_空间点、线、面间位置关系(1)解析

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

空间解析几何的位置关系在数学中，空间解析几何是研究三维空间中点、直线、平面等几何元素之间的位置关系的一个分支。

通过分析和运用几何运算，可以准确描述和计算空间中各个几何元素的位置关系。

本文将介绍空间解析几何中常见的位置关系，并探讨它们在实际应用中的意义和用途。

一、点和直线的位置关系在空间解析几何中，点和直线是最基本的几何元素之一。

点在直线上的位置关系共有三种情况：1. 点在直线上：当一个点在直线上时，我们可以通过其坐标与直线的方程进行验证。

例如，对于一条直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在直线上。

2. 点在直线之外：如果一个点不在直线上，我们可以使用点到直线的距离公式来确定它们之间的关系。

点到直线的距离公式为：d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到直线的最短距离。

3. 点在直线延长线上：若一个点不在直线上，但位于直线的延长线上时，其满足点到直线的最短距离为0。

二、点和平面的位置关系与点和直线的位置关系类似，点和平面的位置关系也可以分为三种情况：1. 点在平面上：当一个点在平面上时，我们可以通过将点的坐标代入平面的方程进行验证。

例如，对于一个平面的方程为Ax + By + Cz +D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在平面上。

2. 点在平面之上或之下：如果一个点不在平面上，则可利用点到平面的距离公式来判断它们的位置关系。

点到平面的距离公式为：d =|Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到平面的最短距离。

当d为正值时，表示点在平面的上方；当d为负值时，表示点在平面的下方。

3. 点在平面之外但位于平面的延伸面上：当一个点不在平面上，但在平面的延伸面上时，其满足点到平面的距离为0。

三、直线和直线的位置关系直线和直线之间的位置关系包括平行、相交和重合三种情况。

空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。

了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。

本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。

一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。

2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。

3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。

二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。

2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。

3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。

三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。

2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。

3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。

四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。

2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。

3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。

五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。

2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。

3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。

综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。

了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。

在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。

空间中的点、曲线、垂直平面之间的位置关系在空间中，点、曲线和垂直平面之间存在着不同的位置关系。

理解这些关系对于几何学和物理学等学科来说非常重要。

本文将介绍点、曲线和垂直平面之间的基本位置关系。

点和曲线的位置关系点和曲线是空间中最基本的元素。

点可以看作是没有大小和形状的对象，而曲线则是由无数个连续的点组成的。

在空间中，点可以在曲线上、在曲线的内部或在曲线的外部。

1. 点在曲线上：当一个点恰好在曲线上时，我们说该点与曲线相交。

点和曲线在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 点在曲线的内部：当一个点处于曲线的内部时，我们说该点被曲线所包围。

点和曲线在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 点在曲线的外部：当一个点不在曲线上也不在曲线的内部时，我们说该点在曲线的外部。

点和曲线在这一位置关系上完全无关。

点和垂直平面的位置关系垂直平面是由无限多个平行于一个共同方向的直线组成的。

点和垂直平面之间存在以下几种位置关系：1. 点在垂直平面上：当一个点恰好在垂直平面上时，我们说该点属于该垂直平面。

点和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 点在垂直平面的内部：当一个点处于垂直平面的内部时，我们说该点被垂直平面所包围。

点和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 点在垂直平面的外部：当一个点不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该点在垂直平面的外部。

点和垂直平面在这一位置关系上完全无关。

曲线和垂直平面的位置关系曲线和垂直平面之间的位置关系与点和垂直平面的位置关系类似，只是将点替换为曲线。

1. 曲线在垂直平面上：当一条曲线恰好在垂直平面上时，我们说该曲线与垂直平面相交。

曲线和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。

2. 曲线在垂直平面的内部：当一条曲线处于垂直平面的内部时，我们说该曲线被垂直平面所包围。

曲线和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。

3. 曲线在垂直平面的外部：当一条曲线不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该曲线在垂直平面的外部。

