教学案例：数学活动课《折纸与证明[1]

数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作方式、证明的过程，探究化解折纸问题的方法并可以化解折纸问题难点：探究化解折纸问题的思路学习过程：活动一：(1)用一张长方形纸片八折正方形，并探究操作方式的合理性。

(2)用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

活动二：（1）用一张正方形纸片八折矩形。

（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。

(1)用一张等边三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。

(2)用一张等腰三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。

)观察与发现：小明将三角形纸片abc(ab>ac)沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab 边上，折痕为ad，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点a和点d重合，折痕为ef，展平纸片后得到△aef（如图②）．再分别沿de、df折叠展平纸片后得四边形aedf（如图③）。

试判断四边形aedf是什么四边形？，并证明你的结论。

用两张长方形纸条纸片比拼菱形，并探究操作方式的合理性。

活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。

卷曲问题方法概括：1、如图，将△abc中，ab＞ac，d、e分别是ab、ac上的点，△ade沿线段de翻折，使点a落在边上，记作a′.则下列说法正确的是()(a)de垂直平分线段aa′(b)ad=ae(c)aa′垂直平分线段de(d)aa′平分∠bac2、将一矩形纸片按如图方式折叠，bc、bd为折痕，折叠后a'b与e'b与在同一条直线上，则∠cbd的度数（）a.大于90°b.等于90°c.小于90°d.不能确定5、例如图，将△abc沿de卷曲，使点a与bc边的中点f重合，以下结论中：①ef∥ab且ef=1ab；②∠baf=∠caf；四边形adfe=2afde；④∠bdf+∠fec=2∠bac，恰当的个数就是（）（a）春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。

初中数学苏科版八年级上册第二单元第6课《折纸与证明》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.通过学习了解折叠前后图形的关系,理解折叠问题的本质,会灵活运用轴对称性质、全等三角形、勾股定理等知识解决三角形和长方形中的折叠问题.
2.在分析基本折叠问题的过程中,体会利用方程思想、类比思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
3.通过综合应用数学知识解决折叠问题,体会知识间的联系,增强学生学习数学的兴趣, 提高学生学习的积极性和主动性,通过对问题的讨论和研究增强学生间的团结合作精神.
2学情分析
学生已经在前面学习过全等三角形、勾股定理、轴对称等相关知识,本节课主要是运用上述知识去解决折纸过程中的出现的几种典型问题。

3重点难点
重点:通过动手操作,合作探索,应用轴对称性解决折叠问题.
难点:折叠变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题
4教学过程
4.1第一课时
4.1.1教学活动
活动1【导入】情景引入
活动一:这些图片有什么共同特点?
【设计意图】复习轴对称知识及其性质,这些是我们下面解决折叠问题的基本条件. 为下面解题提供一定的知识铺垫.
活动2【活动】新课讲解
师:将三角形和长方形纸片形按不同要求进行折叠,就会产生丰富多彩的几何问题,今天我们就来好好研究它,看看它如何变身,且在不同的外表下又有怎样的共同点.折叠问题会让我们产生众多的数学思考,继而提出一些数学问题.。

数学活动折纸与证明设计意图：《折纸与证明》是苏科版初中数学教材的一个数学活动．本课时主要内容是让学生探索折纸图形中边角及图形的一些关系，培养学生用数学的知识解决实际生活中相关的数学问题的能力．本节课通过几个折纸活动，遵循由简单到复杂的顺序展开，让学生在活动中发展动手实践能力和空间想象能力及逻辑推理能力，最后通过几个练习加以巩固和提高．在课堂教学中，采用“小组合作探究”的模式展开，组织学生在小组内合作探究，阐述观念，揭示原理，发展合作意识．教学设计：活动2 折角的平分线活动3 用矩形纸折正方形说明右图为什么是个正方形？活动4用正方形纸折等边三角形，使其边长等于正方形的边长．（1）把正方形纸片ABCD对折后再打开，折痕为EF；（2）将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B；（3）沿A′C折叠，得△A′BC．它是什么图形？讨论：对于任一矩形，依上述方法是否一定能折出一个等边三角形？活动5 用长为8cm，宽为6cm的矩形纸折菱形并计算其面积．方法1：矩形上下、左右分别对折一次，再沿对角线折，展开即可得菱形；方法2：先折出矩形的对角线，再折出对角线的垂直平分线，即可得菱形四个顶点，从而折出菱形；方法3：把矩形沿对角线折叠后再沿BE、DE 折一下，即可得菱形．引入课题活动1和2教师采用提问的形式，让学生自己获得解决问题的办法．巡视指导引导学生思考：为什么右图是正方形？适当点拨以小组为单位讨论思考片刻后举手发言．拿出事先准备好的纸，动手实践操作活动1、2、3用学过的知识进行推理论证小组讨论学生对第3问的为什么较感兴趣，拿着纸片在回顾折法，折好后纷纷度CED A提问：如何求菱形的面积？活动6 用矩形纸条折一个正五边形．见教材35页．（1）把一个矩形纸片打好一个结，再拉紧压平．（2）沿图1－37中的虚线剪开，就得五边形ABCDE（如图1－38）．提问：是正五边形吗？为什么？三、交流总结1、经过这一节课的学习，你有什么收获？2、利用矩形纸片，你还能折出哪些图形？四、拓展作业1、利用活动三中折叠出的正方形纸片，你能折出一个正方形，使它的面积为原正方形面积的一半吗？2、用两条对角线分别为6cm和10cm的菱形纸折正方形并计算其面积．（用两种方法解答）3、有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将 AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如下图），则CF的长为（）．A、0.5B、0.75C、1D、1.25 如何证明操作的合理性，并让学生板演证明过程．然后师生一起点评并完善证明过程．巡视指导教师提问，引导学生用多种方法解决问题，教师最后总结补充．给足够的时间让学生思考，待时机成熟让学生代表发言．教师点评量折叠、剪裁得到的纸片，验证他们得到的是否是等边三角形．小组讨论，自主解决一位学生到讲台上展示自己的折法，并说明理由．有同学发现还有其它的方法,这时小组讨论热烈，课堂气氛活跃起来．学生边听讲，边思数学活动评价表。

专题图形的翻折变换教学目标：1、通过动手操作感受翻折变换的本质是轴对称变换，会利用轴对称的性质解决问题；2、熟悉翻折问题的常见类型，掌握处理翻折问题的思想方法；3、渗透方程思想、数形结合思想，提升综合解题能力。

学情分析：学生已学过平移、旋转、翻折三种图形的变换，对图形的运动有一定的知识基础。

但不能灵活运用轴对称的性质、勾股定理等知识，解决综合性问题。

一、自主先学：1、(2009徐州8题3分)如图，将一正方形纸片沿图①中的对角线对折一次得图②，再沿图②中的斜边上的中线对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角得图④，将图④展开铺平后的平面图形是()思考：将裁剪下的图形展平后，得折痕AC、BD，观察折叠后重合的图形，可得出哪些结论？二、合作助学：2、(2014徐州16题3分)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝________．变一变如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC=6，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，DE=4，则线段CE ＝________．学法指导1.与折叠有关的角度计算，常常联想到折叠中等角转化，并借助原图形的基本性质求解； 2.与折叠有关的线段计算，常利用对称得到线段相等，并借助勾股定理及相似三角形的性质等知识建立方程，通过解方程求解. 三、交流拓展：变式：4、 (2016徐州27题9分)如图，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF.展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N.(1)若CM ＝x ，则CH ＝________(用含x 的代数式表示)；(2)求折痕GH 的长．四、小结反思：.CE 8,AD 4,AB (2)DCE≌E A B )1(.E BC D A A BD ABCD 3的长度求若求证：于交处，点落在翻折，点沿对角线、如图，将矩形==∆'∆''A ≌≌。

《折纸与证明》——与三角形相关的问题教学目标：知识技能：通过折纸活动，在操作、交流中，巩固轴对称图形的相关知识；数学思考：在动手操作过程中，获得数学活动的经验，经历“思考、操作、观察、猜想、验证”等过程，培养推理能力以及分析问题、解决问题的能力；问题解决：在解决“三角形边与角关系”时，获得分析问题和解决问题的基本方法，并体验解决问题方法的多样性；在解决“特殊三角形”问题时，获得解决问题的一般方法，体会化归的数学思想. 情感态度：通过活动，感受折纸的魅力，体会生活中处处存在着数学，感受数学的奇妙.通过生生交流、师生对话，培养有条理的表达能力以及合作交流能力.教学重点：经历折纸过程，探究折纸前后图形全等（边、角相等），并利用该性质解决三角形相关的问题，提高学生动手操作能力以及解决问题的能力.教学难点：运用所学知识利用折纸得到特殊三角形并证明.准备材料：三角形、正方形、长方形、平行四边形纸片若干张教学思路：在学生已有的知识、经验基础上，感悟利用折纸可以为证明一些问题提供思路，同时也可以利用折纸折出特殊三角形，为我们解决一些问题提供方法，也是一些折纸创作的基础。

教学过程以“发现问题——思考问题——尝试解决问题——交流分享——解决问题”的模式有序进行.教学过程一、问题情境请欣赏一段视频几张彩色的纸，折出一个多彩世界；几张长纸条，折出了变化多端，这就是折纸的魅力！我们运用数学知识使折纸更美妙，同时我们也感受着折纸带给数学的思考.下面我们就一起来尝试用折纸解决与三角形相关的问题，初步感受折纸魅力！【设计目的】以生动活泼的视频引入，激发学生学习的积极性，活跃课堂氛围，引出主题.二、探究活动（一）探究活动一：三角形1、复习回顾利用折纸的方法找出该三角形的一条高，一条垂直平分线，一条角平分线，并在纸上画出；【学生活动】操作，并与同伴交流方法.【教师活动】点评学生的操作，并小结方法.小结：数学知识：轴对称（翻折）；操作关键：构造相等的边、相等的角.【设计目的】通过复习回顾，获得折纸活动的数学知识，即轴对称知识，也获得折纸活动的操作关键，即构造相等的边、相等的角；为后续的探究活动奠定基础.我们在学习等腰三角形的性质里，通过折纸说明了“等边对等角”，那如果这两边不等呢？这两边所对的角有怎样的关系？我们一起尝试探究.2、拓展探究：三角形中的边角关系如图，△ABC中，AB＞AC. 猜想∠C＞∠B.并借助折纸证明.请折一折，并与同伴交流自己的操作过程与证明思路.【师生交流，总结】三种方法：（与复习回顾相呼应）：（1）沿着垂直平分线折叠，构造与∠B相等的∠ECD，利用叠合法比较，∠ECD＞∠ACB；（2）沿着角平分线折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC；（3）沿着高折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC.EA B C'AC'DAB C（1）（2）（3）操作关键：通过翻折，构造相等的角.证得结论：在三角形中，“大边对大角”、“小边对小角”由此，通过折纸可以为我们证明一些命题提供一些思路与方法.【设计目的】由等腰三角形的性质“等边对等角”，猜测三角形中大边的对角与小边的对角之间的关系，并运用折纸进行证明.学生通过自主探究、合作交流，获得多种解决问题的方法，并获得解决问题中操作的关键步骤.（二）探究活动二：特殊三角形1、等腰三角形现在给大家一张长方形纸，你能通过折纸、裁剪得到哪些特殊三角形？动手试一试. 等腰三角形（合作交流）【师生操作、交流】（1）常用方法（等腰直角三角形）方法：利用角平分线找45°，利用等角对等边得到等腰三角形.（也获得了45°的方法）方法引申：通过对折，找到重合的两边（等腰）①如图，沿EF对折纸片，使点B落在B’处，连接BB’，则△EBB’，△ABB’为等腰三角形.①②③②如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？（请同学们思考后与同伴交流，多种方法：全等、基本模型、面积法全等：AB’=CD，∠B’=∠D，∠APB’=∠CPD，则△APB’≌△CPD；基本模型：由翻折得∠ACB=∠ACB’，由平行得∠DAC=∠ACB，则∠ACB’=∠DAC.面积法：S△APC=½AP﹡CD=½CP﹡AB’,AB’=CD,则AP=CP.）③如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？（2）利用垂直平分线的性质（利用“等角对等边”，“两边相等的三角形是等腰三角形”）如图将纸片沿着EF折叠，使点B落在直线BC上，记为B’，剪下△MNF，展开，则△MNN’为等腰三角形.【小结】“有两边相等的三角形是等腰三角形”，“有两角相等的三角形是等腰三角形”得到所需的等腰三角形.确定等边→等腰三角形；确定等角→等腰三角形2、等边三角形（1）给定一张正方形，请通过折叠、裁剪的方法得到等边三角形.【师生交流】利用“三边相等的三角形是等边三角形”折叠得到垂直平分线，构造等腰三角形，即一组相等的边，现只需得到另一组相等的边即可，因此①CD不折，直接连接CH即可；②将BC翻折，使点C落到H处，连接BH、CH即可。

