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空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。
在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。
一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。
点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。
点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。
2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。
在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。
在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。
二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。
对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。
1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。
对于直线则无法直接求得长度。
2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。
可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。
3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。
平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。
4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)在几何学中，点、线和面是基本的几何元素，它们之间存在着位置关系。
通过向量法的应用，我们可以更清楚地描述这些位置关系。
首先，让我们来探讨点和线之间的位置关系。
在向量法中，点可以用坐标表示，例如P(x,y,z)，其中x、y和z分别表示点P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
而线可以用线段表示，其两个端点分别为P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)。
当点P位于线段P1P2上时，我们可以通过参数方程来描述点P的位置。
假设点P的参数为t，那么点P的坐标可以表示为P(x,y,z) = P1 + t(P2 - P1)，其中P1和P2为线段的两个端点。
当t取值在[0,1]之间时，点P在线段P1P2的内部；当t等于0或1时，点P在线段的端点P1或P2上；当t小于0或大于1时，点P在线段的延长线上。
接下来，让我们来研究点和面之间的位置关系。
在向量法中，面可以用法向量N和一个过该面上一点的参数方程表示。
假设面的法向量为N(a,b,c)，面上的一点为P(x1,y1,z1)，则面的方程可以表示为ax + by + cz = d，其中d为常数。
当点P(x0,y0,z0)位于面上时，我们可以将点P的坐标代入面的方程中，如果等式成立，则点P位于面上；如果等式不成立，则点P位于面的上方或下方。
最后，我们来探讨线和面之间的位置关系。
在向量法中，我们可以通过线上一点和线的方向向量以及面的法向量来判断线和面的位置关系。
当线的方向向量和面的法向量相互垂直时，线与面平行。
如果线上的一点P位于面上，则线与面重合；如果线上的一点P不位于面上，则线与面平行且不相交。
当线的方向向量和面的法向量不相互垂直时，线与面相交。
我们可以通过求出线与面的交点，然后判断交点是否位于线段上，来确定线和面的具体位置关系。
总之，通过向量法的应用，我们可以更清楚地描述点、线和面之间的位置关系。
通过参数方程、面的方程以及线的方向向量和面的法向量，我们可以判断点是否在线上、线是否与面相交，并进一步推导出点、线和面的具体位置。
点线面的位置关系和判定方法在几何学中，点、线段和平面是最基本的图形元素，它们之间的位置关系和判定方法对于几何问题的解决至关重要。
本文将探讨点线面的位置关系以及相应的判定方法。
一、点与线段的位置关系和判定方法1. 点在线段上的情况：一个点可以在线段的两端点之间，也可以在线段上，或者在线段外。
要判断一个点是否在线段上，可以使用如下方法：（1）距离判定法：计算点到线段两个端点的距离，如果两个距离之和等于线段长度，那么点就位于线段上。
（2）向量判定法：将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和等于1，那么点就位于线段上。
2. 点在线段的延长线上的情况：当一个点在线段的延长线上时，意味着可以无限延长线段，点位于线段的一侧。
判定方法如下：（1）向量判定法：同样将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和大于1，那么点在线段的延长线上。
3. 点在线段的左侧或右侧的情况：若点位于线段的左侧（或右侧），则该点与线段的两个端点所形成的线段组合为逆时针（或顺时针）方向。
判定方法如下：（1）向量叉积法：将线段的一个端点与点构成的向量记为向量A，将线段的一个端点与线段另一端点构成的向量记为向量B。
计算向量A和向量B的叉积，若叉积大于0，则点在线段的左侧；若叉积小于0，则点在线段的右侧；若叉积等于0，则点在线段上。
二、点与平面的位置关系和判定方法1. 点在平面上的情况：一个点可以位于平面上，也可以位于平面外部。
判定方法如下：（1）向量法：选择平面上的三个非共线点A、B、C，将点与这三个点分别构成向量。
如果点与向量A、B、C共面，那么点就位于平面上。
2. 点在平面的一侧或另一侧的情况：当一个点在平面的一侧时，意味着通过该点可以画出与平面垂直的直线。
判定方法如下：（1）点法向量法：选择平面上的一个点P，计算向量AP与平面的法向量N的点积。
高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结一、概述在立体几何中，空间向量是一种重要的数学工具，用于描述空间中的点、线和面之间的关系。
通过对空间向量的研究和应用，可以帮助学生更好地理解和解决立体几何中的各种问题。
本文将总结空间向量与点线面的关系，为高中数学教学备课提供参考。
二、基本概念1. 空间向量空间向量是指在空间中具有大小和方向的矢量，可以表示为AB→，其中A和B为空间中的两个点，→表示方向。
空间向量可以通过坐标表示，一般表示为(a, b, c)或ai + bj + ck，其中a、b、c为实数。
2. 点的坐标在空间中，每个点都可以用坐标表示。
常用的表示方法有直角坐标和向量坐标两种。
直角坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z为实数，分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