2.1.1平面2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成画法45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；表示(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两方法个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l点A在直线l上A∉l A∈αA∉α点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外βl ⊂αl ⊄αl ∩m ＝A α∩β＝l ruize直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l ，m 相交于点 A 平面 α， 相交于直 线 l知识点二 平面的基本性质公理内容 图形 符号 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面内， A ∈l ，B ∈l 且 A ∈α， 那么这条直线在此 B ∈α⇒l ⊂α平面内过不在同一条直线 A ，B ，C 三点不共线公理 2 上的三点，有且只有 ⇒存在唯一的平面 α一个平面 使 A ，B ，C ∈α如果两个不重合的 平面有一个公共点， 公理 3 那么它们有且只有 一条过该点的公共 P ∈α 且 P ∈β⇒α∩β ＝l 且 P ∈l 直线1.公理 1 的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用 于立体几何的说理中)．2．公理 2 的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理 2 中要 注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能 确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三 点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因 此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问 题；③证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集 就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．B C D[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间不同三点确定一个平面．( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( )☆答案☆：(1)× (2)× (3)√2．经过空间任意三点作的平面( )A ．只有一个B ．只有两个C ．有无数个D ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能 作一个平面． ☆答案☆：D3．如果 a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是 ( )A ．l ⊂αB ．l ∉αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B解析：∵l ∩a ＝A 又 a ⊂α，∴A ∈l 且 A ∈α.同理 B ∈l 且 B ∈α.∴l ⊂α. ☆答案☆：A4．如果空间四点 A 、 、 、 不共面，那么下列判断正确的是( ) A ．A 、B 、C 、D 四点中必有三点共线B ．A 、B 、C 、D 四点中不存在三点共线C ．直线 AB 与 CD 相交D ．直线 AB 与 CD 平行解析：A 、B 、C 、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直 线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A 、B 、C 、D 共面． ☆答案☆：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平 面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm 2；④空间图形 中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④l利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置 关系，并画出相应的图形：①A ∈α，B ∉α；②A ∈α，m ∩α＝A ，A ∉l ，l ⊂α；③P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P ，且平面 α 与平面 β 相交于 P A ， 平面 α 与平面 γ 相交于 PB ，平面 β 与平面 γ 相交于 PC ；②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ，平面 ABC 与平面 ADC 相交 于 AC.【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A ，且点 A 不在 直线 l 上；③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q .图形分别如图①②③所示．(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝ PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面 ABD ∩平面 BDC ＝BD ，平面 ABC ∩平面ADC ＝AC.图形表示如图⑤所示.本题考查数学抽象．在“A ∈α， ⊂α”中 A 视为平面 α(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有 几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言 表示，再用符号语言表示．AC ∴(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用 “∈” 或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面 ABC ， ________平面 BCD ，BD________平面 ABC ， 平面 ABC ∩平面 ACD ＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三 平面性质的应用例 3 如图， ABC 在平面 α 外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BC ∩α ＝R.求证：P ，Q ，R 三点共线．【证明】 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈α.又 AB ⊂平面 ABC ，∴P ∈平面 ABC.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q ，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P ，Q ，R 三 点共线．方法二 ∵AP ∩AQ ＝A ，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ .又 AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，∴平面 APQ ∩α＝PQ.∵B ∈平面 APQ ， ∈平面 APQ ， BC ⊂平面 APQ .∵R ∈BC ，∴R ∈ 平面 APQ ，又 R ∈α，∴R ∈PQ ，∴P ，Q ，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练3如图，三个平面α、β、γ两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a与b不平行，∴a 与b必相交，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．☆答案☆：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：D3．下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．☆答案☆：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b ＝M，则点M与l的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.☆答案☆：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.☆答案☆：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①同理，EF ⊂平面 ADD A ，∴Q ∈平面 ADD A ，又∵平面 ABCD ∩平面 ADD A ＝AD ， N②10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、N 、E 、F 分别是棱 CD 、 AB 、DD 1、AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q ，求证：D 、A 、Q 三点 共线．证明：∵MN ∩EF ＝Q ，∴Q ∈直线 MN ，Q ∈直线 EF ，∵M ∈直线 CD ， ∈直线 AB ，CD ⊂平面 ABCD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴M 、N ∈平面 ABCD ，∴MN ⊂平面 ABCD ， ∴Q ∈平面 ABCD.1 1 1 11 1 ∴Q ∈直线 AD ，即 D ，A ，Q 三点共线．[能力提升](20 分钟，40 分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、 菱形，故选 D.☆答案☆：D12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四 点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． ☆答案☆：1 或 413．如图所示，已知直线 a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C.所以 EF 綊1A B. 又因为 A B 綊 D C ， 所以 EF 綊1D C ， 可设 D F ∩CE ＝P .又 D F ⊂平面 A D DA ，CE ⊂平面 ABCD ，所以点 P 为平面 A D DA 与平面 ABCD 的公共点．又因为平面 A D DA ∩平面 ABCD ＝DA ， 所以据公理 3 可得 P ∈DA ，即 CE ，D F ，DA 三线交于一点． 求证：直线 a ，b ，c 和 l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面 α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则 a ，b ，l 都在平面 α 内，即 b 在 a ，l 确定的平面内．同理可证 c 在 a ，l 确定的平面内．∵过 a 与 l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于 a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点， F 为 AA 1 的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接 EF ，D 1C ，A 1B ，因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点， 1 2 11 12 1所以 E ，F ，D ，C 四点共面，1 1 1 1 1 1 11 11。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一 平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ， 又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。

