1995年复旦大学数学分析与线性代数考研试题

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2) 202cos xd x t dt dx =⎰______________.(3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________. (4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B =______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交(2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是()(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln 1n n u ⎛=-+ ⎝,则级数( )(A) 1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散(C) 1n n u ∞=∑收敛而21nn u ∞=∑发散 (D) 1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin y u f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0zϕ∂≠∂,求du dx .(2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设10()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z 在柱体222x y x +≤内的部分.(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠；(2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量X Y e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】20224cos 2cos xt dt x x -⎰ 【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nna x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)lim lim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n xa a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题. 直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭,平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以0000()(1sin )()(0)()()(0)lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ① 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得00sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C)【解析】这是讨论1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛= ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则 ⑴ 当0A <<+∞时,1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛；若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛；若1n n u ∞=∑发散,则1n n v ∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0y x e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得 ()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ①现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得 123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序1()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx =-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==. 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰(2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x '-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭= ⎝,得3c =,L 的方程为3)y x <<.六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀, ()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)2200(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 120()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 ()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-, 考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''.方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-. 于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=, 所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+, 所以 A E A E A +=+, 即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y . 当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y yf y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于x y e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y yy ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。

（装订线内不要答题）一、ｎ+1阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）xnxxAn-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=111121111111111（2）xaaaaxaaaaxaaaaaBnnnn⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=211221二、假设BA,为n阶矩阵，且ABIn+可逆，其中nI为n阶单位阵，证明：BAIn+也可逆，并求1)(-+BAIn(14分)三、设=A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11211，（1）求正交阵Q使得AQQ T是对角阵；（2）计算2000A。

（共14分）四、设有两个方程组：（I）⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421xxxxxxxxxx(II)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=-++txxnxxxxm xxx434324321211452(1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解；（2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出nmt,,。

（20分）第 1 页第 2 页五、设V 是数域P 上的n 维线性空间，τσ,是空间V 上的线性变换，σ在数域P 上有n 个不同的特征值，证明：（1）σ的特征向量都是τ的特征向量的充要条件是τσστ=；（2）若τσστ=，则τ是12,,,,-⋅⋅⋅n σσσε的线性表示，其中ε表示V 上的恒等变换。

（20分）六、设实二次型2212222121),,,(t s s s n l l l l l x x x f ++-⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅，其中),,2,1(t s i l i +⋅⋅⋅=是n x x x ,,,21⋅⋅⋅的一次齐次式，证明：),,,(21n x x x f ⋅⋅⋅的正惯性指数s p ≤，负惯性指数t q ≤。

(12分)。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2)202cos x d x t dt dx=⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn n x ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( )(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( )(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠；(2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2x t dt x x x =-⋅⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有 2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn nnn n n n n n n x a a n xn x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以0000()(1sin )()(0)()()(0)lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知00()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==.其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L 的方程为(03)y x =<<.六、(本题满分8分) 【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 ()()1200()1()t t dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰. 即 1200()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与 ()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即 ()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有 |||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T TA E A AA A E A E A +=+=+=+,所以 A E A E A +=+,即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有 ()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分) 【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 0011,yy x x e dx e y--==-=-⎰ 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为 10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0lim >-x xx sin 2)31(+ =6e .(2) dx d dt xt x ⎰022cos = 2224cos 2cos xt dt x x -⎰.(3) 设 2)(=⋅⨯c b a , 则 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+ = 4 .(4) 幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nnx n 的收敛半径R =3.(5) 设三阶方阵A B 、 满足关系式16A BA A BA -=+，且A =1/30001/40001/7⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则=B 300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L (C)(A) 平行于π. (B) 在π上 (C) 垂直于π. (D) 与π斜交(2) 设在]10[，上0)(>''x f ，则)0(f '、)1(f '、)0()1(f f -和)1()0(f f -的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. (B) )0()0()1()1(f f f f '>->'. (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. (D) )0()1()0()1(f f f f '>->'.(3) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设)11ln()1(nu n n +-=，则级数 (C)(A) ∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛.(5) 设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010，P 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001，则必有 (C)(A) A P 1P 2 = B (B) A P 2P 1 = B (C) P 1P 2A = B (D) P 2P 1A = B. 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 设(,,)u f x y z =,2(,,)0,sin y x e z y x ϕ==,其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且z∂∂ϕ≠0，求dxdu . 解：,du f z dy f dz dx x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂……2分 1231cos ,(2cos )y dy dz x x e x dx dx ϕϕϕ''==-+⋅', ……4分 故sin 1231cos (2cos )x du f z f x x e x dx x y z ϕϕϕ∂∂∂''=+-+⋅∂∂∂'. ……5分(2) 设()f x 在区间[]1,0上连续，并设10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.解：更换积分次序，可得1111()()()()()()yxxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,……2分于是111112()()()()()()x xxdxf x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120()()dx f x f y dy A ==⎰⎰……4分 所以1121()()2xdx f x f y dy A =⎰⎰. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+222x y x +≤内的部分.解：∑在xoy 平面上的投影区域为22D 2x y x +≤：，221()()2z z dS d d x yσσ∂∂=++=∂∂. 于是222zdS x y d σ∑=+⎰⎰⎰⎰……3分 2cos 22022d r dr πθπθ-=⎰32016322cos 239d πθθ==……6分(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展成周期为4的余弦级数.解：2002(1)0,2a x dx =-=⎰ ……1分222000222(1)cos (1)sin sin2222n n x n x n xa x dx x d dx n n πππππ=-=-=-⎰⎰⎰224[(1)1]n n π=-- ……4分2202(1,2,)821(21)n k k n k k π=⎧⎪==⎨-=-⎪-⎩ .22181(21)()cos ,[0,2](21)2k k xf x x k ππ∞=-=-∈-∑. ……6分注：展开式也可写作2214(1)1()cos ,[0,2]2n n n xf x x n ππ∞=--=∈∑.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xoy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A.已知MA = OA ，且L 过点)23,23(，求L 的方程.解：设点M 的坐标为(,)x y ，则切线MA 的方程为()Y y y X x '-=-.令0X =，则'Y y xy =-，故点A 的坐标为(0,')y xy -.……2分 由MA OA =，有22'(0)(')y xy x y y xy -=-+-+即212'yy y x x-=-. ……4分令2z y =，得dz zx dx x -=-. 解得11()()dxdx x x z e xe dx c x x c -⎰⎰=-+=-+⎰，即22y x cx =-+……6分由于所求曲线在第一象限内,故2.y cx x =-再以条件33()22y =代入得3c =，于是L 的方程为23.(03)y x x x -<<……7分注：不写(03)x <<不扣分.六、(本题满分8分)设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意t 恒有()()()()dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+,10,01,0,0),(2),(2，求),(y x Q .