简单的排列组合问题

排列与组合典型问题及方法（含答案）排列与组合——四类典型问题一、摸球问题1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球（1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90（2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95（3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？252、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字（1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100（2）至多有两个奇数的取法有多少种？126（3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70二、排队问题1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐（1）共有多少种不同就坐方法？210（2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30（3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？602、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只（1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920（2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641（3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600（4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？66553、由0,1,2,3,4,5,（1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52（2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90（3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60三、分房问题（n个人生日问题、投信问题）1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？8102、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43四、分组问题1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务（1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225975（3）甲、乙、丙三项任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种？2、将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259752!C C C （3）将9个人以3，3，3分为三组.3、将将9个人以下列三种方式分为三个小组，去完成三项不同的任务，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259753!2!C C C ? （3）将9个人以3，3，3分为三组.解题方法一、正难则反，等价转化在解决某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂、分类较多时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理，即先求总的排列组合数，再减去不符合要求的排列组合数，从而使问题获得解决办法。

小学数学解决简单的排列组合问题排列组合是小学数学中一个重要的概念，它涉及到对一组元素进行有序或无序排列的问题。

在解决简单的排列组合问题时，我们可以通过确定问题的条件和采用适当的计算方法来求解。

本文将介绍如何解决简单的排列组合问题，包括计算排列数和组合数的方法，以及一些常见的应用。

一、排列的计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方式。

当元素的顺序不同时，它们所组成的排列是不同的。

我们可以通过数学的方法来计算排列数。

1.1 从n个元素中选取m个进行排列当我们需要从n个不同元素中选取m个进行排列时，可以使用以下公式计算排列数：Anm = n! / (n-m)!式中，Anm表示从n个元素中选取m个进行排列的结果，n!表示n 的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

例如，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果为：A53 = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5*4*3*2*1 / 2*1= 60因此，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。

1.2 从n个元素中选取所有进行排列当我们需要从n个不同元素中选取所有进行排列时，也可以使用阶乘的方法来计算排列数：An = n!例如，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果为：A5 = 5!= 5*4*3*2*1= 120因此，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果有120种。

二、组合的计算方法组合是指从一组元素中选取若干个进行无序排列的方式。

当元素的顺序不重要时，它们所组成的组合是相同的。

我们可以使用组合数来表示从一组元素中选取若干个进行组合的结果。

2.1 从n个元素中选取m个进行组合当我们需要从n个不同元素中选取m个进行组合时，可以使用以下公式计算组合数：Cnm = n! / ((n-m)! * m!)式中，Cnm表示从n个元素中选取m个进行组合的结果。

例如，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果为：C53 = 5! / ((5-3)! * 3)!= 5! / (2! * 3)!= 5*4*3*2*1 / (2*1 * 3*2*1)= 10因此，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。

简单的排列组合练习题及答案一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站，则客运车票增加了58种，那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个数字不重复的三位数？可以组成多少个数字允许重复的三位数？可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列甲乙必须站两端，有多少种不同排法？甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，?，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。

如何解决简单的组合与排列问题组合与排列问题是数学中的一个重要分支，也是我们日常生活中经常遇到的一类问题。

它们涉及到将一组元素按照一定规则进行排列组合，从而得到不同的结果。

在解决这类问题时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，以便更加高效地求解。

首先，我们来了解一下组合与排列的概念。

组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序，而排列则是考虑元素的顺序。

例如，有3个元素A、B、C，从中选取2个元素进行排列，可能的结果有AB、AC、BA、BC、CA、CB；而进行组合时，可能的结果有AB、AC、BC。

可以看出，排列的结果要比组合多，因为排列考虑了元素的顺序。

在解决组合与排列问题时，我们可以运用一些基本的原则和方法。

首先，要明确问题的具体要求，确定需要进行排列还是组合。

其次，要明确元素的个数和选取的个数，这有助于我们确定问题的规模。

接下来，可以运用一些常用的公式和技巧进行求解。

在求解组合问题时，我们可以使用组合公式。

组合公式表示从n个元素中选取r个元素的组合数，可以用C(n, r)来表示。

组合公式的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n!表示n的阶乘。

例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行组合，可以计算C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。

这意味着从5个元素中选取3个元素进行组合，共有10种可能的结果。

而在求解排列问题时，我们可以使用排列公式。

排列公式表示从n个元素中选取r个元素进行排列，可以用P(n, r)来表示。

排列公式的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!。

例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行排列，可以计算P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。

这意味着从5个元素中选取3个元素进行排列，共有60种可能的结果。

除了使用公式进行计算外，我们还可以运用一些技巧来解决组合与排列问题。

例如，可以使用递归的方法进行求解。

排列组合问题是数学中的一类问题，它涉及到从一组物品中选择出某种特定排列或组合的问题。

比如，从n个不同的物品中取出m （m≤n）个物品，求出所有可能的组合数。

排列组合问题的解决方法有多种，其中最常用的是排列组合的基本解法，也就是组合数学中的组合数公式。

组合数公式是一种计算从n个不同的物品中取出m（m≤n）个物品的所有可能组合数的方法，它的公式如下：C(n, m)=n!/(m!(n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个不同的物品中取出m个物品的所有可能组合数，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示(n-m)的阶乘。

举例来说，如果从5个不同的物品中取出3个物品，那么求出所有可能的组合数，可以用组合数公式来计算：C(5, 3)=5!/(3!(5-3)!)=5!/6!=5×4×3/6×5×4=10因此，从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数为10。

组合数公式是排列组合问题中最常用的解法，它可以用来计算出任意给定n个不同物品中取出m（m≤n）个物品的所有可能组合数。

但是，在某些特殊情况下，组合数公式可能会有一定的局限性，比如当n和m都比较大的时候，计算出的组合数可能会比较大，这时候可能无法用组合数公式来求解。

除了组合数公式，还可以使用枚举法来解决排列组合问题。

枚举法是一种比较简单的解决方法，它的基本思想是通过枚举出所有可能的排列或组合，然后用穷举的方法来求解问题。

举例来说，如果要求从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合，那么可以枚举出所有可能的组合，如下：ABCABDABEACDACEADEBCDBCEBDECDE从上面的例子可以看出，通过枚举法可以得到10种可能的组合，这正是从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数。

枚举法有一定的缺点，即当n和m都比较大的时候，可能会出现计算量太大的情况，导致程序运行时间过长。

除了组合数公式和枚举法，还有一种比较常用的解决排列组合问题的方法，即递归法。

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。

排列组合典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数.分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数〔这是因为零不能放在千位数上〕．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅〔个〕． ∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914A A A -⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有281515A A A ⋅⋅个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个〔包括0在〕，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有281414A A A ⋅⋅个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有39410A A -个．其中四位奇数有)(283915A A A -个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296=个说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是根本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排〔1〕如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法.〔2〕如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法.〔3〕如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法.〔4〕如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法.解：〔1〕〔捆绑法〕因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． 〔2〕〔插空法〕要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法．〔3〕解法1：〔位置分析法〕因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． 解法2：〔间接法〕3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法，所以共有1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法．解法3：〔元素分析法〕从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有144005536=⋅A A 种不同的排法，〔4〕解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．说明：解决排列、组合〔下面将学到，由于规律一样，顺便提及，以下遇到也同样处理〕应用问题最常用也是最根本的方法是位置分析法和元素分析法．假设以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．假设以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．典型例题三例3 排一有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。