江西省南昌市2021届高三摸底测试数学(文)试题

2021届江西省南昌市高考数学三模试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，2，3}，B={x|x=2k−1,k∈N}，那么A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,2}C. {0,3}D. {−1,3}2.复数z=i(1−2i)，(其中i为虚数单位)的实部为()A. −1B. 1C. −2D. 23.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A. B. C. D.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13=S13=26，则a1=()A. −24B. −23C. −22D. −215.点P(x0,y0)是曲线C：y=e−|x|(x≠0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为()A. 2e B. 4eC. √eD. 2√e6.甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如表：甲108112110109111乙109111108108109则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是()A. 同学甲，同学甲B. 同学甲，同学乙C. 同学乙，同学甲D. 同学乙，同学乙7. 已知双曲线C：x23−y2=1，则右焦点F到渐近线的距离为()A. √33B. 1C. √3D. 28. 三棱锥的高为3，底面是边长为3的正三角形，则这个三棱锥的体积是()A. 274B. 94C. 27√34D. 9√349. 已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+x，若f(a)=1，则f(−a)=()A. 1B. −1C. −2D. 310. 碘−131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间，有一半的碘−131会衰变为其他元素).今年10月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘−131，到10月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘−131，则10月1日凌晨，放人该容器的碘−131的含量是( )A. 8毫克B. 16毫克C. 32毫克D. 64毫克11. {a n }为等差数列，公差为d ，且0<d <1，a 5≠kπ2(k ∈Z)，sin 2a 3+2sina 5⋅cosa 5=sin 2a 7，函数f(x)=dsin(wx +4d)(w >0)在(0,2π3)上单调且存在x 0∈(0,2π3)，使得f(x)关于(x 0,0)对称，则w 的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,32]C. (23,43]D. (34,32]12. 4.如图，正方形ABCD 的两顶点A ，C 为椭圆和双曲线的公共焦点，又椭圆和双曲线都过正方形各边的中点，若椭圆与双曲线的离心率分别记为e 1 和e 2，则e 1·e 2的值为A. 4B. 2C. 3D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，|b ⃗ |=2√5，|a ⃗ +b ⃗ |=√5则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角大小为______． 14. 设实数x ，y 满足{x +y −2≥0x −2y +4≥02x −y −4≤0，若z =kx +y 的最大值为16，则k =______．15. 设数列x n 满足log 2x n+1=1+log 2x n (n ∈N ∗)，且x 1+x 2+⋯+x 10=10，记x n 的前n 项和为S n ，则S 20= ______ ．16. 已知圆C 和y 轴相切，圆心在x −3y =0上，且被直线y =x 截得的弦长为2√7，则圆C 的方程为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号 分组 频数 频率第1组[160,165)50.050第2组[165,170)n0.350第3组[170,175)30p第4组[175,180)200.200第5组[180,185)100.100合计100 1.000(1)求频率分布表中n，p的值，完善频率分布直方图并估计该组数据的中位数(保留l位小数)；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．18. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcosC+bsinC=a．(1)求角B的大小；a，求cos A的值．(2)若BC边上的高等于1419. 在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．(1)试在PB上确定一点F，使得EF//面COD，并说明理由；(2)求点A到面COD的距离．20. 已知定点F(1,0)，定直线l：x=1，动点M到点F的距离与到直线l的距高相等．(Ⅰ)求动点M的轨迹方程；(Ⅱ)设点P(−1,t)，过点F作一条斜率大于0的直线交轨迹M于A，B两点，分别连接PA，PB.若直线PA与直线PB不关于x轴对称，求实数t的取值范围．21. 函数f(x)=ax2+2x+1在(−∞,0)至少有一个零点，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，求曲线C的参数方程．23. 设函数f(x)=x|x−a|．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求函数f(x)在[0,1]上的最大值g(a)的解析式．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵A={−1,0，2，3}，B={x|x=2k−1,k∈N}，∴A∩B={−1,3}．故选：D．进行交集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：复数z=i(1−2i)=2+i，其实部为2．故选：D．利用复数的运算法则和实部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则和实部的定义，属于基础题．3.答案：D解析：试题分析：根据题意，由于选项A是定义域内的增函数，但不满足f(−x)=−f(x)，因此不是奇函数．对于选项B，由于在定义域内有增有减，不符合题意，舍去。

江西省南昌市2021届高三数学上学期开学摸底考试试题 文本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()M N R ＝A.(1，2]B.[1，2]C. (2，3]D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为A.79 B.78C.2π7D.7π275.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于 A.10 B.12 C.13 D.146.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.97.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内。