空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容和内容解析1．内容空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系及其符号表示．2．内容解析在前面的学习中，学生掌握了空间中点线面之间的3条基本事实，和三个推论．学生可借助这些结论和生活实际对空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的关系进行总结和概括．这些感性认识为后面章节研究它们关系的判定和性质奠定了初步的基础．空间中，点、直线、平面这三类对象之间有6类关系，其中点与点、点与线、点与面之间的关系学生已经非常清楚．而直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系，学生只有粗浅的认识．而长方体提供了观察它们之间关系的重要模型．先观察然后归纳长方体中的直线、平面之间的关系，这是新课程改革中较好体现逻辑推理重要学科素养的内容．空间中的几何对象与其代数表示各有其优缺点，代数表示较为简洁、明确，而几何表达较为形象直观．直线、平面之间的位置关系也一样，能利用代数符号表达几何关系，也能用几何图形表达代数符号，是本节课中数学建模这一学科素养的具体体现．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过对长方体和生活中实物的观察，归纳空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系；能够对上述关系进行符号表示，能在几何表示和符号表示之间快速转换．二、目标和目标解析1．目标（1）归纳并理解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系．（2）能对上述关系进行符号表达，能在图形表示与符号表达之间相互转换．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过长方体中具体的直线、平面之间的关系，抽象、归纳出直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，并能在具体的空间图形中回答指定对象较为明显的位置关系．达成目标（2）的标志是：学生能通过类比集合中属于和含于等符号，表达直线与直线间的相交、平行；直线与平面间的在面内、相交、平行；平面与平面的平行、相交等的所有可能的位置关系．对于文字叙述或者符号表达的点线面的位置关系，学生能通过平行四边形、直线、点等图形表示出来，特别是异面直线．三、教学问题诊断分析学生对于点与点，点与线、点与面之间的关系是非常清楚的，但是如何通过抽象，剥离出本质特征，用几何图形表示不是很明白．直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系是后面章节中重点介绍的内容，本节课主要是初步感知这些对象之间关系，并用基本图形表达这些关系．异面直线是用否定性的定义来表达的，即不在任何一个平面内，没有公共点．在用图形表达的时候，只能借助一条直线在面内，一条直线与平面相交，且交点不在前一直线上来展现，或者借助两个相交平面，其各自面内有一直线，它们没有交点来衬托展现．无论是直线与直线、直线与平面、平面与平面中的哪种关系，在用图形表达时，均需借助一个或多个平面展现其相对位置关系．本节课的教学难点是：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的图形表达．四、教学过程设计（一）探究、归纳空间中直线与直线的位置关系问题1 空间中的基本要素有点、直线、平面，它们之间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点在直线上、点不在直线上；点与平面之间有点在面内、点不在面内等等．我们也知道在同一平面中，直线与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系．那么，在空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有哪些位置关系呢？我们可以借助长方体模型或者教室中的物体首先研究一下空间中直线与直线的位置关系有哪些？师生活动：教师展示三维的长方体图形，引导学生通过观察图形中具体的直线与直线间不同的位置关系，梳理归纳出直线之间的相交、平行、异面三种位置关系．设计意图：从现有的平面知识出发，引发空间中对象间的关系，然后具体到难度相对较低的直线与直线间的位置关系.方法主要是观察、归纳．问题2平面中直线与直线的平行关系与空间中直线间的平行关系意义一样吗？那么，相交关系呢？何用图形表示空间中直线之间的平行和相交呢？追问1：两直线异面，即两条直线不在任何一个平面内，又应该怎么用图形表示呢？师生活动：学生应该都能利用平行四边形以及平行四边形内部的线段来准确地画出空间中直线与直线的相交、平行关系，但是对于追问可能会有些难度．但至少可以想到用下图来表示．基本想法是两条直线中一条在面内，另一条一定不在面内，也就是说不能画在平行四边形内部．设计意图：让学生经历从已知到未知，从空间图到直观图的过程．可促进学生经历从特殊到一般的思维过程，体会正难则反的数学探究方法．追问2：既然异面直线是不在同一平面内的直线，能否通过绘制两个不同的平面，再在各自平面中绘制不相交的直线来展现异面直线呢？师生活动：教师提出问题，引导学生认知常见的展现异面直线的情形．通过讨论后，教师展示下图．设计意图：通过不同形式的展示，引导学生全面认识异面直线，其本质为两直线不相交、不平行．（二）探究、归纳空间中直线与平面之间的关系问题3 观察下图，直线AB与长方体的六个平面分别有几个交点，它们之间的位置关系又一样吗？再结合生活中的实例思考，空间中直线与平面有哪些位置关系？