2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

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【中考压轴题专题突破】

二次函数中的定值问题

1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．

①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；

②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t的值．

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2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．

（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；

（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．

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3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”

（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．

（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；

（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

中考数学每日一练：二次函数的实际应用-

几何问题练习题及答案_2020

年压轴

题版

答案

答案2020

年中考数学：函数_

二次函数_

二次函数的实际应用-

几何问题练习题~~第1

题~~(2017玉林.

中考模拟)

已知抛物线y= x+1

（如图所示）．

（1

）

填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；

（2

）

已知y

轴上一点A

（0

，2

），点P

在抛物线上，过点P

作PB

⊥x

轴，垂足为B

．若△PAB

是等边三角形，求点P

的坐标；

（3

）

在（2

）的条件下，点M

在直线AP

上．在平面内是否存在点N

，使四边形OAMN

为菱形？若存在，直接写出所有满足条

件的点N

的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数图象与坐标轴的交点问题;

二次函数与一次函数的综合应用;

二次函数的实际应用-

几何问题;

~~

第2

题~~

(2020

温州.

中考模拟)

如图，已知在Rt

△ABC

中，∠C

＝90°

，AC

＝8

，BC

＝6

，点P

、Q

分别在边AC

、射线CB

上，且

AP

＝CQ

，

过点P

作PM

⊥AB

，

垂足为点M

，

联结PQ

，

以PM

、PQ

为邻边作平行四边形PQNM

，

设AP＝x

，

平行四

边形PQNM

的面积为y

．

（1

）

当平行四边形PQNM

为矩形时，求∠PQM

的正切值；

（2

）

当点N

在△ABC

内，求y

关于x

的函数解析式，并写出它的定义域；

（3

）

当过点P

且平行于BC

的直线经过平行四边形PQNM

一边的中点时，直接写出x

的值．

考点：

二次函数的实际应用-

几何问题;

平行四边形的性质;

锐角三角函数的定义;

~~

第3

题~~

(2020

长兴.

中考模拟)

如图，在平面直角坐标系xOy

中，已知抛物线y=-x+2x+3

与x

轴交于A

，B

两点（点A

在点B

的左边

），与y

轴交于点C

，顶点为M

，连结CM

，CB

，直线BM

交y

轴交于点D.2

2

答案

答案（1

）

求直线BM

的解析式；

（2

）

若点Q

以每秒

个单位的速度由点B

向点D

直线运动，连结CQ

，以CQ

为边向下作△CQP

，使得△QCP

≌△M

CB

，设运动时间为t.

2020年中考数学压轴题之二次函数专题突破

1． 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，A（-1，0），B（3，0）．

（1）求出二次函数的表达式．

（2）点P在x轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P的坐标．

（3）在x轴上方抛物线上是否存在一点Q，使得以Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（6，0）或P3,02；（3）存在，点Q113113,22或17,24．

【分析】

（1）将点A、B坐标代入解析式求出b、c的值即可得；

（2）∠PCB=∠CBD有两种情况，①P在B的右侧时，延长BD交y轴于点H，由∠OCB=∠OBC=45°，可证明∠HCB=∠CBP，从而△PCB≌△HBC，由直线BD即可求得：OH=OP=6，从而得到P点坐标；②P在B的左侧时，此时PC∥BD，根据一次函数解析式即可求出P；

（3）分以下两种情况分别求解，①点Q在y轴右侧时，由OB=OC，可得出OQ是∠BOC的平分线，联立二次函数解析式与直线OQ的解析式即可求解；②点Q在y轴左侧时，可得这条对角线只能是BQ，过点C作x轴的平行线EF，过点Q，B分别作EF的垂线，垂足分别为F，E，延长FQ交x轴于点G，设点Q的坐标为(m，n)，根据S△BOQ=S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC可得出关于m，n的关系式，再与二次函数的解析式联立即可求解．

2．已知，如图，二次函数2yaxbxc图像交x轴于(1,0)A，交y交轴于点(0,3)C，D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点(1,0)F．

（1）求二次函数关系式； （2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点．

①求55APPD的最小值及取得最小值时点P的坐标；

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题6 二次函数与平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.

解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.

1. 平面直角坐标系中，点 A的坐标是11(,)xy，点B的坐标是22(,)xy，则线段AB的中点坐标是1212(,)22xxyy.

2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为(,)AAxy、(,)BBxy、(,)CCxy、(,)DDxy，则ACBDxxxx，

ACBDyyyy. 3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：

【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．

（1）抛物线的解析式为 ；

（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；