复旦大学数学分析考研试题及答案
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数学分析复旦答案【篇一:复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜,试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为8.9g/cm3。
)解球体积v?43?r3,每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明,函数y点之外都是可微的。
证当x?0时,?y?微。
当x?0时,?y???3x2在它的整个定义域中,除了x这一?x2是?x的低阶无穷小,所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1.设f?(x0)存在,求下列各式的值:⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x;limx?x0f(x)?f(x0)x?x0;。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2.⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数;⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程;⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程;⑷问该抛物线上是否有(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行?解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x,所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1,切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5,法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一:数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算,并定义顺序关系,满足下面三条公理,则称r为实数域或实数空间。
(1)域公理:(2)全序公理:则或a中有最大元而a中无最小元,或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的,连续性公理也称完备性公理有许多等价形式(比如确界原理),它是区别于有理数域的根本标志,它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受,故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性(完备性)公理实数的连续性(完备性公理)有许多等价形式,它们在使用起来方便程度不同,这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理:确界原理:单调有界定理:区间套定理:有限覆盖定理:(heine-borel)聚点定理:(weierstrass)致密性定理:(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则:(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r?如何叙述?n2闭区间上连续函数的性质有界性定理:上册p168;下册p102,th16.8;下册p312,th23.4最值定理:上册p169;下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理:上册p169;下册p103,th16.10一致连续性定理(cantor定理):上册p171;下册p103,th16.9;下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义:(1)确界定义;(2)聚点定义;(3)n定义评注确界定义易于理解;聚点定义易于计算;n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大(小)聚点的存在性。