复旦大学 复旦 1997年数学分析与线性代数 考研真题及答案解析

1997年复旦大学研究生入学考试经济学试题
一、简释下列概念(每小题5分,共25分)
1、绝对剩余价值与相对剩余价值
2、股票和股息
3、要素报酬递减和规模报酬递减
4、自愿失业和非自愿失业
二、按马克思主义政治经济学原理,不变资本在全部资本中所占比重越大,利润率就越低,试问为什么资本主义企业会不断提高资本有机构成?(15分)
三、垄断价格的形成怎样使价值规律进一步改变了它的表现形式?(15分)
四、免费发给消费者一定量实物(如食物)与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金,哪种方法给消费者带来更高的效用?为什么?试用无差异曲线图表示.(15分)
五、假定行业需求曲线为X=250-Px,每家厂商的边际成本为4
(1)求两家厂商的古诺反应函数
(2)求该古诺双寡头厂商的价格和产量
(3)若厂商数目无限增大,古诺均衡价格和产量是多少?(15分)
六、假定经济满足Y=C+I+G,且消费C=800+0.63Y,投资I=7500-20000Y,货币需求L=0.6125Y-10000r,名义货币供给量Ms=6000亿美元,价格水平p=1,试问当政府支出从7500亿美元增加到8500亿美元时,政府支出(这里指政府购买)的增加挤占了多少私人投资?(15分)。

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e=,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________.(3) 差分方程12tt t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量U =服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -= (C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( )(A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若 在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1TA b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1)T T αα=--=--.(1) 求A 的属于特征值3的特征向量； (2) 求矩阵A .十一、(本题满分7分)假设随机变量X 的绝对值不大于1；11{1},{1}84P X P X =-===；在事件 {11}X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X 的分布函数(){}F x P X x =≤.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第X 分钟到达底层候梯处,且X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度()f t 、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()()()()1[ln ln ]f x ef x f x f x dx x''+ 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln )f x y f x e= 可知()()()()()()()()()1ln ln 1[ln ln ].f x f x f x dy f x e dx f x e f x dx xe f x f x f x dx x''=+''=+(2)【答案】4ππ-【分析】本题中1()f x dx ⎰是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令1()f x dx A =⎰,则21()1f x x=++,两边从0到1作定积分得1201dx A A x =++⎰⎰10arctan 444x A A πππ=+=+, 解得4A ππ=-.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分⎰表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】(2)2tt y C t =+-【解析】对应的齐次差分方程是10t t y y +-=,显然有不恒等于零的特解1t y =. 因方程的右端函数()2tf t t =,可设非齐次差分方程的特解有形式()2t y At B *=+,代入方程得 (2)22,0,1,2,.ttAt A B t t ++==由于20t ≠,于是2,0,1,2,.At A B t t ++==可确定1,2A B ==-,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2ty t *=-.从而,差分方程的通解是(2)2tt y C t =+-.(4)【答案】t <<【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵为210112012t A t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因为f 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.又2123211211112,,A t ∆=∆==∆==-, 故f 正定⇔21102t ->,即t <<(5)【答案】t 分布,参数为9 【解析】由19,,X X 是来自总体X 的简单随机样本,故19,,X X 独立,且都服从正态分布2(0,3)N .类似有19,,Y Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N .又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即219~(,)X X X N '=++μσ.其中19()()E X E X X '==++μ,219()()D X D X X σ'==++.由期望的性质,19129()()0E X E X X EX EX EX '==++=+++=μ；由独立随机变量方差的性质,21919()()81D X D X X DX DX σ'==++=++=,故2~(0,9)X N '.因219,,~(0,3)Y Y N ,故~(0,1),(1,2,,9)3i Y N i -=,所以,2921~(9)3i i Y Y χ=⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑.由t 分布的定义,现已有2~(0,9)X N ',将其标准化得0~(0,1)9X N '-,~(9)X t '-.~(9)t ',~(9)t =.【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,其中,,a b c 为常数.2.方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.3.2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则22~(1)iZ χ,221~()ni i Z n χ=∑.4.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-.5.t 分布的定义：若~(0,1)X N ,2~()Y n χ,,X Y 独立,则~()T t n =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 0()lim()x f x g x →就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得1cos 2205640005244000sin ()(sin )sin(1cos )lim lim lim ()(1)5611(1cos )4lim lim lim 0,1xx x x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x xx -→→→→→→-==++-===+⎰故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由()()f x f x -=(,)-∞+∞知,()f x 的图形关于y 轴对称.由在(,0)-∞内,()0f x '>且()0f x ''<知,()f x 的图形在(,0)-∞内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)+∞内,()f x 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由()()f x f x -=可知()(),()()f x f x f x f x ''''''--=-=.当(0,)x ∈+∞时,(,0)x -∈-∞,此时由题设知()0f x '->,()0f x ''-<,则()0,()0,(0,)f x f x x '''<<∈+∞,故应选(C).方法3：排除法.取2()f x x =-,易验证()f x 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知()f x 是一个二阶可导的偶函数,则()f x '为奇函数,()f x ''为偶函数,又在(,0)-∞内()0,()0f x f x '''><,则在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''<<,故应选(C). (3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,,)(,,)C βββααα=技巧相结合. 【解析】对于(A),()()()1223310αααααα+-++-=,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,,αααααα++-线性相关,排除(A)；对于(B),()()()122312320ααααααα+++-++=,即存在一组不全为零的数1,1, -1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,,2ααααααα++++线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k ,k ,k ,使得()()()11222331322330k k k αααααα+++++=,整理得 ()()()13112223322330.k k k k k k a αα+++++=已知1α,2α,3α线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ①因①的系数行列式101220120033=≠,故①有唯一零解,即1230k k k ===.