12.3角平分线的性质及判定
第3课时 角平分线的应用
一、教学目标
知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题
过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣
二、教学准备
多媒体课件，教学三角板
三、重点难点
重点：角平分线的性质
难点：角平分线的应用
四、教学方法
讲练结合
五、教学过程 （一）、复习旧知
1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（二）、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
（三）探究新知
关于三角形三条角平分线的交点问题 如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点吗？
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？
结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
（四）例题精析
例
1三角形内（外）角平分线夹角结论
（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB
（2）如图PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角
角的平分线
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习目标】
1．归纳总结已学的几种尺规作图。
2．会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习重难点】
会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习过程】
一、学前准备：
1．角平分线是指 。
2．已学过的基本作图有哪些？试完成以下题目（不写作法保留作图痕迹）。
①作一条线段等于已知线段 ；
②作一个角等于已知角；
③作线段的垂直平分线；
3．请你尝试用折叠的方法，能否找出角的平分线？
二、合作探究
认真阅读教材内容，完成下列问题
（一）角是 对称图形， 是它的对称轴。
（二）探究学习
1．学习教材内容作角平分线。
2．根据作图证明OP是∠AOB的平分线。
提示：这里可连接PM、PO、PN，应用全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义去证明。
思考：
①当∠ABC的两边成一条直线时，这时的角平分线与直线AB的关系是怎样的？
②平面内的点与直线的位置关系有哪几种？
（三）例题解析
1．过一点作已知直线的垂线。（阅读教材内容，自己尝试作一下。）
①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线；
②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线
2．已知一直角边和斜边作直角三角形。
四、学习检测
1．作△ABC的三个内角的平分线。
2．已知底边及底边上的高，作等腰三角形。
【第二学时】
【学习目标】
1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习重难点】
1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习过程】
一、学前准备
1．复习旧知：
叫做角平分线；
21EDCPOBA21EDCPOBA1.4 角平分线(教案)
一．教学目标
知识与技能：角平分线的性质定理的证明；角平分线的判定定理的证明；用尺规作已知角的角平分线．
过程与方法：进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力； 体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．
情感态度与价值观：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心
二、教学重难点：
重点:①三角形三个内角的平分线的性质．②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点:角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程
(一） 问题——根据问题情景，感受数学思考：
还记得角平分线上的点有什么性质吗？（角平分线上的点到角两边的距离相等．）你是怎样得出的？（折纸）你能证明它吗?
(二）探究——经历新知形成过程，体验探究方法
探究1 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等
问：（1）你能证明这个结论吗？（学生口述）
（2）把性质定理改成“如果…，那么…”的形式
（3）写出这个定理的逆命题
探究2. 角平分线的判定定理： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
证明由学生自己独立思考完成，
探究3.用尺规作角的平分线
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于12 DE的长为半径作弧，两弧在么∠AoB内交于点C．
3．作射线OC EDBOA12PDPEAOBOCOBPDOAPE平分,的角平分线为AOBOPPDPEOBPDOAPE,DCOBAOC就是∠AOB的平分线．
（教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程完成做法后，请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线， ）
1 朝阳五中八年级数学学科集体备课导学案
课 题 §1.4.1 角平分线
主备人 李洪波 备课时间 0712 授课人
课 型 新授课 总课时 1 上课时间
学习
目标
教学目标
1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
学习重点 角平分线的性质定理、判定定理
学习难点 利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
疑难预设 让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。
教学器材
教
学
过
程 学法设计及时间分配 个案补充
一、 从学生原有的认知结构提出问题
以前我们曾研究过角平分线上的一些性质，这节课，我们通过证明，得出它的性质，应用这个两个定理解决一些几何问题。
二、 师生共同研究形成概念
1、 书本引例
☆ 想一想 书本P 31 上面
学生已经探索过角平分线的性质，此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试证明。
2、 角平分线的性质
1） 点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2） 角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
3） 符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
BAPOEDABP 2
教
学
过
程
学法设计及时间分配 个案补充
3、 角平分线的判定
1） 猜想 想一想 书本P 31 中间
学习线段的垂直平分线时，学生已经历了构造其逆命题的过程，因此学生容易类比着来构造角平分线性质定理的逆命题。
2） 定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
3） 符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
4、 讲解例题
例1 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