师生活动：教师提出问题，引导学生类比空间中直线与直线的位置关系，借助长方体模型或者生活中的实例，探究空间中直线与平面的交点，从而归纳出直线与平面间的位置关系．教师引导学生认识直线与平面相交和直线与平面平行均称直线在平面外．追问1：当直线与平面的交点个数为无数个，一个，零个的时候，我们分别称它们的位置关系为直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行，那么用直观图怎么表示这些位置关系呢？师生活动：直线在平面内时，可以通过在表示平面的平行四边形内画一条线段展现，上一环节中的探究和讨论已经基本可以绘制直线与平面相交的直观图．教师引导学生通过观察生活中直线与平面平行时给人的直观感受来绘制直线与平面平行的直观图，也就是通过直线与平行四边形中的一条边平行来展现．设计意图：教材直接给出了直线与平面的三种位置关系，略作说明地给出了三种位置关系的直观图．此环节可让让学生结合生活中的实例理解这样绘制图形的合理性．体会直线与平面位置关系的常用直观图表示．追问2：点、直线、平面均有对应的符号表示，那么它们之间的位置关系应该怎么用符号表示呢？师生活动：教师引导学生从集合的角度理解直线与平面，自然引出直线与平面相交的基本符号表示为a∩α=A；直线与平面平行的符号为a//α．设计意图：几何与代数是数学对象的两个方面，数形结合认识事物会更全面，学会用数学语言表达世界是数学中的一种基本素养．直线与平面位置关系的直观图表示更形象、更直观，但是符号表达会更简洁、更准确．（三）探究归纳空间中平面与平面的位置关系问题4 观察下图，平面ABCD与长方体的其他平面公共点的个数有什么不同，它们之间的位置关系又有什么不一样？再结合生活中的实例思考，空间中平面与平面有哪些位置关系？师生活动：教师引导学生逐个观察平面ABCD与其他五个平面的交点情况，也可引导学生实际观察教室内地面与四周墙面、天花板的交点情况．引导学生类比直线与直线的位置关系，得到直线与平面的位置关系有平行、相交两种情况．设计意图：与直线与平面之间位置关系的探究类似，通过实例观察抽象出平面与平面的交点情况，再通过类比这一推理方式，得到平面与平面之间的位置关系．这里体现是的对数学抽象和逻辑推理这些数学素养的提升．追问：如何用符号表达平面与平面之间的位置关系？教师引导学生类比直线与直线的平行，还有直线与平面平行的符号表示，来得到平面与平面相交、平行时的符号表示．设计意图：此处的设计与直线与平面之间位置关系的符号表示意图一致，均为加强学生的数形结合意识的培养和数学直观素养的提升．（四）直线、平面位置关系的应用问题5 观察下图长方体中直线与平面，尽可能多地分类举出空间直线、平面位置关系的例子，并用符号表示这些关系．师生活动：教师可让学生在白板上分类写出尽可能多的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其符号表示．设计意图：虽然学生通过观察，逐项探究得到不同对象间的位置关系，但是学生并未形成系统全面的认知，且不熟练．此环节的设置，一方面检测学生对空间中直线、平面位置关系的掌握情况；另一方面，借助长方体中的直线与平面关系的感知，增强学生的空间感．例1如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．例2 如图，直线与具有怎样的位置关系？为什么？师生活动：对于例题1，教师可以请一名学生上台板书，其余同学在台下书写，教师巡视查看学生书写的规范性与全面性．对于例题2，教师可让学生思考，异面直线的定义是对共面的全面否定，对它的证明，最好的方式是进行反正．假定两直线不是异面关系，则它们一定共面，利用已知的基本事实和正确的推理得到矛盾的结论，从而得到之前假设的错误．设计意图：继续强化直线、平面之间位置关系的判定与符号表示．引导学生体会证明两条直线异面时常用的一种逻辑——反证法，提升学生逻辑推理的数学素养．（五）归纳小结，布置作业1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面有哪些位置关系？（3）怎么用符号表示空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？（4）证明两直线异面时用了什么证明方法？设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．2．布置作业教科书第131页第1，2，3，4题，第132页第4题，第9题．五、目标检测设计1．如图所示，用符号语言可表达为( )．A．α∩β＝m，n？α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n？α，A？m，A？nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n设计意图：通过这个题目，检测学生对直线与平面位置关系的判断及其符号表示的掌握情况．2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以上几个结论中，正确结论的序号是( )．A．①②③B．②C．③D．②③设计意图：这个正方体还原后的图形如下图．检测学生在平面图形与空间图形之间的相互转换，提高其空间感，加强学生对直线与直线位置关系的判断，特别是异面直线的判断．3．已知：α∥β，a？α．求证：a∥β．证明：法一：∵α∥β，∴两个平面没有公共点，把平面和直线都看成点的集合，则有α∩β＝？，a？α，∴a∩β＝？，即直线a与平面β无公共点，依据直线和平面平行的定义可得a∥β．法二：假设a不平行于β，则①a∩β＝A，这时α与β有一个公共点A；②a？β，这时α与β有无数个公共点．①和②都与已知α∥β没有公共点矛盾，∴a∥β．设计意图：考查学生运用定理、公理等已知正确的结论，按照正确的推理格式进行推理论证的能力，特别是反证法的应用．。