解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Q xy x x y∂∂==∂∂. ……2分于是，2Q(,)()x y x c y =+，其中()c y 为待定函数. ……3分又(,1)1122(0,0)002(,)[()](),t xydx Q x y dy t c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰(1,)2(0,0)2(,)[1()]()t ttxydx Q x y dy c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰.……6分故由题设知12()()tt c y dy t c y dy +=+⎰⎰.两边对t 求导得21(),()21t c t c t t =+=-从而()21c y y =-，所以2(,)21Q x y x y =+-.……8分七、(本题满分8分)假设函数)(x f 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====，试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 证：(1) 用反证法. 若存在点(,)c a b ∈，使()0g c =，则对()g x [,]a c 和[,]c b 上分别 应用罗尔定理，知存在1(,)a c ξ∈和2(,)c b ξ∈，使12()()0g g ξξ''==. ……2分再对'()g x 在12[,]ξξ在上应用罗尔定理，知存在3123(,),''()0g ξξξξ∈=使， 这与题设''()0g x ≠矛盾，故在(,)a b 内()0g x ≠.……4分 (2) 令()()'()'()()x f x g x f x g x ϕ=-，……6分易见()()0a b ϕϕ==，对()x ϕ在[,]a b 上应用罗尔定理，知存在(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=. 即()''()-''()()0f g f g ξξξξ=.因()0,''()0g g ξξ≠≠，故得()()()()f fg g ξξξξ''=''. ……8分八、(本题满分7分)设三阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A .解：对应于231λλ==有两个线性无关的特征向量23,ξξ，它们都与1ξ正交， 故可取23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-，.……3分令0101/2021/202P ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，……5分则1T PP -=，于是1010100021/210020201010000100101020201/22A PAP -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ---⎝⎭⎝⎭⎝⎝.……7分 九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵，满足AA I '=（I 是n 阶单位阵，A '是A 的转置矩阵），0A <，求I A +.解：因||||||||A I A AA A I A ''+=+=+……2分 |||()|||||A I A A I A '=+=+，……4分 所以(1||)||0A I A -+=.由因1||0A ->，故||0I A +=.……6分十、(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4 ，则2X 的数学期望 )(2X E ＝ 18.4 .(2) 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则{max (,)0}57P X Y ≥=/.十一、(本题满分6分)设X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f xX ，求Xe Y =的概率密度)(yf Y .解：(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤……1分 0,1{ln },1y P X y y <⎧=⎨<≥⎩，……3分故1y ≥时，ln 0(){ln }yx Y F y P X y e dx -=<=⎰，21()()Y Y f y F y y'==……5分因此20,1()1,1Y y f y y y <⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1)【 同数学一 第三、(1) 题 】(2) 求曲面222y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面方程.解：2200000(,,).{,2,1}.2x P x y z z y P x y =+-设切点为于是曲面在点的法矢量为因所给平面的法矢量为{2,2,1}-.故由条件知0021.221x y -==- 所以切点坐标为22000002,1,32x x y z y ===+=.……3分 于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,x y z -+---=即2230x y z +--=. ……5分(3) 计算二重积分 2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 是由双曲线122=-y x 及直线y = 0, y = 1所围成的平面区域. 解：22112201y yDx ydxdy dy ydx ++=⎰⎰⎰……2分1351222200222(1)(1)(421)31515y y dy y =+=+=⎰. ……5分四、(本题满分12分)【 同数学一 第四题 】 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分8分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题共2小题，每小题7分，满分14分)(1) 设 1234234243211233x x x x x ax ax x x +++=⎧⎪+-=-⎨⎪+=⎩，问a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.解：因1321113211011012221203300221a aa a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，……3分所以2a≠时，方程组有解，……4分其通解为1234710232221112aaxaxk axx a-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭，其中k为任意常数. ……7分(2)【同数学一第八题】九、(本题满分6分)【同数学一第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设221cos()siny x x=，则y '=22221122sin()sinsin cos()x x x x x x --. (2) 微分方程x y y 2-=+''的通解为x c x c x y sin cos 221++-=.(3) 曲线 231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为370x y --=. (4) ∞→n lim (112++n n + 222++n n ++ nn n n ++2 ) =21.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为y =.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则 （D ）(A) [()]f x ϕ必有间断点 （B ）2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 （D ）)()(x f x ϕ 必有间断点(2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 (C)(A) 2(1)(2).x x x dx ---⎰（B ）⎰⎰-----1021.)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x(C) 1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰； （D ）dx x x x )2)(1(2--⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12,x x ，当12x x >时，有12()()f x f x >，则 （D ）(A) 对任意x ，()0f x '>. (B) 对任意x ，()0f x '-<. (C) 函数()f x -单调增加. (D) 函数()f x --单调增加.(4) 设在[0,1]上()0f x '''>(0)=0f ''，则)1(f '、)0(f ' 、)0()1(f f - 和)1()0(f f - 的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. ( B ) )0()0()1()1(f f f f '>->' (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. ( D ) )0()1()0()1(f f f f '>->'. (5) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若()F x 在0x =处可导，则必有 (A)(A)(0)0f =. (B).0)0('=f (C)(0)'(0)0.f f += (D)(0)'(0)0.f f -=三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 求)cos 1()cos(1lim 0x x x x --+→.解：原式0lim (1cos )(1cos )x x x x +→=-+……1分2012lim 1(1cos 2x x x x x +→=⋅⋅+ ……4分12=. ……5分(2) 设函数()y y x =方程()f y yxee =确定，其中f 具有二阶导数，且,1'≠f 求22d ydx. 解：方程两边取对数，得ln ()x f y y +=. 对x 求导，得1'()''f y y y x+=从而1'(1'())y x f y =- ……2分故222231'()''()'(1'())''()''(1'())[1'()]f y xf y y f y f y y x f y x f y ----=-=---. ……5分(3) 设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ， 求⎰dx x )(ϕ解：因为222(1)1(1)ln (1)1x f x x -+-=--，所以1()ln1x f x x +=-. ……1分 又()1()11[()]lnln ,,()=()1()11x x x f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ+++===---从而. ……3分 于是21()2ln(1)(ln(1))1x x dx dx x x c x x c x ϕ+==-++=-++-⎰⎰或 ……5分(4) 设21,0()0,0xarctg x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试讨论'()f x 在0x =处的连续性. 解：因为201'(0)lim2x xarctg x f x π→==， ……2分 2240012lim '()lim()12x x x f x arctg x x π→→=-=+, ……4分所以'()f x 在0x =处是连续的. ……5分(5) 求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱（0π2≤≤t ）的弧长.解：sin ,1cos ,dx dy t t dt dt==- ……1分所以22sin (1cos )ds t t dt =+-2(1cos )2sin (02)2tt dt dt t π=-=≤≤. ……3分 从而202sin 82ts dt π==⎰.……5分(6) 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 00v v t ==.已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t 为多少时此质点的速度为3v ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 解：设质点的运动速度为()v t .由题设,有00()()0t v t v t v v ='+=⎧⎨⎢=⎩. ……2分解此方程,得0()t v t v e -=. ……3分 由03t v v e -=，解得ln 3t = ……4分到此时刻该质点所经过的路程ln300023t s v e dt v -==⎰.……5分四、(本题满分8分) 求函数()f x =⎰--2)2(x t dt e t 的最大值和最小值.解：因为(),()).f x f x ∞是偶函数故只需求在[0,+内的最大值与最小值 ……2分令22'()2(2)0x f x x x e -=-=，故在区间(0,)+∞内有唯一驻点2x =而当02x <<'()0f x >；当2x >'()0f x <，所以2x =.……4分最大值为22200(2)(2)(2)t t tf t e dt t e e dt ---=-=--⎢-⎰⎰21e -=+. ……6分又因为000(2)(2)211t t t t e dt t e e +∞--+∞-+∞-=--⎢+⎢=-=⎰，(0)0f =，故(0)0f =是最小值.……8分五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程x y x p xy =+)('的一个解，求此微分方程满足条件ln 20x y =⎢=的特解.解：以x y e =代入原方程，得()x xxe p x e x +=，解出().x p x xe x -=-……2分代入原方程，得'().x xy xe x y x -+-= 解其对应的齐次方程'(1)0x y e y -+-=，有(1),ln ln x x dye dx y c e x y--=-+-=+，得齐次方程的通解x x e y ce -+=. ……5分 所以原方程的通解为xx x e y e ce -+=+. ……6分于是由ln20x y =⎢=，得12220e c +=，即12c e-=-，故所求特解为12x x e xy e e-+-=-. ……8分六、(本题满分8分)如图，设曲线L 的方程为()y f x =，且.0''>f 又MT 、MP 分别为该曲线在点M （x 0,y 0）处的切线和法线.已知线段MP 的长度为232))(1(y y '''+，（其中，)(''''),(0000x y y x y y ='='），试推导出点),(ηξP 的坐标表达式. 解：由题设得232200020(1)()()y x y y ξη'+-+-='' (1)又PM MT ⊥，所以000'x y y ξη-=-- (2) ……4分2220020(1)(1),(2) ()y y y η'+-=''由解得.200001''0,L 0,y y y y y ηη'+>-<-=-''由于曲线是凹的,故从而. ……6分又2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=''，于是得200002000(1)(1)y y x y y y y ξη⎧''+=-⎪''⎪⎨'+⎪=+⎪''⎩.……8分七、(本题满分8分) 设0sin ()x tf x dt tπ=-⎰，计算⎰π0)(dx x f .解：00()()'()f x dx xf x xf x dx πππ=⎢-⎰⎰……3分 00sin sin x xdx x dx x x πππππ=---⎰⎰……6分 00sin sin 2x xdx xdx x ππππ-===-⎰⎰. ……8分八、(本题满分8分) 设1)(lim=→xx f x ，且0)(''>x f , 证明()f x x ≥. 证：因为()f x 连续且具有一阶导数，所以由0()lim 1x f x x→=，知(0)0f =. 从而有00()(0)()'(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-===-.……3分令()()F x f x x =-，则(0)0F =. 由于'()'()1F x f x =-，所以(0)0F '=.又由()()0F x f x ''''=>……5分(0)()'().()F F x F x F x 知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F 从而是()F x 的最小值.因此()(0)0,()F x F f x x ≥=≥即. ……8分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设1()1x f x x-=+，则()()n f x =1(1)2!(1)n n n x +-⋅⋅+. (2) 设()yz xyf x=，()f u 可导，则zz y z x y x 2='+'.(3) 设x x f +=1)(ln '，则()f x =x x e c ++. (4) A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001，A*是A 的伴随矩阵，则( A* )1-=1/10001/51/503/101/51/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数μ和2σ未知，记X =∑=ni i X n 11，∑=-=ni i X X Q 122)(，则假设0:0=μH 的t 检验应使用统计量t =(1)Xn n Q-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件 12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A) 2 （B ）-1 （C ）12. (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是 (A)(A)⎰-11.sin 1dx x (B)121dx x--⎰ (C)2x edx +∞-⎰(D)221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n ，I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足BA=0，则B=0(D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布，记U =X -Y,V =X +Y ，则随机变量U 与V 必然 (D)(A) 不独立(B) 独立 (C) 相关系数不为零(D) 相关系数为零(5) 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ）,则随着σ的增大，概率P{}σμ<-X (C )(A) 单调增大(B) 单调减小 (C) 保持不变(D) 增减不定三、(本题满分6分)设()f x =2202(1cos ),01,01cos ,0xx x x x t dt x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪>⎩⎰若若若，试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性. 