，可得：此棱锥ABCD 的直观图如下图所示：ABD △和CBD 都是直角边为2和22 ABC 和ADC 均是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表面积为21122222244222S =⨯⨯⨯⨯⨯=+. 故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题. 8. 已知(0,)a π∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A.433± B.433- C.433+ D.433- 【答案】B 【解析】 【分析】先根据(0,)απ∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为(0,)απ∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.，4331433525210=⨯-⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9. 射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A. 0.110 B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.10. 已知过定点(0,)A b （0b >）的直线l 与圆O ：221x y +=相切时，与y 轴夹角为45°.则直线l 的方程为（ ）A. 0x y -=B. 10x y +-=C. 0x y +=或0x y -+= D. 10x y +-=或10x y -+=【答案】C 【解析】 【分析】直线l 的方程为y kx b =+，切点为P ，由题设可知，45PAO POA ∠=∠=︒，由几何图形可得b ，再由圆心到切线距离等于半径求得k ，然后可得直线方程．【详解】设直线l 的方程为y kx b =+，切点为P ，由题设可知，45PAO POA ∠=∠=︒，所以2b =，因为直线l 与圆221x y +=相切，所以2211k=+，得1k =±.故直线l 的方程为2y x =±+， 故选：C.【点睛】本题考查求圆的切线方程，由圆心到切线的距离等于半径是解决这类问题的常用方法． 11. 已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，设双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为B ，点P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，若2PF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2C.32D.43【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用几何性质表示为22()b a c a=+，再写出关于,a c 的齐次方程，求离心率.【详解】如下图：设双曲线C 的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a 、b 、c ，由已知可得2||b PF a=，||BF a c =+，∴22()b a c a=+，即22222a ac c a +=-， 化简得2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍）， 故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，重点考查数形结合分析问题和计算能力，属于基础题型.12. 已知函数21()2x e f x x x x =+-，若()0.32a f =，(2)b f =，()2log 5c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c <<C. c a b >>D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，得到()f x 在(1,)+∞上单调递增，结合函数的单调性，即可比较，得到答案.【详解】由题意，函数2e 1()2xf x x x x =+-，可得22e (1)e ()1(1)1x x x f x x x x x ⎛⎫-'=+-=-+ ⎪⎝⎭， 当(1,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在(1,)+∞上单调递增， 因为0.3122<<，22log 5log 42>=. 所以0.3222log 5<<，所以()()0.322(2)log 5f f f <<，即a b c <<.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小，其中解答中熟练导数与函数的单调性间的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______.【答案】15- 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值 【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数2z x y =+过点()63，--时取得最小值 最小值为()26315z =⨯--=- 故答案为15-【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法．14. 若()554322x x ax bx cx dx e +=+++++，则a b c d e ++++的值为__________. 【答案】242 【解析】 【分析】观察所求代数式与已知条件的联系，令1x =，即可求出1a b c d e +++++的值，进而求出答案. 【详解】由题设()554322x x ax bx cx dx e +=+++++令1x =可得，5(12)4312a b c d e +++++=+=，所以242a b c d e ++++=. 故答案为：242【点睛】本题考查二项式定理，特殊赋值法是解题的关键，属于基础题.15. 已知球在底面半径为1､高为2___________.2【解析】 【分析】由题意可得当球O 的轴截面是△ABC 的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．【详解】解：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M 为BC 边上的中点，由题设2BC =，22AM =，求得3AB AC ==， 设内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r 故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 则111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯△△△△ 1(332)222r =⨯++⨯=， 解得：22r， 其体积：34233V r ππ==. 故答案为：2π.【点睛】考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于中档题． 16. 已知13a >，函数1()sin 2f x x x x=+-，若()2(13)230f a f a a -+-+≤，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[]1,4 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再对函数求导，判断函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，然后由，()2(13)230f a f a a -+-+≤得()223(13)f a a f a -+≤--，从而得()223(31)f a a f a -+≤-，进而可得22331a a a -+≤-，从而可求出a 的取值范围【详解】由11()sin()2()sin 2()f x x x x x f x x x ⎛⎫-=-+--=--+=-⎪-⎝⎭可知， 函数()f x 为奇函数，21()cos 20f x x x'=++>在(,0)(0,)-∞+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，由()2(13)230f a f a a -+-+≤得()223(13)f a a f a -+≤--， 即()223(31)f a a f a -+≤-，因为13a >时，310a ->，2230a a -+>， 所以等价于22331a a a -+≤-，解得14a ≤≤. 