下载文档原格式
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指针对同一个角度的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数。
它们的定义如下：
正弦函数sinθ = 对边 / 斜边
余弦函数cosθ = 邻边 / 斜边
正切函数tanθ = 对边 / 邻边
余切函数cotθ = 邻边 / 对边
正割函数secθ = 斜边 / 邻边
余割函数cscθ = 斜边 / 对边
对于一个角θ来说，它的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数之间存在着基本关系式。
其中，正切函数和余切函数是互为倒数的关系，即tanθ =
1/cotθ。
正弦函数和余割函数也是互为倒数的关系，即sinθ = 1/cscθ。
而余弦函数和正割函数也是互为倒数的关系，即cosθ =
1/secθ。
通过以上基本关系式，我们可以从一个三角函数的值推导出其他同角三角函数的值。
此外，这些函数的值还与原始角度θ的正负、大小有关，需要根据具体情况加以判断。
同角三角函数推导同角三角函数是数学中常用的函数，它们结合了三角形的属性和角度的特性，为我们提供了计算三角形边长和角度的公式和方法。
从三角形的定义出发，在直角三角形中，对边长和角度的统一定义如下：角A的余角B是指直角三角形的opposite边与adjacent边的夹角，它的大小介于0度至180度。
因此，从三角形的余弦定理出发，可以求出以下余弦函数：cosA=adjacent/hypotenuse利用余弦函数，可以求出两个角A和B的余弦，即：cosA=adjacent/hypotenusecosB=opposite/hypotenuse因此，我们可以根据上面的余弦定理推导出相应的正弦函数：sinA=opposite/hypotenusesinB=adjacent/hypotenuse根据上述推导出的正弦公式，可以简单地求出在直角三角形中，A和B角的正切和角度，即：tanA=opposite/adjacenttanB=adjacent/opposite由此，我们可以得到一般的同角三角函数的表达式：sinA=sinBcosA=cosBtanA=tanB同角三角函数的推导还可以利用反三角函数的性质：sinA=1/cscAcosA=1/secAtanA=1/cotA因此，此时可以将上述余弦定理中的边长和角度换算成其他三角函数的形式，从而来推导出同角三角函数：sinA=1/cscAcosA=1/secAtanA=1/cotA将以上的推导式综合起来，可以总结出一般的同角三角函数的总结：sinA=sinBcosA=cosBtanA=tanBcscA=cscBsecA=secBcotA=cotB以上便是同角三角函数推导的完整过程，它的用途很广泛，即是用来求解三角形的边长和角度，也是三角函数转换的基础。
本文仅介绍了同角三角函数的推导，在实际应用中，也可以根据不同情况，推出更为具体的三角函数表达式。
一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.商数关系：倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinαcos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinαcos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosαcos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosαcos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．二、重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot.解：原式例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.分析：由平方关系知1=sin2α＋cos2α，可把式子的分母看成sin2α＋cos2α，然后分子分母同除以cos2α，可得.解：2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求：（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.分析：要想去掉根号，就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解：∵sinαcosα<0，sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角，此时1±sin>0，cos>0. 原式=若是第三象限角，此时1±sin>0，cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。
以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。
我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。
同样的方法也可以推导出其他的基本关系。
在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。
同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。
- 1 -。
同角三角函数1.同角三角函数的基本关系式根据三角函数定义，容易得到如下关系式(1)平方关系 sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotαcotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secαsecα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα(3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=(k∈Z)时，tanα²cotα=1就不成立.另外，要注意是同角，如sin2α+cos2α=1，但sin2α+cos2β=1就不恒成立.(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等.对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角，所以tanα为负值).其实α在第二象限，sinα为正值，cosα为负值，所以tanα=结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cot α等去代换1.(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上.①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tanα²cotα=1.②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan2α=sec2α。