空间点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1、公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内.注1：公理1用符号可表示为：若A l ∈，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊆. 注2：公理1 的用途：可以证明“点在面内”或“线在面内”.2、公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，并且这些公共点在同一条直线上.注1：公理2用符号可表示为：若A α∈，A β∈，则l αβ⋂=，并且A l ∈. 注2：公理2 的用途：确定两个平面的交线（在画截面图或补体时会用到）或证明“三点共线”、“三线共点”.注3：求证三点及三点以上的点共线，主要依据公理2，只要证明这些点都是两个不重合的平面的公共点，那么它们都在这两个不重合的平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法是：先证明其中两条直线交于一点，再证明其余各直线都经过该点.3、公理3过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.注1：公理3用符号可表示为：若A 、B 、C 三点不共线，则A 、B 、C 三点确定一个平面α，使得A 、B 、C α∈.注2：公理3 条件中的“三点”是条件的骨干，一般不会被忽视，但“不在同一条直线上”这一条件容易被遗忘；公理3结论中的“有”是说平面存在，“有且只有一个”是说平面唯一. 因而，公理3的结论强调的是存在和唯一两个方面，“有且只有一个”必须完整地使用.注3：公理3 的用途：证明“两个平面重合”，用来确定一个平面或证明“点线共面”.注4：证明点线共面通常有两种思路：一种是先用部分点确定一个平面，再证明余下的点线都在此平面内；另一种是分别用部分点线确定两个或多个平面，再证明这些平面是重合的.4、公理4平行于同一条直线的两条直线平行.注：公理4用符号可表示为：若a c ，b c ，则a b .5、定理空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.6、空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系可以分为：相交、平行和异面三种.注：空间两直线的垂直关系既可以是相交的一种特殊情况，也可以是异面垂直.7、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的定义已知两异面直线a ，b ，经过空间任意一点O ，作直线a a ' ，b b ' ，则我们把a '与b '所成的锐角或直角称为异面直线a ，b 所成的角. 特别地，当两异面直线a ，b 所成的角为直角时，我们称这两条异面直线a ，b 相互垂直，记作a b ⊥.（2）异面直线所成的角的范围两异面直线a ，b 所成的角的范围是(0,90] .【例题选讲】题型1：平面的性质例1、下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一条直线的两条直线平行；⑦一条直线和两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是__④_________.【解析】由公理3可知，空间中不共线的三点才能确定一个平面，所以①错；当这三个公共点共线时，有可能出现两个平面只有一条公共线，所以②错；空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点. 若有三个交点，则由公理3可知，这三线共面；若只有一个交点，则可确定一个平面或三个平面，所以③错；由公理3可知，三角形必为平面图形，所以④对；由公理3可知，平行四边形、梯形必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，所以⑤错；在一个正方体中易见，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面，所以⑥错；在一个正方体中易见，一条直线和两条平行线中的一条相交，和另一条可能相交，也可能异面，所以⑦错；在一个正方体中易见，两组对边相等的四边形可能是一个空间四边形，所以⑧错；故只有④正确题型2：多线共点问题例2、如图所示，已知空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，求证：三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.【证明】∵EA EB =，HA HD =∴EH BD ，且12EH BD =又∵23CF CG CB CD == ∴FG BD ，且有23FG BD =，即23FG BD = 于是有EH FG ，且易知EF 不平行于HG ∴四边形EFGH 为梯形于是梯形EFGH 的两腰EF ，HG 必相交于一点P 又P ∈直线EF ，而EF ⊆平面ABC∴P ∈平面ABC ，同理可得：P ∈平面ADC 于是点P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上 故三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.