2020届广西南宁市高三一模摸底数学(理)试题(解析版)

2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2+x−2<0}.则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,2}2.若复数z满足(1−i)z=−1+2i，则|z−|=()A. √22B. 32C. √102D. 123.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数4.(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为()A. −40B. 120C. 160D. 2005.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.已知函数f(x)=a2x2+bln x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于()A. 2B. 1C. 0D. −27.函数f(x)=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图像大致为()A. B.C. D.8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90∘，则EF=()A. 1B. 2C. √2D. √39.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√33x D. y=±√3x11.已知函数f(x)=|x|−1x2，则不等式的解集为()A. (1,0)U(1,+∞)B. (−∞,−1)U(0,1)C. (−∞,1)U(1,+∞)D. (−1,0)U(0,1)12.已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x=π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗=(3,1)与向量b⃗ =(−1,2)的夹角余弦值是______．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7−a2=a9−10，则S7=________．15.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从一种零件中抽取了80件，尺寸数据表示如下(单位：cm)：这里用x×n表示有n件尺寸为x的零件，如362.51×1表示有1件尺寸为362.51cm的零件．(1)作出样本的频率分布表和频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，(1)若C=3π4，△ABC的面积为9√24，求a的值；(2)求sin(C−A)sinB −8sin2C2的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)当a≤12时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2−2bx+4.当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．(1)证明：∠ADB=90°；(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，A(0,−1)，B(−√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．23.设a，b为正实数，且1a +1b=4．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)若(a−b)2≥16(ab)3，求ab的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B={x|−2<x<1}；∴A∩B={−1,0}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1−i)z=−1+2i，得z=−1+2i1−i =(−1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+12i，∴|z−|=|z|=√(−32)2+(12)2=√102．故选：C．3.答案：C解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的，则A样本的众数比B样本的众数小3；A样本的中位数比B样本的中位数小3；A样本的方差等于B样本的方差；A样本的平均数比B样本的平均数小3．故选：C．根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变．本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题．解析：解：(x+2y)5展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(2y)r∴(x+2y)5=x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为160−40=120，故选：B．把(x+2y)5按照二项式定理展开，可得(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选：A．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．6.答案：C解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题．对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解．解：由题意可得f′(x)=ax+bx，所以f′(1)=a+b=2，且f(1)=a2=1，所以a=2，b=0，所以ab=0．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．解：因为f(−x)=(e −x−1)ln|−x|e−x+1=(1−e x)ln|x|e x+1=−f(x)是奇函数，所以排除A，C，当x→+∞时，f(x)>0，所以排除D．故选B ．8.答案：C解析：↵本题考查异面直线所成角，取BD中点G，连接EG，FG，EF，可得∠EGF=90°，进而得出答案．解：取BD中点G，连接EG，FG，EF，则EG//AD，EG=1，同理FG//BC，FG=1，所以∠EGF=90°，∴EF=√2．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形FACB为矩形，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形FACB为矩形，即有|AF|=|BC|，mn=2a2，设|AC|=m，|BC|=n，可得n−m=2a，n2+m2=4c2，12即有4c2−8a2=4a2，即有c=√3a，b=√c2−a2=√2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选：B．11.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，题目难度一般．首先判断出f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数是解题的关键．解：显然f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数，f(1)=f(−1)=0，故f(x)+f(−x)x <0等价于2f(x)x<0．当x>0时，2f(x)<0，解得0<x<1；当x<0时，2f(x)>0，解得x<−1．综上，所求不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．故选B．12.答案：C解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，①f(x)的最小正周期为π，故①正确；②由2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，故f(x)在区间[−π3,π6]上不是单调函数，故②错误；③由2x−π6=2kπ得：x=π12+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故③正确；④由2x−π6=π2+2kπ得：x=π3+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于x=π3对称，故④正确；故选C．13.答案：−√210解析：解：cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√10√5=−√210． 故答案为：−√210．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：70解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可求得a 4=10，进而利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 解：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 由a 7−a 2=a 9−10，所以a 1+6d −a 1−d =a 1+8d −10， 即a 1+3d =10， 所以a 4=10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=70．故答案为70．15.答案：√33或√53解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率． 解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ， ∴3x =2a ，∴a =3x 2，∵△MF 1F 2为直角三角形，若MF 2⊥F 1F 2，则x 2+4c 2=(2x)2， ∴c =√32x ，e =c a=√33； 若MF 1⊥MF 2，则x 2+(2x)2=4c 2， ∴c =√52x ，e =ca =√53． 故答案为：√33或√53．16.答案：2√33解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ⊂平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GCBC =GFFA =PEEA =12，过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，，即点E 到平面ABCD 的距离为2√33． 故答案为：2√33． 17.答案：略.解析：(1)在样本数据中，最大值是364.41，最小值是362.51，所以极差为364.41−362.51=1.90． 若取组距为0.30，则由于1.900.3=613，要分7组，组数合适，于是决定取组距为0.3，分7组，把第一组起点稍微提前，得分组如下：[362.40,362.70),[362.70,363.00)…[364.20,364.50].列出频率分布表：由上表可以画出频率分布直方图：．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC 1，则有DE//平面ABC 1， 设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1， ∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2，∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1， ∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， 设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设二面角的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； (2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sinA =2sinB ，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24,C=3π4，所以：12absinC=9√24，解得：a=3√2,b=3√22．(2)sin(C−A)sinB −8sin2C2，=(sinCcosA−cosCsinA)sinB−4(1−cosC)，=2sinBsinA−4=−3．解析：(1)直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax+1−ax−1(x>0)，f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2(x>0)，令ℎ(x)=ax2−x+1−a(x>0)，(1)当a=0时，ℎ(x)=−x+1(x>0)，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)当a≠0时，由f′(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1,x2=1a−1．当a=12时x1=x2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当0<a<12时，1a−1>1>0，x∈(0,1)时ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(1a−1,+∞)时，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．当a<0时1a−1<0，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；当a =12时x 1=x 2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减； 当0<a <12时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a −1)单调递增，(1a −1,+∞)单调递减．(Ⅱ)当a =14时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)，有f(x 1)≥f(1)=−12，又已知存在x 2∈[1,2]，使f(x 1)≥g(x 2)，所以−12≥g(x 2)，x 2∈[1,2]，(※)， 又g(x)=(x −b)2+4−b 2，x ∈[1,2]，当b <1时，g(x)min =g(1)=5−2b >0与(※)矛盾； 当b ∈[1,2]时，g(x)min =g(b)=4−b 2≥0也与(※)矛盾； 当b >2时，g(x)min =g(2)=8−4b ≤−12,b ≥178．综上，实数b 的取值范围是[178,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值，然后解不等式求参数．21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +14，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{y =x 2, y =kx +14,消去y ，化简得x 2−kx −14=0，所以x 1+x 2=k, x 1x 2=−14，又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以，所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90∘．(2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，圆Γ的方程为又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=−14 ， y 1+y 2=kx 1+14+kx 2+14=k 2+12，y 1y 2=x 12x 22=116，所以，圆Γ的方程可化简为联立圆Γ与抛物线E 得{x 2+y 2−kx −(k 2+12)y −316=0, y =x 2,消去y 得x 4−(k 2−12)x 2−kx −316=0， 即(x 2+14)2−(kx +12)2=0，即若方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0有相同的实数根x 0，则矛盾，所以，方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2+1>0k 2−3>0,解得k >√3或k <−√3． 综上所述，k >√3或k <−√3．解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题．(1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案(2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案．22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2，圆心C 的坐标为(−√32,−12)，∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +12)2=1，即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式，得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π6，斜率为√33，又直线l′过点P(0,1)，故直线l′的普通方程为y =√33x +1，即√3x −3y +3=0，圆心C(−√32,−12)到直线l′的距离d =2√3=√32， 所以|MN|=2√1−34=1．解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1b =4．∴a 、b 为正实数，且1a +1b =4≥2√1ab (a =b 时等号成立)．即ab ≥14(a =b =12时等号成立)∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥14(a =b =12时等号成立)． ∴a 3+b 3的最小值为14，(Ⅱ)∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，则(1a +1b)2−4ab≥16ab⇒4ab+1ab≤4，又∵4ab+1ab ≥4，∴4ab+1ab=4∴当且仅当ab=12时“=”成立．∴ab=12．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥14，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．(Ⅱ)根据∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，化简得4ab+1ab=4从而可得ab=12．。

