南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=-=，（i 为虚数单位），则1z =（）A.1i+ B.1i-- C.1i-+ D.1i-2.已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-3.已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a -=-，则2024a =（）A.aB.11a- C.11a-D.无法确定4.()6312xx ⎛-- ⎝展开式中的常数项为（）A.60B.4C.4- D.64-5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（）A.14CBB.34CB C.14CB-D.12CA6.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =-，则文曲线E 的离心率为（）A.B.2C.73D.37.在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30︒的二面角B ACD '--．若点E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（）A.4622+- B.4622++ C.4+ D.4+8.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A.()01f = B.()f x 是偶函数C.()f x 是增函数D.()f x 是周期函数二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B.若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C.已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（）A.H 关于t 的函数()H t 是偶函数B.若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l 与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（）A.当2PF QF =时，36MN =B.PQ MN +的最小值为18C.直线GH 过定点()4,0 D.FGH 的面积的最小值为4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.13.已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=-+=，则tan α=______．14.已知函数()()21e xf x x ax =-+的最小值为1-，则实数a 的取值范围为______.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望.16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=︒∠=∠=∠为锐角，且四棱锥11A BCC B -的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值.17.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数；（2）设11,0,1a b f g a b ⎛⎫⎛⎫>+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：a b ab +>．18.已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．19.若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=-=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a -≤，则称数列{}n a 为γ数列．（1）若数列{}n a 为β数列，()1,f n n *=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n *∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=-=，（i 为虚数单位），则1z =（）A.1i +B.1i-- C.1i-+ D.1i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】由()12i 2z z -=可得1222i iz z ==--，结合122,z z +=故1z =1i -，故选：D2.已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据子集的概念求得参数a 的值可得．【详解】0a =时，A =∅满足题意，0a ≠时，1ax =得1x a =，所以11a=或11a =-，1a =或1a =-，所求集合为{1,0,1}-．故选：D ．3.已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a -=-，则2024a =（）A.aB.11a- C.11a-D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.【详解】1a a =，211a a=-，311111a a a a -==--，4111a aa a==--，故数列{}n a 的周期为3.故202436742211a a a a⨯+===-.故选：B4.()6312xx ⎛-- ⎝展开式中的常数项为（）A.60 B.4C.4- D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式6(2x -的展开式的通项公式为()3626216,0,1,2,3,,1C 45,26r r r r r T x r --+=-⋅⋅=，令3602r -=，求得4r =，令3632r-=-，求得6r =，由于()663631222x x x x x ⎛⎛⎛--- ⎝⎝⎝=-，故其展开式中的常数项为()()644266661606441C 2C 2--=-⋅-=-⋅故选：C5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（）A.14CBB.4CB C.14CB-D.12CA【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到OB OC =-，得到点O 为线段BC 的中点，得出ABC 为直角三角形，且AOC为等边三角形，进而求得向量CA 在向量CB上的投影向量.【详解】由2AO AB AC =+，可得)(()0AB AO AC AO OB OC --=+=+ ，所以OB OC =-，即点O 为线段BC 的中点，又因为ABC 的外接圆圆心为O ，所以ABC 为直角三角形，所以12OA BC= 因为OA AC =，可得OA AC OC == ，所以AOC 为等边三角形，故点A 作AD BC ⊥，可得1cos 2CD AC ACB AC =∠=，所以14CD CB =，因为向量CA 在向量CB 同向，所以向量CA 在向量CB 上的投影向量为14CB.