题型3：点线共面问题例3、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 21l l ⊥，32l l ⊥31l l ⇒B. 21l l ⊥，32l l 31l l ⊥⇒C. 321l l l ⇒1l 、2l 、3l 共面D. 1l 、2l 、3l 共点⇒1l 、2l 、3l 共面【解析】当12l l ⊥，23l l ⊥时，1l 与3l 可能平行，也可能相交或异面，所以A 错误； 当12l l ⊥，23l l 时，必有13l l ⊥，所以B 正确； 当123l l l 时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如三菱柱的三条侧棱两两平行，但它们分别在三个平面内，所以C 错误；当1l ，2l ，3l 共点时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如正方体中从同一个顶点出发的三条棱分别在三个平面内，所以D 错误； 故选B例4、已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别是11C D 、11B C 的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11.（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线.【证明】（1）∵EF 是111C D B ∆的中位线∴11EF D B又∵11D B DB∴EF DB故EF 、DB 可以确定一个平面，即D 、B 、F 、E 四点共面（2）∵Q ∈直线11AC ，11AC⊆平面11A ACC ∴Q ∈平面11A ACC又∵Q ∈直线EF ， EF ⊆平面DBFE ∴Q ∈平面DBFE于是点Q 是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点，同理可得：点P 也是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点∴平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ =又直线1AC ⋂平面DBFE R = ∴R ∈直线1AC而1AC ⊆平面11A ACC ∴R ∈平面11A ACC于是点R ∈平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ = 故P ，Q ，R 三点共线题型4：异面直线的判定例5、已知平面α⋂平面β=直线a，直线b在平面α内，直线c在平面β内，⋂=，c ab a A. 求证：b与c是异面直线.【证明】假设b与c不是异面直线则b与c平行或相交（i）若b c则由c a⋂=”矛盾，而这显然与已知“b a A，有b a故b与c不平行（ii）若b与c相交，不妨设b c B⋂=则由B∈直线b，b⊆平面α，有B∈平面α；B∈直线c，c⊆平面β，有B∈平面β于是点B是平面α与平面β的公共点又∵平面α⋂平面β=直线a∴B∈直线a又B∈直线c∴c a B⋂=，而这显然与已知“c a”矛盾故b与c不相交综合（i）和（ii）可知，b与c是异面直线题型5：点、线、面位置关系的应用例6、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？【证明】（1）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时，四边形EFGH 为平行四边形，证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 边上的中点 ∴EH BD ，同理可得：FG BD 于是有EH FG又∵E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点 ∴EF AC ，同理可得：HG AC 于是有EF HG故四边形EFGH 为平行四边形（2）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时，四边形EFGH 为矩形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时， 由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形 又∵AC BD ⊥，HG AC ∴HG BD ⊥又FG BD∴HG FG ⊥，即90HGF ∠= 故平行四边形EFGH 为矩形（3）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时， 由（2）知，四边形EFGH 为矩形 又∵AC BD =，12EF AC =，12FG BD = ∴EF FG =故矩形EFGH 为正方形。

