高中数学《向量的数量积-数量积的投影定义》专题复习

平面向量的数量积与投影知识点总结一、数量积的定义与性质数量积，也称为点积或内积，是平面向量中常用的运算方式之一。

数量积的定义如下：对于两个平面向量a→和a→，其数量积可以表示为a→·a→= aa∙ aa + aa∙ aa，其中 (aa, aa) 和 (aa, aa) 分别表示向量a→ 和向量a→ 的分量。

数量积具有以下性质：1. 交换律：a→·a→ = a→·a→2. 数量积为0的条件：若a→·a→ = 0，则a→ 和a→ 互相垂直，即a→⊥a→。

3. 分配律：(a→ + a→)·a→ = a→·a→ + a→·a→二、数量积的应用数量积在几何和物理问题中有着广泛的应用。

其中，最常见的应用包括计算向量的模、计算两个向量之间的夹角以及判断向量之间的关系。

1. 计算向量的模对于平面向量a→ = aaa + aaa，其模可以通过数量积来计算，即|a→|= √(a→·a→) = √(aa² + aa²)。

2. 计算两个向量之间的夹角夹角的余弦可以通过两个向量的数量积来计算，即a→·a→ =|a→| ∙ |a→| ∙ cosa，从而可以求得夹角a的值。

3. 判断向量之间的关系根据两个向量的数量积可以判断它们之间的关系。

若两个向量的数量积为正值，表示它们夹角为锐角；若数量积为负值，表示夹角为钝角；若数量积为0，表示两个向量互相垂直。

三、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

向量的投影可分为标量投影和矢量投影两种形式。

1. 标量投影对于向量a→以及它在向量a→上的投影，其标量投影表示为a→在a→上的投影长度，记作proj a a，可以通过数量积来计算，即 proj a a=a→·a→，其中a→为单位向量，表示与向量a→方向相同的向量。

2. 矢量投影向量的矢量投影表示为一个向量，且方向与向量a→相同，长度为向量a→在向量a→上的投影长度。

第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。

（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。

所以说，投影往往伴随着垂直。

（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。

2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()c o s a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。

高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够用来描述空间中的位置和方向。

平面向量的数量积与向量的投影是平面向量的重要运算和应用。

本文将详细介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨其在几何问题中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积，它是两个向量之间的一种运算。

设有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。

1. 数量积的定义数量积的定义如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

2. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）a·b = b·a，即数量积满足交换律。

（2）a·a = |a|^2，即一个向量与自身的数量积等于它的模长的平方。

（3）a·b = 0，当且仅当a和b垂直。

3. 数量积的应用数量积在几何问题中有广泛的应用，包括求向量夹角、判断向量垂直和平行关系，以及求向量投影等。

（1）求向量夹角利用数量积的定义，可以得到以下结论：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)通过以上公式，可以求得向量a和向量b的夹角θ的余弦值，然后进一步求得夹角θ。

（2）判断向量垂直和平行关系设有两个非零向量a和b，利用数量积可以得到以下结论：（i）若a·b = 0，则向量a和向量b垂直。

（ii）若a·b = |a| * |b|，则向量a和向量b平行。

通过以上结论，可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。

（3）求向量投影向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。

设有非零向量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_b a，其计算公式如下：proj_b a = (a·b) / |b|通过这个公式，可以求得向量a在向量b上的投影。

高中数学公式大全向量的数量积与向量的投影公式高中数学公式大全：向量的数量积与向量的投影公式在高中数学中，向量是一个重要的概念。

它不仅可以用于表示力、速度、位移等物理量，还可以用于解决几何和代数问题。

在研究向量时，数量积和投影是两个经常被使用的概念。

本文将为您介绍向量的数量积与向量的投影公式，帮助您更好地理解和应用这些公式。

一、向量的数量积向量的数量积是两个向量的乘积，它的结果是一个标量。

假设有两个向量a和b，它们的数量积写作a·b或者ab，计算公式如下：a·b = |a| × |b| ×cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。