故原向量组122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.应选(C).或者也可以将122αα+,2323αα+,313αα+用123,,ααα线性表出,且写成矩阵形式,有[][][]1223311231231012,23,3,,220,,033C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦记,120C =≠,则C 可逆,故两向量组是等价向量组,由1α,2α,3α线性无关知122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.(4)【答案】(D)【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 111012030206AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,101111020306BA ,---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB BA ≠. 故(A)不成立；应取(D).方法2：因,A B 是同阶(设为n )可逆阵,故有()()r A r B n,==而()()r A r B =⇔,A B 等价⇔存在可逆阵P,Q 使得PAQ B.=(这里只需取1P A ,Q B,-==既有1PAQ A BA B -==成立),故应选(D).或者,因,A B 是同阶可逆阵,故,A B 均可以通过初等行变换化成单位阵,A E,B E,→→行变换行变换即存在初等阵1212s r P P ,P ,P ,W W ,W W ,==使得PA E,WB E ==,从而有PA E WB ==,得1PAWPAQ B -==()1W Q -=.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因X 和Y 相互独立, 而{}{}{}{}1111,1122P X P Y P X P Y =-==-=====,故有：{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-=-==-=-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-===-==⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ==-===-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ======⨯=；{}{}{}1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===-=-+===+=,故(A)正确,(B)错；{}{}{}11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===-=+=-==+=, 故(C)错；{}{}{}11111,11,1442P XY P X Y P X Y ===-=-+===+=, 故(D)错.三、(本题满分6分.)【分析】要证明0lim ()x Q x Q →=,只须证明0limln ()ln x Q x Q →=即可,因为()Q x 为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为1ln ()ln ln[(1)]x x Q x A K L x--=-+-δδ,而且 001ln[(1)]lim ln (1)ln lim (1)ln (1)ln ln(),x x x x x x x x K L xK K L L K L K L K L --→----→-+----=+-=---=-δδδδδδδδδδ所以, 110limln ()ln ln()ln()x Q x A K LAK L --→=+=δδδδ,于是, 10lim ()x Q x AK LQ -→==δδ.四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂. (*) 在0xye y -=中,将y 视为x 的函数,两边对x 求导,得2()011xy xyxydy dy dy ye y e y x dx dx dx xe xy+-=⇒==--. (1) 在0ze xz -=中,将z 视为x 的函数,两边对x 求导,得0zz dz dz dz z z e z x dx dx dx e x xy x--=⇒==--. (2) 将(1)、(2)两式代入(*)式,得21du f y f z f dx x xy y xy x z∂∂∂=++∂-∂-∂. 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x π,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x π后,满足0()0x π'=的0x 即为利润最大时的销售量,此时,0()x t 是t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()T tx t =,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t . 【解析】(1)设T 为总税额,则T tx =.商品销售总收入为2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-.利润函数为 2270.2310.2(4)1R C T x x x tx x t x =--=----=-+--π.令()0x π'=,即0.440x t -+-=,得45(4)0.42t x t -==-. 由于()0.40x π''=-<,因此,5(4)2x t =-即为利润最大时的销售量. (2)将5(4)2x t =-代入T tx =,得5(4)2T t t =⋅-25102t t =-.由()1050T t t '=-=,得惟一驻点2t =；由于()50T t ''=-<,可见当2t =时T 有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当0x >时,()F x 显然连续,故只要证0lim ()(0)x F x F +→=,且当0x >时,()0F x ''≥即可.【解析】方法1：显然0x >时,()F x 连续,又由洛必达法则知()lim ()lim lim ()0(0)xn n x x x t f t dt F x x f x F x+++→→→====⎰, 所以()F x 在[0,)+∞上连续.当(0,)x ∈+∞时,11022()()()()(),0xn n n n x f x t f t dtx f x f xF x x x x++--'==<<⎰ξξξ. 由于()f x 单调不减,故()()f x f ξ≥,又n nx ξ>,从而()()nnx f x f ≥ξξ.于是有()()00F x x '≥<<+∞.故()F x 在[0,)+∞上单调不减.方法2：连续性证明同上.由于10222()()()()()[()()]0,xn n x xxn n n n x f x t f t dtF x xx f x dt t f t dtx f x t f t dtxx +-'=--==≥⎰⎰⎰⎰可见,()F x 在[0,)+∞上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于()F x '的不同处理方法.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线2y x =在任一点2(,)a a 上的切线方程及其与x 轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 【解析】(1)由2y x =,得2y x '=.对于任意(01)a a <≤,抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22()y a a x a -=-.且该切线与x 轴的交点为(,0)2a,故由11OP =可见21322111,221111,22221.2n n OP OP OP OP OP -====⋅==(2)由于()22211124n n n nn Q P OP --⎛⎫===⎪⎝⎭,可见 11101144mn n n n n m Q P ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑. 利用几何级数求和公式1(1)1n n x x x∞==<-∑即得 1011414314mn n n m Q P ∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭-∑∑. 【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于2222220004()2()22t t x y t r r f dxdy d f rdr rf dr +≤==⎰⎰⎰⎰⎰πθπ,可得2240()2()2t t r f t erf dr =+⎰ππ.在积分中作换元2rs =,又有200()4()2t t r r f dr sf s ds =⎰⎰.于是,()f t 满足积分关系式240()8()tt f t sf s ds e =+⎰ππ.在上式中令0t =得(0)1f =.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t 求导,得24()8()8t f t tf t te '-=πππ.上述方程为关于()f t 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得224()(4)t f t t C e =+ππ,其中常数C 待定.由(0)1f =可确定常数1C =,因此,224()(41)t f t t e =+ππ. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.