向量坐标表示为ai + bj + ck，其中a、b、c为实数，表示该点与坐标原点的空间向量。
3. 向量的相等两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点相同。
即若AB→ = CD→，则A = C且B = D。
4. 向量的共线若两个非零向量的方向相同或相反，则称它们共线。
即若AB→ // CD→，则AB→和CD→共线。
5. 向量的夹角两个非零向量的夹角定义为它们所在直线的夹角。
常用的计算夹角的方法有向量内积法和向量模长法。
三、空间向量与点的关系1. 空间向量的加法若AB→和BC→是空间中的两个向量，那么它们的和可以表示为AB→ + BC→ = AC→。
即通过将向量的终点与起点相连，可以得到一个新的向量。
2. 点的坐标表示某点的坐标等于原点与该点所在的向量的坐标之和。
即若A为某点，且A = O + OA→，则A的坐标为(x, y, z) = (0, 0, 0) + (a, b, c)，即A的坐标为(a, b, c)。
这个性质对于求空间中任意两点之间的距离和中点等问题非常有用。
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面是几何学中的基本概念，它们的位置关系可以通过向量法来描述和解决。
向量法是一种将点、线、面看作向量的方法，通过向量的运算和性质，研究它们之间的位置关系，为几何学的推导和计算提供了便捷的工具。
在向量法中，点被看作是一个没有长度和方向的量，用坐标表示。
而线被看作是具有长度但没有宽度的量，可以通过两个点来确定。
面则是在三维空间中具有长度、宽度但没有厚度的量，可以通过三个点来确定。
点、线、面的位置关系可以分为相交、平行、垂直、共面四种情况。
1. 相交：两个线或两个面的交点不为空。
在向量法中，可以通过判断两个线的向量是否共线来确定是否相交。
如果两个向量共线，则说明两个线段在同一直线上，可能相交。
对于两个面的判断，可以通过计算两个面的交线是否存在来判断两个面是否相交。
2. 平行：两个线或两个面的方向完全相同或完全相反。
在向量法中，可以通过计算两个线的方向向量是否平行来判断是否平行。
对于两个面的判断，可以通过计算两个面的法向量是否平行来判断是否平行。
3. 垂直：两个线的方向向量互相垂直。
在向量法中，可以通过计算两个线的方向向量的点积是否为0来判断是否垂直。
4. 共面：三个点或三个面在同一个平面上。
在向量法中，可以通过计算三个点形成的三角形的面积是否为0来判断是否共面。
对于三个面的判断，可以通过计算三个面的法向量是否共线来判断是否共面。
除了以上的基本位置关系，向量法还可以应用于解决点、线、面的投影、距离等具体问题。
例如，可以通过点到线的垂直距离公式来计算点到线的距离。
对于点到平面的垂直距离，可以通过计算点到平面的法向量投影的长度来计算距离。
参考内容：1. 《大学几何学》（张贵才、聂福成），高等教育出版社2. 《线性代数》（曾信池），高等教育出版社3. 《大学数学》（吴军），高等教育出版社4. 《向量与几何代数》（金惠民），北京大学出版社5. 《数学分析习题集》（郭家莉、周宏），高等教育出版社通过学习以上参考内容，可以了解到向量法在解决点、线、面的位置关系问题中的应用。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面是几何学中的基本概念，它们的位置关系是几何学中常见的问题之一。
在解决这个问题时，可以采用向量法的应用。
首先，我们来看点和线的位置关系。
如果一个点在一条直线上，那么这个点就被称为这条直线上的点。
如果一个点不在一条直线上，那么这个点就被称为这条直线外的点。
在向量法中，可以通过向量的叉积来计算点和线之间的位置关系。
如果两个向量的叉积等于0，则它们共线，也就是说，这个点在这条直线上。
如果两个向量的叉积不等于0，则它们不共线，也就是说，这个点不在这条直线上。
其次，我们来看点和面的位置关系。
如果一个点在一个平面内，那么这个点就被称为这个平面内的点。
如果一个点不在一个平面内，那么这个点就被称为这个平面外的点。
在向量法中，可以通过向量的点积来计算点和面之间的位置关系。
我们可以将这个点与平面上的任意一点连接成一条向量，然后计算这个向量与平面法向量的点积。
如果点积为0，则这个点在这个平面上。
如果点积不为0，则这个点不在这个平面上。
最后，我们来看线和面的位置关系。
如果一条直线在一个平面内，那么这条直线就被称为这个平面内的直线。
如果一条直线不在一个平面内，那么这条直线就被称为这个平面外的直线。
在向量法中，可以通过向量的夹角来计算线和面之间的位置关系。
我们可以将这条直线与平面法向量计算夹角，如果夹角为90度，则这条直线与平面相交。
如果夹角小于90度，则这条直线在平面内。
如果夹角大于90度，则这条直线在平面外。
综上所述，点、线、面的位置关系可以通过向量法的一些计算来解决。
在实际应用中，我们可以利用向量法的原理来进行计算，以确定它们之间的位置关系。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面的位置关系是向量法在几何学中的应用之一。
向量是具有方向、大小和起点的量，可以用来描述空间中的几何对象。
在考虑点、线、面的位置关系时，向量可以提供方便的分析工具。
首先，我们来分别介绍点、线、面的定义和表示方法。
点是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点可以用坐标表示，例如在直角坐标系中，点P的坐标可以用元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示点P在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
线是由无数点构成的一维图形，可以用起点和终点或参数方程表示。
例如，直线AB可以表示为矢量形式AB=rB - rA，其中rA和rB分别是线段的起点和终点的位置矢量。
面是由无数点构成的二维图形，可以由三个或更多个点确定。
平面ABC可以用参数方程表示为rA + s(rB - rA) + t(rC - rA)，其中rA、rB和rC分别是平面上的三个点的位置矢量，s和t为参数。
点、线、面的位置关系可以通过向量的点积、叉积以及向量的几何解释来研究。
1. 点与直线的位置关系：- 点P是否在直线AB上可以通过向量PA与向量AB的点积判断，若PA·AB=0，则点P在直线上。
- 点P到直线AB的距离可以通过求向量PA与向量AB的叉积的模长除以向量AB的模长得到，即d=|(PA×AB)/|AB||。
- 点P在直线AB上的投影可以通过直线AB上一点C的位置矢量rC与向量AB的叉积得到，即P=rC+(PA×AB)/|AB|^2·AB。
2. 点与平面的位置关系：- 点在平面上的条件是点P到平面上的任意一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积为零，即PQ·n=0。
- 点到平面的距离可以通过求点P到平面上一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积除以向量n的模长得到，即d=|(PQ·n)/|n||。