解：(1) 由2002sin lim (1cos )lim 1,x x x x x x--→→-== ……1分 220001cos lim cos lim 11x x x x t dt x ++→→==⎰, ……2分 可知0lim ()1(0)x f x f →==，于是，函数()f x 在0x =处连续 ……3分(2) 分别求()f x 在0x =处的左右导数，2230012(1cos )2(1cos )(0)lim [1]lim x x x x x f x x x---→→---'=-= 20002sin 22cos 2sin lim lim lim 0363x x x x x x x x x ---→→→---====， ……4分222000cos 11(0)lim cos 1lim xx x x t dt x f t dt x x x+++→→-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭⎰⎰2200cos 12sin lim lim 022x x x x x x ++→→--===. ……5分 由于左、右导数都等于0,可见()f x 在0x =处可导.且'(0)0f =.……6分注：若只说明()f x 在0x =处可导，并说明可导一定连续，仍给满分.四、(本题满分6分)已知连续函数)(x f 满足条件320()()3xx t f x f dt e =+⎰,求)(x f .解：两端同时对x 求导数，得一阶线性微分方程2()3()2x f x f x e '-=……1分 解此方程,有()f x 233332(2)(2)2.x x x x x x xe e dx c e e dx c e ce e --=⋅+=+=-⎰⎰……4分 由于(0)1, 3.f c ==可得 ……5分 于是x x e e x f 2323)(-=.……6分五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--)展成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：2ln(12)ln(12)(1)ln(1)ln(12)x x x x x x --=-+=++-……1分231ln(1)(1),(-1,1];23nn x x x x x n++=-+-+-+ 其收敛区间为 ……3分 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+ ,11,).22其收敛区间为[-……5分 于是有,2111(2)ln(12)[(1)(1)]n n n n n x x x x n n ∞++=---=-+-∑ 11(1)211,[,).22n n n n x n +∞=--=-∑其收敛区间为……6分六、(本题满分5分) 计算{}22()min ,xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.解：2222yxy x x y I edy xedx e dx yedy +∞+∞-----∞-∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰……2分 22222211.22y x x e dy e dx e dx +∞+∞+∞----∞-∞-∞=--=-⎰⎰⎰ ……3分作换元,令,22t dtx dx ==，有22221222t t I e dt e dt ππ+∞+∞---∞-∞=-=⎰ ……4分 2,2ππ==-……5分2212t edt π+∞--∞=⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q P =,收益函数为R PQ =,其中P 为产品价格,Q 为需求量（产品的产量），()Q P 是单调减函数，如果当价格为0P 时，边际收益00|Q Q dRa dQ==>,收益对价格的边际效应0P P dRc dP==<,需求对价格的弹性为1p E b =>，求0P 和0Q .解：由收益R PQ =对Q 求导，有dR dP P QdQ dQ =+P =+dP P dQ Q ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()(1)pP P E -=-，于是001(1)Q Q dR P a dQ b =⎢=-=. 即0.1abP b =- ……3分又由收益R PQ =对Q 求导，有()(1)p dQdR dQ Q Q P Q Q Q E dP dP dPP=+=--=-，故00(1).P P p dR Q E c dP =⎢=-= ……5分 因此0.1cQ b=-……6分 八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间 [,]a a -(0a >) 上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足条件()()f x f x A +-= (A 为常数)(1) 证明:()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分⎰=22.sin ππdx arctge x x证：(1) 0()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰而()()()()()()aaax t f x g x dx f t g t dt f x g x dx -=----=-⎰⎰⎰.……2分()()()()()()aaa af xg x dx f x g x dx f x g x dx -=-+⎰⎰⎰于是[()()]()()a af x f xg x dx A g x dx =+-=⎰⎰.……3分(2) 取(),()sin ,2x f x arctge g x x a π===，则(),()f x g x 在[,]22ππ-上连续，且()g x 为偶函数. 由于(arctge +arctge )=0x x -'，故arctge +arctge =A x x -， ……4分令0x =，得21arctg A =，故.2A π=从而()().2f x f x π+-=……5分于是有222sin sin 2xxarctge dx xdx ππππ-=⎰⎰2200sin (cos )222xdx x πππππ==-⎢=⎰. ……6分九、(本题满分9分)已知向量组(I)123,,ααα；(II)1234,,,αααα；(III)1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别 为R(I)= R(II)=3，R(III)=4. 证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证：因R(I)= R(II)=3，所以123,,ααα线性无关.而1234,,,αααα线性相关，故存在数123,,λλλ使2423131λλααααλ=++. （1）……3分设有数1234,,,k k k k ，使得123123454)(0k k k k ααααα+++=-，将（1）代入上式，化简得11421232433445)((0())k k k k k k k ααλλααλ--+++-=. 由R(III)=4，知1235,,,αααα线性无关.……6分所以11422433440000k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩，于是有12340k k k k ====.故12354,,,ααααα-线性无关，即其秩为4.……9分十、(本题满分10分)已知二次型=),,(321x x x f 323121232284434x x x x x x x x +-+-.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵.解：(1) f 的矩阵表达式为112312323022(,,)(,,)244243x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， ……2分(2) 二次型的矩阵为022244243-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ， A 的特征方程为222||244(1)(36)0243λλλλλλ--=---=--=-+I A ，由此得A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.对应的特征向量为1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2152α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3112α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭； ……6分对应的单位特征向量为1505β=⎪ ⎪，2303030β=，3666β=. 由此可得正交矩阵1235306(,03065306P βββ==,).……8分对二次型f 作正交变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……9分则二次型f 可以化为如下标准型222123123(,,)66f x x x y y y =+-. ……10分十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率为0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试， 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n ( n ≥2 ) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两件不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两件不能出厂的概率θ.解：对于新生产的每台仪器，引进事件：A=｛仪器需进一步调试｝，B={仪器能出厂}， 则A ＝｛仪器能直接出厂｝，AB ＝｛仪器经调试后能出厂｝.由条件知,B A AB =+；()0.30,(|)0.80,P A P B A ==()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==⨯=，()()()0.700.240.94P B P A P AB =+=+=，……3分设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(,0.94)n 的二项分布，因此{}0.94n P X n α===，……4分 222{2}0.940.06n n P X n C β-==-=⋅⋅，……6分1{2}1{1}{}10.940.060.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⋅⋅-.……8分十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y x y ϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩若其他 ,求X 和Y 的联合分布函数(,)F x y .解：(1) 对于00x y <<或，有(,){,}0F x y P X x Y y =≤≤=. ……1分 (2) 对于01,1x y ≤≤≤≤0，有220(,)4xyF x y uvdudv x y ==⎰⎰，……３分 (3) 对于1,1x y >>，有(,)1F x y =.……４分 (4) 对于1,1x y >≤≤0，有2(,){1,}F x y P X Y y y =≤≤=. ……６分 (5) 对于1,1y x >≤≤0，有2(,){,1}F x y P X x Y x =≤≤=.……８分故X 和Y 的联合分布函数22220,0001,1(,)1,11,111,1x y x y x y F x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩或000.数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设 ⎰∞-∞→=+a t axx dt te xx ,)1(lim 则常数a = 2 .(2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第一、(4) 题 】(5) 设X 是一个随机变量，其概率密度为1,10()1,010,x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩若若其他,则方差=X D 16. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】(3) 设n 维行向量11(,0,0)22α= ,矩阵T A I αα=-,2TB I αα=+,其中I 为n 阶单位矩阵，则AB 等于 (C) (A) 0(B) I -(C) I(D) TI αα+(4) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n, I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 非齐次线性方程组AX = b 一定有无穷多组解 (D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式. (5) 【 同数学四 第二、(5) 题 】三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分6分) 求不定积分⎰dx x 2)(arcsin .解：222(arcsin )(arcsin )1x dx x x dx x=--⎰……2分222(arcsin )(1)1x x x x=+--……3分 22(arcsin )212x x x x dx =+--⎰……5分 22(arcsin )212x x x x x c =+--+.……6分五、(本题满分7分)【 同数学四 第八题 分值不同 】 六、(本题满分6分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分5分)设)(x f 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--.证：做辅助函数()()F x x f x =， ……1分 则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()'().F b F a F b aξ-=-……3分 由于()()()F x f x xf x ''=+. ……4分可见()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-.……5分 八、(本题满分9分)求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域 Ｄ上的极值、最大值与最小值.解：由方程组222(,)2(4)0(,)(4)0xy f x y xy x y x y f x y x x y x y ⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩，得0,(06)(4,0),(2,1).x y =≤≤及点因点(4,0)及线段0x =在D 的边界上，故只有点(2,1)是可能的极值点. 由于222862,834,2xx xy yy f y xy y f x x xy f x ''''''=--=--=-……3分故在点(2,1)处，有22186260x xx y A f y xy y ==''==--⎢=-<，2218344,x xy y B f x x xy ==''==--⎢=-22128x yy y C f x ==''==-⎢=-，21648320B AC -=-=-<.因而点(2,1)是极大值点，其极大值为 (2,1)4f =.……5分显然在边界0(06)x y =≤≤和0(06)y x =≤≤上，有(,)0f x y =；而在边界6x y +=上，6y x =-，代入(,)f x y 中有，32212(06)Z x x x =-≤≤.……6分由2'6240Z x x =-=，得0,4x x ==，又44Z''1224240x x x ==⎢=-⎢=>，所以点(4,2)是边界6x y +=上的极小值点，极小值为(4,2)64f =-. ……8分 经比较得，最大值为(2,1)4f =，最小值为(4,2)64.f =-……9分九、(本题满分8分)对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，讨论λ取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：113112112A λλλλ⎛-⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭112011000(2)(1)3(1)λλλλλλ⎛-⎫⎪→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭……2分（1）当21λλ≠-≠且时，()()3R A R A ==，从而方程组有唯一解. ……3分 （2）当2λ=-时，()2,()3R A R A ==，由于()()R A R A ≠，方程组无解.……4分（3）当1λ=时，有A 111200000000⎛-⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭.此时()()13R A R A ==<，故此时方程组有无穷多组解.……5分又由此可得与原方程组同解的方程组为1232x x x =---. 令230x x ==，得特解0(2,0,0)T u =-.……6分而与原方程组的导出组同解的方程组为123x x x =--，由此可得导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)T T v v =-=-. 于是，原方程组的全部解为0112212211010001x u c v c v c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,c c 为任意常数.……8分十、(本题满分8分)设三阶矩阵A 满足),3,2,1(==i ia Aa i i 其中列向量1(1,2,2)T α=，2(2,2,1)T α=-，3(2,1,2)T α=--，试求矩阵A .解：由(1,2,3)i i A i i αα==，可得123123(,,)(,2,3)A αααααα=. ……2分记123123(,,),(,2,3)P B αααααα==.上式可写为AP B =.因123122|||,,|221270212P ααα-==--=-≠……3分所以矩阵P 可逆，由此可得1A BP -=.