故答案为：[]1,4【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调的应用，利用了函数的性质解不等式，属于基础题三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17. 设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--.（1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】 【分析】（1）代入2,3n n ==即可计算23,a a ，可猜想{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，假设n k =时，21k a k =-成立，证明1n k =+也成立即可；（2）求出n b ，利用错位相减法可求出.【详解】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立；假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2nn b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，① 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②①-②得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.【点睛】本题考查数列通项公式的猜想及用数学归纳法证明，考查错位相减法求和，属于中档题. 18. 某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.（1）求p 和n 的值；（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女1055（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.01p =，100n =；（2）填表见解析；没有；（3）5人. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1可求出p 的值，再由抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人可求出n 的值；（2）由题意完成列联表，利用公式求出2K ，再结临界值表进行判断即可； （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~20,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可求出()E X【详解】（1）(0.0050.0180.0200.0220.025)101p +++++⨯=，解得：0.01p =， 所以100.1010n ==. （2）因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得22100(30101545) 3.03045557525K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关. （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~20,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1()2054E X =⨯=（人）. 【点睛】此题考查频率分布直方图，考查频率的求法，考查离散型数学期望的求法，考查二项分布，考查分析问题的能力，属于中档题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 、F 在侧棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12C F FC =，点D 、G 在侧棱AB 、AC 上，且2BD DA =，2CG GA =.（1）证明：点G 在平面EFD 内；（2）若90BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =，求二面角111A AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）连接DG ，FG ，证得//EB FC 且EB FC =，得到四边形BCFE 为平行四边形，进而得到//EF BC ，再证得//GD BC ，得到故四边形DEFG 为梯形，即可得到D 、E 、F 、G 四点共面，即可得到结论； （2）以11A C 为x 轴，1A A 为y 轴，11A B 为z 轴，建立空间直角坐标系1A xyz -，分别求得平面11AB C 和平面平面11AA B 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接DG ，FG ，因为点E 、F 在侧棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12C F FC =， 又11//BB CC 且11BB CC =，所以//EB FC 且EB FC =， 所以四边形BCFE 为平行四边形，所以//EF BC ，又因为点D 、G 在侧棱AB 、AC 上，且2BD DA =，2CG GA =，所以//GD BC，且13 GD BC=，所以//EF GD且13GD EF=，故四边形DEFG为梯形.即D、E、F、G四点共面，所以点G在平面EFD内.（2）由题意知11A B、11A C、1A A两两垂直，以11A C为x轴，1A A为y轴，11A B为z轴，建立空间直角坐标系1A xyz-，由1AB AC==，12AA=，得1(0,0,0)A，(0,2,0)A，1(0,0,1)B，(1，0，0)，设平面11AB C的法向量为(,,)n x y z=，因为1(1,2,0)AC=-，11(1,0,1)BC=-，所以11120n AC x yn B C x z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y=，则2x z==，所以(2,1,2)n=.又由(1,0,0)m=是平面11AA B的一个法向量，所以2cos,3||||m nm nm n⋅〈〉==⋅，即二面角111A AB C--的余弦值为23.【点睛】本题考查了平面的基本性质证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F M 是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为8. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合离心率可求得c 的值，根据a 、b 、c 的关系可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）计算出点P 的坐标为()2,1，可得出直线OP 的斜率为12，可设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理并求得AB ，求出点P 到直线l 的距离d ，由已知条件得出4PAB PAQB S S =△四边形，然后利用基本不等式可求得四边形PAQB 面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的定义及12MF MF +=，得2a =，即a =设椭圆半焦距为c ，因为c a =，所以c ==2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得2202182y +=，00y >，可得01y =，即点()2,1P ，所以12OP k =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，联立2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得222240x tx t ++-=， 由()()2224424440t t t∆=-⋅-=->，又0t ≠，则204t<<，且122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长()()221212114544AB x x x x t =++-=-P 到直线AB 的距离为d ，则1514d ==+设Q 到直线AB 的距离为d '，由3PD DQ =得3PD DQ =，所以3d d '=， 所以113322QAB PAB S d AB d AB S '==⋅=△△， 所以()24222545PAB QAB PAB PAQB S S S S t d AB t==-=+=△△△四边形()2222444482t t t t +-=-≤⨯=，当且仅当22t =时，等号成立， 因此，四边形PAQB 面积的最大值为8.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.21. 已知函数()()()221x f x a x e x =-+-，（0a ≠，a R ∈）. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >，证明：函数()y f x =有两个不同的零点.【答案】（1）函数()f x 单调减区间(),ln 2-∞，()1,+∞；函数()f x 单调增区间()ln 2,1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先对函数求导，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.（2）首先求出函数()f x 的单调区间，再结合()10f ae =-<，()210f =>，取0b <，且1ln2b a<，()0f b >，即可证明函数()y f x =有两个不同的零点.【详解】（1）由()()()221x f x x e x =--+-， 得()()()()()12112xx f x x e x x e '=--+-=--+.由()0f x '=得1x =或ln 2x =，当(),ln 2x ∈-∞，()0f x <′，函数()f x 单调递减；()ln 2,1x ∈，()0f x >′，函数()f x 单调递增； ()1,x ∈+∞，()0f x <′，函数()f x 单调递减.（2）()()()()()12112xxf x a x e x x ae '=-+-=-+，当0a >时，e 20x a +>，由()0f x <′得1x <，所以()f x 在(),1-∞上为减函数， 由()0f x >′得1x >，所以()f x 在()1,+∞上为增函数， 而()10f ae =-<，()210f =>，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点，且该零点在()1,2上. 取0b <，且1ln2b a<， 则()()()()()22132121022bf b a b e b b b b b ⎛⎫=-+->-+-=-> ⎪⎝⎭.所以()f x 在(),1-∞上有唯一零点，且该零点在(),1b 上， 所以0a >时，()f x 恰好有两个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调区间，第二问考查利用导数证明函数的零点，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程：22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，曲线1C 与坐标轴交于(异于坐标原点O )两点M ，N . （1）求线段MN 的长度；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M ，N 关于直线l 对称，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）4；（2）cos sin 20ρθθ-=. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去α可知曲线1C为圆22(1)(4x y +++=，求出点M ，N 的坐标，利用两点间的距离公式可得结果；（2）根据点M ，N 关于直线l 对称可知直线l过点1(1,O -，且l k =，利用点斜式求出直线MN 的方程，再化为极坐标方程即可得解.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，得12cos 2sin x y αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去α得曲线1C为圆22(1)(4x y +++=，圆心为1(1,O -，半径为2， 令0y =得(2,0)M -，令0x =得(0,N -，所以||4MN ==（2）由点M ，N 关于直线l 对称且MN 为圆1C 的直径可知.直线l过点1(1,O -，又00(2)MN k =--=-3l k =， 所以直线l的直角坐标方程为1)3y x +=+，即20x --=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得直线l的极坐标方程为cos sin 20ρθθ--=.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了点关于直线对称问题，考查了直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.选修4-5：不等式选讲：23. 已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +． （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|02}x x <<；（Ⅱ）(-1，43]．【解析】 【分析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，分12x <，112x ≤≤，1x >三种情况讨论求解不等式，可得解集． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，化简()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+，由不等式恒成立思想可求得a 的取值范围．【详解】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，则y =15,? 212,? 1236,?1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 当12x <时，由50x -<，解得0x>，所以102x <<，当112x ≤≤时，由20x --<，解得>2x -，所以112x ≤≤； 当1x >时，由360x -<解得2x <，所以12x <<， 综上得：原不等式解集是{|02}x x <<． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+，- 21 - ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为(-1，43]． 【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，不等式恒成立问题，属于中档题．。