③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积，如sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα.2.同角三角函数关系式的应用主要解决如下几类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数.(2)三角函数式的化简.(3)证明三角恒等式，熟悉几种常用方法.【重点难点解析】1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系，这些关系式为三角函数式的求值、化简与证明等恒等变形提供了工具和方法，导出这些关系式的过程与方法——利用三角函数的定义方法，本身就是一种重要的证题方法.2.已知角α的一种三角函数值，而利用关系式求其它三角函数值时，一般要用一次平方关系式，此时在实施开方运算而选择符号时，要依据α的象限定符号，而用其他关系式时，则结果取自然运算符号.3.对三角函数式的化简问题，首先要明确化简标准与目标，即要尽量使次数低、项数少、函数种类少；尽量使式中不含三角函数；尽量使分母中不含三角函数；能求出值的必须求出值.对于三角恒等式的证明，要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异，因此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律，是确定实施怎样的变形以及选择什么样的三角公式的依据，这些恒等变形的能力要重点培养.相关例题例1已知tanα=m(π＜α＜2π且m≠0），求sinα,cosα的值.分析：已知角α的一个三角函数值，求它的其他三角函数，可利用同角三角函数的关系式.又因为tanα的值是用字母m给出的，所以要对字母m的正负进行分类讨论.解：当m＞0时，α为第三象限角，∵sec2α=1+tan2α=1+m2,∴secα=-.∴cosα==-,sinα=tanαcosα=-当m＜0时，α为第四象限角，同上，secα=,cosα=,sinα=.评注：当三角函数值以字母形式给出时，计算过程中，既要考虑三角函数在不同象限的符号，又应注意到参数(如本题中的m)本身的符号.例2化简.其中α为第二象限角.分析：本题化简的关键是如何化去根号.利用平方关系可将被开方式配方，化去根号.同时要注意象限角的三角函数值的符号.解：原式=-== (α为第二角限)=2cotα例3求证：=()2分析：注意到原式两边的式子差异不大，故采用左、右两边的式子同时变形使之等于同一式子.证明左边===右边===.∴=()2例4已知sinα=cosβ,tanα=cotβ.- ＜α＜,0＜β＜π,求α、β.分析：从已知条件中消去角α(或β)，便可求出关于β(或α)的某个三角函数值，进而确定α、β的值.解：sinα= cosβ， (1)tanα= cotβ， (2)由，得cos2α=sin2β. (3)又由(1)2，得sin2α=2cos2β. (4)(3)+(4),得2cos2β+sin2β=1∴sin2β=∵0＜β＜π,∴sinβ=于是β=或π代入(1)式，α=，或α=-例5已知关于x的方程2x2-( +1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求：(1) +的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解：(1)由韦达定理可知sinθ+cosθ=……①sinθ²cosθ=……②而+=+==sinθ+cosθ=(2)由①式平方得1+2sinθcosθ=∴sinθcosθ=由②得=∴m=(3)当m=时，原方程变为2x2-(+1)x+ =0解得x1=,x2=又∵θ∈(0，2π)∴θ=或θ=.【难题巧解点拨】例1已知cotα=4,π＜α＜,求sinα,cosα的值.分析：本题的常规计算方法是通过同角三角函数间的关系进行的，下面介绍一种简捷的计算方法.解：作一个直角三角形，设它的一个锐角α符号已知条件，如图中的α的邻边为4，对边为1，计算出它的斜边为7，先按锐角三角函数的定义求出所要的三角函数的值(这时都是正数)，即sinα=,cosα=.然后根据已知条件中规定的α的象限，给三角函数值配上相应的符号，因为π＜α＜，所以得sinα=-,cosα=-.评注：这种求同角三角函数值的方法简便、迅速，对提高运算速度十分有效.对以字母形式给出的三角函数值的计算，这种方法也同样适用.例2不查表求tan1°²tan2°²tan3°²…tan89°的值.分析：∵tan89°=tan(90°-1°)=cot1°，又tan1°²cot1°=1,其它也可以利用倒数关系类似处理.解：tan1°²tan2°²tan3°…tan89°=(tan1°²tan89°) ²(tan2°²tan88°) ²(tan3°²tan87°)…(tan44°²tan46°)²tan45°=(tan1°²cot1°) ²(tan2°²cot2°) ²(tan3°²cot3°)…(tan44°²cot44°) ²tan45°=1例3求证=分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类.证明：右边=====左边分析2：由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的.证明：左边======右边说明：(1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)，以减少函数的种类.(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口.【课本难题解答】课本第27页练习第6题证：(1)sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α(2)sin4α+sin2αcos2α+cos2α=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1【命题趋势分析】求三角函数值是本节的重点题型，若出选择或填空题则难度不会太大，若出解答题，则会与诱导公式，三角公式以及三角函数的概念和性质综合在一起，一般为化简，证明两种题型，也常蕴含在求值问题中.【典型热点考题】例1已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则cotθ的值是 .分析：本题可由已知条件sinθ+cosθ=,θ∈(0,π)出发，先求得2sinθcosθ值，进而求得sinθ-cosθ值，再联系已知sinθ,cosθ值可求，从而求得cotθ的值.解：∵sinθ+cosθ=①两边平方，得1+2sinθcosθ=∴2sinθcosθ=-又∵θ∈(0，π)∴cosθ＜0＜sinθ则sinθ-cosθ====②①②联立，解得sinθ=,cosθ=-∴cotθ==-∴应填-例2已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ= .分析：由sinθ-cosθ=,求出sinθcosθ值，再将sin3θ-cos3θ因式分解，代入相关值，即可求得解.解：∵sinθ-cosθ=∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=∴sinθcosθ=∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+cos2θ+sinθcosθ)= (1+)=∴应填例3若β∈(0，2π)，且+=sinβ-cosβ，则β的取值范围是( )A.［0，］B.［，π］C.［π，］D.［，2π］分析：本题主要考查由三角函数值的符号确定角的取值范围，由条件可得sinβ≥0,cos β≤0，并注意同角三角函数之间的关系式的运用.解：∵+==｜sinβ｜+｜cosβ｜=sinβ-cosβ∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角或终边落在x轴负半轴或在y轴正半轴上.∵0＜β＜2π∴β∈［，π］∴应选B.例4如果θ是第三象限角，且满足=cos+sin，那么是( )A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角分析：本题考查象限角的概念，以及同角三角函数之间的关系，注意到=cos+sin ,得cos +sin≥0，由此可确定所在象限.解：∵θ是第三象限角.∴是第二或第四象限角.∵cos +sin=≥0∴cos +sin≥0如图，在第二象限的区域内(阴影部分)有｜sin｜＞｜cos｜,所以是第二象限角.∴应选C.注意：结合本题情况，画出图示，辅助解题，简明，易懂.。