……4分而112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……7分 所以1461227/302/3124322105/32/392262122/32/32A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……8分 注：由i α是A 的对应于特征值i 的特征向量(1,2,3)i =，得到123,,ααα线性无关，说明矩阵P 可逆，可得3分.十一、(本题满分8分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分7分)假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Xe Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布.证：X 的分布函数21,0()00x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，21x y e -=-是单调增函数，其反函数ln(1)2y x -=-. ……2分设()G y Y 是的分布函数，则2(){}{1}xG y P Y y P e y -=≤=-≤0,0ln(1){},121,1y y P X y y ≤⎧⎪-⎪=≤-<<⎨⎪≥⎪⎩若若0若， ……5分0,0,11,1y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩若若0若. 于是，Y 服从(0,1)均匀分布.……7分。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2)202cos x d x t dt dx=⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=-+⎝,则级数 ( )(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .参考答案一、(1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x xxxxxxx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰ 2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4) 【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n xa a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ① 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()11111001212()()()()11().22x xxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数 2222(,)12x y f x y z z z x y =++=+,对锥面22z x y =+而言, 22222222112xyx y z z x y x y ++=++=++.其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.222xyD I x y dxdy =+⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此 2cos 2cos 3220002132222239I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰⎰⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y = 又由3322y ⎛⎫⎪⎭= ⎝,得3c =,L 的方程为3)y x =<<. 六、【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示. 于是得()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同. 七、【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=. 解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T Tξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、【解析】方法一：根据TAA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+, 所以 A E A E A +=+, 即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=. 十、(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P AB P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y . 当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()XY F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yxe dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y XY e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx βαββαα''=-⎰.(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ [()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+ ()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=)()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)limlim2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn nnn n n n n n n x a a n xn x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭,平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B).(3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x →→→→+--'====,由此可得()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知00()sin ()sin limlim x x f x xf x xxx-+→→⋅⋅=.①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得sin sin lim lim 1x x x x xx --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==,②结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A).(4)【答案】(C)【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=-+ ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.根据正项级数的比较判别法以及11n n∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx.将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=,解得()12312cos y dz x e x dxϕϕϕ''=-⋅+⋅'.①现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =,可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅.将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dxx e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂；12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()D I f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序1()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒11102()()()()xxI dx f x f y dy dx f x f y dy=+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒212I A =.方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言,=.xyOD1y x=其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xyD (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 3220213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰.(2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n == 2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,ln n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰ 2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.Oyx1xyD化简后得伯努利方程212,yy y x x '-=-()221y y x x'-=-.令2z y =,方程化为一阶线性方程()1z z x x'-=-.解得()z x c x =-,即22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L的方程为3)y x =<<.六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Qy x∂∂=∂∂,即2Qx x∂=∂.对x 积分得2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰.①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()222202()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得()()(,1)(1,)2200(0,0)(0,0)()()t t y yx y ds x y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即1200()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得)2(1t t ϕ=+,即()21t t ϕ=-.因此2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得()()12()1()t tdy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.OxyOyxt(,1)t 1(1,)t即12()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理,12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''.方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f xg x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=.解之得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据TAA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得(1||)||0A A E -+=.因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()TTTTA E A AA A E A E A +=+=+=+,所以A E A E A +=+,即(1||)||0A A E -+=.因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式()()()()P A B P A P B P AB =+- ,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时,()0;Y F y =当1y >时,(){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y yf y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yxe dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0,1.yX Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2) 202cos xd x t dt dx =⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( )(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( ) (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x xxxxxxx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】 ()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2x t dt x x x =-⋅⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n x a a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ① 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 11102()()()()xxI dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==. 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdx l l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-.令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-. 解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L 的方程为(03)y x =<<.六、(本题满分8分) 【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts tt ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得()()12()1()ttdy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 120()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与 ()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即 ()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有 |||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+,所以 A E A E A +=+,即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则 {max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分) 【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 0011,yy x x e dx e y--==-=-⎰ 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y yf y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为 10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。

