空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。

5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。

方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。

特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。

7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。

8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。

特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。

9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。

特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。

10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。

它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。

本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。

一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。

1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。

换句话说，点和线的向量共线。

2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。

3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。

这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。

4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。

但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。

二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。

1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。

2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。

3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。

1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。

2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。

这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。

3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。

但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。

4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底②锥体的体积 13V S h =⨯底 ③台体的体积 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（④球体的体积343V R π= 2π2π2r rl S +=第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

空间点、线、面之间的位置关系知识点归纳1. 平面的表示法概念几何里的平面是_________, 常用平行四边形表示平面。

表示法平面一般用一个希腊字母α、β、γ…来表示，也可以用平行四边形的对角线上两个点的字母来表示。

若A、B、C三点不共线，则可称平面ABC。

2．平面的基本性质公理1如果一条直线的_______在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2 过______________________的三点，有且只有一个平面。

推论1过一条直线和______________一点，有且只有一个平面。

推论2 经过两条________直线，有且只有一个平面。

推论3经过两条________直线，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________。

学法指导①公里1可证明直线在平面内，只要证明直线上有两个点在平面内即行。

②公里2体现了平面无限延展的性质。

利用公里2可证明两个平面相交（只需证明一个点同时在两个平面内），也可证明若干个点共线（证明若干个点同时在两个平面内，则这若干个点在两个平面的交线上，即共线）。

③公里3及三个推论是确定平面的条件，是将空间几何转化为平面几何的理论基础。

公里3中已知的三点不能在同一条直线上，推论1中已知的点不能在直线上，这些条件都不可以削弱，否则就有无数个平面。

3．异面直线__________________一个平面内的两条直线叫做异面直线。

即空间内既不平行又不相交的直线。

为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托（如课本第45页的图）4.空间直线间、平面间的位置关系（1）两条直线的位置关系①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内，没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称共面直线（2）两个平面的位置关系①两个平行平面：没有公共点；②两个相交平面：有一条公共直线。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。