3. 线与平面的位置关系：- 直线与平面是否相交可以通过直线上一点A的位置矢量rA与平面的法向量n的点积判断，若rA·n=0，则直线与平面平行或在平面上。
高中数学必备技巧解析几何中的空间向量与点线面关系高中数学必备技巧：解析几何中的空间向量与点线面关系解析几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面等几何对象在坐标系中的表示与性质。
在解析几何中，空间向量及其与点线面的关系是必不可少的基础知识。
本文将详细介绍高中数学中解析几何中的空间向量以及它们与点线面的关系，帮助同学们更加深入理解和应用这些概念。
一、空间向量的概念及性质空间向量是用有序数对表示的，包括起点和终点两个关键点。
在解析几何中，通常用大写字母表示空间向量，如$\vec{AB}$表示从点A 到点B的向量。
空间向量有以下几个重要的性质：1. 空间向量的模长：空间向量$\vec{AB}$的模长表示为$|\vec{AB}|$，它等于两点之间的距离。
2. 相等向量：若$\vec{AB}=\vec{CD}$，则向量$\vec{AB}$与向量$\vec{CD}$相等，它们具有相同的模长和方向。
3. 零向量：零向量表示为$\vec{0}$，它的模长为0，方向可以是任意的。
任何向量与零向量相加都保持不变。
4. 负向量：向量$\vec{AB}$的负向量表示为$-\vec{AB}$，它具有相同的模长但方向相反。
二、空间向量的运算在解析几何中，空间向量支持多种运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。
它们的运算法则如下：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$，$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加负向量。
即$\vec{AB}-\vec{BC}=\vec{AB}+(-\vec{BC})$。
3. 数量乘法：向量与实数的乘法满足结合律和分配律。
即$a(\vec{AB}+\vec{BC})=a\vec{AB}+a\vec{BC}$，$(a+b)\vec{AB}=a\vec{AB}+b\vec{AB}$。
第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2． [注意] 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直． (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．二、教材衍化1．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交解析：选B．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，A选项不正确，α内存在直线与a相交；B选项正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D 选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°3．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF ═∥12AC ，EH ═∥12BD ， 所以AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：(1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P ∈α∩β且l 是α，β的交线，则P ∈l .( ) (2)三点A ，B ，C 确定一个平面．( )(3)若直线a ∩b ＝A ，则直线a 与b 能够确定一个平面．( ) (4)若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α，则l ⊂α.( ) (5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对异面直线的概念理解有误； (2)对等角定理条件认识不清致误； (3)对平面的性质掌握不熟练，应用不灵活．1．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：选C ．假设c ∥b ，又因为c ∥a ，所以a ∥b ，这与a ，b 是异面直线矛盾，故c 与b 不可能平行．2．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D．两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D．3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析：EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的平面有4个．答案：4考点一平面的基本性质(基础型)复习指导|了解可以作为推理依据的公理和定理．核心素养：逻辑推理如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1═∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【迁移探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1．(多选)(2021·预测)用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是() A．直角三角形B．正五边形C．正六边形D．梯形解析：选CD．画出截面图形如图：可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；如图1经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，如图2用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故D正确．2.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . 所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， 所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线． 考点二 空间两直线的位置关系(基础型)复习指导| 认识和理解空间点、线、面的位置关系． 核心素养：逻辑推理、直观想象(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF ＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B．【答案】 B1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：选D．在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D．