复旦大学数学分析考研试题及答案

数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库一、山东科技大学《603数学分析》考研真题二、复旦大学数学系第1部分数项级数和反常积分第9章数项级数一、判断题1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：，虽然，但是发散．2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道但是发散，所以发散．二、解答题1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解：2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于，故发散．3．证明：收敛．[东南大学研]证明：因为所以又因为而收敛，故收敛．4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研]证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时，发散．5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有，故由比较判别法知级数收敛．6．求．[中山大学2007研]解：由于，所以绝对收敛．7．设，且有，证明：收敛．[大连理工大学研]证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有，即取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且现在证明．因为，即则．所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有所以存在N，当n＞N时，，则因此，由两边夹法则可得．故由交错级数的Leibniz判别法知收敛．8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛[复旦大学研]解：数列是n的单调递减函数．且由莱布尼兹判别法，可知收敛．所以故当2x＞1，即时收敛，即绝对收敛；当2x≤1，即时，发散，即条件收敛．9．证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛．[华东师范大学研]证明：绝对收敛，从而收敛，记则由比较判别法知敛散性相同，而收敛，所以收敛，即绝对收敛．10．证明级数发散到[吉林大学研]证明：令则易知发散到所以又，所以所以原级数发散到。

复旦考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项是复旦大学的校训？A. 自由、平等、博爱B. 博学而笃志，切问而近思C. 厚德载物，自强不息D. 格物致知，诚意正心答案：B2. 复旦大学位于我国的哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 成都答案：B3. 复旦大学的创立年份是？A. 1896年B. 1905年C. 1911年D. 1921年答案：A4. 下列哪项不是复旦大学的学术机构？A. 复旦大学附属中山医院B. 复旦大学附属肿瘤医院C. 复旦大学附属妇产科医院D. 华东师范大学附属中学答案：D5. 复旦大学的校徽中，哪项元素代表“复旦”？A. 火炬B. 书籍C. 校训D. 校名答案：A6. 复旦大学的校庆日是每年的哪一天？A. 5月27日B. 9月1日C. 10月1日D. 12月31日答案：A7. 下列哪项是复旦大学的著名校友？A. 马云B. 鲁迅C. 钱学森D. 陈独秀答案：B8. 复旦大学的校歌名称是什么？A. 复旦之歌B. 复旦校歌C. 复旦校训歌D. 复旦校庆歌答案：B9. 复旦大学的校色是什么？A. 蓝色B. 红色C. 绿色D. 黄色答案：A10. 复旦大学的校园内，哪座建筑是标志性建筑？A. 光华楼B. 逸夫楼C. 思源楼D. 钟楼答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪些是复旦大学的学科门类？A. 哲学B. 经济学C. 法学D. 医学答案：ABCD2. 复旦大学在哪些方面有突出的学术成就？A. 人文科学B. 自然科学C. 社会科学D. 工程技术答案：ABCD3. 复旦大学的哪些学院是国家重点学科？A. 经济学院B. 管理学院C. 法学院D. 医学院答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述复旦大学的发展历程。

答案：复旦大学创建于1905年，原名复旦公学，是中国最早由民间创办的高等教育机构之一。

1917年定名为复旦大学，1942年成为国立复旦大学。

数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。

）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。

?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。

证当x?0时，?y?微。

当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。

习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。

f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。

limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。

limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。

2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。

22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。

f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。

第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。

若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。

由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。

（2）3+2不是有理数。

若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。

2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。

解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。

A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。

C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。

C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。

S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。

（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。

4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。

证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。