2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。

3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13（S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
β
P
α ·L
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直 平行直线：同一平面内，没有公共点；
4.斜二测法：在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理：
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直 （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线相交；
（2）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线平行或重合；
（3）若 A1A2 B1B2 0 ，若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a b P=⇒有且只有一个平面α，使aα⊂，bα⊂推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面∥a b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β=l ，P ∈l ，且l 是唯一的公理4———l 1———l 2———l平行于同一条直线的两条直线互相平行l 1∥l ，l 2∥l ⇒l 1∥l 22．等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,OA O A OB O B ''''∥∥，则AOB A O B ∠=∠'''或180AOB A O B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2）二、空间两直线的位置关系 1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点α=1个直线a与平面α相交a A∥0个直线a与平面α平行aα⊂无数个直线a在平面α内aα∥0个平面α与平面β平行αβαβ=无数个平面α与平面β相交l3．常用结论（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；学#②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1（1）在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）A （2）B1．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 学@典例2 如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③D ．②④【答案】A故选A ．2．若直线l与平面α相交，则A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交典例3如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.3．如图，平面,,,a b b a A c αβαβ=⊂=⊂平面,且c a ∥，求证:b ,c 是异面直线.考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=，故选A. #网【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.4．如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.（1）求MN与A1C1所成角的正切值;（2）求B1D与A1C1所成角的大小.1．在正方体中，与成异面直线的棱共有A．条B．条C．条D．条2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A．空间中任意三点B．空间中两条直线C．一条直线和一个点D．两条平行直线3．已知直线平面,直线平面,则A．B．异面C．相交D．无公共点4．若直线a α,给出下列结论：①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线其中成立的个数是A．0 B．1C．2 D．35．如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对6．在空间中,下列命题正确的是A ．若平面内有无数条直线与直线l 平行,则l α∥B ．若平面内有无数条直线与平面平行,则αβ∥C ．若平面内有无数条直线与直线l 垂直,则l α⊥D ．若平面内有无数条直线与平面垂直,则αβ⊥ 7．给出下列四种说法:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面． 正确说法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知,m n 为异面直线,平面平面，直线满足,则A ．αβ∥且l α∥B ．且C ．与相交,且交线垂直于D ．与相交,且交线平行于9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定 10．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．147 B ．57C ．105D ．25511．已知在正方体1111ABCD A BC D -中（如图），l ⊂平面1111A B C D ，且l 与11B C 不平行，则下列一定不可能的是A ．l 与AD 平行B ．l 与AB 异面C ．l 与CD 所成的角为30°D ．l 与BD 垂直12．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为A ．238a B ．234a C ．232a D ．23a13．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．14．如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．415．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .16．如图所示，1111ABCD A BC D 是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面． 其中正确结论的序号为____________．17．已知m ,n 是两条不同的直线，,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若⊥β,∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β; ②若α∩β=m ,n //α,n //β,则n //m ;③若m 不垂直于平面α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线; ④若m ⊥α,n ⊥β, α//β,则m //n .其中正确的是__________.(填上所有正确的序号) 18．在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为__________. 19．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且13PG PD.证明:点四点共面.20．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.21．如图,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA＝1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D 2 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155C ．105D ．333．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22C 3D ．135．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）6．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．7．（2016上海理科）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【解析】（1）如图,连接EF ,CD 1,BA 1.因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以EF ∥BA 1. 又BA 1∥CD 1,所以EF ∥CD 1. 所以E ,C ,D 1,F 四点共面.（2）因为EF ∥CD 1,EF <CD 1,所以CE 与D 1F 必相交,设交点为P ,如图所示.2．【答案】A【解析】当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误；平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A ． 学@ 3．【解析】反证法：若b 与c 不是异面直线,则或b 与c 相交.①若,∵,∴,这与矛盾. ②若b ,c 相交于点B ,则.∵,∴，∴AB β⊂,即b β⊂,这与矛盾.∴b ,c 是异面直线.变式拓展4．【解析】（1）如图,取B1C1的中点Q,连接MQ,∵M是A1B1的中点,∴MQ//A1C1,∴MQ与MN所成的角为MN与A1C1所成的角,即∠NMQ.连接QN,则QN⊥平面A1B1C1D1,而MQ⊂平面A1B1C1D1,∴QN⊥MQ.在Rt△MQN中,QN=a,MQ =a,∴tan∠NMQ =.即MN与A1C1所成角的正切值为.（2）如图,连接BD,B1D1.∵DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴DD1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1,DD1∩B1D1=D1,∴A1C1⊥平面BDD1B1.∵B1D⊂平面BDD1B1,∴A1C1⊥B1D,∴B1D与A1C1所成角的大小为90°.考点冲关1．【答案】A【解析】如图，与成异面直线的棱有、、、，共4条.故选A.2．【答案】D3．【答案】D【解析】若直线平面,直线平面,则或异面,即无公共点.故选D．4．【答案】A【解析】∵直线a α,∴a∥α或a∩α=A.如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.5．【答案】A【解析】根据条件可知,和的交点都在平面ABD与平面BCD中,故和相交于两平面的交线BD上.故选A.6．【答案】D【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D．7．【答案】A8．【答案】D【解析】若，则由平面，知平面，而平面，所以，与为异面直线矛盾，所以平面与平面相交.由平面，且，可知,，同理可知，所以与两平面的交线平行.故选D ． 9．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l .若取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；若取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；若取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA10．【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG 是异面直线与所成的角或其补角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3,cos ∠FBG 255235=⨯⨯. 11．【答案】A【解析】假设l AD ∥，则由11AD BC B C ∥∥，可得11l B C ∥，这与“l 与11B C 不平行”矛盾，所以l 与AD 不平行． 12．【答案】A13．【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以,故选B.14．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：15．【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面. 学……16．【答案】①③【解析】连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．17．【答案】②④【解析】若,则与的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若不垂直于平面,则可垂直于内的无数条直线,即③错误;若,则,又,所以,即④正确.故填②④.18．【答案】19．【解析】在平面内,连接并延长，交的延长线于点,则有, 在平面内,连接并延长，交于点．取中点,连接,AF，20．【解析】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. @网所以BC与AD是异面直线.(2),因此;同理,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是平行四边形的对角线,所以EG与HF相交.21．【解析】取AC的中点F,连接BF、EF,1．【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅.故选C.2．【答案】C直通高考【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A BC D -， 则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BDC D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； 学@④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3．【答案】D4．【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11BF 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60 ， 故,m n 所成角的正弦值为32，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 5．【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.6．【答案】87【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC∠即为异面直线AN，CM 所成角（或其补角），易得122EM AN==22213EC EN CN+=+2222=-=AMACCM，∴7 cos82222EMC∠==⨯⨯，31 即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87. 7．【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 长为π3，可知111π3ΑΟΒ∠=． 111111111113sin 24ΟΑΒS ΟΑΟΒA ΟΒ=⋅⋅∠=△， 11111113312C O A B ΟΑΒV S h -=⋅=△．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

D CBAα LA·α C ·B· A· α（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；P· αLβ共面直线=>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

详细描述
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4：平行于 c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。