_空间点、线、面间位置关系(1)解析

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

空间解析几何的位置关系在数学中，空间解析几何是研究三维空间中点、直线、平面等几何元素之间的位置关系的一个分支。

通过分析和运用几何运算，可以准确描述和计算空间中各个几何元素的位置关系。

本文将介绍空间解析几何中常见的位置关系，并探讨它们在实际应用中的意义和用途。

一、点和直线的位置关系在空间解析几何中，点和直线是最基本的几何元素之一。

点在直线上的位置关系共有三种情况：1. 点在直线上：当一个点在直线上时，我们可以通过其坐标与直线的方程进行验证。

例如，对于一条直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在直线上。

2. 点在直线之外：如果一个点不在直线上，我们可以使用点到直线的距离公式来确定它们之间的关系。

点到直线的距离公式为：d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到直线的最短距离。

3. 点在直线延长线上：若一个点不在直线上，但位于直线的延长线上时，其满足点到直线的最短距离为0。

二、点和平面的位置关系与点和直线的位置关系类似，点和平面的位置关系也可以分为三种情况：1. 点在平面上：当一个点在平面上时，我们可以通过将点的坐标代入平面的方程进行验证。

例如，对于一个平面的方程为Ax + By + Cz +D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在平面上。

2. 点在平面之上或之下：如果一个点不在平面上，则可利用点到平面的距离公式来判断它们的位置关系。

点到平面的距离公式为：d =|Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到平面的最短距离。

当d为正值时，表示点在平面的上方；当d为负值时，表示点在平面的下方。

3. 点在平面之外但位于平面的延伸面上：当一个点不在平面上，但在平面的延伸面上时，其满足点到平面的距离为0。

三、直线和直线的位置关系直线和直线之间的位置关系包括平行、相交和重合三种情况。

空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。

了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。

本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。

一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。

2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。

3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。

二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。

2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。

3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。

三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。

2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。

3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。

四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。

2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。

3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。

五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。

2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。

3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。

综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。

了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。

在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。

空间中的点、曲线、垂直平面之间的位置关系在空间中，点、曲线和垂直平面之间存在着不同的位置关系。

理解这些关系对于几何学和物理学等学科来说非常重要。

本文将介绍点、曲线和垂直平面之间的基本位置关系。

点和曲线的位置关系点和曲线是空间中最基本的元素。

点可以看作是没有大小和形状的对象，而曲线则是由无数个连续的点组成的。

在空间中，点可以在曲线上、在曲线的内部或在曲线的外部。

1. 点在曲线上：当一个点恰好在曲线上时，我们说该点与曲线相交。

点和曲线在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 点在曲线的内部：当一个点处于曲线的内部时，我们说该点被曲线所包围。

点和曲线在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 点在曲线的外部：当一个点不在曲线上也不在曲线的内部时，我们说该点在曲线的外部。

点和曲线在这一位置关系上完全无关。

点和垂直平面的位置关系垂直平面是由无限多个平行于一个共同方向的直线组成的。

点和垂直平面之间存在以下几种位置关系：1. 点在垂直平面上：当一个点恰好在垂直平面上时，我们说该点属于该垂直平面。

点和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 点在垂直平面的内部：当一个点处于垂直平面的内部时，我们说该点被垂直平面所包围。

点和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 点在垂直平面的外部：当一个点不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该点在垂直平面的外部。

点和垂直平面在这一位置关系上完全无关。

曲线和垂直平面的位置关系曲线和垂直平面之间的位置关系与点和垂直平面的位置关系类似，只是将点替换为曲线。

1. 曲线在垂直平面上：当一条曲线恰好在垂直平面上时，我们说该曲线与垂直平面相交。

曲线和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 曲线在垂直平面的内部：当一条曲线处于垂直平面的内部时，我们说该曲线被垂直平面所包围。

曲线和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 曲线在垂直平面的外部：当一条曲线不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该曲线在垂直平面的外部。