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）考法一三个基本事实【例1-1】（2020·全国高专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，O为正方形ABCD的中心，H 为直线1B D与平面1ACD的交点．求证：1D，H，O三点共线．【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接BD，11B D，则BD AC O⋂=，因为11//BB DD，11=BB DD，所以四边形11BB D D为平行四边形，又1H B D∈，1B D⊂平面11BB D D，则H∈平面11BB D D，因为平面1ACD⋂平面111BB D D OD=，所以1H OD∈．即1D，H，O三点共线．【例1-2】（2021·西安）正方体1111ABCD A B C D-中，M，N，Q，P分别是AB，BC，1CC，11C D的中点．（1）证明：M ，N ，Q ，P 四点共面． （2） 证明：PQ ，MN ，DC 三线共点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）连接1BC .,Q N 分别为1,CC BC 的中点，1//NQ BC ∴且 112NQ BC =， ,M P 分别为AB ，11C D 的中点，1//PC MB ∴且1PC MB =. ∴四边形1BC PM 为平行四边形，∴1//BC MP 且 1BC MP =//,NQ MP ∴且1,2NQ MP =,,,M N P Q ∴四点共面.（2）由（1）知//,NQ MP 且,NQ MP ≠∴PQ MN ，必交于一点E .,E PQ PQ ∈⊂平面11,DCC D E ∴∈平面11DCC D . ,E MN MN ∈⊂平面,ABCD E ∴∈平面 ABCD .又平面ABCD平面11DCC D CD =.E CD ∴∈，即PQ MN DC ，，三线共点.【方法总结】判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.【一隅三反】1．（2021·江苏高一课时练习）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C 交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面【答案】ABC【解析】在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D不正确.故选：ABC2．（2021·宁夏固原市·高一期末）在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H不共面，选项A错误；选项B ，连接底面对角线AC ， 则由中位线定理可知，//FG AC ， 又易知//EH AC ，则//EH FG ， 故E ，F ，G ，H 共面，选项B 正确；选项C ，显然E ，F ，H 所确定的平面为正方体的底面， 而点G 不在该平面内，故故E ，F ，G ，H 不共面， 选项C 错误；选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形， 也即是点E ，G ，H 确定的平面与正方体正面的交线为PQ ， 而点F 不在直线PQ 上，故E ，F ，G ，H 四点不共面， 选项D 错误.4．（2021·江苏高一课时练习）已知△ABC 在平面α外，其三边所在的直线满足AB ∩α＝P ，BC ∩α＝Q ，AC ∩α＝R ，如图所示，求证：P ，Q ，R 三点共线.【答案】证明见解析【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.考法二平面【例2-1】（2021·江苏高一课时练习）下列有关平面的说法正确的是（）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面【答案】D【解析】对于A，我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，平行四边形是平面上四条线段构成的图形，是不能无限延展的，故A错误；对于B，平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，而平面是无限延展的，无法度量，故B错误；对于C，太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；对于D，在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确.故选：D【例2-2】（2020·江苏省苏州中学园区校高二期中）空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（）A．4B．6C．7D．8【答案】Dαβγ三个平面最多将空间分成8个区域.故选：D【解析】如图所示，,,【一隅三反】1．（2020·安徽池州市·池州一中）三个平面将空间不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分.故选：B．2．（2021·江苏高一课时练习）（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面. 【答案】4 5【解析】（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定5个平面.故答案为：（1）4；（2）5.考法三空间点、直线、平面之间的位置关系【例3-1】（2020·浙江杭州市·高一期末）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（）A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交【答案】B//，此时直线l与b为相交直线；【解析】如图（1）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l a//，此时直线l与b为异面直线，如图（2）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l a综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选: B.⊂，则l与a位置关系：（）【例3-2】．（2020·合肥市第十一中学）若直线l与平面α平行，直线aαA．平行B．异面C．相交D．没有公共点【答案】D⊂，则直线l与a可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点. 【解析】若直线l与平面α平行，直线aα故选：D.【一隅三反】1．（2020·安徽省肥东县第二中学）若1l、2l为异面直线，直线3l与2l平行，则1l与3l的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【答案】D【解析】因为1l、2l为异面直线，所以1l、2l所成的角为锐角或直角，因为直线3l与2l平行，所以1l与3l所成的角为锐角或直角，所以1l与3l的位置关系是异面或相交，故选：D2．（2020·山西）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线均与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C ．直线a 与平面α有公共点D ．α内的直线均与a 相交 【答案】C【解析】若直线a 不平行于平面α，则直线a 与平面α相交或在平面内； 对于A ，α内的直线与直线a 异面，可能相交，也可能平行，故不成立； 对于B ，当a 在平面α内就存在与a 平行的直线，故不成立； 对于C ，当直线a 与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立； 对于D ，α内的直线均与a 相交，可能异面，也可能平行；故不成立. 故选：C .3．（2020·通化县综合高级中学）平面,,αβγ满足,,αβαγ⊥⊥则β与γ的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不对【答案】C【解析】例如正方体的四个侧面都与底面垂直，它们之间有平行有相交．故选：C ．。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

