空间点、线、面的位置关系

点、线、面之间的位置关系及判定与性质（逻辑推理）一、空间的点、直线、平面之间的位置关系1 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.（三个推论）推理1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。

推理2：两条相交直线确定一个平面。

推理3：两条平行直线确定一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线.2 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行。

（3）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

（4）异面直线所成的角：例1有下列命题：①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别与α交于P 、Q 、R 三点，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 与A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间的五个点最多确定10个平面。

其中正确的命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例2 给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行。

其中正确的命题为（ ）A. ①B. ②C. ③D. ① ③例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点。

（1）求证：AC ⊥平面BDD 1;(2)求BD 1与CE 所成角的余弦值。

例4 如图所示，E 、F 在AD 上，G 、H 在BC 上，图中8条线段所在的直线，互为异面直线的有 对。

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。

空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示 平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有 条； （2）与直线B A 1相交的棱有 条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是 ； （4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离； （2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。

空间点线面的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解点、线、面的基本概念。

2. 让学生掌握点、线、面之间的位置关系。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：重点：点、线、面之间的位置关系。

难点：如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点、线、面的位置关系。

2. 利用多媒体课件，直观展示点、线、面的位置关系。

3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。

四、教学准备：1. 多媒体课件。

2. 点、线、面模型。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过展示现实生活中的点、线、面实例，引导学生关注空间点线面的位置关系。

2. 点、线、面的概念讲解：讲解点、线、面的基本概念，让学生明确它们之间的关系。

3. 点、线、面的位置关系探究：引导学生通过观察、操作、思考，发现点、线、面之间的位置关系。

4. 案例分析：分析现实生活中点、线、面位置关系的应用，让学生体会知识的价值。

5. 小组讨论：分组讨论如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。

6. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 评价目标：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对空间点线面位置关系的理解和应用能力。