1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题(1)()2sin 0lim 13xx x →+= .【答】 6e .【详解1】 用第二类重要极限:()()621sin 6sin 30lim 13lim 13.x xxxx x x x e →→⎧⎫+=+=⎨⎬⎩⎭【详解2】 化为指数函数求极限:()()()006ln 1322limln 13lim6sin 3sin 0lim 13.x x x x x x xx x eee →→++→+===(2)202cos xd x t dt dx =∫ . 【答】2224cos 2cos xt dt x x −∫.【详解】()()()2222000222220224cos cos cos cos 2 cos 2cos .x x x xd d x t dt x t dt t dt x x x dx dx t dt x x ==+−=−∫∫∫∫(3)设()2,a b c ×⋅=则()()()a b b c c a +×+⋅+=⎡⎤⎣⎦ . 【答】 4. 【详解】()()()()()()()()()()() 4.a b b c c a a b b c a a b c c a a b c b c a a b c a b c +×+⋅+⎡⎤⎣⎦=+×⋅+++×⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+×+×⋅=×⋅+×⋅=(4)幂级数()21123n nnn nx ∞−=+−∑的收敛半径R ＝ .【答】【详解】 令()21,23n n nn n a x −=+− 则当 121lim13n n na x a +→∞=<时，即23,x <也即x <时，此幂级数收敛， 因此(5)设三阶方阵A、B 满足关系式：-1A BA =6A+BA,且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =则=B . 【答】300020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【详解】 在已知等式-1A BA =6A+BA 两边右乘以-1A ，得A -1B =6E +B,于是()11120030066030020.006001−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B A E二、选择题 （1）设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨−−+=⎩及平面:4220,x y z π−+−=则直线L（A ）平行于.π （B ）在π上. （C ）垂直于.π （D ）与π斜交.【 】【答】 应选（C ）.【详解】 直线L 的方向向量s 为{}{}{}1,3,22,1,1013274,2,12110i j ks =×−−==−−−− 与平面π的法向量{}4,2,1n =−平行，应此直线L 垂直于.π （2）设在[]0,1上()''0,fx >则()()()()''0110f f f f −、、或()()01f f −的大小顺序是 (A)()()()()''1010.f ff f >>− (B)()()()()''1100.f f f f >−>(C)()()()()''1010.f f f f−>> (D)()()()()''1010.f f f f >−>【 】【答】 应选（B ）. 【详解】 由()''0,fx >知()'f x 单调增加，又()()()()()'1010 01,f f f ξξ−=−<<根据()()()'''01ff f ξ<<知，()()()()''0101.f f f f <−<可见正确选项为(B).（3）设()f x 可导，()()()1sin ,F x f x x =+则()00f =是()F x 在0x =处可导的（A ）充分必要条件. （B ）充分条件但非必要条件. （C ）必要条件但非充分条件. （D ）既非充分条件又非必要条件.【 】【答】 应选（A ）. 【详解】 因为()()()()()()()()()()()'000'01sin 00lim lim00sin lim 00,x x x F x F f x x f F x x f x f x f x x x f f −−−−→→→−−−==−−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦=− ()()()()()()()()()()()'000'01sin 00lim lim00sin lim 00,x x x F x F f x x f F x x f x f x f x x x f f ++++→→→−+−==−−⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+ 可见，()'0F 存在⇔()()()()()()()''''00000000.F F ff f f f −+=⇔−=+⇔=因此正确选项为（A ）. (4)设()1ln 1,nn u ⎛=−+⎜⎝则级数 （A ）1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都收敛. （B ）1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散. （C ）1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散. (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛.【 】【答】 应选（C ）. 【详解】因为ln 1n v ⎛=⎜⎝单调递减 且lim 0,n n v →∞= 由莱布尼茨判别法知级数()111nnn n n u v ∞∞===−∑∑收敛，而22ln 1n u ⎛=+⎜⎝且11n n ∞=∑发散， 因此21nn u∞=∑也发散.故正确选项为（C ）.(5)设111213212223212223*********3233311132123313010,,100,001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦A =B P 2100010101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，则必有（A ）2.=1AP P B (B).=A B 21P P (C).=12P P A B (D).=21P P A B【 】【答】 应选（C ）. 【详解】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵，而B 是由A 先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此.=12P P A B 故正确选项为（C ）.三、(1)设()()2,,,,,0,sin ,yu f x y z x e z y x ϕ===其中f ϕ、都具有一阶连续偏导数，且0,z ϕ∂≠∂求.du dx【详解】 等式(),,u f x y z =两边同时对x 求导，得,du f f dy f dzdx x y dx z dx∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂而cos .dyx dx=又等式()2,,0y x e z ϕ=两边同时对x 求导，得 '''12320,y y dy dzx e e dx dxϕϕϕ⋅+⋅+⋅=解得()''12'312cos ,y dz x e x dx ϕϕϕ=−+ 故()'sin '12'31cos 2cos .x du f f f x x e x dx x y z ϕϕϕ∂∂∂=+−+∂∂∂ （2）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，并设()10,f x dx A =∫求()()11.xdx f x f y dy ∫∫【详解1】 交换积分次序，得()()()()()()1111,yxxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f y f x dy ==∫∫∫∫∫∫于是()()()()()()()()()()11111000011001100121 21 2x x x dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy f x dx f y dy⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦==⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫21.2A =【详解2】 分部积分，得()()()()()()()()()()()()()()111101101111202122201 111 22|xxxx x xx dx f x f y dy f y dy f x dxf y dy d f t dt A f t dt d f y dy A f t dt A A =⋅==−⎡⎤=+=−=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫2.2A四、（1）计算曲面积分,zdS ∑∫∫其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.【详解】因为,dS σσ==于是2cos 2322002cos DzdS d r dr d ππθπσθθθ−===∑=∫∫∫（2）将函数()()102f x x x =−≤≤展开成周期为4的余弦级数. 【详解】 因为()()()()()20022002220210,2221cos 1sin 22224 sin 11,1,2,.2n na x dx n x n x a x dx x d n n x dx n n n ππππππ=−==−=−⎡⎤=−=−−=⎣⎦∫∫∫∫" 故 ()()[]221114,0,2.2nn n xf x cosx n ππ∞=−−=∈∑五、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，焦点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33,,22⎛⎞⎜⎟⎝⎠求L 的方程.【详解】 设点M 的坐标为(),x y ，则切线MA 的方程为()'.Y y y X x −=−令0,X =则',Y y xy =−故点A 的坐标为()'0,y xy −. 由,MA OA =有'y xy −=化简后，得'212,yy y x x−=− 令2z y =，得1,dz z x dx x−=− 解得 (),z x x c =−+即 22.y x cx =−+由于所求曲线在第一象限内，故y =再以条件3322y ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠代入得 3.c =于是所求曲线方程为()0<x<3.y =六、设函数(),Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分()2,Lxydx Q x y dy +∫与路径无关，并且对任意t 恒有()()()()()(),11,0,00,02,2,,t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+∫∫求 (),Q x y .【详解】 由曲线积分与路径无关的条件知()22,xy Q x x y∂∂==∂∂于是有 ()()2,,Q x y x C y =+其中 ()C y 为待定函数.又()()()()()()()()()(),111220,0001,20,0002,,2,1,t t ttxydx Q x y dy t C y dy t C y dy xydx Q x y dy C y dy t C y dy ⎡⎤+=+=+⎣⎦⎡⎤+=+=+⎣⎦∫∫∫∫∫∫由题设知 ()()12,tt C y dy t C y dy +=+∫∫两边对t 求导得()21,t C t =+于是 ()21,C t t =−从而()21,C y y =− 故有 ()2,2 1.Q x y x y =+−七、假设函数()f x 和()g x 在[],a b 上存在二阶导数，并且()()()()()''0,,g x f a f b g a g b ≠===试证：（1） 在开区间(),a b 内()0;g x ≠ （2） 在开区间(),a b 内至少存在一点,ξ使()()()()''''.f f g g ξξξξ=【详解】 （1）用反证法：若存在点(),c a b ∈使(),g c 则对()g x 在[],a c 和[],c b 上分别应用罗尔定理，知存在()1,a c ξ∈和()2,,c b ξ∈使()()''120.gg ξξ==再对()'g x 在[]12,ξξ上应用罗尔定理，知存在()312,,ξξξ∈使()''30.g ξ=这与题设()''0g x ≠矛盾，故在(),a b 内()0.g x ≠（3） 令()()()()()'',F x f x g x g x fx =−则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()0,F a F b ==根据罗尔定理知，存在(),,a b ξ∈使()'0,F ξ=即有 ()()()()''''0,fg f g ξξξξ−=故得 ()()()()''''.f f g g ξξξξ=八、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=−==对应于1λ的特征向量为()10,1,1,Tξ=求A .【详解】 设对应于231λλ==的特征向量为()123,,,Tx x x ξ=根据A 为实对称矩阵的假设知10,T ξξ=即230,x x +=解得()()231,0,0,0,1,1.TTξξ==−于是由 ()()123112233,,,,,ξξξλξλξλξ=A 有()()11122331231,,,,010010100 101101001.101101010λξλξλξξξξ−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦A =九、设A 是n 阶矩阵，满足T=AA E （E 是n 阶单位阵，TA 是A 的转置矩阵，0,<A 求A +E .【详解】 根据T=AA E 有(),====T T A+E A+AA A E +A A E +A A A+E于是()10.−=AA+E因为10,−>A 故0.=A+E十、填空题（1）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望()2E X= .【答】 18.4.【详解】 由题设知，X 服从10,0.4n p ==的二项分布， 因此有()()()4,1 2.4,E X np D X np p ===−= 故()()()2218.4E X D X E X =+=⎡⎤⎣⎦(2)设X 和Y 为两个随机变量，且{}{}{}340,0,00,77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则(){}max ,0P X Y ≥= .【答】 5.7【详解】 令{}{}0,0,A X B Y =<=<则(){}(){}{}max ,01max ,010,0P X Y P X Y P X Y ≥=−<=−<<()()()()(){}{}{}11000,04435.7777P AB P A BP A P B P AB P X P Y P X Y ⎡⎤=−−=+⎣⎦=+−=≥+≥−≥≥=+−=十一、设随机变量X 的概率密度为(),00, 0x X e x f x x −⎧≥=⎨<⎩，求随机变量xY e =的概率密度().Y f y【详解】 根据分布函数的定义，有(){}(){}0, 1ln ,1xY y f y P Y y P e y P X y y <⎧=<=<=⎨<≥⎩ 于是当1y ≥时，(){}ln 0ln .yx Y f y P X y e dx −=<=∫因此所求概率密度函数为()()20,11,1Y Y y dF y f y y dy y <⎧⎪==⎨≥⎪⎩1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一、 填空题（1）设221cos()sin,'_____.y x y x==则 【答】 ()()22221122sin sin sin cos .x x x x x x−− 【详解】 222211'[cos()]'sincos()sin 'y x x x x ⎛⎞=+⋅⎜⎟⎝⎠()()22221122sin sin sin cos .x x x x x x=−− （2）微分方程''2y y x +=−的通解为______. 【答】 122cos sin .y x C x C x =−++.【详解】 相应齐次方程的特征方程为21210,,,i i λλλ+===−其根为由于非齐次项为2,0x λ−=不是特征根，可设非齐次方程的特解为*y A Bx =+，代入原方程解，得0,2A B ==−，因此通解为122cos sin y x C x C x =−++.（3）曲线2312x tt y t⎧=+⎪=⎨=⎪⎩在处的切线方程为______. 【答】 370.x y −−=【详解】 当0025,8,t x y ===时，且23,3,2t dydy dydt t dx dx dx dt==== 可知过曲线2312x tt y t⎧=+⎪=⎨=⎪⎩上对应于的切线斜率为3，切点为点（5，8）.因此切线方程为()835y x −=−或370.x y −−=（4）22212lim _____.12n n n n n n n n n →∞⎛⎞+++=⎜⎟++++++⎝⎠" 【答】1.2【详解】 利用夹逼定理，由22211212,1n i n i nn n n n n i n n =++++++<<++++++∑"" 且()()2222111212limlim ,2111212limlim ,112n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞++++==++++++++==++++""知 211lim.2nn i i n n i →∞==++∑ （5）曲线22x y x e −=的渐近线方程为______.【答】 y=0.【详解】 由于222222lim limlim0,2x x x x x x x x x eexe−→∞→∞→∞===所以，y=0水平为渐近线.二、选择题（1）设()()(),f x x ϕ−∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则()()()()()()22. ().. ().A f xB xC f xD x ϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点【 】【答】 应选（D ）.【详解】 方法一（用反证法）：若()()x f x ϕ无间断点，即连续，则()()()()x f x x f x ϕϕ⋅=也连续，与已知条件矛盾，所以()()x f x ϕ必有间断点.（A ）、（B ）、（C ）均可举反例说明不成立.方法二： 取()()()()41, 0, 1,,1, 1x x f x x f x x x ϕϕ≥⎧==+⎨−<⎩则符合要求，而()1,f x ϕ=⎡⎤⎣⎦()()21,2x f x ϕϕ==⎡⎤⎣⎦均无间断点，故排除（A ）、（B ）、（C ），应选（D ）. （2）曲线()()12y x x x =−−与x 轴所围图形的面积可表示为()()()()()()()()()()()()()()()21200120020()12.1212.1212.12.A x x x dxB x x x dx x x x dxC x x x dx x x x dxD x x x dx −−−−−−−−−−−+−−−−∫∫∫∫∫∫【 】【答】 应选（C ）.【详解】 曲线()()12y x x x =−−与x 轴的交点为0,1,2x x x ===，因此该曲线与x 轴所围图形的面积可表示为()()()()()()2121121212.x x x dx x x x dx x x x dx −−=−−−+−−∫∫∫（3）设()(),f x −∞+∞在内可导，且对任意1x 、()()21212,x x x f x f x >>当时，都有则 ()()()()()()()(),'0.,'0...A x f x B x f x C f x D f x >≤−−对任意对任意函数单调增加函数-单调增加【 】【答】 应选（D ）.【详解】 因为对任意1x 、()()2121212,,x x x x x f x f x >−<−当时，-<-,则有 即 ()()12f x f x −−>−− ， 故()f x −−是单调增加的.(4) 设函数()[]()()()()()()()0,1''0,'1'01001f x f x f f f f f f >−−在上则、、或的大小顺序是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()'1'010'110'010'1'0'101'0A f f f f B f f f f C f f f f D f f f f >>−>−>−>>>−>【 】【答】 应选(B)。