2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论是________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④考点三异面直线所成的角(基础型)复习指导|求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．(1)(2020·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A ． 3B ．1C ．63D ．22(2)四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．【解析】 (1)如图，取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN ＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt △PBN 中，tan ∠PBN ＝PN BN ＝23＝63，故选C ．(2)如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)C (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1. (2020·广东省七校联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C．如图，连接CD1，AD1则A1B∥CD1，所以∠ACD1是异面直线AC与A1B 所成的角或其补角．易知△ACD1是等边三角形．所以∠ACD1＝60°，所以异面直线AC与A1B所成的角为60°.故选C．2．(2020·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF 所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE 的中点G ，连接OG ，CG ， 则OG ∥BD 且OG ＝12BD ，所以∠COG 为异面直线BD 与CF 所成的角或其补角． 设正方形ABCD 的边长为2， 则CE ＝BE ＝1，CF ＝DE ＝CD 2＋CE 2＝5，所以CO ＝12CF ＝52.易得BE ⊥平面CDFE ，所以BE ⊥DE ， 所以BD ＝DE 2＋BE 2＝6，所以OG ＝12BD ＝62.易知CE ⊥平面ABEF ，所以CE ⊥BE ， 又GE ＝12BE ＝12，所以CG ＝CE 2＋GE 2＝52. 在△COG 中，由余弦定理得， cos ∠COG ＝OC 2＋OG 2－CG 22OC ·OG＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫622－⎝⎛⎭⎫5222×52×62＝3010，所以异面直线BD 与CF 所成角的余弦值为3010.答案：3010[基础题组练]1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b 和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D．依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D．2．(多选)下列命题正确的是()A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析：选AC．对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4. (多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD 于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面解析：选ABC．连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，选项D错误．5. (2020·内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A ．取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD .所以EF 与CD 所成的角为∠EFG (或其补角)，因为EF ⊥AB ，所以EF ⊥EG .EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，所以在Rt △EFG 中，sin ∠EFG ＝12，所以EF 与CD 所成的角为30°.故选A ．6．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是_______________________________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.答案：π39．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1，H ，O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，因为BB 1═∥DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，因为平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1， 所以H ∈OD 1.即D 1，H ，O 三点共线．10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.[综合题组练]1．(创新型)如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A．是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形解析：选A．如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BC⊥CD，再过点B作BE⊥AD于点E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点B，E位置，可知，当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A．2. (多选)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是()A．无论旋转到什么位置，A，C两点都不可能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°解析：选ABC．在A中，A与C恒不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D不成立．故选ABC．3．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD 所成的角为45°.其中正确的是________(填序号)．