九、(本题满分6分)【解析】(1)由**AA A A A E ==及1*A A A -=,有()*10.0T T TT T T EA A PQ A A A A A A b A b A A b A ααααααααααα**-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有0T E P A A Aα*==-,()()2110TT A P Q PQ Ab A A b A ααααα--===--又因A 是非奇异矩阵,所以0A ≠,故()1T Q A b A αα-=-.由此可知Q 可逆的充要条件是0Q ≠,即10Tb A αα--≠,亦即1TA b αα-≠. 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA αα-是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵,则*,*A O A AB BO B==⋅()*1*mnO A AA B BB O==-⋅.2.行列式乘积公式：设,A B 是两个n 阶矩阵,则乘积AB 的行列式等于A 和B 的行列式的乘积,即AB A B =.十、(本题满分10分)【解析】(1)设A 的属于3λ=的特征向量为[]3123Tx ,x ,x =α,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故1312323123020T Tx x x ,x x x .⎧=--+=⎪⎨=--=⎪⎩αααα 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,对B 进行初等行变换：111111101121030010B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 []101T,,,即A 的对应于3λ=的特征向量为[]3101Tk ,,,α=其中k 为非零常数.(2)方法1：令[]123111120111P ,,-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ααα,则有1100020003P AP ,-⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1A P P -=Λ,其中1P -计算如下：[][][]()[][][][][]()[][]()[][][]()211311312223131311211111001111001200100311101110010021011111103332211010011111030101022636001001111100222P E +⨯-+⨯⎛⎫⨯- ⎪+⨯-⎝⎭+⨯-+⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 122211216303P ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11111002221325111200201212102661110033035213A P P -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.方法2：因A 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q (对P单位化),使1T QAQ Q AQ -==Λ,TA QQ =Λ,其中Q ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣. 10000200030132510210265210T A Q Q ⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥-⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣3.⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦方法3：由于矩阵A 的特征值是1,2,3,特征向量依次为123,,ααα,利用分块矩阵有123123(,,)(,2,3)A =αααααα.因为123,,ααα是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵123(,,)ααα可逆.故11123123123111(,2,3)(,,)1401201231111232221325111401212102.661233035213A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααααα 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出3α,另一个难点就是反求矩阵A .十一、(本题满分7分)【分析】求分布函数(){}F x P X x =≤实质上是求{}X x ≤的概率. 【解析】由X 的绝对值不大于1,可得当1x <-时,{}()0F x P X x =≤=； 当1x ≥时,{}()1F x P X x =≤=； 又11{1},{1}84P X P X =-===,则 115{11}1{1}{1}1848P x P X P X -<<=-=--==--=；由题意X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X 的值属于(1,1)-的条件下,事件{}1X x -<≤的条件概率为：{}(1)11|111(1)2x x P X x X kk --+-<≤-<<==--(其中k 为比例正常数),又 {}11|111P X X -<<-<<=,而 {}1111|112P X X k k +-<<-<<==, 所以1k =,故{}11|112x P X x X +-<≤-<<=；当11x -<<时,{}{}{}1111X x X x X -<≤=-<≤-<<,所以{}{}11,11P X x P X x X -<≤=-<≤-<<.由条件概率公式,有{}{}{}11,111|11{11}1555,2816P X x P X x X P X x X P X x x -<≤=-<≤-<<=-<≤-<<-<<++=⨯= {}{}{}()11F x P X x P X P X x =≤=≤-+-<≤,而 {}{}{}11111088P X P X P X ≤-==-+<-=+=, 所以 {}{}{}15557()1181616x x F x P X x P X P X x ++=≤=≤-+-<≤=+=, 故所求的X 的分布函数为0,157(),11161,1x x F x x x <-⎧⎪+⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ .十二、(本题满分6分)【解析】已知X 在[0,60]上均匀分布,则其密度函数为：1,160,()600,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他.设Y 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟起行,则当05X ≤≤时,游客需等候时间5Y X =-； 当525X <≤时,游客需等候时间25Y X =-； 当2555X <≤时,游客需等候时间55Y X =-；当5560X <≤时,游客需等候时间60565Y X X =-+=-(这个时间段到达,就需要等下个整点的第５分钟,所以是605X -+).故Y 是关于到达时刻X 的函数：5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -≤≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩由随机变量函数期望的定义,有525556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601(12.520045037.5)11.67.60EY g x f x dx g x dx g x dx x dx x dx x dx x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞===⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量()Y g X =,且EY 存在,则有()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十三、(本题满分6分)【解析】设12X X 和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12T X X =+.由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则12X X 和的概率密度函数为55,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩. 因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12X X 和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当0t >时,T 的概率密度为55()5120()()()2525tx t x t f t f x f t x dx e e dx te +∞-----∞=-==⎰⎰.当0t ≤时,()0f t =,即525,0,()0,0.t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩ 由指数分布的期望和方差的结论,有12115EX EX λ===,1221125DX DX λ===, 由期望的性质,有1212112()555ET E X X EX EX =+=+=+=,由独立随机变量方差的性质,有1212112()252525DT D X X DX DX =+=+=+=. 【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若X 服从参数为λ的指数分布,则其期望1EX λ=,方差21DX λ=.2. X 与Y 相互独立,数学期望和方差的性质:()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122xx x D x xx=的展开式中包含3x和4x的项.