2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
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试卷第1页，共8页 2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）
1．如图，二次函数25yaxbx的图象经过点(1,8)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点(1,0)A，M为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求MCB△的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点N，使得BCN△为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线212yxbxc（b、c为常数）经过4,0A和0,4B两点，其顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)若点M是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM的面积为S，试求S的最大值；
(3)若抛物线222ymxmxm与线段AB有两个交点，直接写出m的取值范围．
3．如图，抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为(1,0),3OCOA． 试卷第2页，共8页
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC下方的抛物线上是否存在一点P，使得PBC的面积等于ABC面积的三分之二？若存在，求出此时OP的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线AC绕着点C旋转45得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
4．如图1，抛物线24yaxbxa经过10A，，04C，两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MNEF∥交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
5．如图，抛物线24yaxbx与x轴交于点2,0A，4,0B，与y轴交于点C，顶点为D． 试卷第3页，共8页 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)动点P，Q以相同的速度从点O同时出发，分别在线段,OBOC上向点B，C方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E．
①当四边形OQEP为矩形时，求点E的坐标；
①过点E作EMBC于点M，连接,PMQM，设BPM△的面积为1S，CQM的面积为2S，当PE将BCE的面积分成1:3两部分时，请直接写出12SS的值．
6．如图，抛物线2(0)yaxbxca与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线=1x，其中点A的坐标为(3,0)．
(1)求点B的坐标；
(2)已知1a，C为抛物线与y轴的交点，求抛物线的解析式；
(3)若点P在抛物线上，且4POCBOCSS，求点P的坐标；
(4)设点Q是线段AC上的动点，过点Q作QDy轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22yaxbx的图象与x轴交于30A,，10B,两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当ACP△的面积最大时，求点P的坐标； 试卷第4页，共8页 (3)Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．
8．如图，直线132yx交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214yxbxc经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)将线段OA绕x轴上的动点,0Pm顺时针旋转90°得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
9．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 、4,0B两点，与y轴交于点0,3C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线BC的函数解析式；
(3)在抛物线上，是否存在一点P，使PAB的面积等于ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线26yaxbx与x轴交于点6,0B，2,0C，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． 试卷第5页，共8页
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx∥轴交抛物线于点E，连接DE．是否存在点P，使PDE△为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，直线l：112yx与x轴，y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线2yxbxc与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD①x轴交l于点D，PE①y轴交l于点E，求PDPE的最大值；
(3)若点P在直线l下方的抛物线上，F为直线l上的点，以A，B，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
12．已知顶点为1,5A的抛物线2yaxbxc经过点5,1B，
(1)求抛物线的解析式； 试卷第6页，共8页 (2)设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点．
①当四边形ABCD的周长最小时，在图1中作直线CD，保留作图痕迹并直接写出直线CD的解析式；
①点,>0Pmnm是直线yx上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰RtPQR△．在①的条件下，记PQR与COD△的公共部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值．
13．抛物线24yxx与直线yx交于原点O和点B， 与x轴交于另一点A， 顶点为D．
(1)填空： 点B的坐标为___________， 点D的坐标为___________．
(2)如图1 ， 连结ODP，为x轴上的动点， 当以ODP，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P的坐标；
(3)如图2， M是点B关于拋物线对称轴的对称点， Q是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)mm， 连结MQBQMQ，，与直线OB交于点E． 设BEQ和BEM△的面积分别为1S和2S， 设12Sts， 试求t关于m的函数解析式并求出t的最值．
14．如图，二次函数的图象经过点10A，，30B，，03C，，直线22yx与x轴、y轴交于点D，E．
(1)求该二次函数的解析式 试卷第7页，共8页 (2)点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的B，C两点之间，求DME的面积的最大值．
①若MEDEDB，求点M的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24yaxbx与x轴交于2,0A，B两点，其对称轴直线2x与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式为______；
(2)如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积最大值和点P此时的坐标；
(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y，当抛物线y经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标______．
16．如图，已知抛物线2yxbxc与x轴交于点21,0Am和点2,0Bm，与y轴交于点C，对称轴轴为直线=1x．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC上一动点，过点P作PQy∥轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作P，当P与坐标轴相切时，求P的半径；
(3)直线340ykxkk与抛物线交于M，N两点，求AMN面积的最小值． 试卷第8页，共8页 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23yaxbx与x轴交于两点1,0A和3,0B，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接EC，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上一动点时，连接,PBPC，当23EBCPBCSS△△时，求点P坐标；
(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形PQCN是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图，直线122yx交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214yxbxc经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)将线段OA绕x轴上的动点,0Pm顺时针旋转90得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 答案第1页，共3页 参考答案：
1．(1)245yxx；
(2)15
(3)存在，点N的坐标为(5,0)或(0,5)或(0,0)．
2．(1)2142yxx，91,2
(2)S的最大值为4
(3)2m或1249m
3．(1)抛物线的解析式为2=23yxx
(2)不存在这样的点P，
(3)M点坐标是(45)，或315()24，
4．(1)抛物线的解析式：234yxx；直线BC的解析式为4yx；
(2)当26P，时，四边形PBOC面积最大；
(3)能，点N的坐标为52124，或17123131242，或17123131242，．
5．(1)2142yxx，91,2D．
(2)①22,22；①1215SS或1279SS
6．(1)(1,0)
(2)223yxx
(3)(4,21)或()4,5
(4)94