解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)．对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD 即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt △BDG 中，∠GBD 不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．答案：①②4．(2020·河南安阳调研四)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ∈平面AA 1B 1B ，点F 是线段AA 1的中点，若D 1E ⊥CF ，则当△EBC 的面积取得最小值时，S △EBC S 四边形ABCD＝________． 解析：如图所示，连接B 1D 1，取AB 的中点G ，连接D 1G ，B 1G .由题意得CF ⊥平面B 1D 1G ，所以当点E 在直线B 1G 上时，D 1E ⊥CF ，设BC ＝a ，则S △EBC ＝12EB ·BC ＝12EB ·a ， 当△EBC 的面积取最小值时，线段EB 的长度为点B 到直线B 1G 的距离，所以线段EB 长度的最小值为a 5，所以S △EBC S 四边形ABCD ＝12×a 5×a a 2＝510. 答案：5105.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.6. (综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.。
点、线、面是空间几何学中的基本概念，它们存在着一定的位置关系。
向量法是解决几何问题的重要方法之一，可以有效地描述点、线、面的位置关系。
本文将探讨向量法在点、线、面位置关系中的应用，并给出相关参考内容。
一、点、线、面的向量表示向量是对空间中的点、线、面进行表示的一种数学工具。
在向量法中，我们通常使用坐标表示点的位置、用箭头表示线的方向、用平面方程表示面的位置。
具体表示如下：1.点的向量表示设点A在空间中的坐标为(Ax, Ay, Az)，则A点的位置向量表示为OA = (Ax, Ay, Az)。
2.线的向量表示设直线L上一点A的位置向量为OA，且直线上一点B的位置向量为OB，则直线L的向量表示为(OA, OB)。
3.面的向量表示设平面α通过点A，并以直线L为法线，则平面α的向量表示为α: AX + BY + CZ + D = 0，其中(x, y, z)为空间中的任意一点坐标。
二、点、线、面的位置关系1.点和线的位置关系给定直线L的向量表示为(OA, OB)，设点P的位置向量为OP。
点P在直线L上的充分必要条件是OP = λ1·OA + λ2·OB，其中λ1和λ2为实数。
当λ1和λ2满足该条件时，点P在线段AB上；当λ1和λ2为0或非零时，点P在线段AB的延长线上。
2.点和面的位置关系给定面α的向量表示为α: AX + BY + CZ + D = 0，设点P的位置向量为OP。
点P在平面α上的充分必要条件是OP·n = 0，其中n为α的法向量。
当OP·n = 0时，点P在平面α上；当OP·n ≠ 0时，点P在平面α的一侧。
3.线和面的位置关系给定直线L的向量表示为(OA, OB)，平面α的向量表示为α: AX + BY + CZ + D = 0。
直线L与平面α的位置关系可以通过求交点进行判断。
设直线L与平面α的交点为点P，则有OP·n = 0和OP = λ1·OA + λ2·OB。
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。
它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。
本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。
一、点和线的位置关系
在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。
1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。
换句话说，点和线的向量共线。
2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。
3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。
这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。
4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。
但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。
二、点和面的位置关系
点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。
1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。
2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点
与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。
3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不
在平面上。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平
面内。
4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
三、线和面的位置关系
线和面的位置关系主要有以下几种情况。
1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意
两点构成的向量都在同一个平面内。
2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。
这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。
3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两
点构成的向量与平面内的向量平行。
但是，直线与平面平行并不意味
着直线在平面上。
4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。
综上所述，空间向量中的点、线和面之间存在着不同的位置关系。
理解和掌握这些位置关系对于解决几何问题和应用数学在实际生活中
具有重要意义。
在实际应用中，我们可以通过向量的运算和分析来确
定点、线和面之间的位置关系，从而更好地解决问题。
本文通过详细论述了点和线、点和面、线和面之间的不同位置关系。
了解这些位置关系对于进一步深入研究空间向量以及相关几何问题具
有重要意义。
通过不断学习和实践，我们可以运用向量的原理和方法
解决更加复杂的几何问题，并在实际应用中发挥其作用。
让我们一起
努力，不断提高对空间向量点线面位置关系的理解和运用能力。