向量的数量积有以下几个重要的性质：1. a·b = b·a （交换律）2. a·(kb) = k(a·b) （数乘结合律）3. a·(b+c) = a·b + a·c （分配律）二、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，它的结果是一个标量。

假设有一个向量a和一个非零向量b，它们之间的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影长度计算公式如下：projb a = |a| × cosθ其中，|a|表示向量a的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

向量的投影有以下几个重要的性质：1. 投影是一个与向量b同向或反向的向量，其长度小于等于向量a的长度。

2. 如果投影为正值，则向量a与向量b的夹角在0度到90度之间；如果投影为负值，则夹角在90度到180度之间。

三、向量的数量积与向量的投影公式的应用向量的数量积和投影在解决几何和代数问题时起着重要的作用。

下面将介绍一些应用。

1. 判断向量是否垂直如果两个向量的数量积为0，那么它们垂直。

数学表达式为a·b = 0。

2. 计算向量的模向量的模可以通过向量自身的数量积计算得到。

专题27 向量的数量积——数量积的投影定义【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值.（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直.（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量.2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正（2）θ为直角：则投影为零（3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ= （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题】 例1.【2018届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考】设向量a ， b 满足2a =， 1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为（ ）A. 1B. 1-C. 12-D. 12例2.【2018届福建省闽侯县第八中学高三上期末】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 33- D. 例3.【2018届云南省曲靖市第一中学高三上监测卷（四）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A. 12-B. 12C. -例4.设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. ⎤⎥⎝⎦C. ⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦例5.如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 3B. 6 D. 9 例6.【2018届衡水金卷四】已知平面向量，，且，则在方向上的投影是__________．例7．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】若非零向量，满足，则在方向上的投影为__________． 例8．已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()1AP OA λ=-（R λ∈）（O 是坐标原点），且•72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为__________． 例9.【2018届河北省衡水中学高三第十次模拟】若平面向量1e ， 2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是________．例10.【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则· （＋）＝_________． 【精选精练】1．【2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底】已知向量()()2110a b =-=，，，，则向量a 在向量b 上的投影是A. 2B. 1C. -1D. -22.【2018届河南省商丘市高三第二次模拟】已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=，且a b ⊥，则a b +在a 上的投影为（ ）3．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）C. D. 4．【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】已知向量,a b 的夹角为60°，且2a b ==，则向量a b -在向量a 方向上的投影为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 35．【2018届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( )C. 6.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( )7．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且OA AB =，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 12B. 32-C. 12-D. 32 8.【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知向量a ， b 满足5a =， 6a b -=， 4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为__________．9．【2018届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联合调研】已知向量a ， b 的夹角为120︒，且2a =， 3b =，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为__________．10．【2018届衡水金卷一】已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c放向上的投影为__________．11．已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则__________．12．已知M为直角三角形ABC的外接圆，OB是斜边AC上的高，且6,AC OB==AO OC<，点P为线段OA的中点，若DE是M中绕圆心M运动的一条直径，则PD PE⋅=_________。