2.1.1平面2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成画法45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；表示(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两方法个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l点A在直线l上A∉l A∈αA∉α点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外βl ⊂αl ⊄αl ∩m ＝A α∩β＝l ruize直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l ，m 相交于点 A 平面 α， 相交于直 线 l知识点二 平面的基本性质公理内容 图形 符号 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面内， A ∈l ，B ∈l 且 A ∈α， 那么这条直线在此 B ∈α⇒l ⊂α平面内过不在同一条直线 A ，B ，C 三点不共线公理 2 上的三点，有且只有 ⇒存在唯一的平面 α一个平面 使 A ，B ，C ∈α如果两个不重合的 平面有一个公共点， 公理 3 那么它们有且只有 一条过该点的公共 P ∈α 且 P ∈β⇒α∩β ＝l 且 P ∈l 直线1.公理 1 的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用 于立体几何的说理中)．2．公理 2 的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理 2 中要 注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能 确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三 点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因 此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问 题；③证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集 就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．B C D[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间不同三点确定一个平面．( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( )☆答案☆：(1)× (2)× (3)√2．经过空间任意三点作的平面( )A ．只有一个B ．只有两个C ．有无数个D ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能 作一个平面． ☆答案☆：D3．如果 a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是 ( )A ．l ⊂αB ．l ∉αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B解析：∵l ∩a ＝A 又 a ⊂α，∴A ∈l 且 A ∈α.同理 B ∈l 且 B ∈α.∴l ⊂α. ☆答案☆：A4．如果空间四点 A 、 、 、 不共面，那么下列判断正确的是( ) A ．A 、B 、C 、D 四点中必有三点共线B ．A 、B 、C 、D 四点中不存在三点共线C ．直线 AB 与 CD 相交D ．直线 AB 与 CD 平行解析：A 、B 、C 、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直 线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A 、B 、C 、D 共面． ☆答案☆：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平 面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm 2；④空间图形 中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④l利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置 关系，并画出相应的图形：①A ∈α，B ∉α；②A ∈α，m ∩α＝A ，A ∉l ，l ⊂α；③P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P ，且平面 α 与平面 β 相交于 P A ， 平面 α 与平面 γ 相交于 PB ，平面 β 与平面 γ 相交于 PC ；②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ，平面 ABC 与平面 ADC 相交 于 AC.【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A ，且点 A 不在 直线 l 上；③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q .图形分别如图①②③所示．(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝ PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面 ABD ∩平面 BDC ＝BD ，平面 ABC ∩平面ADC ＝AC.图形表示如图⑤所示.本题考查数学抽象．在“A ∈α， ⊂α”中 A 视为平面 α(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有 几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言 表示，再用符号语言表示．AC ∴(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用 “∈” 或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面 ABC ， ________平面 BCD ，BD________平面 ABC ， 平面 ABC ∩平面 ACD ＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三 平面性质的应用例 3 如图， ABC 在平面 α 外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BC ∩α ＝R.求证：P ，Q ，R 三点共线．【证明】 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈α.又 AB ⊂平面 ABC ，∴P ∈平面 ABC.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q ，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P ，Q ，R 三 点共线．方法二 ∵AP ∩AQ ＝A ，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ .又 AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，∴平面 APQ ∩α＝PQ.∵B ∈平面 APQ ， ∈平面 APQ ， BC ⊂平面 APQ .∵R ∈BC ，∴R ∈ 平面 APQ ，又 R ∈α，∴R ∈PQ ，∴P ，Q ，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练3如图，三个平面α、β、γ两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a与b不平行，∴a 与b必相交，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．☆答案☆：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：D3．下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．☆答案☆：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b ＝M，则点M与l的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.☆答案☆：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.☆答案☆：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①同理，EF ⊂平面 ADD A ，∴Q ∈平面 ADD A ，又∵平面 ABCD ∩平面 ADD A ＝AD ， N②10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、N 、E 、F 分别是棱 CD 、 AB 、DD 1、AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q ，求证：D 、A 、Q 三点 共线．证明：∵MN ∩EF ＝Q ，∴Q ∈直线 MN ，Q ∈直线 EF ，∵M ∈直线 CD ， ∈直线 AB ，CD ⊂平面 ABCD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴M 、N ∈平面 ABCD ，∴MN ⊂平面 ABCD ， ∴Q ∈平面 ABCD.1 1 1 11 1 ∴Q ∈直线 AD ，即 D ，A ，Q 三点共线．[能力提升](20 分钟，40 分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、 菱形，故选 D.☆答案☆：D12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四 点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． ☆答案☆：1 或 413．如图所示，已知直线 a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C.所以 EF 綊1A B. 又因为 A B 綊 D C ， 所以 EF 綊1D C ， 可设 D F ∩CE ＝P .又 D F ⊂平面 A D DA ，CE ⊂平面 ABCD ，所以点 P 为平面 A D DA 与平面 ABCD 的公共点．又因为平面 A D DA ∩平面 ABCD ＝DA ， 所以据公理 3 可得 P ∈DA ，即 CE ，D F ，DA 三线交于一点． 求证：直线 a ，b ，c 和 l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面 α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则 a ，b ，l 都在平面 α 内，即 b 在 a ，l 确定的平面内．同理可证 c 在 a ，l 确定的平面内．∵过 a 与 l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于 a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点， F 为 AA 1 的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接 EF ，D 1C ，A 1B ，因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点， 1 2 11 12 1所以 E ，F ，D ，C 四点共面，1 1 1 1 1 1 11 11。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。