解： 设123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x xττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x项有(1234)4(1)2210x x x x xτ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)02000010300004； (2)12300020304501.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2)ab ac ae bd cd de bf cf ef-------；(3)10011001101ab c d ---； (4) 1234234134124123.【解】(1)125062312101232562r r D+---=--;(2)1114111111D abcdef abcdef --==------;210110111(3)(1)111011111;bcD a a bcd c c dd ddabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1)22222()111aab ba ab b a b +=-；(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a bb b bc c c c dd d d ++++++=++++++；(3)232232232111()111a a a ab b ab bc ca b b cccc=++(4)20000()00nn aba b D ad bc cdcd==-；(5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏.【证明】(1)1323223()()()2()201()()()()()2()21c c c c a b a b b a b ba b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2)32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c aa a a aa b b b b b b c c c c c c dd d d dd ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b ccc==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a aab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a ab b cc+-(4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)00000(),n n n n ab abab ab D abcdcdc d c d dcad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得22(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-2().nn D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立. 按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.n n n n n i i nnnn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1)111111n xx D x =(2)122222222232222n D n=；(3)0000000000n x y x y D x y yx=. (4)nijD a =其中(,1,2,,)ija i j i j n =-= ；(5)21000121000120000021012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x=+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2)213111222210000101001002012n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.002002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n nn nx y y x y x y D x y x y x y y x xyx xy yx y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221212110122103123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----012211111111*********1111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行01221122111111200002000020000000022n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)22n n n n n n -----=---按第列展开.(5)21000200000100012100121001210001200012000120000021000210002101201212n D ==+122n n D D --=-.即有112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得2311110011.001001n nnn i ii i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,ia i n≠= ）.1111123222211223322221122331111123n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n ja j n -= ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式.【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=-12. 用克莱姆法则解方程组.(1)123123412342345,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩(2)121232343454556 1,56 0, 56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23141230123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.D D D D x x x x DDDD========-12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111a ab =-即(a +1)2=4b . 15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x=+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-=于是所求的多项式为23()752f x x x=-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y =上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=； （2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3）[]32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 11121321222331323310001101a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （6） 12101031010101210021002300303⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.【解】(1)32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4)3322211122233312211213311323322311()()()iji ji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x ax x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6)12520124004309⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2.设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-A B A;(2)-A B B A ；(3) 22()()-=-A +B A B A B吗?【解】(1)2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A B B A(3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ， 则=A O； (2) 若2=A A ， 则=A O或=A E；(3) 若A X =A Y，≠A O ， 则X =Y.【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E(3) 令11021,=,011121110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0则AX =AY ,但X ≠Y .4.设11A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k . 【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5.10010λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =， 求23A ,A并证明：121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k kk k k k k kk kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA A =所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A = 6. 