广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届毕业班摸底考试高三数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】===﹣3﹣i．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知角A满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA﹣cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出的值.【详解】∵A为三角形内角，且sinA+cosA=，∴将sinA+cosA=两边平方得：2sinAcosA=﹣，∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，∴1﹣2sinAcosA=，即（sinA﹣cosA）2=，∵sinA﹣cosA＞0，∴sinA﹣cosA=，联立得：，解得：sinA=，cosA=﹣，则sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．4.执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.详解：因为所以,所以当时选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.6827B. 0.8522C. 0.9544D. 0.9772【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可。

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 ．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =； 当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值． 【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…， 解得8a …或8a -„， 所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 第一次运行时，2k =，332S =+⨯； 第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确； 令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误； 令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确． 故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=． 如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ， 根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+． 则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ． 【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=， 解得2k =． 故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-， 令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解． 【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+， 故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-， 所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以sin()2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =． 由正弦定理，得2b c =． 因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=， 解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ． 所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥． 又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒． 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出． （2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+． 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ． 因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =． 所以直线AB 的方程为2x =． （2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====， 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立． 【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ． （2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩， 解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=． 【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+． 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数． 所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…， 所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…， 故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数． 所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=． 从而()10f x mx --<，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)， 不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+， 所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+． 【思路分析】（1）解绝对值不等式即可； （2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞． 证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

广西2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为 A. 1B. -1C. 3D. -32. 若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}3. 在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =( ) A.14B.12C. 2D. 44. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965. 若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =A.34B. 1-C. 12-D.326. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为A.B.C.D. 57. 已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项A. 32B. 24C. 4D. 88. 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 40B.103C.163D.8039. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数321()3f x x x ax =-+在R 上是增函数，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒。