数学活动 折纸与证明

第十八章数学活动:折纸做60°,30°,15°的角教材分析:本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。

本节课是在此基础上折出特殊度数的角。

折纸不仅是培养学生动手能力的一种游戏，折纸中还蕴含着许多数学知识，它还是开发学生智力的一种有效手段。

本节活动课的目的是让学生在动手操作中学会运用数学知识，发展学生的想象力、创造力。

学情分析:学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。

教学目标:知识与技能：通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识；探索并能折出60°,30°,15°的角；初步体会研究几何问题的方法.过程与方法：学生经历折出60°，30°，15°角的折纸过程，培养学生观察、思考、抽象、动手的能力，领悟数学活动是个充满着探索与创造的过程.情感态度与价值观：通过折纸活动，让学生体会生活与数学是紧密联系的，感受数学中的美；在探索过程中养成学生与他人合作交流的习惯，获得成功的体验，提高克服困难的勇气和信心.教学重点:通过探究折60°,30°,15°的角，培养学生的动手能力和推理能力.教学难点:折出60°,30°,15°角的方法的探究和证明.教学准备:教师：课件；矩形纸片学生：矩形纸片；折纸教学方法:合作探究教学过程:1.创设情境，引入新课:导语:同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？在折纸的过程中，蕴含着许多数学知识，例如图形的全等、轴对称。

这节课，我们一起折60°,30°,15°的角.师生活动：学生欣赏折纸，教师引导.折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，这就需要我们通过数学知识来解决这些问题，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度.设计意图：通过观察生活中的实例,点出课题，激起学生的学习兴趣.2.提出问题，深度思考:问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个正方形？师生活动：学生在小组内动手折，教师指导，及时调整.追问：正方形的对角线与每一边的夹角是多少度?师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据.设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角.问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，还可以利用角的和差得出相关度数的角.设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°,67.5°,112.5°等度数的角，由此引导学生发现上面的结论.此过程也让学生感受折纸可以得到角的和差倍分关系.问题3：动手试试，你能否折出30°的角呢？怎样折？师生活动：学生动手尝试，最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分.设计意图：这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系.3.动手操作，实验探究:追问：你能精确的折出30°的角吗？师生活动：学生动手尝试.设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，为以下问题做铺垫.问题4：我们学过哪些和30°角有关的知识？师生活动：教师引导学生思考：如果折一个直角三角形，使斜边是直角边的2倍，问题就可以解决，怎样得到满足条件的三角形呢？为突破重难点，教师做以下铺垫：（1）矩形对折，寻找边长的二倍关系（2）FAB FEM NQ PBE=2ME学生探究如何折出满足条件的线段.（小组交流，展示图片）设计意图：让学生体会轴对称变换的性质，为学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形打基础，分散难点.视学生情况，第二种折法也可由教师折叠后与学生分享。

趣味数学——用折纸法画椭圆
今天我们再来介绍用折纸法画椭圆的方法,方法很画抛物线非常类似。

昨天我们用矩形通过不断的折叠得到了抛物线,今天我们是要用圆形纸片,通过类似的方法来折叠出椭圆。

折纸法画椭圆方法
1：先准备一个圆形纸片,在纸片中间(不能是中心点)确定一点P.
2：开始折叠圆,将圆折起一角,使得圆周正好过点F
3：如此,便有了一折痕L ,我们当然知道,这样的折叠可以有很多种方式,这样继续折下去,你将得到假设干条折痕,将每一条折痕都用笔标记出来,你会发现,这些折痕衬托出了一个椭圆的轮廓：
4：接下来的事情就很简单,你画一条曲线,使之和每一条折痕相切就行了,得到的曲线就是以F和圆形O为焦点的一个椭圆。

所用的方法和我们昨天用矩形纸片折抛物线的时候是非常的类似。

当然,下面我们就应该证明为何得到的曲线就是椭圆。

折纸法画椭圆的证明
首先我们要知道的是,因为F异于O点,所以假设以F和O为焦点,那么可以画一个椭圆,设这个椭圆为C。

如上图所示,考虑其中一条折痕,做F 点关于折痕对称的点M ,显然M应该在圆周上,连接MO ,交折痕于P ,这个P点就是我们的重点了。

根据对称性,PF=PM ,所以
PF+PO=PM+PO=MO=r。

也就是说,P点到F和O点的距离之和是个与折痕无关的常数,所以P点应该在椭圆C上。

另一方面,考虑异于P的Q点,可以很容易看出,QF+QO并非一个常量,所以Q点不在椭圆C上,也就是说,折痕于椭圆C只有一个交点P ,该折痕就是椭圆C的一条切线,同理,
每一条折痕都是椭圆C的切线,众多切线包围住椭圆,也就显示出其轮廓,这正是我们折纸法折出椭圆的原理。

文章。

数学活动折纸与证明-苏科版八年级数学上册教案一、活动简介折纸是一种常见的美术活动，但它也可以用来帮助学生学习数学。

在这个活动中，学生将学习如何通过折叠纸张来证明一个数学问题。

这个活动的主要目的是帮助学生更好地理解数学公式，并帮助他们练习语言表述、证明和思考技巧。

二、活动目标•培养学生证明数学问题的能力•帮助学生更好地理解数学公式•练习学生语言表述、证明和思考技巧三、准备材料•方格纸若干•铅笔、直尺、三角板四、活动步骤第一步：教师讲解首先，教师将示范如何用一张方格纸证明一个简单的数学问题。

例如，证明等腰三角形底角相等。

教师将给出一张模板，让学生在上面观察和模仿。

然后，教师将让学生用自己的语言解释这个问题，说明如何用折纸来证明这个问题。

第二步：学生实践接下来，学生将在教师的指导下，使用方格纸来证明一些不同的数学问题。

例如，证明正方形对角线相等、证明等腰直角三角形斜边长。

在学生完成这些任务后，教师将为他们提供更复杂的问题，以帮助他们进一步巩固和应用所学知识。

第三步：学生展示一旦学生完成了证明过程，教师将邀请他们向其他同学演示他们的解法。

这将帮助学生发展他们的表达能力、思考能力和解决问题的能力，同时也能让他们学习如何从他人的工作中获得启示和想法。

第四步：总结反思最后，教师将与学生一起总结本次活动所学的东西，回顾他们的成果，强调一些关键的概念和技能，并给学生一个机会提出关于这个活动的问题和建议。

五、注意事项•活动开始前，教师要准备模板，方便学生使用。

•活动过程中，教师要密切关注学生的学习进度，及时发现和纠正学生的错误。

•活动结束后，应及时与学生进行反馈和总结，鼓励他们做得好，同时指出他们需要改进的地方。

六、知识扩展活动中用到的证明方法，是数学的一种常用方法——演绎法。

演绎法又分为直接法、间接法和归纳法，活动中的证明使用的是直接法。

学生在认真理解活动中的证明方法后，可以尝试使用不同的证明方法解决其他数学问题。

折纸技术与数学之间的关联与推广折纸，作为一种古老的手工艺，已经有数百年的历史。

然而，折纸不仅仅是一种娱乐活动，它与数学之间有着紧密的关联。

在数学的世界中，折纸技术被广泛应用于几何学、拓扑学和图论等领域，并且对于数学教育也起到了积极的推广作用。

首先，折纸技术在几何学中发挥着重要的作用。

通过折纸，我们可以直观地理解几何图形之间的关系。

例如，通过折纸，我们可以轻松地构造出各种几何图形，如正方形、三角形和圆形等。

同时，折纸还能帮助我们理解几何形状的性质和特点。

例如，通过折纸，我们可以证明平行线之间的夹角相等，或者证明等腰三角形的底角相等。

折纸技术使得几何学的学习更加生动有趣，激发了学生对几何学的兴趣。

其次，折纸技术在拓扑学中也有广泛的应用。

拓扑学是研究空间形状和变形的学科，而折纸正是一种能够改变空间形状的方法。

通过折纸，我们可以将一个平面图形变形成另一个平面图形，或者将一个三维立体图形变形成另一个三维立体图形。

这种变形过程可以帮助我们理解拓扑空间的性质，如连通性、紧致性和同伦等。

折纸技术使得拓扑学的抽象概念更加具体可见，有助于学生更好地理解拓扑学的原理。

此外，折纸技术在图论中也有其独特的应用。

图论是研究图形和网络的学科，而折纸可以将平面图形折叠成三维立体图形，从而将图论问题转化为几何问题。

通过折纸，我们可以解决一些经典的图论问题，如欧拉回路和哈密顿回路等。

同时，折纸还可以帮助我们理解图的着色问题。

通过折纸，我们可以将一个平面图形分割成若干个互不相交的区域，然后用不同的颜色给每个区域着色，从而实现图的着色。

折纸技术使得图论的抽象问题更加具体可行，有助于学生更好地掌握图论的基本概念和方法。

除了在学术领域的应用，折纸技术还可以在数学教育中起到积极的推广作用。

通过折纸，我们可以将抽象的数学概念变得更加具体可见，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。

例如，在教授几何学的时候，我们可以通过折纸的方式让学生亲身体验几何图形的构造和性质，从而加深他们对几何学的理解。

A FB CE D 数学活动课 《折纸与证明》活动目标：1、通过折纸活动，使学生经历动手操作的过程，体会数学与生活的联系；2、进一步激发学生对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。

3、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。

4、培养学生的合作交流的精神。

活动重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。

活动难点：说明操作活动合理性的证明过程。

活动用具：长方形纸片若干、剪刀，刻度尺、量角器。

设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。

而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。

学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。

活动过程：一、创设情境：同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。

下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。

请几个折得好的学生展示自已的作品。

二、操作探究：活动一如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。

活动二分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。

展示：用一张长方形纸片折一个正方形。

如图，（1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。

长方形折纸勾股定理勾股定理是数学中的一项重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。

而长方形折纸勾股定理则是一种有趣的方法，通过对长方形纸片的折叠，可以得到勾股定理的结果。

首先，我们需要一张长方形纸片，它的宽度为a，长度为b。

我们将纸张对折，使得宽度a与长度b重叠。

接下来，我们再次将纸张对折，使得宽度a与长度b再次重叠。

这时，我们可以看到纸张上出现了一个直角三角形。

其中，折叠处的边长a即为直角边，未折叠部分的边长b即为另一直角边，而纸张的对角线c则为斜边。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和。

因此，在这个长方形折纸的过程中，我们可以得出以下结论：c²=a²+b²这就是长方形折纸勾股定理的表达方式。

通过这种折纸方法，我们可以验证勾股定理的成立。

当然，我们也可以根据这个折纸方法，进行逆向推理，得出已知两直角边长时的斜边长。

这种折纸方法在数学教学中也有一定的应用。

在教授勾股定理时，我们可以通过这种形象的折叠过程，帮助学生更好地理解定理的含义。

同时，折纸还可以激发学生的兴趣，使学习变得更加生动有趣。

除了勾股定理，长方形折纸还可以应用于其他一些数学问题中。

例如，我们可以通过折纸来解决一些几何问题，或者进行数学推理。

这种折纸方法可以培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，对于他们的数学素养的提升有着积极的影响。

总结来说，长方形折纸勾股定理是一种有趣且有效的方法，通过这种折纸方式，我们可以验证和应用勾股定理。

它不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养他们的创造力和思维能力。

在数学教学中，这种折纸方法是一种有益的辅助教学手段。

希望更多的人可以尝试这种方法，享受数学带来的乐趣。

第一讲；折叠（翻折）在证明（解题）中的应用一，知识点回顾；折叠具有什么样的性质？二，例题讲解；将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。

（1）求证：△ABE≌△A F。

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。

证明：（1）由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD∴∠B＝∠D′，AB＝AD′∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3∴∠1＝∠3∴△ABE≌△A D′F．（2）四边形AECF是菱形由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE∵AE＝EC，∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形∵AF＝AE∴四边形AECF是菱形．三．巩固练习；1，如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）找出图中的全等三角形．（2）△DEF是什么三角形，并证明．（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明．2，如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．3，已知，一张矩形纸片ABCD，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜猜四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的长．4．将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，EF为折痕，点B与点P（点P在DC边上）重合．（1）当BC与CP重合（如图甲）时，四边形BFPE是形；（2）当BC与CP不重合时，分别指出图乙、丙中的四边形BFPE是什么特殊四边形，并选择两图之一给出证明．5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．四，中考链接；8，（2014•临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式11，（2014•鼓楼区一模）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比AB BC？12，（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．13，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第16题）即（2013•绍兴数学中考试题）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为14，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第24题）即（2014•南通通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．。