适用于：求证直线或点在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

适用于：求证点在平面上
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。

适用于：求证点在直线上或者点在平面上。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

适用于：求证两条线平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么两个角相等或互补。

适用于：求证角相等或互补。

定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

适用于：求证直线与平面平行。

定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

适用于：求证平面和平面平行。

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

适用于：求证直线与直线平行。

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

适用于：求证直线与直线平行。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直，则该直线与该平面垂直。

适用于：求证直线与平面垂直。

定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

适用于：求证平面与平面的垂直。

定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

适用于：求证直线与直线平行。

定理：两个平面垂直，则同一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

适用于：求证直线与平面垂直。

一、四个公理：1；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线2：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上3：不共线三点决定一个平面：a 直线和线外一点b 两条相交直线c 两条平行直线 决定一个平面 4：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

三、异面直线所成角的范围：0＜θ≤90度；过空间任一点o ，做a1∥a ，b ∥b1 ，把a 1、b 1所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。

通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线，在同一三角形中，求异面直线所成的角，可以选择两条异面直线上一点做另一条异面直线的平行线。

所求的角为钝角时，两条异面直线所成的角应为其补角。

直线和平面所成的角范围0≤θ≤90度，平行于平面或在平面内为0度，垂直于平面为90度斜线和平面所成的角范围0＜θ＜90度四、空间两条直线的位置关系共有三种：相交直线、平行直线、异面直线，前两种情况两条直线在同一平面内，后 种情况两条直线不在同一平面内。

五、直线和平面的位置关系直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外。

直线与平面的平行1、直线和平面平行的判定定理：直线∥面内线 ⇒ 直线∥面；要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线和平面外的那条直线平行即可。

2、直线和平面平行的性质定理：直线∥平面 ⇒ 直线∥交线；线面平行，直线不平行于此平面内的任一条直线。

直线与平面的垂直3、直线和平面垂直的判定定理；直线⊥交线⇒直线⊥平面4、直线和平面垂直的性质定理：两直线⊥同一平面⇒直线∥直线过一点做直线和平面垂直：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点做平面和平面平行：过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。