《折纸与证明》教学设计一．教学目标1．知识与技能：通过折纸活动，让学生感受到生活中的数学问题，并形成运用所学知识解决实际问题的意识．2.过程与方法：让学生在操作实践中获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的学习方法，在具体问题中把握数学实质，培养数学素养．感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。

3.情感与态度：进一步激发学生对数学证明的兴趣，体会数学的奇妙，享受成功的乐趣，引发学习的兴趣和培养思考的习惯．二．学情分析学生在本章已运用折纸的方法研究过轴对称与等腰三角形，因此，对“对折以后能重合的线段相等”应有一定的迁移作用，通过折纸活动探究图形的几何性质，对于每一个学生可能都会有新鲜感，也会有些热情。

本节课以折纸活动为教学载体，通过观察、探索有所发现，应注意到折纸是对具体纸张的动手操作，希望得到的却是抽象的结论，由于认识过程往往是直观的、粗略的、定性的到抽象的、精确的、定量的，因此这之间要通过观察、思考、语言表述等几个层次的思维得以实现，学生有所发现并欲提升到语言表达层面的知识生成过程中，表达可能会跟不上，这是因为认识不够精确与抽象，所以抽象是本节课的难点。

在教学中教师要注意适当启发，但当出现不准确的表达时，教师在帮助学生准确表达时要适度，以免抑制学生的思维。

三．重难点重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。

难点：说明操作活动合理性的证明过程。

四．教学方法：（教）引导探索法（学）自主探究，合作学习，采用小组合作的方法五．工具：圆规三角板刻度尺量角器剪刀长方形纸片六．教学活动1.情境创设(1)（导入）赏析折纸作品，导入课题。

情境创设(2)取一张长方形纸片折叠成一个正方形，小组合作讨论理由,学生书写过程。

培养学生操作探究能力，锻炼学生逻辑推理思维。

2. 探究交流:(1)剪下正方形并依据步骤折叠成一个三角形，让学生通过刻度尺测量出三角形三边长度，得出三边近似相等，从而猜想出是一个等边三角形，学生合作探究交流得出等边三角形的逻辑推理依据。

初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思【摘要】笔者结合自己开设的一节市级公开课《折纸与证明》数学活动课设计过程，重点从目标制定和活动设计两个方面结合教材、学情进行重点分析，努力对“如何开展数学活动的有效设计？”展开深入思考，意在引发大家重视“数学活动”，增强对“数学活动课有效性及策略”的研究。

笔者结合自己开课的效果，在优化目标、优化活动设计、优化互动生成、多媒体合理使用等方面进行了反思，希望对数学活动的设计提供借鉴。

【关键词】数学活动课教学设计反思《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出：“数学教学是数学活动的教学。

”“数学活动是学生经历数学化过程的活动。

”相应地，“数学活动”也走进了各种版本的实验教材。

以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排“数学活动”这一教学内容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

但鉴于“数学活动”内容设置较少、较开放，对教师的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学校都跳过“数学活动”教学。

笔者结合自己开设的一节市级公开课——苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学活动课的设计和反思。

一、案例实施背景2009—2010学年度第一学期第五周，南京市初三数学中心组研讨活动在第十三中学红山校区开展，笔者选择苏科版九年级（上）第一章数学活动《折纸与证明》开设公开课，通过对本节开放型课型的活动展示，笔者希望抛砖引玉，激发大家更深层次思考。

开课班级是笔者所教的班级，班级中数学优秀生、中等生居多，后进生较少。

二、案例主题分析与设计本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（上册）第一章图形与证明（二）的最后一课，教材将本节课的内容安排在图形与证明（一）、（二）学完后，既说明本节课的折纸活动是前两章知识的综合应用，又说明证明的过程是操作活动的理论依据，从而进一步让学生认识到证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。