故选；A.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =-，则文曲线E 的离心率为（）A.B.2C.73D.3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可判断四边形Q F QF ''为平行四边形，即可利用相似求解.【详解】设F '为双曲线的左焦点，由于直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点Q '在双曲线E 上，所以Q '与Q 关于坐标原点对称,又O 是F F '的中点，故四边形Q F QF ''为平行四边形，故//,,F Q QF F Q QF ''''=故F Q A PFA '' ，3F Q F A c a QFPF FA c a PF'''+===-=，故2,2c a e =∴=，故选：B7.在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30︒的二面角B ACD '--．若点E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（）A.42+- B.42++ C.4+ D.4+【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求B D '=，进而利用线面垂直可判断点F 轨迹为EPQ △，求解周长即可．【详解】连接AC 、BD ，交于点O ，连接OB '，ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，所以AC BD ⊥，OB AC '⊥，OD AC ⊥，所以B OD '∠为二面角B AC D '--的平面角，于是30B OD '∠=︒，又因为122OB OD AB '===，所以B D '=，取OC 中点P ，取CD 中点Q ，连接EP 、EQ 、PQ ，所以//PQ OD 、//EP OB '，所以AC EP ⊥、AC PQ ⊥，EP ，EQ 相交，所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ACD '-表面上，满足AC EF ⊥的点F 轨迹为EPQ △，因为12EP OB '=，12PQ OD =，12EQ B D '=，所以EPQ △的周长为)14622222+⨯-++=，所以点F 轨迹的长度为42+-．故选：A ．8.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.()f x 是增函数D.()f x 是周期函数【答案】C 【解析】【分析】对A ，令0x y -=求解即可；对B ，令0x =化简可得()()0f y f y -+=即可；对C ，设210x x >>，结合题意判断()()22210fx f x ->判断即可；对D ，根据()f x 是增函数判断即可.【详解】对A ，令0x y -=，则()()()222000f f f =-，得()00f =，故A 错误；对B ，令0x =，得()()()()220f y f y f f y -=-，由()00f =整理可得()()()0f y f y f y ⎡⎤-+=⎣⎦，将y 变换为y -，则()()()0f y f y f y ⎡⎤-+-=⎣⎦，故()()20f y f y ⎡⎤+-=⎣⎦，故()()0f y f y -+=，故()f x 是奇函数，故B 错误；对C ，设210x x >>，则()()210,0f x f x >>，且()()()()()()()()22212121fx f x f x f x f x f x -=+-()()21210f x x f x x =+->，故()()22210f x f x ->，则()()21f x f x >.又()00f =，()f x 是奇函数，故()f x 是增函数，故C 正确；对D ，由()f x 是增函数可得()f x 不是周期函数，故D 错误.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B.若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C.已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据百分位数的定义求解即可；对B ，根据方差的公式推导数据1210,,,x x x ⋯的方差与121021,21,,21x x x ++⋯⋯+的方差关系求解即可；对C ，根据正态分布的对称性推导即可；对D ，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对A ，由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共10个数据，且100.44⨯=，故第40百分位数为第4，5个数据的平均数为121312.52+=，故A 错误；对B ，设数据1210,,,x x x ⋯的平均数为121010x x x x +++= ，方差为()()()22221210110s x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，则数据121021,21,,21x x x ++⋯⋯+的平均数为()()()()12101210'212121210211010x x x x x x x x ++++++++++===+ ，方差为()()()2222''11210121212110s x x xxx x⎡⎤=+-++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()22222212101210142222221010x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-⎣⎦⎣⎦ 248s ==，所以22s =，故B 正确；对C ，()()261P X P X ≥-+≥=则()()()6122P X P X P X ≥=-≥-=≤-，即()()62P X P X ≥=≤-，由正态分布()2,N μσ的性质可得6222μ-==，故C 正确；对D ，在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立.故D 错误.故选：BC10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（）A.H 关于t 的函数()H t 是偶函数B.若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D.若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B ，根据()()12H t H t =代入解析式可得12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =-，进而可判断；对C ，求解ππ50sin 6085152t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭即可；对D ，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为π18，进而可得劣弧PQ 的弧长.