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设221cos()siny x x=,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线231x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.(4) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++=++++++＿＿＿＿＿＿.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ϕ有间断点,则 ( ) (A) [()]f x ϕ必有间断点 (B) 2[()]x ϕ必有间断点(C) [()]f x ϕ必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) 2(1)(2)x x x dx ---⎰(B)1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰(C) 121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰(D)2(1)(2)x x x dx --⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则( )(A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加(4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (5) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,若使()F x 在0x =处可导,则必有 ( )(A) (0)0f = (B) (0)0f '= (C) (0)(0)0f f '+= (D) (0)(0)0f f '-=三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)求0lim x +→(2) 设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定,其中f 具有二阶导数,且1f '≠,求22d ydx.(3) 设222(1)ln 2x f x x -=-,且[()]ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰.(4) 设21arctan ,0,() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩试讨论()f x '在0x =处的连续性. (5) 求摆线1cos sin x ty t t=-⎧⎨=-⎩一拱(02t π≤≤)的弧长.(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00t v v ==,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为03v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数2()(2)x t f x t e dt -=-⎰的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线L 的方程为()y f x =,且0y ''>,又,MT MP 分别为该曲线在点00(,)M x y 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为3220(1)y y '+''(其中00(),y y x ''= 00()y y x ''''=),试推导出点(,)P ξη的坐标表达式.七、(本题满分8分)设0sin ()xtf x dt tπ=-⎰,计算0()f x dx π⎰.八、(本题满分8分)设0()lim1x f x x→=,且()0f x ''>,证明()f x x ≥.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】22222cos()sin12sin()sin x x x x xx ⋅-⋅-【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,222211cos()sin cos()sin y x x x x '⎡⎤''⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦22221111sin()2sin cos()2sin cos (1)x x x x x x x=-⋅⋅+⋅⋅⋅- 22222cos()sin 12sin()sin x x x x x x ⋅=-⋅-. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【答案】12cos sin 2y c x c x x =+-【解析】微分方程2y y x ''+=-对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=,特征根为1,2r i =±,故对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +.设非齐次方程的特解Y ax b =+,则Y a '=,0Y ''=,代入微分方程2y y x ''+=-,得02ax b x ++=-,比较系数得2,0,a b =-=故2Y x =-.所以通解为12cos sin 2y C x C x x =+-.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】370y x -+= 【解析】切线的斜率为2222233322t t t t dy dy t dt t dx dx tdt========. 当2t =时,5,8x y ==.故所求切线方程为 83(5)y x -=-.化简得 370y x -+=. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='.(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令2221212n na n n n n n n n=+++++++++ 则 22212n na n n n n n n n n n>+++++++++ 221(1)1222211.22n n n n n n n n n ++++==+++=⋅+ 又 222221(1)1212122n n n n n a n n n n n n n n n n ++++<+++===+++++, 即 111222n n a n +⋅<<+,所以 11111lim lim lim 22222n n n n n a n →∞→∞→∞+⋅=<<=+.由夹逼准则,得1lim 2n n a →∞=.即222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++. (5)【答案】0y =【解析】函数22x y x e -=的定义域为全体实数,且22lim lim 0x x x y x e -→∞→∞==,所以曲线只有一条水平渐近线0y =.【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim ()x f x a →∞=(a 为常数),则y a =为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数()()x f x ϕ无间断点,因为()f x 是连续函数,则()()()()x x f x f x ϕϕ=⋅必无间断点,这与()x ϕ有间断点矛盾,故应选择(D).方法二：排除法,举出反例排除.设 1,0,()1,()1,0,x f x x x ϕ-<⎧≡=⎨≥⎩则2[()]1,[()]1,[()]1f x f x x ϕϕϕ≡≡≡都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D). (2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有22(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx --=--⎰⎰121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx =---+--⎰⎰应选择(C).方法二：画出曲线(1)(2)y x x x =--的草图,所求面积为图中两面积之和,即121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰,故应选(C). (3)【答案】(D)【解析】因为对任意12,x x ,当12x x >时,12x x -<-,则函数12()()f x f x -<-,即12()()f x f x -->--,故()f x --是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令3()f x x =,则对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,但 20(0)30x f x='==,2()3()0f x x '-=-≥,3()f x x -=-,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C). (4)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格的单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<应选择(B). (5)【答案】(A)【解析】函数()f x 在0x x =处可导的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. 由于()()()|sin |F x f x f x x =+,而()f x 可导,所以()F x 在0x =处可导等价于()|sin |f x x 在0x =可导.令()()|sin |x f x x ϕ=,则0000()|sin |()sin (0)lim lim (0),()|sin |()sin (0)lim lim (0),x x x x f x x f x x f x xf x x f x x f x x ϕϕ++--+→→-→→⎧'===⎪⎪⎨⎪'==-=-⎪⎩于是要使()F x 在0x =处可导,当且仅当(0)(0)f f -=,即(0)0f =.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)【解析】利用等价无穷小计算,即当0x →时,sin xx .原式22200022sin 1112lim lim lim 2222x x x x x x +++→→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⋅⎝⎭.(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数. 方法一：将方程两边对x 求导,得()()()f y f y y e xe f y y e y '''+⋅⋅=⋅,即 ()()()f y y f y e y e xf y e '='-,将()f y y xee =代入并化简,得 1(1())y x f y '='-.两边再对x 求导,得[][][][]220(1())(1())(())(1())(1())x f y f y x f y y y x f y x f y ''''''----+-⋅''==''--[]221()(1())(1())y f y x f y x f y '''=-+'-'-. 将1(1())y x f y '='-代入并化简得 []3221()(1())(1())f y y x f y x f y ''''=-+'-'-. 方法二：方程两边先取对数再对x 求导.方程两边取对数得 ln ()x f y y +=, 求导得1()f y y y x'''+⋅=, 因为1f '≠,所以 1(1())y x f y '='-.以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【解析】首先应求出()x ϕ的表达式.由2222211(1)ln ln 211x x f x x x -+-==---,令21,x t -=得1()ln1t f t t +=-.又 ()1[()]lnln ()1x f x x x ϕϕϕ+==-,则()1()1x x x ϕϕ+=-.解得1()1x x x ϕ+=-.因此12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+==+=+-+--⎰⎰⎰. (4)【解析】函数()f x 在0x x =处的导函数连续的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且必与0()f x '相等.当0x ≠时,22412()arctan 1x f x x x '=-+,由于224000012lim ()lim ()lim ()lim arctan 0122x x x x x f x f x f x x x ππ→-→+→→⎡⎤'''===-=-=⎢⎥+⎣⎦, 2000()(0)()1(0)limlim limarctan 02x x x f x f f x f x x x π→→→-'====-, 所以 00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+'''==.故()f x '在0x =处连续. (5)【解析】由弧微分公式得ds ===,所以2222000202sin 2sin 224cos 4(11)8.2t ts dt dtt πππππ====⎡⎤=-=---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(6)【解析】设质点的运动速度为()v t ,由题设,阻力为()v t -,按牛顿第二定律有()()dv t mv t dt=-, 其中质量1m =,即()()dv t v t dt=-. 这是简单变量可分离的微分方程,解之得()tv t Ce -=.另有初始条件0(0)v v =,得0()tv t v e -=.当此质点的速度为03v 时,有003tv v e -=,得ln3t =.到此时刻该质点所经过的路程为ln3ln30000012133t t s v e dt v e v v --⎛⎫⎡⎤==-=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.四、(本题满分8分) 【解析】对函数2()(2)x t f x t e dt -=-⎰两边求导并令()0f x '=,得22()2(2)0x f x x x e -'=-=,解得驻点0,x x ==由于()0,()()0,0,()()0,0()()0,,()f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x '>-∞<<'<<<'><<'<<<+∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩严格单调增,严格单调减,严格单调增,严格单调减,所以(f f 为函数()f x 的极大值点,(0)f 为函数()f x 的极小值点,且22220((2)(2)1tt t f t e dt t ee dt e ----=-=---=+⎰⎰,(0)(2)0t f t e dt -=-=⎰,又 0lim ()li (2)(2)1m ()x x t tt f x f t e dt t e e dt x +∞→-∞→+∞+∞+∞----=---===⎰⎰,所以2(1f e -=+为函数()f x 最大值,(0)0f =为函数()f x 的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰.五、(本题满分8分)【解析】把xy e =和xy e '=代入所给的一阶线性微分方程,得()x x xe p x e x +=,解得 ()xp x xex -=-.线性方程被确定为()xxy xe x y x -'+-=,即(1)1x y e y -'+-=.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为(1)(1)x x e dxe dx y e e dx C -----⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ ()()xxxxx x e exex e x e x e x e e edx C e dx C e e dx C e -------+--++-⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()xx xexe x exe e C e Ce ---+-+=+=+.再由 ln20x y ==得ln 2ln 2ln 20e eCe-++=,即12C e -=-.故所求的特解为 12x e x xy e e-+-=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.六、(本题满分8分)【解析】要求点P 的坐标,也就是说,要用0000,,,,x y y y '''表示出,ξη. 由()3201MP y y '''=+,有 ()320220021()()y x y y ξη'+-+-='', ①又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知x y y ξη-'=--, ②把②式,即000()()x y y ξη'-=--代入①消去,ξ得到2222000()(1)/y y y η'''-=+, ③ 由0y ''>,知曲线是向上凹的,容易看出0y η>,所以③可化为 20001y y y η'+-='',且 2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=-'',于是得 200002000(1),1(1).y x y y y y y ξη'⎧'=-+⎪''⎪⎨⎪'=++⎪''⎩七、(本题满分8分)【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 sin ()xf x xπ'=-, 因而由分部积分法和00sin (0)0tf dt t π==-⎰,有()()()()()()()f x dx f x d x f x x f x x dx πππππππ'=-=-+-⎰⎰⎰[]000sin ()sin cos 2x x dx xdx x xπππππ=-==-=-⎰⎰.方法二：对于二重积分0sin ()x t f x dx dt dx t πππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰,可以通过变换积分次序来求解.0sin sin ()x Dt t f x dx dt dx dtdx t t ππππ⎛⎫== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰, 其中{}{}(,)0,0(,)0,.D x t x t x x t t t x πππ=≤≤≤≤=≤≤≤≤于是000sin sin ()sin 2t t t t f x dx dx dt dt dx tdt t t ππππππππ⎛⎫==== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.八、(本题满分8分) 【解析】由于 0()lim1x f x x→=,所以必有(0)0f =,且 00()(0)()(0)lim lim 10x x f x f f x f x x→→-'===-.证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ()()x f x x ϕ=-,则 ()()1()(0)x f x f x f ϕ''''=-=-. 由于()0f x ''>,所以函数()f x '单调增加,()()(0)0,0,()()(0)0,0,x f x f x x f x f x ϕϕ'''=->>⎧⎨'''=-<<⎩ ()x ϕ'在0x =由负变正,所以0x =是()x ϕ的极小值点也是最小值点,()()(0)(0)00x f x x f ϕϕ=-≥=-=,即()f x x ≥. 证法二：用泰勒公式.2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x x f x ξξ'''''=++=+. 因为()0f x ''>,所以 21()02f x ξ''≥. 所以 21()()2f x x f x x ξ''=+≥.。

1995年考研数学二试卷及解答一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把解答填在题中横线上.) (1) 设221cos()siny x x=,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线231x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.(4) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++=++++++＿＿＿＿＿＿.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ϕ有间断点,则 ( ) (A) [()]f x ϕ必有间断点 (B) 2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) 20(1)(2)x x x dx ---⎰(B)121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰(C) 121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰(D)2(1)(2)x x x dx --⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则( )(A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加(4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (5) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,若使()F x 在0x =处可导,则必有 ( )(A) (0)0f = (B) (0)0f '= (C) (0)(0)0f f '+= (D) (0)(0)0f f '-=三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)求0lim x +→(2) 设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定,其中f 具有二阶导数,且1f '≠,求22d ydx.(3) 设222(1)ln 2x f x x -=-,且[()]ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰.(4) 设21arctan ,0,() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩试讨论()f x '在0x =处的连续性. (5) 求摆线1cos sin x ty t t=-⎧⎨=-⎩一拱(02t π≤≤)的弧长.(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00t v v ==,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为03v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数2()(2)x t f x t e dt -=-⎰的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线L 的方程为()y f x =,且0y ''>,又,MT MP 分别为该曲线在点00(,)M x y 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为3220(1)y y '+''(其中00(),y y x ''= 00()y y x ''''=),试推导出点(,)P ξη的坐标表达式.七、(本题满分8分)设0sin ()xtf x dt tπ=-⎰,计算0()f x dx π⎰.八、(本题满分8分)设0()lim1x f x x→=,且()0f x ''>,证明()f x x ≥.解答一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【解答】22222cos()sin12sin()sin x x x x xx ⋅-⋅-(2)【解答】12cos sin 2y c x c x x =+- (3)【解答】370y x -+= (4)【解答】12(5)【解答】0y =二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【解答】(D) (2)【解答】(C) (3)【解答】(D) (4)【解答】(B) (5)【解答】(A)三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)利用等价无穷小计算,即当0x →时,sin x x .原式22200022sin 1112lim lim lim 222222x x x x x x +++→→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. (2)这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对x 求导,得()()()f y f y y e xe f y y e y '''+⋅⋅=⋅,即 ()()()f y y f y e y e xf y e '='-,将()f y y xee =代入并化简,得 1(1())y x f y '='-.两边再对x 求导,得[][][][]220(1())(1())(())(1())(1())x f y f y x f y y y x f y x f y ''''''----+-⋅''==''--[]221()(1())(1())y f y x f y x f y '''=-+'-'-. 将1(1())y x f y '='-代入并化简得[]3221()(1())(1())f y y x f y x f y ''''=-+'-'-. 方法二：方程两边先取对数再对x 求导.方程两边取对数得 ln ()x f y y +=, 求导得1()f y y y x'''+⋅=, 因为1f '≠,所以 1(1())y x f y '='-. 以下同方法一.(3)首先应求出()x ϕ的表达式.由2222211(1)ln ln 211x x f x x x -+-==---,令21,x t -=得1()ln1t f t t +=-.又 ()1[()]lnln ()1x f x x x ϕϕϕ+==-,则()1()1x x x ϕϕ+=-.解得1()1x x x ϕ+=-.因此12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+==+=+-+--⎰⎰⎰. (4)函数()f x 在0x x =处的导函数连续的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且必与0()f x '相等.当0x ≠时,22412()arctan 1x f x x x'=-+,由于 224000012lim ()lim ()lim ()lim arctan 0122x x x x x f x f x f x x x ππ→-→+→→⎡⎤'''===-=-=⎢⎥+⎣⎦,2000()(0)()1(0)limlim limarctan 02x x x f x f f x f x x x π→→→-'====-, 所以 00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+'''==.故()f x '在0x =处连续. (5)由弧微分公式得ds ===,所以2222000202sin 2sin 224cos 4(11)8.2t t s dt dtt πππππ====⎡⎤=-=---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(6)设质点的运动速度为()v t ,由题设,阻力为()v t -,按牛顿第二定律有()()dv t mv t dt=-, 其中质量1m =,即()()dv t v t dt=-. 这是简单变量可分离的微分方程,解之得()tv t Ce -=. 另有初始条件0(0)v v =,得0()tv t v e -=.当此质点的速度为03v 时,有003tv v e -=,得ln3t =. 到此时刻该质点所经过的路程为ln3ln30000012133t ts v e dt v e v v --⎛⎫⎡⎤==-=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.四、(本题满分8分) 对函数2()(2)x t f x t e dt -=-⎰两边求导并令()0f x '=,得22()2(2)0x f x x x e -'=-=,解得驻点0,x x ==由于()0,()()0,0,()()0,0()()0,,()f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x '>-∞<<'<<<'><<'<<<+∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩严格单调增,严格单调减,严格单调增,严格单调减,所以(f f 为函数()f x 的极大值点,(0)f 为函数()f x 的极小值点,且22220((2)(2)1tt t f t e dt t ee dt e ----=-=---=+⎰⎰,(0)(2)0t f t e dt -=-=⎰,又 0lim ()li (2)(2)1m ()x x tt t f x f t e dt t ee dt x +∞→-∞→+∞+∞+∞----=---===⎰⎰,所以2(1f e -=+为函数()f x 最大值,(0)0f =为函数()f x 的最小值.五、(本题满分8分)把xy e =和xy e '=代入所给的一阶线性微分方程,得()x x xe p x e x +=,解得 ()xp x xex -=-.线性方程被确定为()xxy xe x y x -'+-=,即(1)1x y e y -'+-=.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 (1)(1)x x e dxe dx y e e dx C -----⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ ()()xxxxx x e exex e x e x e x e eedx C e dx C e e dx C e -------+--++-⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()xx xe xe x exe e C e Ce ---+-+=+=+.再由 ln20x y==得ln 2ln 2ln 20e e Ce-++=,即12C e -=-.故所求的特解为 12x e x xy e e -+-=-.六、(本题满分8分)要求点P 的坐标,也就是说,要用0000,,,,x y y y '''表示出,ξη. 由()3201MP y y '''=+,有 ()320220021()()y x y y ξη'+-+-='', ①又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知x y y ξη-'=--, ②把②式,即000()()x y y ξη'-=--代入①消去,ξ得到 2222000()(1)/y y y η'''-=+, ③ 由0y ''>,知曲线是向上凹的,容易看出0y η>,所以③可化为 20001y y y η'+-='',且 2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=-'',于是得 200002000(1),1(1).y x y y y y y ξη'⎧'=-+⎪''⎪⎨⎪'=++⎪''⎩七、(本题满分8分)方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 sin ()xf x xπ'=-, 因而由分部积分法和00sin (0)0tf dt t π==-⎰,有()()()()()()()f x dx f x d x f x x f x x dx πππππππ'=-=-+-⎰⎰⎰[]000sin ()sin cos 2x x dx xdx x xπππππ=-==-=-⎰⎰.方法二：对于二重积分0sin ()x t f x dx dt dx t πππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰,可以通过变换积分次序来求解.00sin sin ()x Dt t f x dx dt dx dtdx t t ππππ⎛⎫== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中{}{}(,)0,0(,)0,.D x t x t x x t t t x πππ=≤≤≤≤=≤≤≤≤于是000sin sin ()sin 2t t t t f x dx dx dt dt dx tdt t t ππππππππ⎛⎫==== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.八、(本题满分8分) 由于 0()lim1x f x x→=,所以必有(0)0f =,且 00()(0)()(0)lim lim 10x x f x f f x f x x→→-'===-.证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ()()x f x x ϕ=-,则 ()()1()(0)x f x f x f ϕ''''=-=-. 由于()0f x ''>,所以函数()f x '单调增加,()()(0)0,0,()()(0)0,0,x f x f x x f x f x ϕϕ'''=->>⎧⎨'''=-<<⎩()x ϕ'在0x =由负变正,所以0x =是()x ϕ的极小值点也是最小值点,()()(0)(0)00x f x x f ϕϕ=-≥=-=,即()f x x ≥. 证法二：用泰勒公式.2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x x f x ξξ'''''=++=+. 因为()0f x ''>,所以 21()02f x ξ''≥. 所以 21()()2f x x f x x ξ''=+≥.。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1x f x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n ni i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A)111sin dx x-⎰(B) 1-⎰ (C)2x e dx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan xx e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试, 经调试后以概率可以出厂；以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】12(1)!(1)n n n x +-+ 【解析】由于112()12(1)1,11x f x x x x--==-=+-++ 2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),,f x x -''=⋅--+L所以 1()(1)()2(1)!(2(1)1)!(1)n n n n n fx x n x n -++=⋅-+-+=. (2)【答案】2y xyf x ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据复合函数求导法则,22x y y y y y y z yf xyf yf f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1y y y y y z xf xyf xf yf x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以 222x y y y y y y yf y f xyf y f yf x x x x x xz yz x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'⎝⎭⎝'+⎭=.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【答案】xx e C ++【解析】在(ln )1f x x '=+中令ln x t =,则()1tf t e '=+,从而()()1()t t x f t e dt t e C f x x e C =+=++⇒=++⎰.(4)【答案】100122010345⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】由AA A E *=,有A A E A *=,故()1AA A-*=.而 10022010345A ==,所以 ()1100122010345A A A -*⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. (5)【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设0H ,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H 是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值μ的假设检验问题.据此类型应该选取t 检验的统计量是X Xt ==经过化简得 Xt =【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) 确定所要检验的基本假设0H ；(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平α,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设0H 作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 00(1)(1)(1)(1)(1)limlimx x f x f f x f f x x x x→→+---'==--V V V V 00(1)(1)lim(1)(1)2lim 2,2x x f f x xf f x x →→--=--==-所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知111arcsin x π--==⎰,222111ln ln ln 2dx x x x +∞+∞=-=⎰, 且泊松积分2x edx +∞-=⎰故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当0x =时sin 0x =,故在积分区间[1,1]-中0x =是瑕点,反常积分111sin dx x -⎰应分解为两个反常积分之和:101110111sin sin sin dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰,而且111sin dx x -⎰收敛的充要条件是两个反常积分011sin dx x -⎰与101sin dx x⎰都收敛.由于广义积分 11001ln tan sin 2x dx x ⎛⎫==+∞ ⎪⎝⎭⎰, 即101sin dx x ⎰发散,故111sin dx x-⎰发散.在此不可误以为1sin x是奇函数,于是1110sin dx x -=⎰,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】()r A m =表示A 中有m 个列向量线性无关,有m 阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把A 化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如010001⎛⎫⎪⎝⎭,只用初等行变换就不能化成2(,0)E 的形式,故(D)不正确.关于(C),由0BA =知()()r B r A m +≤,又()r A m =,从而()0r B ≤,按定义又有()0r B ≥,于是()0r B =,即0B =.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】 (,)(,)Cov U V Cov X Y X Y =-+.(,)(,)Cov X X Y Cov Y X Y =+-+(,)(,)(,)(,)Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y =+--DX DY =-.由于X 和Y 同分布, 因此DX DY =,于是有(,)0Cov U V =. 由相关系数的计算公式ρ=,所以U 与V 的相关系数也为零,应选(D). 【相关知识点】协方差的性质：(,)(,)Cov aX bY abCov X Y =；1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.(5)【答案】(C)【解析】由于2(,),X N μσ:将此正态分布标准化,故()0,1X N μσ-:,{}()1211X P X P .μμσσ⎧-⎫-<=<=Φ-⎨⎬⎩⎭计算看出概率{}P X μσ-<的值与σ大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.222000122(1cos )2lim ()lim lim1x x x x x f x x x ---→→→⋅-===, 22000cos cos lim ()limlim 11xx x x t dt x f x x+++→→→===⎰, 故(00)(00)(0)f f f +=-=,即()f x 在0x =处连续.2000422020001cos 1()(0)(0)lim lim01cos cos 12lim lim lim 0,22xx x xx x x t dt f x f x f x xx t dt x x x x x++++++→→→→→--'==----====⎰⎰2002320002(1cos )1()(0)(0)lim lim 02(1cos )2sin 22(cos 1)lim lim lim 0.36x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x------→→→→→---'==-----====即(0)(0)0f f +-''==,故()f x 在0x =处可导,且(0)0f '=.四、(本题满分6分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量3ts =,于是 303()3xx t f dt f s ds ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰.代入题设函数()f x 所满足的关系式,得 20()3()xx f x f s ds e =+⎰.在上式中令0x =得(0)1f =,将上式两端对x 求导数得2()3()2x f x f x e '=+.由此可见()f x 是一阶线性方程2()3()2xf x f x e '-=满足初始条件(0)1f =的特解.用3xe-同乘方程两端,得()3()2xxf x ee--'=,积分即得32()2xx f x Cee =-.由(0)1f =可确定常数3C =,于是,所求的函数是32()32xx f x e e =-.五、(本题满分6分)【解析】由212(12)(1)x x x x --=-+知2ln(12)ln(12)ln(1)x x x x --=-++.因为 231ln(1)(1)23nn x x x x x n++=-+-+-+L L , 其收敛区间为(1,1)-；又 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+L L , 其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 于是有 121111(2)(1)2ln(12)(1)(1)n n n n n n n n n x x x x x n n n +∞∞++==⎡⎤-----=-+-=⎢⎥⎣⎦∑∑, 其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【相关知识点】收敛区间：若幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径是正数R ,则其收敛区间是开区间(,)R R -；若其收敛半径是+∞,则收敛区间是(,)-∞+∞.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面,设0a >,{}(,)|,a D x y a x a a y a =-≤≤-≤≤,则当a →+∞时,有a D D →.从而2222()()min{,}limmin{,}axy xy a D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.注意当x y ≤时,min{,}x y x =；当x y >时,min{,}x y y =.于是222222()()()min{,}aa ya xxy xy xy aaaaD x y e dxdy dy xe dx dx ye dy -+-+-+----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,且()2222222222()()22()2211()2211.22axa x a x y x y x a x aaa a aa a a x x a adx yedy dx e d x y e e dxe e dx e dx -+-+-+-----------=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于2x e dx +∞--∞=⎰,从而可得222()21lim0lim 2axa x y x aaaa a dx yedy e dx -+----→+∞→+∞=-⎰⎰⎰2limt t e dt -→+∞==.同理可得22()limayxy aaa dy xe dx -+--→+∞=⎰⎰于是I == 方法二：设0R >,则圆域{}222(,)|R D x y x y R=+≤当R →+∞时也趋于全平面,从而2222()()min{,}limmin{,}Rxy xy R D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ==,则当04πθ≤≤与524πθπ≤≤时,min{,}sin x y y r θ==； 当544ππθ≤≤时,min{,}cos x y x r θ==. 于是22()min{,}Rxy D x y e dxdy -+⎰⎰22252222445044sin cos sin RRRr r r d r e dr d r e dr d r e dr πππππθθθθθθ---=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22522244500044sin cos sin RR r r r e dr d d d r e dr πππππθθθθθθ--⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.由此可得2220limlim()RRr r I r edr rd e --→+∞→+∞=-=⎰⎰222000lim 2R Rr r r reedr e dr +∞---→+∞⎡⎤=-===-⎢⎥⎣⎦⎰七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于p 和Q 之间存在函数关系,因此R pQ =既可看作p 的函数,也可看作Q 的函数,由此分别求出dR dp 及dR dQ,并将它们与弹性p p dQ E Q dp =联系起来,进而求得问题的解.由()Q Q p =是单调减函数知0dQ dp <,从而需求对价格的弹性0p p dQE Q dp=<,这表明题设1p E b =>应理解为1p p E E b =-=>.又由()Q Q p =是单调减函数知存在反函数()p p Q =且1dp dQdQ dp=.由收益R pQ =对Q 求导,有 1(1)p dR dp p p Q p p p dQ dQ dQ E Q dp=+=+=+,从而001(1)Q Q dR p a dQ b ==-=,得01abp b =-.由收益R pQ =对p 求导,有(1)(1)p dR dQ p dQ Q p Q Q E dp dp Q dp=+=+=+, 从而 00(1)p p dR Q b c dp==-=,于是01c Q b=-.八、(本题满分6分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成[]0,a 上的积分,即00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,再将()()af xg x dx -⎰作适当的变量代换化为在[]0,a 上的定积分.方法一：由于 00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,在()()af xg x dx -⎰中令x t =-,则由:0x a -→,得:0t a →,且00()()()()()()()()()a aa af xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx -=---=-=-⎰⎰⎰⎰,所以[]00()()()()()()aa aaf xg x dx f x f x g x dx A g x dx -=+-=⎰⎰⎰. 方法二：在()()aaf xg x dx -⎰中令x t =-,则由:x a a -→,得:t a a →-,且()()()()()()()()()aaaaaaaf xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx ---=----=-=-⎰⎰⎰⎰.所以1()()()()()()2aaa aa a f x g x dx f x g x dx f x g x dx ---⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[]01()()()()().22a aa a aA f x f x g x dx g x dx A g x dx --=+-==⎰⎰⎰(2)令()arctan xf x e =,()sing x x =,可以验证()f x 和()g x 符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=.由于()()arctan arctan xxf x f x e e -+-=+满足()22arctan arctan 011x xxxx xe e eee e----'+=+≡++, 故 arctan arctan xxe eA -+=.令0x =,得2arctan12A A π=⇒=,即()()2f x f x π+-=.于是有22202sin arctan sin sin 222x x e dx x dx xdx πππππππ-===⎰⎰⎰.方法二：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=,于是1()()arctan arctan2x x f x f x e e π+-=+=. (这里利用了对任何0x >,有1arctan arctan 2x x π+=) 以下同方法一.九、(本题满分9分)【解析】因为(I)(II)3r r ==,所以123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关, 因此4α可由123,,ααα线性表出,设为4112233l l l αααα=++. 若 112233454()0k k k k ααααα+++-=,即 11412242334345()()()0k l k k l k k l k k αααα-+-+-+=, 由于(III)4r =,所以1235,,,αααα线性无关.故必有11422433440,0,0,0.k l k k l k k l k k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解出43210,0,0,0k k k k ====.于是12354,,,ααααα-线性无关,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】(1)因为123(,,)f x x x 对应的矩阵为022244243A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,故123(,,)f x x x 的矩阵表示为112312323022(,,)(,,)244243T x f x x x x Ax x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.(2)由A 的特征方程2222224424243241E A λλλλλλλλ----=---=---+--2410024(1)(36)0241λλλλλ+-=--=--=--,得到A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.由()0E A x -=得基础解系1(2,0,1)TX =-,即属于1λ=的特征向量. 由(6)0E A x -=得基础解系2(1,5,2)TX =,即属于6λ=的特征向量. 由(6)0E A x --=得基础解系3(1,1,2)TX =-,即属于6λ=-的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有3121231232110,5,1,122X X X X X X γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎥======-⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥-⎣⎦⎦⎦那么令123()0Q γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦,经正交变换112233x y x Q y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,二次型化为标准形 222123123(,,)66T T f x x x x Ax y y y y y ==Λ=+-.十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A 表示“仪器需要进一步调试”,B 表示“仪器能出厂”,则A =“仪器能直接出厂”,AB =“仪器经调试后能出厂”.且B A AB =U ,A 与AB 互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式()(|)()(|)()()P AB P B A P AB P B A P A P A =⇒=⋅, 有 ()()()()070308094P B P A P A P B |A ....=+=+⨯=.设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数,则X 服从二项分布()094B n,..由二项分 布的概率计算公式,可得所求概率为(1) {}0.94n P X n α===；(2) {}22220.940.06;n n P X n C β-==-=⋅⋅(3) {}{}{}121110.060.940.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⨯-⋅ 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k n k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =L .十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当1(,)x y D ∈时,(,)0F x y =, 其中1{(,)00}D x y x y =<<或.当4(,)x y D ∈,即1x >且1y >时,(,)1F x y =. 当(,)x y D ∈时,即01,01x y ≤≤≤≤时,2220(,)42xyxF x y stdtds sy ds x y ===⎰⎰⎰.当2(,)x y D ∈,即01,1x y ≤≤>时,1200(,)442x yx xF x y stdtds ds stdt sds x ====⎰⎰⎰⎰⎰.当3(,)x y D ∈,即1,01x y >≤≤时,与2D 类似,有2(,)F x y y =.综上分析,(,)X Y 的联合分布函数为22220,00,,01,01,(,),1,01,,01,1,1,1,1.x y x y x y F x y y x y x x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=<≤≤⎨⎪≤≤<⎪<<⎪⎩或。