第一次模拟测试卷 数 学（文）第I 卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．(1)在复平面内，复数（1+3)i i ⋅对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2)已知集合A={x|y=2x x -），B= {y| y-l<0），则A B= (A)(一∞,1) (B)(一∞,1] (C)[0,1) (D)[0,1](3)已知命题p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点 中心对称，则下列命题是真命题的是(A)p ∧q (B) p ∨ q (C)(p)∧(q) (D)p ∨(q)(4)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=3.5，则由该观测数据算得 的线性同归方程可能是(A)y =0.4x+2.3 (B)y =2x - 2.4(C)y =-2x+9.5 (D)y =-0.3x+4.4(5)执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为(A)l (B)2(C)3 (D)4(6)已知函数f(x)=41,0,cos2,0x xx x⎧+>⎨≤⎩则下列结论正确的是(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是增函数(C)f(x)是周期函数(D)f(x)的值域为[-1，+∞)(7)设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(A)若a∥α，b∥α，则a∥b (B)若a⊥α，a∥b，则b⊥α(C)若a⊥α，a⊥b，则b∥α(D)若a∥α，a⊥b，则b⊥α(8)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为(A)32(B)94（C)1 (D)2(9)已知抛物线C：y2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=(A)83(B)52(C)3 (D)2(10)如图网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画山的是某几何体的三视图，则这个儿何体的体积为(A)2 (B)3(C)4 (D)5(11)已知点P 在直线x+3y-2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且y 0<x 0 +2，则00y x 的取值范围是 (A)[一13，0） (B)（一13，0） (C)（一13，+∞） (D)（一∞，一13）（0,+∞) (12)已知函数f(x)=23,0ln(1),0x x x x x ⎧-+<⎨+≥⎩，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是(A) (-∞，0] (B)(一∞，1] (C)[一3，0] (D)[一3，1]第II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22 题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)已知函数f(x)=,02,0x x x x -⎧>⎪⎨≥⎪⎩，则f[f(一4)]=____． (14)已知向量a =(1，3)，向量a ，c 的夹角是3π，a ·c =2，则|c |等于。

2021年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{y|y＝sin x}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]2．复数z满足zi＝2+3i，则|z|＝（）A．B．C．D．3．已知||＝，||＝5，•＝10，则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B＝45°，C＝75°，则b＝（）A．2 B．C．D．5．已知A是△ABC内角，命题p：；命题q：，则q是p的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知圆O：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是（）A．x2+y2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16C．x+y＝1 D．x﹣y＝27．如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f（x），则y＝f（x）的图象（）A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝﹣1对称C．关于y轴对称D．关于点（0，0）对称8．如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH ＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A．直线EF，HG有可能平行B．直线EF，HG一定异面C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上9．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点对称，则下列选项中能使得g（x）＝cos（x+φ）取得最大值的是（）A．B．C．D．10．如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数．其中正确的是（）A．①④B．①③C．②④D．③④11．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A．10米B．20米C．米D．米12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，E是线段D1C1上的点，且D1E＝2EC1，P是平面A1DC1内一动点，则D1P+PE的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）.13．将120个个体依次编号：1，2，…，120，用系统（等距）抽样的方法从中抽取出一个容量为10的样本，若抽到的第一个个体的编号为9，则最后一个个体的编号为．14．已知椭圆3x2+4y2＝12的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|＝．15．已知实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值为．16．已知f（x）＝|ln（x+a）|+ex的最小值为1（e是自然对数的底数），则a＝．三、解答题：共70分。