已知A P =P B，其中10010000021001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P = 求A及5A.【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PB P而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PB PP B P A 7. 设a b c d ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A|.解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a d ca b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A又因为*A A =A E，所以有22222()a b c d -+++A =A E，且0<A ，即42222222224()()a b c d a b c d -++++++A=A A =AE于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A .8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X A Y Y B z X A Y A B z z,从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A，B 为n 阶方阵，且A为对称阵，证明：'B A B也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B A B也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′²B ′= -B ²(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′ = -BA -A ²(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′ = -BA +A ²(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得a cb d aa b c d cc d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得111222333333232323023000023222.023333c b c c b c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数.14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1)1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2)123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4)1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5)520021000083052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1)5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)12101201-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4)100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦;(5)120025000023058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而111002211≠-故112311101111122.0221113122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |²|B |²B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |²|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1²|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换.【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A Y 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1)12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =；(2)211211210210111111--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ； (3)142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4)01010004310000120101010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B 同理(2) X =10001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.03412-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若kA =O(k 为正整数)，证明：121()k --- E A =E +A +A ++A.【证明】作乘法212121()()k k k kk----=-----=-=E A E +A +A ++A E +A +A ++A A A A AE A E ,从而E -A 可逆，且121()k --- E A =E +A +A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-AA E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E ,A E A E E ,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2A B =A +B ,求B .【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E 即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A22. 设1-P AP =Λ.其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ， 求10A.【解】因1-P可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦AP P P PΛΛ23. 设m 次多项式01()mm f x a a x a x=+++ ，记01()mm f a a a =+++ A E A A,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =， 证明12kkk λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ；(2) 设1-A =P BP， 证明1kk-B =PA P，1()()f f -=B P A P.【证明】(1)232311232200,0λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立.今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,00kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A ++A++++++(2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm mm mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B BE PA PPA PP E A +A P P A P24. a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()xa d x ad bc-++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc cd cd ad bca bc ab bd a adab bd ad bc ac cd cb d ac cdad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E 0故A 满足方程2()0xa d x ad bc -++-=.25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A，证明：(1) 若｜A｜＝０，则｜*A｜＝０；(2)1n *-=AA.【证明】（1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设520032002100450000730041052062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B .求(1)A B ; (2)B A ; (3)1-A；(4)｜A ｜k (k 为正整数).