考点32平面向量的数量积（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题【知识点】1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a 与b 的数量积，记作.3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，过AB → 的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→ ，我们称上述变换为向量a 向向量b ，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的．记为.4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝.(2)(λa )·b ＝ ＝．(3)(a ＋b )·c ＝.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0.(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π.【核心题型】题型一　平面向量数量积的基本运算计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义【例题1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，4,3,60,(0),9AB AD BAD DP DC AP BP l l ==Ð=°=>×=uuu r uuu r uuu r uuu r，则l 的值为（ ）A ．45B ．34C ．23D ．12【变式1】（2024·浙江金华·三模）已知4a =r ，3b =r ，a b a b +=-r r r r ，则()a ab ×-=rr r （ ）A ．16-B ．16C ．9-D ．9【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量,a b rr 的夹角为60°，若(4)8,||1a b b a -×=-=r r r r ，则||b =r.【变式3】（2024·辽宁丹东·一模）记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V面积为S ，且222a b c +-=．(1)求C ；(2)若a =6BA BC ×=uuu r uuu r，求S ．题型二　平面向量数量积的应用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a ·b |a ||b |；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)命题点1　向量的模【例题2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足1a =ra r 与b r的夹角为5π6，则2a b -=r r （ ）A ．12BC ．1D ．13【变式1】（2024·河北·三模）已知非零向量a r ，b r 的夹角为π3，12a æö=ç÷ç÷èør ，1a b -=r r ，则a b +=r r（ ）A ．1BCD【变式2】（2024·河南·三模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60C =°，7c =，若3,a b D -=为AB 中点，则CD =．【变式3】（2023·福建福州·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C p==．(1)求B ；(2)若ABC VBC 边上中线的长．命题点2　向量的夹角【例题3】（2024·北京·三模）若||1,||2,()a b a b a ==-^r r r r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【变式1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量,,a b c r r r 满足=+r r ra b c ，则向量,b c r r 的夹角为（ ）A ．6pB ．3pC ．23pD ．56p 【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量a r在向量b r 上的投影向量为12b -r ，且3a b =r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为 ．【变式3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱11A B 的中点，Q是棱AC 上一点，且AQ AC =122AB BB ==.(1)求证：1BP B C ^；(2)求平面1PQB 与平面1BPB 的夹角的余弦值.命题点3　向量的垂直【例题4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m r，n r 满足1m =r ，2n =r ，且()m n m -^r r r ，则m n -=r r（ ）A ．1BCD ．2【变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知||1,||2a b ==r r ，且a r 与b r 不共线，若向量k +r r a b 与-rr a kb 互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．12±D ．2±【变式2】（2024·宁夏银川·三模）已知a r 是单位向量，且a r 与a b +r r 垂直，a r 与b r的夹角为135°，则a b +rr 在b r 上的投影数量为 .【变式3】（2023高三·全国·专题练习）四面体ABCD 中，2222AB CD AD BC +=+，求证：AC BD ^．题型三　平面向量的实际应用　用向量方法解决实际问题的步骤【例题5】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M 吊在水平杆子AB 上.已知物体M 的重力大小为20牛，且150AOM Ð=°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB 承受的拉力最小.（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【变式1】（2020·宁夏中卫·二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为210/ 1.732g m s »＝）A ．63B ．69C ．75D ．81【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O 的三个力123F F F ，，使物体处于平衡状态，已知11N F =，22N F =，1F 与2F 的夹角为120°，则3F 的大小为 ．（牛顿N 是物理的力学单位）【变式3】（2022·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30o 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G u r，垂直斜面向上的弹力1F uu r ，沿着斜面向上的摩擦力2F uu r .已知：13N,160N F G ==u u r u r ，则2F uu r 的大小为.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·山西太原·模拟预测）已知单位向量a r ，b r 满足()12a b a -×=r r r ，则2a b -r r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·四川眉山·三模）已知向量,,a b c r r r 0a b c ++=r r r ，则cos ,a c b c --=r r r r（ ）A ．1314B C ．D ．1314-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，cos cos cos B A Cb ac +=+，2AM MC =uuuu r uuu u r ，则BM uuuu r 可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．24．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O 内接边长为1的正方形,ABCD P 是弧BC （包括端点）上一点，则AP AB ×uuu r uuu r的取值范围是（ ）A ．éêëB ．éêëC ．éêëD ．ùúû二、多选题5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量(1,2)a =-r，(6,2)b =-r ，则（ ）A ．(2)a b a +^r r rB ．||a b -=r rC ．a r 与b r 的夹角为π4D ．a r 在b r 上的投影向量为14b -r6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知单位向量,,a b c r rr 共面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若a b a b +=-r r r r ，则//a b r rB ．若a b a b +=-r r r r ，则a b ^r rC ．若0a b c ++=r r r r ，则π,3a c =r r D ．若0a b c ++=r r r r ，则π3,2b c =r r 三、填空题7．（2024·辽宁丹东·二模）设向量a r ，b r 的夹角为60o，且1a =r ，2b =r ，则()2a b b +×=r r r．8．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F 与2F 大小之比为．9．（2024·重庆·模拟预测）已知非零向量a r 、b r 满足()2,a b a b b =+^r r r r r ，则向量a r 与b r的夹角为 ．四、解答题10．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),sin sin b A C m =+r，()sin sin ,v A B a c =+-r 且v m ^r r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 3cos cos 4A B =，求c ．11．（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =×-uuu r uuu r，其中S 为ABC V 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ^，求AD 的长.【综合提升练】一、单选题1．（2024·宁夏固原·一模）已知向量(1,1),(0,)a b t =-=r r，若()2a a b ^+r r r ，则b =r （ ）A B ．1C D ．22．（2024·福建泉州·模拟预测）已知||2a =r ，b =r ，|2|2a b -=r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．（2024·吉林长春·模拟预测）已知两个向量,a b rr 满足1a b b ×==r r r ，a -r ，则a =r （ ）A ．1B C D ．24．（2024·浙江绍兴·二模）已知1e u r ，2e u u r 是单位向量，且它们的夹角是60°，若122a e e =+r u r u u r，12b e e l =-r u r u u r ，且a b ^r r，则l =（ ）A ．25B ．45C ．1D ．25．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，60,6,3,2,BAC AB AC AM MB CN NM Ð=====o uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，则AN CB ×=uuu r uuu r（ ）A ．9-B ．172C ．9D ．186．（2024·河南·模拟预测）已知向量,a b 满足2a b a b ==×=r rr r ，又非零向量c 满足c a c b×=×rr r r ，则b r 与c r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π3或2π3D ．π6或5π67．（2024·湖北黄冈·二模）已知e r为单位向量，向量a r 满足3,1a e e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．9B ．3C D ．108．（2024·云南曲靖·二模）已知O 是ABC V 的外心，2AB AC AO +=uuu r uuu r uuu r ，OA AB =uuu r uuu r ，则向量AC uuu r在向量BC uuu r上的投影向量为（）A ．14BC-uuur B ．r C ．34BCuuur D BC r 二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,1,2,,,a b k a b c a tb =-=^=-r r r r r r r．若,,a c b c =r r r r ，则（ ）A ．12a b=r r B ．4b c ×=r rC ．b r 在c r 方向上的投影向量为cr D ．与b r反向的单位向量是10．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量a r ，b r的夹角为q ，则下列结论正确的有（ ）A ．()()a b a b +^-r rr r B ．a r 在b r 方向上的投影向量为()a b b×r r r C ．若||1a b +=rr ，则60q =oD ．若()()a b a a b a +×=-×r r r r r r，则//a br r 11．（2024·贵州黔东南·二模）拋物线2:2(0)C y px p =->的焦点F 到准线的距离为1，经过点(),0P m 的直线l 与C 交于,A B 两点，则（ ）A ．当1m =时，直线l 斜率的取值范围是æççèB ．当点P 与点F 重合时，112FA FB+=C ．当2m =-时，FA uuu r 与FB uuu r的夹角必为钝角D ．当2m =-时，AOB Ð为定值（O 为坐标原点）三、填空题12．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量,a b rr 满足2=r a ，()44a b b +×=r r r ，则2a b +=r r.13．（2020·河北张家口·二模）如图，某班体重为70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F ，若使身体能向上移动，则拉力F 的最小整数值为 N ．（取重力加速度大小为2g 10m /s =1.732»）14．（2024·吉林长春·模拟预测）在ABC V 中，已知π,3A BC ==当边BC的中线AD =时，ABC V 的面积为 ．四、解答题15．（2024·贵州·模拟预测）在ABC V中，AB =2AC =，π6C Ð=，N 为AB 的中点，A Ð的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC V 的面积.16．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x q q æö=+=ç÷èør r (1)若),4(3c =-r 且 ()π,0,π4x q =Î时，a r 与c r 的夹角为钝角，求cos q 的取值范围；(2)若π3q =函数()f x a b =×r r ，求()f x 的最小值.17．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,cos cos a b a b c c B A-=-．(1)试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)若a ，点P 在ABC V 内，0PA PC ×=uuu r uuu r ，3tan 4PCB Ð=，求tan APB Ð．18．（2024·福建宁德·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2292cos a c ac B +=+，且sin sin B A C =.(1)若BD AC ^，垂足为D ，求BD 的长;(2)若3BA BC ×=u uuu r uu r ，求a c +的长.19．（2024·湖北·二模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，()c a b <，2cos cos cos 2c a A B b A =-．(1)求A ；(2)者13BD BC =uuu r uuu r ，2AD =uuu r ，求b c +的取值范围．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·江苏·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，b =r ()218b a b ×-=-r r r ，则a r 与b r 的夹角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．（2024·浙江·三模）已知单位向量,a b r r 满足0a b ×=r r ，则cos 34,a b a b ++=r r r r （ ）A ．0BCD ．13．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量(2,1),)a b m =-=r r ，且()()a b a b +^-r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1±B ．C ．2±D ．±4．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF Ð=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35D 二、多选题5．（2024·贵州·模拟预测）已知(3,1)a =-r ，(2,1)b =r ，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b b -^r r rB ．2a b +=r rC ．a r 与b r 的夹角为4pD ．a r 在b r 6．（2022·湖北·模拟预测）已知向量()21a =-r ，，()1,b t =-r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ^r r ，则t 的值为2-B ．若//a b r r ，则t 的值为12C ．若02t <<，则a r 与b r 的夹角为锐角D ．若()()a b a b +^-r r r r ，则a b a b +=-r r r r 三、填空题7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，且()a ab ^-r r r ，则a b r r ，的夹角大小为 ．8．（2024·安徽合肥·三模）在ABC V 中，若3BA BC CA CB AC AB ×=×=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则||||AB BC =uuu r uuu r .9．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量1OA ，2OA ，…，n OA ，若存在单位向量OP uuu r 满足12OP OA OP OA ×+×uuu r uuur uuu r uuuu r 0n OP OA ++×=L uuu r uuuu r ，则称OP uuu r 是向量组1OA ，2OA ，…，n OA 的平衡向量．已知12π,3OA OA =uuur uuuu r ，向量OP uuu r 是向量组1OA uuur ，2OA uuuu r ，3OA uuu u r 的平衡向量，当3OP OA ×uuu r uuu u r 取得最大值时，13OA OA ×uuur uuu u r 值为 ．四、解答题10．（2024·山东枣庄·一模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,a b CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+uuu r uur uuu r ，求m n．11．（2023·河北衡水·模拟预测）已知ABC V ，D 为边AC 上一点，1AD =，2CD =.(1)若34BA BD ×=uuu r uuu r ，0BC BD ×=uuu r uuu r ，求ABC S V ；(2)若直线BD 平分ABC Ð，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.。