【详解】对A ，由题意，5,,,2ππ50110506030301A b T ω==-====，所以()π50sin 6015H t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，当0=t 时，可得sin 1ϕ=-，所以π2ϕ=-，故()()ππ50sin 60,0152H t t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，所以()H t 是非奇非偶函数，故A 错误；对B ，由题意()()12H t H t =，即12ππππ50sin 6050sin 60152152t t ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12ππcoscos 1515t t =，所以12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =-，()1212,,0,0k t t t t ∈≠≥≥N ，即1230t t k =+或1230t t k +=，()12min 30t t +=，故B 正确；对C ，由题意ππ50sin 6085152t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即ππ1sin 1522t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即π1cos 152t ≤-，所以2ππ4π2π2π3153k t k +≤≤+，()N k ∈，解得()30103020,N k t k k +≤≤+∈.所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C 正确；对D ，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为2ππ=3618，因为,P Q 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ 对应的圆心角是ππ×6183=，故π50π5033l =⨯=（m ）.故D 正确.故选：BCD11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l 与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（）A.当2PF QF =时，36MN =B.PQ MN +的最小值为18C.直线GH 过定点()4,0D.FGH 的面积的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】设直线1l 和2l 的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB ，利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C ，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D .【详解】对于A ，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为1x my =+，则2l 方程为11x y m=-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线1l 方程与抛物线方程214x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.则12Δ0,4y y m >+=，124y y =-，同理344y y m+=-，344y y =-，又2PF QF =，所以122y y =-，所以218m =，所以()3434214222436MN x x y y m m =++=-+++=+=，故A 正确；对于B ，由A 知，()34342142224MN x x y y m m =++=-+++=+，()2121222244PQ x x m x x m =++=+++=+，所以22224444448816PQ MN m m m m +=+++=++≥=，当且仅当2244=m m，即1m =±时，等号成立.故B 错误；对于C ，由A 知，()222221,2,1,G m m H m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，所以直线GH ：()2222222122m m y m x m m m+-=---，令0y =得3x =，所以直线GH 恒过定点()3,0，故C 错误；对于D ，由C 知直线GH 恒过定点()3,0，所以1222242FGH G H G H S FA y y y y m m m m=⋅-=-=+=+≥ ，当且仅当1m =±时，等号成立.故D 正确；故选：AD【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.【答案】2:3.【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球，∴22:4:62:3S S R R ππ==球圆柱.故答案为:2:3.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.13.已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=-+=，则tan α=______．【答案】24【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sin α，进而可得tan α.【详解】由题意，22sin 3β==，且π3π22αβ<+<，故()cos 9αβ+==-.故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+714222193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故cos 3α==，123tan 4223α==.故答案为：2414.已知函数()()21e x f x x ax =-+的最小值为1-，则实数a 的取值范围为______.【答案】[)0,∞+【解析】【分析】求出导函数，根据a 的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为()()21e xf x x ax =-+，所以()()e 2e 2xxf x x ax x a ='=++，若0a ≥，则(),0x ∞∈-时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，()0,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x =时，()f x 有最小值()01f =-，满足题意；若a<0，则当x 无限趋近于负无穷大时，()f x 无限趋向于负无穷大，()f x 没有最小值，不符合题意；综上，0a ≥，所以实数a 的取值范围为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）917（2）分布列见解析，数学期望是225【解析】【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；（2）由题设X 的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望.