2021届高三摸底测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一13．514．215．100π16．1;4714三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17.【解析】（1）由已知π4ACD，则ADC中，sin sin2AC ADACADC ACD；………6分（2）ABD中，2ππ3AB AD ADB ADC，………8分则由余弦定理得：2222π2cos3BDBD，解得2BD …10分所以ABD的面积为12π13sin232224BD AD. ………12分18.【解析】（1）C组样本个数为2000(6737766090)500y z， ………2分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为360500902000个. ………5分 （2）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M，由（1）知 500y z，且,y z N,所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： (465,35),(466,34),(467,33)(475,25)共11个. ………7分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673y， 即1800660673y，解得467y， ………9分— 高三文科数学（摸底）答案第1页—— 高三文科数学（摸底）答案第2页—所以事件M 包含的基本事件有：(465,35),(466,34)共2， 所以112)(M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. ………12分19.【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b，由两圆交点在椭圆上，2134a ，得2a ，………2分由离心率为2，22234a b a ，得1b ， ………4分 所以椭圆C 的方程为1422y x ． （2）直线:2AB y x 与椭圆2214x y 联立，消去y 得：2516120x x ，解得65B x ，代入直线AB 方程可得45B y ， ………9分且2||2AF a c 分 故2ABF 的面积为21144||(22255B AF y . ………12分20.（1）延长AF 交直线11AC 于M ，连接DM ，则DM 与11B C 的交点即为E .………2分 因为F 为1CC 的中点，则1C 为1A M 的中点，故为E 为11A B M 的中线11,MD B C 的交点， ………4分 即E 为11A B M 的重心，则111123EC B C； ………6分 （2）因为111136123912BEF BCC B BB E EFC BCF S S S S S ， ………8分 且1,AC BC AC CC AC 平面11BCC B ， ………10分 故111262433B AEF A BEF BEF V V S AC. ………12分— 高三文科数学（摸底）答案第3页—21.（1）0a 时，()f x 在R 上单调递减； ………2分 当0a 时，'()e x f x a ，故在ln x a ，有()0f x ，()f x 在(,ln )a 单调递增； 在ln x a 时，()0f x ，()f x 在(ln ,)a 上单调递减； ………5分 所以，当0a 时，()f x 在R 上单调递减；当0a 时，()f x 在(,ln )a 单调递增，()f x 在(ln ,)a 上单调递减；（2）由2()32f x a x 2231e xx ax a 恒成立， ………6分令223()e x x ax a g x ，则2'[(2)3](1)(3)()e e x xx a x a x x a g x ……7分①当31a 即4a 时，()0g x ，()g x 在[1,) 单调递减， 故1(1)1,2eg a（不合题意）； ………9分 ②当31a ，即4a 时，2max33(3)(3)236()(3)1e eaa a a a a ag x g a 令3t a ，即1t 时，31et t ， ………10分 设3()e t t h t，'2()0et t h t ，则()h t 在(1,) 单调递减， 而(1)1,(2)1h h ，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1. ………12分22.【解析】（1）因为2cos 22cos 1y ，所以2:21(11)C y x x ， ………3分直线:55x tl y y ； ………5分 （2）作直线:l y b 与曲线C 相切，则||PQ 最小值为l 与l 的距离. 将l 与C 的方程联立，消去y可得：22(1)0x b ，— 高三文科数学（摸底）答案第4页—则88(1)02b b，故:2l y ， ………8分 从而l 与l1 ，即||PQ 的最小值为1（当且仅当切点Q的横坐标为2时取到最小值）. ………10分23.【解析】（1）由已知()|21||1|2f x x x ，①当12x 时，有122112x x x23x ； ②当112x 时，有1122112x x x 01x ； ③当1x 时，有12112x x x1x ；（每段讨论1.5分） 综上所述，()2f x 的解集为2(,[0,)3； ………5分（2）由题意知|21||1|||x x a x 恒成立，①当0x 时，20a 恒成立，得R a ； ………6分②当0x 时，|21||1|11|2||1|||x x a x x x恒成立， 知1111|2||1||21|3x x x x，得3a ；综上所述，符合条件的实数a 的范围是(,3] .（结果综合1分） ………10分。

NCS20210607项目第二次模拟测试卷文科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1z =，则2z 在复平面上所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{(,)(1)(21)0}A x y x y x y =++-+=∣，则集合A 中元素个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个3．从编号依次为01，02，．．．，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（ ）A ．09B ．02C ．15D ．184．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 与点(2,1)B 关于直线y x =对称，则sin AOx ∠等于（ ）A ．15B ．25C 5．已知1()1x x e f x e -=+，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，若ABC 的面积为4π，则ω=（ ）A ．32B ．2C ．32πD ．2π7．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，(3,1)A ，则APF 周长的最小值为（ ）A．2+．4+．3．68．直线:(2)l y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则k 的取值范围是（ ）A ．(2,2)- B．( C ．(1,1)- D．⎛ ⎝⎭9．已知()[)2a ,0,11og ,1,2()ax x x x f x ⎧∈=∈⎪⎨⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．(1,2)10．如图是默默无“蚊”的广告创意图，图中网格是单位正方形，阴影部分由若干个半圆弧首尾相连组成的图形，最外层的半圆弧与矩形相切，从矩形中任取一点，则落在阴影部分的概率是（ ）A ．14π B ．328π C ．556π D ．7π 11．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，AB =E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体 CDAB FME -的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．