2. 评价方法：课堂参与度：观察学生在课堂讨论和提问中的活跃程度和思考深度。

练习正确率：统计学生练习题的正确率，分析学生的掌握情况。

作业完成质量：评估学生作业的完成质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。

3. 评价内容：学生能否准确描述点、线、面的概念及其特征。

学生是否能理解并应用点、线、面的位置关系解决简单问题。

学生是否能在实际情境中识别和运用点、线、面的位置关系。

七、教学拓展：1. 拓展活动：组织学生进行空间几何模型制作，如点、线、面的小模型，让学生通过动手操作进一步理解空间关系。

点、线、面的位置关系梳理许苏华空间中最基本的几个元素分别就是点、线（直线、平面曲线、空间曲线）、面（平面、空间曲面）.这里主要研究点、直线、平面之间的位置关系.其中点是没有大小，只有位置，不可分割的图形；直线是向两端无限延伸的，是没有宽度的；平面是向四周无限延伸的，而且是没有厚度的.一般我们不考虑点与点、直线与直线、平面与平面重合这种特殊情况，则点、直线、平面之间的所有位置关系如下表所示：此表中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行和垂直是我们重点要研究的特殊位置关系.根据公共点的个数，可以给这些位置关系下定义.相交直线，在同一个平面内，有且仅有一个公共点；平行直线，在同一平面内，它们没有公共点；异面直线，不同在任何一个平面内，它们也没有公共点.直线与平面相交，有且仅有一个公共点；直线与平面平行，则没有公共点；直线在平面内，有无数个公共点.两个平面平行，没有公共点；两个平面相交，有一条公共直线，即有无数个公共点.一、各种角如果两条直线平行或相交，这两条直线也叫共面直线.若两条直线平行，我们规定它们的夹角为0；若两条直线异面，平移其中一条，或两条直线都平移，使它们相交，平移后的两条直线的所成的角称之为异面直线所成的角.空间中两条直线所形成夹角的取值范围是[0,90].如果直线与平面平行，或者直线在平面内，我们规定直线与平面所成的角是0；如果直线与平面垂直（相交的一种特殊情况），则直线与平面所成的角为90；如果直线与平面相交，但是不与该平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，该垂线与平面的交点叫做垂足，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面上的射影，斜线与射影所成的角，叫做斜线与平面所成的角.因此直线与平面所成角的范围也是[0,90]. 两个平面之间也能形成角，那怎么度量呢？这里要引入二面角的概念.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，该图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.若棱为AB ，面分别为α、β，在面α、β内分别有一点P 、Q ，此二面角记作二面角AB αβ--或二面角P AB Q --.如果棱记作l ，此二面角也可记作二面角l αβ--或二面角P l Q --.如果在二面角的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，分别在半平面α、β内作垂直于棱l 的射线OC 、OD ，则COD ∠叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，可见二面角的取值范围是[0,180].当两个半平面重合时，对应着二面角为0；当两个半平面互相垂直，对应着二面角为90，该二面角叫做直二面角；当两个半平面拼成一个平面时，对应着二面角为180.二面角的取值范围与两个向量之间夹角范围是一样的.二、各种公理与定理（推论）数学中的公理、原理，通常是一件基本事实，是一个显而易见的简单结论，或是一个不需要证明的主观真理.而数学中定理、推论、公式，都是需要通过演绎等逻辑推理方法严格证明的.因此，在我们学习过程中，遇到公理、原理，我们要举例子、弄明白、想透彻、理解领悟即可；如果是定理、公式，那我们一定要尝试证明、或者学习别人的证明方法，最终自己要证明出来，让定理、公式真正属于你自己的定理、公式，最后你才有资格，才能心安理得、光明正大地灵活使用它们.（一）与平面有关的几个公理和推论：公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.简言之，公理1就是“不共线的三点确定一个平面”.公理2用来判断直线是否在平面内.由公理1和公理2，再结合“两点确定一条直线”，可以推出下列三个常用的推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（二）与平行有关的公理与定理：1．直线与直线平行公理4 平行与同一个条直线的两条直线平行.简言之，空间中直线平行具有传递性.由平行四边形的判定定理以及全等三角形的判定定理，再由全等三角形的性质可以证明下面这个定理：定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2. 直线与平面平行利用推论3和公理4，直线与平面平行的定义，可证明直线与平面平行的判定定理：定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.主要利用直线与平面平行的定义，即没有公共点，可以证明直线与平面平行的性质定理：定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.简言之，线面平行的判定定理：“若线线平行，则线面平行”；线面平行的性质定理：“若线面平行，则线线平行”.3. 平面与平面平行可由推论2，平面与平面相交的定义，以及反证法，可证明平面与平面平行的判定定理：定理如果平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.依然主要利用有无公共点，可以证明平面与平面平行的性质定理：定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.简言之，面面平行的判定定理：“若线面平行，则面面平行”；面面平行的性质定理：“若面面平行，则线线平行”.（三）与垂直有关的定义与定理：1．直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.除了异面垂直，当然还有初中就已经学习过的相交垂直.因此两条直线垂直，它们有可能是相交的，也可能是异面的.2. 直线与平面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么该直线与此平面互相垂直.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，因此根据定义判断直线与平面垂直的方法行不通.利用推论2，可证明直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.利用反证法，以及“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，可以证明直线与平面垂直的性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简言之，线面垂直的判定定理：“若线线垂直，则线面垂直”；线面垂直的性质定理：“若线面垂直，则线线平行”.3. 平面与平面垂直定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.由上述两个平面互相垂直的定义，可证明平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.主要由线面垂直的判定定理，可以证明平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.简言之，面面垂直的判定定理：“若线面垂直，则面面垂直”；面面垂直的性质定理：“若面面垂直，则线面垂直”.空间平行、垂直关系之间的转化，可用下图清晰地表示出来.掌握这些公理、推论、定理，并不容易，需要各个击破，然后归纳梳理形成系统，并“学而时习之”，才能运筹帷幄决胜千里！。

立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。