【解】(1)232000109000046130329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B =; (2) 1980030130000331405222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A =;(3)1120025000023057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A=; (4)(1)kk=-A .27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）003100212100230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解】(1) 对A 做如下分块12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,0102501⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.0000300010001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A AA 同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A AA A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,rααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++ β=ααα【证明】 设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++= 0βββ把12i i +++ β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0 ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0,0.r r r k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ==== ，这与题设矛盾，故向量组12,,,rβββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案. 8.12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα== α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关.【证明】已知ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),ii i in ααα= α1,2,,i n = 组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i it t i r-== α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n r rrn r r r n nnnt t t t t t t t t t t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,sααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,rααα线性表出.证明：12,,,rααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若12,,,r ααα (1)线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,sααα的一个极大无关组，这与12,,,sααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组.11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.111111111111112001001010110100100011101100100k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),1101012a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121112aa b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,nααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,nααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,nααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,nααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,nααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,sβββ秩相同且12,,,mααα能经12,,,sβββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,mααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ijjj ai r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)jj r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价. 17. 设A 为m ³n 矩阵，B 为s ³n 矩阵.证明：m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故 ()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有m ax{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k ,12,,,j j jkβββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jkβββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ³n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ³s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r . 【证明】设A =(A s ,P s ³(n -s )),因为A 为行无关的s ³n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ³n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ³s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ³(n -s ))=(KA s ,KP s ³(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)1122102151203131141⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n+++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR)则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++=所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3. 24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的. 25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,01310000013100=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),11001100111011101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即。

1997 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题1 3 sin x + x cos2x （ 【 1）lim=.( + ) ( + ) x → 01 cos x ln 1 x 3答】. 213 sin x + x cos23 sin x 1 1x lim= lim + lim x cos【 详解】 原式＝ x →02x2 x →0 x x →0 2x3 = 3 + 0 = . 2 2∞∞∑∑+( − )n 1 n（ 【 【 2）设幂级数a x n的收敛半径为 3，则幂级数 na x 1 的收敛区间为 .n n =0n =1(− )答】2,4 . ∞∑ na xn 1 的收敛半径仍为 3，故−详解】 根据幂级数的性质，逐项求导后，得nn =1∞∞∑ ( − )n +1= ( − ) ∑( − )n −2na x 1n2nax 1 x 1nn =1n =1的收敛区间为 x −1 < 3, 即(−2,4 .)（ 3）对数螺线 ρ = e θ在点处切线的直角坐标方程为 .π【 答】 x + y = e 项解 1】2.【 由于 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, 螺线方程 ρ =e θ 可化为⎧ ⎨ ⎩ = θθ x e cos , y e sin . = θ θdy dxsin θ + cos θcos θ−sin θπ π|θ =π |θ =π由于= = −1,且当θ = 时， x = 0, y = e 2.222故所求切线方程为ππ y − e1 x 0 , = − ⋅( − ) 即 x + y = .22【 详解 2】螺线方程 ρ = e θ可化为隐函数方程：yln x 2 + y 2 = arctan ,x⎛ π⎞ ' (0)= −1,故所求切线方程为 y利用隐函数求导法，得在点⎜0,e 2⎟ 处的导数为⎝ ⎠π π y − e1 x 0 , = − ⋅( − ) 即 x + y =. 22 ⎡ 1 2 t −2⎤⎢ ⎥ （ 4）设 A = 4 3 , B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,则 t= .⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥ 13 ⎣ ⎦【 【答】 -3.详解】 由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,，可见线性方程组 Ax = 0存在非零解，故 1 2 t−23 = 0 ⇒ t = −3. A = 43 −1 1(5)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一 球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .2【 答】. 5【 详解】 设 A = {第一个人取出的为黄球}, B = {第一个人取出的为白球}，C = {第二个人取 出的为黄球}. 2 5 3 5 19 49 2049( ) =P A( ) = , P B ( ) = ( ) = 则, P C | A , P C | B . 由全概率公式知：( )= ( )⋅( )+ ( )⋅( )P C P A P C | AP B P C | B 2 5 9 3 20 19 + ×49 5 49 492= . 5= × = 二、选择题⎧ ⎪ xy+ y ,(x , y )≠ (0,0 ) ) ( )= x 2 2 ( ) ，在点 0,0 处 （ 1）二元函数 f x , y ⎨⎪ 0 , (x , y )= (0,0 ⎩（ A ）连续，偏导数存在. C ）不连续，偏导数存在. （B ）连续，偏导数不存在. (D) 不连续，偏导数不存在.（ 【 】【 【 答】 应选（C ）.详解】 由偏导数的定义知( ++ )− ( )f 0 x ,0 f 0, 0(0, 0)= lim= 0,f ' x +x+ x →0而当 y = kx ,有xy + x ⋅kx k1+ k lim= lim = ,(x ,y ) (0,0) → x 2 y 2 x → 0 x 2 + k 2 x 2 2k + k xy+ y ( ) ( ) 不存在，因而 f x , y 在点 0,0 处不连续， 2当 k 不同时，不同，故极限 lim 1 2 ( )→(0,0) x2 x ,y 可见，应选（C ）. ∫ b( ) f x dx ,[ ] ( ) > f x 0, f ( ) < x ( ) > x = (2)设在区间 a ,b 上'0, f ' 0 ，令 S 1 a 1( )( −) = ⎡ ( )+ ( )⎤( − )，则S 2 f b b a ,S = f a f b b a ⎣ ⎦ 3 2（ A ） S < S < S (B) S < S < S213.1 2 3.(C) S < S < S(D) S < S < S231.3 1 2. 【 】【 答】 应选（B ）.【 详解】( ) > ' ( ) < '( )>= ( ) [ ]0 知，曲线 y f x 在 a ,b 上单调减少且是凹曲线弧，于由 f x 0, f x 0, f x ( )> ( )是有 f x f b ,( )− ( )f b f a ( )< ( )+( − ) < <x a ,a x b .f x f a b − a 从而∫ b( ) > ( )( − ) = 2S 1 = = f x dx f b b a S ,a⎡ ⎢ ⎣ ( )− ( ) f b f a ⎤ ∫ b ( ) < f x dx∫ b ( )+ f a ( − ) S 1 x a dx ⎥ b − a a a ⎦ 12 = ⎡ ( )+ ( )⎤( − ) = f a f b b a S . ⎣ ⎦3 即S < S < S ,故应选（B ）. 2 1 3x +2π( ) = (3)设F x ∫ e sin t sin tdt ,则F (x ) x（ A ） 为正常数. C ）恒为零.（B ）为负常数. （D ）不为常数.（ 【 】【 答】 应选（A ）.【详解】 由于esin tsin t 是以2π 为周期的，因此x +2π 2π( ) = F x ∫ e sin tsin tdt = ∫ e sin tsin tdtx 02π = = −∫e sin t d cos t2π∫0 +cos 2t ⋅e sin t dt > 0.故应选（A ）.⎡ a ⎤ ⎡b ⎤ ⎡c ⎤1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ （ 4）设α = a ,α = b ,α = c , 则三条直线 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 12 2 23 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ c 3a 3 ⎣b 3 ⎦ ⎣ ⎦a x +b y +c = 0,a x + b y + c = 0,a x + b y + c = 0（其中a i2+ b i ≠ 0,i =1,2,3）交于一21 1 12 2 23 33 点的充要条件是（ （ A ）α ,α ,α 线性相关.（B ）α ,α ,α 线性无关.1231 2 3 (α α α ) (α α ) α α ,α 线性相关， , 线性无关. α α 12C ）秩r , , ＝秩r , （D ） , 1 2 3 1 2 1 2 3【 】【 【 答】 应选(D).详解】 由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组⎧ ⎪ ⎨ a x + b y + c = 011 1 a x + b y + c = 02 22 ⎪ a x + b y + c = 0 ⎩3 3 3(α α α ) (α α ) , ＝2. 1 2 有唯一解，其充要条件为秩秩 r , , ＝秩r 1 2 3 （ （ （ A ）、（C ）必要但非充分；（B ）既非充分又非必要；只有（D ）为充要条件，故应选（D ）. 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量3X − 2Y 的方差是 A ）8.（B ）16.（C ）28.（D ）44.【 】【 【 答】 应选（D ）. ( −) = 2 ( )+ 2 ( ) = × + × =详解】 D 3X 2Y 3 D X 2 D Y 9 4 4 2 44. ⎧ 2 = 2z y ∫ ∫∫(x 2)三、（1）计算 I =+ y 2 dV , 其中 Ω 为平面曲线 ⎨绕 z 轴旋转一周形成的曲面 x = 0⎩ Ω与平面 z = 8 所围成的区域.【详解】 利用柱面坐标，积分区域可表示为⎧ 2⎫ r Ω = (θ ⎨,r , z | 0 ) ≤θ ≤ 2π,0 ≤ r ≤ 4, ≤ ≤ z 8⎬,⎩ 2 ⎭ 于是⎛ ⎜ ⎝2⎞r 2π484∫ ∫ rdr ∫ ∫ 0I = d θ r 2dz = 2π r 38− dr ⎟ r 22 0⎠21 024π=. 3⎧ 2 + y =1 2 x v ∫ ( − ) + ( −) + ( − )（ 2）计算曲线积分z y dx x z dy x y dz ,其中C 是曲线 ⎨,x − y + z = 2⎩ C从 z 轴正向往 z 轴负向看，C 的方向是顺时针的. 【详解 1】令 x = cos θ, y = sin θ, 则 z = 2 − x + y = 2 − cos θ + sin θ由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应θ 值分别为θ = 2π,θ = 0. 于是v ∫ ( − ) + ( − ) + ( − ) z y dx x z dy x y dz C∫ 02 2cos 2θ −1⎤d θ − ⎡ (sin θ + cos θ )− ⎣= ⎦ 2 π| 0= = − ⎡ (cos θ + sin θ )−sin 2θ −θ ⎤ 2 ⎣ ⎦ 2 π −2π.【 详解 2】设 ∑ 是平面 x − y + z = 2 以 C 为边界的有限部分，其法向量与 Z 轴负向一致， D 为 ∑ 在 xyxOy 面上的投影区域.记F = (z − y )i + (x − z ) j + (x − y )k , i j ∂ k∂∂ 则rotF= 2k . ∂x ∂y ∂z z − y x − z x − y根据斯托克斯公式知v ∫ ( − ) + ( − ) + ( −) = ∫∫z y dx x z dy x y dz rotFdSC∑∫ ∫ ∫∫= 2dxdy = − 2dxdy ∑Dxy= −2π.（ 3）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N ,在t = 0时刻已掌握新技术的人数为 x , 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为 x t （将 x t 视为( ) ( ) 0 连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k > 0, 求 x t . ( )⎧ dx= ( − ) kx N x ⎪ 【 详解】 由题设，有⎨ dt , ⎪ ⎩x (0)= x 0 dx( − ) x N x 原方程可化为= kdt ,NCe kNt 积分，得x = , 1 + Ce kNtNx e kNt x =代入初始条件，得N − x + x e kNt0 0 ⎧ x + y + b = 0 四、（1）设直线 l : ⎨在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 2 相切于点2 x + ay − z −3 = 0⎩( − ) 1 , 2,5 ，求 a 、b 之值.【 详解 1】 令 F x , y , zx 2 y 2z ，则 F ( ) = + − '= 2x , F'= 2y , F' = −1.在点(1,−2, 5)处曲面得法向量为xy z n2, 4, 1= { − − }，于是切平面方程为( − )− ( + )−( − ) = x 1 4 y 2 z 5 0,2 即 2x − 4y − z −5 = 0. ⎧ x + y + b = 0由l : ⎨， x + ay − z −3 = 0 ⎩ 得= − + (− − ) x −b , z x 3 a x b 代入平面π 方程，得2 x + 4x + 4b − x + 3+ ax + ab −5 = 0,5+ a = 0, 4b + ab − 2 = 0.a = −5,b = −2有由此解得 【 详解 2】由方法一知，平面π 方程为 2π − 4y − z −5 = 0.⎧ x + y + b = 0过直线l : ⎨的平面束为 x + ay − z −3 = 0⎩ + + +κ ( + −− ) = x y bx ay z 3 0, ( + λ) + ( + λ) − λ + − λ =0.即 1 x 1 a z b 3 y 其与平面π 重合，要求1 + λ 1+ a λ −λ b −3λ= = = ,2−4 −1 −5 解得λ =1, a = −5,b = −2∂ ∂ 2 z ∂ 2 z ( ) = ( x)+ = e z , 求 2x（ 2）设函数 f u 具有二阶连续导数，而 z f e sin y 满足方程 x 2 ∂y2 ( )f u .【 详解】∂z ∂z ∂y = f ' (u )e (u )e (u )e xsin y , = f'(u )e x cos y ,y ,sin y + f ' (u )e 2x cos ∂x∂ ∂ ∂ ∂2 z= = f ' x sin y + f ' (u )e 2x sin 2x 2 2 z − f ' x2y ,y 2∂ ∂ 2 z ∂ 2 z + = e 2xz ,得'(u )− f (u )= 0.f代入方程 x 2 ∂y2 解此方程得( ) = u+ −uf u C eC e （其中C ,C 为任意常数）. 1 2 1 2( ) f x ∫1( ) ( ) x 并讨论 'ϕ (x )( ) ϕ ( ) = = A （ A 为常数），求ϕ ' 五 、设 f x 连续， x f xt dt ,且 lim 0x → 0x 在 x = 0 处的连续性. ( )f x = A 知， f 0 0, f 0 ( ) = ' ( ) = A ,且有 0 0. ϕ ( ) =【 详解】 由题设 limx → 0x x∫ ( )f u du ∫ 1( ) ( ≠ ) x 0 ,又ϕ ( ) = x f xt dtu xt =x 0x( )− ∫ ( ) xf x f u du 于是 ϕ ' (x ) = 0 (x ≠ 0) x2 由导数定义，有∫x( ) f u du ( ) f x Aϕ '(0)= lim= lim= . 22x 2x → 0x x → 0而xx( )− ∫ ( ) ∫ ( ) xf x f u du ( ) f u du f x lim ϕ ' (x )= lim 0 2 = lim − lim 0 2x → 0 x → 0 x x → 0 x x →0 x A A= A − = = ϕ ' (0)2 2可见，ϕ(x )在 x = 0 处的连续性.' ⎛ ⎞ 1 2 1 ( = ") 证明： 六、设 a 1 2,a n +1= = ⎜a ⎝+ ⎟, n 1, 2, , n a n ⎠（ 1） lim a 存在； nn →∞∞⎛ a n ⎞∑ （ 2）级数 ⎜ − ⎟ 收敛. 1 a n +1⎝ ⎠n =1 【 （ 详解】 1）因为⎛ ⎞− n 2 1 1 1 a a n +1 − a = ⎜a +⎟ − a = , n n n 2 a n 2a n⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 1 1而a n +1 = ⎜a + ⎟ ≥ a ⋅ =1, n n2 a n a n⎝ ⎠ 于是有 a n +1 − a ≤ 0,故数列 a 单调递减且有下界，所以 lim a 存在. { } n n n n →∞(2)方法一：ana − a nn +1≤ a − a .nn +1 由（1）知 0 ≤ −1= a n +1a n +1∞∞∑∑ ( − ) = ( − a k +1 ) = − 由于级数a na n +1 的部分和数列 S n a k a 1 a n +1 的极限 lim S 存在，可见 nn →∞n =1k =1∞∞⎛ a ⎞ ∑ ∑ ( − ) − a n a n +1 收敛，由比较判别法知，级数⎜ ⎝n1 ⎟ 也收敛. 级数an +1⎠ n =1n =1 方法二：an令 b = n−1，利用递推公式，有an +1bn +1b n1 a = lim ⋅2 n 2 +1 a n 2 −1ρ = lim⋅ = 0 <1, +1 a n 2 n →∞ n →∞ 4 a n +1∞⎛ a ⎞ ∑ n− ⎟ 也收敛. 1 由比值判别法知级数⎜ ⎝ a n +1⎠ n =1 七、（1）设 B 是秩为 2 的5×4 矩阵，α = (1,1, 2, 3 ,) T α = (− 1,1, 4, 1 , −) T5, 1, 8,9 α = ( − − 3) T1 2 是齐次方程组 Bx = 0 的解向量，求 Bx = 0 的解空间的一个标准正交基. ( )= − ( )= − =详解】 因秩 r B 2, 故解空间的维数为： 4 r B 4 2 2,【又α ,α 线性无关，可见α ,α 是解空间的基. 1 2 1 2 先将其正交化，令：⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 3⎤−⎥ 4 2 = ⎢ 3 ⎥ ⎡ ⎢ ⎢ 1⎤ ⎡−1⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎥ (α β ) , 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − β = α = ,β = α − 2 1 β = 1 1 1 ⎢ ⎥ 2 2 (β β ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥2 , 43 2 1 1 10 3 ⎥ ⎢ ⎣⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3⎦ ⎣−1⎦ ⎣3⎦ ⎢ ⎥ − 2 ⎣ ⎦再将其单位化，令：⎡ ⎢ ⎢ 1⎤⎡−2⎤ ⎥1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥⎥β1 β1 1 1 β2 β2 1 1 ⎥ η = 1 = ,η = = ⎢ ⎥ 2 ⎢ 5 2 39 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣3⎦ ⎣−3⎦ 即为所求的一个标准正交基.⎡ ⎢ 1 ⎤⎡ 2 −1 2 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎥ (2)已知 ζ = 1 是矩阵 A = 5 a b 3 − ⎥2的一个特征向量. ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎢− ⎣ 1 1 ⎦ ⎦ (I)试确定参数 a ,b 及特征向量ζ 所对应的特征值；问 A 能否相似于对角阵？说明理由.(II)【 详解】 （I ）由题设，有 A ζ = λ ζ ,即⎡ ⎢ ⎢2 −1 2 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 a b 3 1 = λ 1 , 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣−1 2 1 − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎧ ⎪ 2 −1− 2 = λ0 ⎨ 5+ a −3 = λ 也即 0 ⎪ − 1+ b + 2 = −λ0 ⎩解得a = −3,b = 0,λ = −1.（ I I ）由⎡ ⎢ 2 −1 2 ⎤λ − 2 1λ +0 −2⎥ A = 5 a b 3 − ⎥2，知 λ − E A = −5 3 −31 , = (λ + )3 ⎢ ⎥⎦ ⎢ −1 λ + 2 1⎣ 可见 λ = −1为 A 的三重根，但秩 r E A2, 从而(− − ) = λ = −1对应的线性无关特征向量只有3− r (− −)= 个，故 A 不可对角化.E A1 八、设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第i 行和第 j 行对换后得到的矩阵为 B .（ 1） 证明B 可逆;AB − .1 （ 【 （ 2） 求 详解】 ( ) 1） 记E i , j 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则( ) ，于是有 B = E (i , j ) A = − A ≠ 0.故B 可逆E i , j A B = − 1 AB − 1 = A ⎡E (ij ) A ⎤ = ⎦AA −1 E −1 (i , j ) E − (i , j )= E (i , j ). = 1 （ 2） ⎣ 九、从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话2 独立的，并且概率都是 , 设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数 5 和数学期望.⎛ ⎝ 2 ⎞ 5 ⎠【 详解】 X 服从二项分布B ⎜3, ⎟，其分布律为k 3−k ⎛ ⎝ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ { P X k = } =C 3k ⋅ ⋅ 1− ,k = 0,1, 2, 3. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 因此，X 的分布函数为 ⎧ ⎪ ⎪ 0, x < 0 7 , , , 0 ≤ x <1 1≤ x < 2⎪ ⎪125 1 ( )= { ≤ } = F x P X x ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 8 1 25 117 2 ≤ x < 3 ⎪ ⎩125 2 6 5( )= ⋅ = X 的数学期望为 E X 3 . 5 十、设总体X 的概率密度为⎧ ⎨ ⎩(θ + ) x ,0 < x <1 θ 1 ( ) = f x 0,其他 其中θ > −1是未知参数，x , x ,", x 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别 1 2 n用矩估计法和极大似然估计法求θ 的估计值.详解】 总体 X 的数学期望为【 θ +1 θ + 2+ ∞ 1 ( )= ∫ ( ) = ∫ (θ + ) θ +1 E X xf x dx 1 x dx = . −∞ 0θ +1 θ + 2 2X −1 ^ 令 设 = X ，得参数θ 的矩估计量为θ = . 1− X x , x ,", x 是相应于样本 X , X ,", X 的一组观测值，则似然函数为 1 2 n 1 2 n⎧ ⎪ θ ⎛ n ⎞ ∏ " (θ + ) n < < ( = )1 x ,0 x i 1 i 1, 2,3, ,n ⎜ ⎟ i L = ⎨ ⎝ 0 i =1 ⎠ ⎪ ⎩ 其他. 当 0 x 1 i 1, 2,3, ,n < < ( = " )时， L > 0 且i n ∑ ln L = n ln (θ + )+θ 1 ln x ii =1d ln L d θ n θ +1 n ∑ 令 = + ln x = 0,i i =1^ n得θ 的极大似然估计值为 θ = −1− n ∑ ln x ii =1^ n从而 θ 的极大似然估计值为 θ = −1− n ∑ ln x ii =1。