高中数学向量数量积与向量投影解题方法在高中数学中，向量数量积与向量投影是重要的概念和解题方法。

掌握这些知识和技巧，对于解决几何和代数问题非常有帮助。

本文将详细介绍向量数量积与向量投影的概念、性质以及解题方法，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、向量数量积的概念与性质向量数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。

设有向量a和向量b，它们的数量积表示为a·b。

根据定义，向量a·b的值可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

向量数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的条件：a·b = 0，当且仅当向量a与向量b垂直或其中一个向量为零向量。

二、向量数量积的应用向量数量积在几何和代数问题中有广泛的应用。

下面通过几个具体的例题来说明。

例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。

解析：根据向量数量积的定义，可以计算出向量a和向量b的数量积：a·b = |a| |b| cosθ = (2^2 + 3^2) (4^2 + (-1)^2) cosθ = 29因此，向量a与向量b的数量积为29。

例题2：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -1, 2)，求向量a与向量b的夹角。

解析：根据向量数量积的定义，可以计算出向量a和向量b的数量积：a·b = |a| |b| cosθ = (1^2 + 2^2 + (-1)^2) (3^2 + (-1)^2 + 2^2) cosθ = 16cosθ又因为a·b = |a| |b| cosθ，所以16cosθ = 1*3 + 2*(-1) + (-1)*2 = -1解方程可得cosθ = -1/16，从而θ = arccos(-1/16) ≈ 95.83°因此，向量a与向量b的夹角约为95.83°。

第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。

第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。

（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。

所以说，投影往往伴随着垂直。

（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。

2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。