12．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线22122x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近线分别为x 轴和y 轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”(0,0)ny mx m n x =+>>也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y mx =和y 轴）．设m =，n =此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）A ．．4 C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(1,2)a =-，(3,1)b =-，则与a b -同方向的单位向量是________．14．若曲线23ln 4x y x =-在0x x =处的切线的斜率为12，则0x =_______．.15．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =四面体的外接球表面积为________16．如图，平面凹四边形ABCD ，其中5AB =，8BC =，60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒则四边形ABCD 面积的最小值为_______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 中，12a =，212a =，()*21N n n a a n +=∈． （I ）求3a ，5a 的值；（II ）求{}n a 的前2021项和2021S ．18．（12分）春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP ，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在[10,70)的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP 人数占抽取总人数比的频率柱状图．（I ）从年龄段在[60,70)的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP 的概率：（II ）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有99.9%的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP ，填写下列22⨯联表，并作出判断．参考数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线交于点E ，23ABC π∠=，将ADC 沿AC 折起得到三核锥D ABC -，点D 在底面ABC 的投影为点O ．（I ）求证：AC BD ⊥；（II ）当O 为ABC 的重心时，求C 到平面ABD 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率2e =椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜，分别为123,,k k k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求||||MQ NQ -的值．21．（12分）已知函数()x f x e =，()g x x =，直线(0)y a a =>分别与函数()y f x =，()y g x =的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求||AB 长度的最小值；（II ）求最大整数k ，使得k OA OB <⋅对(0,)a ∈+∞恒成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程以原在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）曲线2:C xy =O 为极点，x 的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（II ）曲线1C 与2C 交于A ，B ，C ，D 四点，求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形ABCD的面积．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知()|1||1|f x x a x b =-+++-的最小值是c ．（其中a ，b 都是0到1之间的正数） （I ）求a b c ++的值；（II ）证明：22424a ab bc ac +++≤ ．NCS20210607项目第二次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDADCABDDDCC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭14．3 15．12π D ．71312三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解析】（I ）当1n =时，131a a =，所以312a =； 2分 当3n =时，351a a = ，所以52a =； 4分 （II ）当2n =时，241a a =，所以42a =； 6分由21n n a a +=知：241n n a a ++=，所以4n n a a += ，故数列{}n a 是以4为周期的周期数列， 8分即442n a a ==，4112n a a +==，42212n a a +==，43312n a a +==， 所以()()202112342021123415055052527S a a a a a a a a a a =++++=++++= ． 12分 18．【解析】（I ）年龄段在[60,70)样本中共有6人，其中1人会使用“某某到家”线上购物APP ，记为a ，b ，c ，d ，e ，A （其中A 表示使用了APP ）， 2分从中抽取两人，共有ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，bc ，bd ，be ，bA ，cd ，ce ，cA ，de ，dA ，eA ，15种不同情况， 4分都不使用APP 的情况有10种，故随机抽取两人，求都不使用“某某到家”线上购物APP 的概率为102153= ； 6分 （II ）根据统计图表知：9分根据公式计算22100(50202010)80010.8286040703063K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ， 11分 故有99.9%的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP ． 12分19．【解析】（1）证明：因为折叠前BD AC ⊥，所以AC BE ⊥，AC DE ⊥，因为DE BE E ⋂= ，所以AC ⊥平面BDE ， 2分又BD ⊂平面BDE ，所以AC BD ⊥ ． 5分 （II ）当O 为ABC 的重心时，如图，2BO OE =，因为6AB =，23ABC π∠=，所以CE AE ==3DE BE ==，故2BO =，1OE =， 7分 因为DO ⊥平面ABC ，所以DO BE ⊥，在RT DOE 中，DO ==BD ==所以12ABDS=⨯= 9分 设C 到平面ABD 的距离为d ，因为D ABC C ABD V V --=，1113323d ⨯⨯⨯=⨯，则d =． 