【小问1详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A ，“选择1号盒子”为事件1B ，“选择2号盒子”为事件2B ，则()()1212P B P B ==，()1132125C C 3C 5P A B ==，()11462210C C 8C 15P A B ==，由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为()()()()()()()()()111112121|921117||22P B A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P B A ===++.【小问2详解】由题意，X 的可能值为3，4，5，6.()26210C 2215235C 54515P X ==⨯=⨯=，()112466221010C C C 232243153145C 5C 54554575P X ==⨯+⨯=⨯+⨯=，()112464221010C C C 23263242855C 5C 54554575P X ==⨯+⨯=+=，()24210C 336265C 54525P X ==⨯=⨯=.所以X 的分布列为X3456P21531752875225所以()3093841899022=3+4+5+6==2252252252252255E X ⨯⨯⨯⨯.16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=︒∠=∠=∠为锐角，且四棱锥11A BCC B -的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）68【解析】【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱1111ABCD A B C D -3，过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O '，利用三角形全等证明点O '与O 重合，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.【小问1详解】设四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以111BB C B C C S S = ，所以111A BB C A B C C V V --=，所以111111122A BCC B A BB C A B C C A BB C B ABC V V V V V -----=+==，所以1223ABC S h ⨯⨯⨯= ，且122sin12032ABC S =⨯⨯⨯= ，所以3h =1111ABCD A B C D -3因为ABD △为正三角形，所以332AO AB ==因为11,A AB A AD AB AD ∠∠==，所以11A AB A AD ≅ ，于是11A B A D =，过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O '，所以11A O B A O D ≅'' ，所以O B O D ''=，从而AO B AO D ≅'' ，故BAO DAO ∠∠''=，所以点O '在对角线AC 上.因为116,3AA A O ='=，所以12AO AC ='=，故点O '为对角线AC 与BD 的交点，即点O '与O 重合，所以1A O ⊥平面ABCD.【小问2详解】因为底面ABCD 是棱长为2的菱形，所以AC BD ⊥，因为1A O ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以1A O OA ⊥，1A O OB ⊥，即1,,OA OB OA 两两垂直，以O 为坐标原点，以1,,OA OB OA 方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()(1,0,1,0,0,1,0,0,0,AB D A -，由11A D AD =得(1D -，由11A B AB =得(1B，所以(11,AD =-- ，设平面11BDD B 的一个法向量为(),,n x y z =，()(1110,2,0,2,B D BD =-=- ，所以1112020n B D y n BD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，所以()1,0,1n = ，设直线1AD 与平面11BDD B 所成的角为θ，所以111sin cos ,8AD n AD n AD nθ⋅====，所以直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值为68.17.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数；（2）设11,0,1a b f g a b ⎛⎫⎛⎫>+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：a b ab +>．【答案】（1）2条（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分别求解()f x 和()g x 的切线方程，进而可得()112121e 1e ln 1x x xx x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，构造函数()()1e 1,x h x x x =++-求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，（2）通过换元以及指对互化，构造函数()()ln 1e ,tq t t =-+求导判断函数的单调性，即可求证.【小问1详解】设直线l 与函数()f x 和()g x 分别相切于()()1122,e,,ln x A x B x x ，由()()1e ,xf xg x x''==可得121e x x =，直线l 方程为()111e exx y x x -=-以及()2221ln y x x x x -=-，故()112121e 1e ln 1x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，进而()1111e 10x x x ++=-，令()()()1e 1,e 1xxh x x x h x x '=+++-=-，记()()()e 1,1e xxt x x t x x '=-++=-，当()()()1,0,x t x t x h x ''>-<=单调递减，()()()1,0,x t x t x h x ''<->=单调递增，又()()0,0,11e 0x t x t <>-<=，故存在唯一的()()000,1,0x t x ∈=，故当()()()()0,,0,x x t x h x h x '∈-∞>=单调递增，当()()()()0,,0,x x t x h x h x '∈∞<+=单调递减，()()()0max 020h x h x h =>=>，又()()2223e 0,213e0h h -=-<-=-+<，因此()h x 存在两个零点，故直线l 的条数为2条.