11分即C 到平面ABD 的距离等于1112分20．【解析】（I ）由题：2c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a b c -=，所以2a =，1b =， 4分所以椭圆的方程为2214x y +=． 5分（II ）设()00,P x y ，则220014x y +=即()020241x y =- 不妨设(0,1)C ，(0,1)D -，直线001:1y PC y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 7分 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-， 9分 所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10分 ()()000000000288||1111x x x MQ NQ y y x y y x -=+-=--++-‖‖． 11分 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得：020028||04x MQ NQ x x -=-=‖‖． 12分21．【解析】直线(0)y a a =>分别与函数()y f x =，()y g x =交于A ，B 两点， 则(ln ,)A a a ，(,)B a a ．（I ）||ln (0)AB a a a =-> ， 2分记()ln (0)h a a a a =->，1()(0)a h a a a'-=>， 当(0,1)a ∈，()0h a '<，()h a 单调递减；当(1,)a ∈+∞，()0h a '>，()h a 单调递增； 4分所以min ()(1)1h a h ==即||AB 长度最小值为1； 5分（II 由2ln (0)OA OB a a a a ⋅=+>，记2()ln (0)x x x x x ϕ=+>， 6分 所以()ln 12(0)x x x x ϕ'=++>，显然()x ϕ'单调递增，而11ln 2022ϕ'⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ ，222112ln 10e e e ϕ'⎛⎫=++< ⎪⎝⎭， 8分所以存在唯一010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ'=，即00ln 12x x =--， 9分当()00,x x ∈，()00x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0,x x ∈+∞，()00x ϕ'>，()x ϕ单调递增；0x x =时，()2min 0000()ln x x x x x ϕϕ==+，又00ln 12x x =--， 所以()()2200000012x x x x x x ϕ=--+=--， 10分又010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20003,0 4x x x ϕ⎛⎫=--∈- ⎪⎝⎭， 11分所以要使得整数k OA OB <⋅恒成立，只需0k <即k 的最大整数为1- ． 12分 22．【解析】（I ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=知： 曲线2C的极坐标方程为2sin cos ρθθ； 3分 曲线1C 的普通方程为224x y += ． 5分（II）由224x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 8分不妨设(1A，B，(1,C -，(1)D -，由图可知四边形ABCD 为矩形，1)AB，1)BC ，所以四边形面积4S AB BC =⋅= ． 10分23．【解析】（I ）()|1||1||1(1)||2|f x x a x b x a x b a b =-+++-≥-+-+-=+-， 3分 因为,(0,1)a b ∈，所以()2f x a b ≥--，当11a x b -≤≤-时取到最小值2a b --， 所以2c a b =--即2a b c ++=； 5分（II ）因为2a b c ++=，所以2()4a b c ++=即2222224a b c ab bc ac +++++=， 7分因为222b c bc +≥，所以22222222222a b c ab bc ac a bc ab bc ac +++++≥++++ 即22424a ab bc ac +++≤ ． 10分。

2021届高三摸底测试卷文科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一.选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，则|1+i3|等于（）A.2B.1C.0D.√22.设集合{a,b,√ab}={1，2，4}，则a+b=（）A.2B.3C.5D.63.爱美之心，人皆有之健身减肥己成为很多肥胖者业余选择的项目。

为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位:kg)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示，对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（）柱状图2A.他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数增加了4个B.他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数没有改变C.因为体重在[100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D.他们健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少4.S n为等差数列{a n}的前n项和，3a3=5a2，S10=100，则a1=（）A.1B.2C.3D.45.设a=20.4，b=30.4,c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c6.已知x，y满足约束条件{x≤2 y≤2x+y−3≥0，z=y−x，则z max−z min=（）A.0B.1C.2D.47.若双曲线x2−y2m=1的离心率e∈(1，3)，则m的取值范围为（）A.(0,4)B.(0,8)C.(1,9)D.(8,+∞)8、如图，图中小正方形的边长为1，粗线是个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.2π+4B.2π+2C.π+4D.6π+129、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若f(π2)=f(2π3)，则（）A. ω=2，φ=π6B. ω=53，φ=5π18C. ω=2，φ=π3D. ω=53，φ=π610、已知函数，f(x)=x m ,g(x)=x n ,(m,n∈N∗)，那么“m=n”是“两个函数图像关于直线y=x对称"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知函数f(x)=ln|x|−1ln|x|，则f(x)（）A.是奇函数，且在(0，1)单调递减B.是奇函数，且在(0，+∞)单调递增C.是偶函数，且在(0，+∞)单调递增D.是偶函数，且在(−∞，−1)单调递减12.已知直线l:x−2y+7=0与圆C:x2+y2−4x−4y=0相交于A，B两点，O为坐标原点，则cos∠AOB 等于（）A.√104B.√64C.√54D.14二.填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗⃗=(−1,3)，则a⃗∙b⃗⃗=_________.14.如下一组数据:10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________。

江西省南昌市2021届高三第二次模拟考试数学（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号，姓名填写在答题卡上，考生要认真查对答题卡上粘贴的条形码的搿准考证号、姓名、考试科目一与考生本人准考证号、姓名是不是一致．2．第1卷每题选也答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，假设在试题卷上作答，答案无效．3．考试终止，监考员将试题卷，答题卡一并收回．第I卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。

1．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集为A．{一l，l} B．{-2} C．{—2，2} D．{—2，0，2}3．以下说法正确的选项是A．命题“存在”的否定是“任意”B．两个三角形全等是这两个三角形面积襁等的必要条件C．函数在其概念域上是减函数D．给定命题p、q，假设“p且q”是真命题，那么是假命题4．已知函数的最小正周期为π，为了取得函数的图象，只要将y=f（x）的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．一几何体的三视图如图，该几何体的极点都在球O的球面上，球O的表面积是A．2πB．4πC．8πD．l6π6．方程表示的曲线是A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线7．己知函数是周期为2的周期函数，且当，那么函数的零点个数是A．9 B．10 C．11 D．l88．已知函数对任意的是函数f(x)的导函数），那么以下不等式成立的是A．B．C．D．9．如图：正方体的棱长为l，E，F别离是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM =x，过直线彻和点M的平面将正方体分成上下两部份，记下面那部份的体积为V(x)，那么函数V(x)的大致图像是10．过双曲线的左核心，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，假设，那么双曲线的离心率为A．B．C．D．第II卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，假设在试题上作答，答案无效．三、填空题11．假设不等式关于一切实数x均成立，那么实数a的取值范围是。

2021届高三摸底测试卷文科数学一、选择题：1．已知i 为虚数单位，则31i +=（ ）A ．2B ．1C ．0D2．设集合{{},1,2,4a b =，则a b +=（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．爱美之心，人皆有之．健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的．．．．是（ ）A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了4个B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变C ．因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少4．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足3235a a =，10100S =，则1a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．设0.42a =，0.43b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<6．已知x ，y 满足约束条件2230x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，z y x =-，则max min z z -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．若双曲线221y x m-=的离心率()1,3e ∈，则m 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,8C ．()1,9D ．()8,+∞8．如图，图中小正方形的边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．22π+C ．4π+D ．612π+9．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．2ω=，6πϕ=B ．53ω=，518πϕ= C ．2ω=，3πϕ=D ．53ω=，6πϕ= 10．已知函数，()m f x x =，()1ng x x =，()*,m n N ∈，那么“m n =”是“两个函数图像关于直线y x=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()1ln ln f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在()0,1单调递减 B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增 C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在(),1-∞-单调递减12．已知直线l ：270x y -+=与圆C ：22440x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠等于（ ）A ．4B ．4C ．4D ．14二．填空题：13．已知向量()1,2a =，()1,3b =-，则a b ⋅=________．14．如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________． 15．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为3和4，圆台的高为7，则该球的表面积为__________．16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．若{}n a 为“和谐递进数列”，且11a =，22a =，41a =，686a a +=，则7a =_________；2021S =_________． 三．解答题： （一）必考题：17．已知ABC △中，AB =D 是边BC 上一点，AD =3ADC π∠=，512DAC π∠=．（1）求AC 的长； （2）求ABD △的面积．18．疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，某生物技术公司研制出一种新冠疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：（1）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （2）已知465y ≥，25z ≥，求该疫苗不能通过测试的概率．19．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率为2，以1F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆左顶点A 斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为B ，求2ABF △的面积．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===，90ACB ∠=︒，D ，F 分别为11A B 和1CC 的中点，E 为棱11B C 上一点，且A ，D ，E ，F 四点共面． （1）求1EC 的长；（2）求三棱锥B AEF -的体积．21．已知函数()x f x ax e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数．．a 的最大值．（二）选考题：22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos cos2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为522x t y t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求PQ 的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()2f x ≥的解集； （2）若()f x a x ≥恒成立，求a的取值范围．2021届高三摸底测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13．514．215．100π16．1；4714三．解答题：17．【解析】（1）由已知4ACDπ∠=，则ADC△中，sin sinAC ADACADC ACD=⇒=⇒=∠∠；（2）ABD△中，AB=AD=23ADB ADCππ∠=-∠=，由余弦定理得：22222cos3BD BDπ=+-，解得BD=，所以ABD△的面积为121sin232BD ADπ⨯⨯⨯==．18．【解析】（1）C组样本个数为()20006737766090500y z+=-+++=，现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为360500902000⨯=个．（2）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M，由（1）知500y z+=，且y，z N∈，所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：()465,35，()466,34，()467,33…()475,25共11个．由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有6736600.92000y++<，即6736601800y++<，解得467y<，所以事件M 包含的基本事件有：()465,35，()466,34共2，所以()211P M =， 故该疫苗不能通过测试的概率为211． 19．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，，22234a b a -=，得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）直线AB ：2y x =+与椭圆2214x y +=联立，消去y 得： 2516120x x ++=，解得65B x =-，代入直线AB 方程可得45B y =，且22AF a c =+=故2ABF △的面积为(21142225B AF y ⨯⨯=⨯+⨯= 20．（1）延长AF 交直线11AC 于M ，连接DM ，则DM 与11B C 的交点即为E ． 因为F 为1CC 的中点，则1C 为1A M 的中点， 故为E 为11A B M △的中线MD ，11B C 的交点，即E 为11A B M △的重心，则111123EC B C ==； （2）因为111136123912BEF BCC B BB E EFC BCF S S S S S =---=---=△△△△， 且AC BC ⊥，1AC CC AC ⊥⇒⊥平面11BCC B ， 故111262433B AEF A BEF BEF V V S AC --==⨯=⨯⨯=△． 21.（1）0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()x f x a e '=-，故在ln x a <，有()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞单调递增； 在ln x a >时，()0f x '<，()f x 在()ln ,a +∞上单调递减； 所以，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；（2）由()2223321e xx ax a f x a x ++-≤--⇔≤恒成立， 令()223x x ax a g x e ++-=，则()()()()22313e ex xx a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'== ①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减， 故()11g -≤，12a e⇒≤+（不合题意）； ②当31a ->-，即4a <时，()()()()233max 3323631a a a a a a ag x g a e e---+-+--=-==≤令3t a =-，即1t >-时，31tt e +≤， 设()3t t h t e +=，()20etth t --'⇒=<，则()h t 在()1,-+∞单调递减， 而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2， 故整数a 的最大值为1．22．【解析】（1）因为2cos22cos 1y θθ==-，所以C ：()22111y x x =--≤≤，直线l：55x ty y =⎧⎪⇒=-⎨+=⎪⎩； （2）作直线l '：y b =+与曲线C 相切，则PQ 最小值为l 与l '的距离． 将l '与C 的方程联立，消去y可得：()2210x b --+=， 则()88102b b ∆=++=⇒=-，故l '：2y =-，从而l 与l '1=，即PQ 的最小值为1（当且仅当切点Q 的横坐标为2时取到最小值）． 23．【解析】（1）由已()2112f x x x =++-≥，①当12x ≤-时，12232112x x x x ⎧≤-⎪⇒≤-⎨⎪---+≥⎩； ②当112x -<<时，110122112x x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪+-+≥⎩； ③当1x ≥时，112112x x x x ≥⎧⇒≥⎨++-≥⎩；综上所述，()2f x ≥的解集为[)2,0,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）由题意知211x x a x ++-≥恒成立， ①当0x =时，20a ≥⋅恒成立，得a R ∈； ②当0x ≠时，2111121x x a x x x++-=++-≥恒成立，知111121213x x x x++-≥++-=，得3a ≤； 综上所述，符合条件的实数a 的范围是(],3-∞．。