【小问2详解】令11,,m n a b==则0,0m n >>，由()()1111e ln 1m f g f m g n n a b ⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于e 1,m >故ln 0n <，令ln 0t n =<，则e ,e 1t m n t ==-，故()ln 1m t =-，故()ln 1e ,0tm n t t +=-+<记()()()()11e 1ln 1e ,e 11ttt t q t t q t t t +--'=-++--==，记()()()11e ,e 0ttp t t p t t '=+-=<，所以()p t 在(),0∞-单调递减，故()(0)0p t p >=，故()()11e 01tt q t t +-'<-=，()q t 在(),0∞-单调递减，故()()01q t q >=，所以1,m n +>即111a b>+，a b ab +>【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18.已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22195x y +=（2）存在点D 使得DM DN +取得最小值,且最小值为4016-，【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而可得()12124my y y y =+，求解,AP BQ 的直线方程，联立可得点D 在定直线9x =上，进而根据对称性即可求解.【小问1详解】由题意可得64SC SF SC SM MC CF +=+==>=,所以S 点的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，故26,243,2,5a c a c b ==⇒===，故轨迹方程为22195x y +=【小问2详解】存在点D 使得DM DN +4016-，由题意可知直线l 的斜率不为0，故设直线l 方程为1x my =+，221195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()225910400m y my ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ,所以1212221040,5959m y y y y m m +++=-=-，故()12124my y y y =+，由（1）()()3,0,3,0A B -,故()11:33y AP y x x =++，()22:33y BQ y x x =--,设()00,D x y ，将()00,D x y 代入,AP BQ 方程可得()()()()()()21211220122012121211213444342332242y x y my y y y x my y y x y x y my my y y y y y ++++++=====----+-，解得09x =，故点D 在定直线9x =上，()0,1N 关于9x =的对称点()18,1N '，且()2,0C -,故66DM DN DM DN MN CN '''+=+≥≥-==-，故DM DN+6-，【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=-=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a -≤，则称数列{}n a 为γ数列．（1）若数列{}n a 为β数列，()1,f n n *=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n *∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）2n c n =-【解析】【分析】（1）先证必要性，根据递增函数可得数列{}n a 是等差数列可得20252024a =，再证充分性，根据11n n a a +-≤累加可得20252024a ≤当且仅当11n n a a +-=时取等号即可证明；（2）依题意{}n b 的偶数项构成单调递增数列，从而可得当20n b ≥时，有2n ≥，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得112,n n c c n --=≥，进而根据等差数列的通项公式求解即可.【小问1详解】先证必要性：依题意得，11n n a a +-=，又数列{}n a 是递增数列，故11n n a a +-=，故数列{}n a 是10a =，公差1d =的等差数列，故()202502025112024a =+-⨯=.再证充分性：由11n n a a +-=，得11n n a a +-≤，故()()()202520252024202420232112024a a a a a a a a =-+-+-+≤ ，当且仅当11n n a a +-=时取等号.又20252024a =，故11n n a a +-=，故数列{}n a 是递增数列.【小问2详解】因为2n n c b =，由1n n c c +<，知数列{}n c 是单调递增数列，故数列{}n b 的偶数项构成单调递增数列，依题意，可得240,1b b =-=，故当20n b ≥时，有2n ≥.下面证明数列{}n b 中相邻两项不可能同时为非负数.假设数列{}n b 中存在1,i i b b +同时为非负数，因为1||i i b b i +-=，若1i i b b i +-=，则有()1112i i i b b i i ++-=+≥>，与条件矛盾；若1i i b b i +-=-，则有112i i i b b i i +-=+≥>，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数1,,n n n b b +中至少有一个小于0；由20n b ≥，对2n ≥成立，故2n ≥时，210n b -≤，210n b +≤，即221221,n n n n b b b b -+>>，故()221212221,22n n n n b b n b b n ----=--=--，故()()22121221n n n n b b b b ----+-=，即2221,2n n b b n --=≥，即112,n n c c n --=≥.又12240,1c b c b ==-==，所以数列{}n c 是11c =-，公差为1的等差数列，所以()112n c n n =-+-=-.【点睛】思路点睛：（1）证明充要条件可分别证明充分性与必要性；（2）隔项数列可考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得2221n n b b --=.。
