三角函数及之间的关系
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三角函数之间的关系转换三角函数之间存在着一些重要的关系转换,包括互余关系、倒数关系、和差关系以及倍角关系。
下面我将从多个角度分别介绍这些关系转换。
1. 互余关系:互余关系是指正弦、余弦、正切和余切之间的关系。
具体来说,对于任意角θ,有以下互余关系成立:正弦和余弦的互余关系,sin(θ) = cos(90° θ),cos(θ) = sin(90° θ)。
正切和余切的互余关系,tan(θ) = cot(90° θ),cot(θ) = tan(90° θ)。
2. 倒数关系:倒数关系是指正弦、余弦、正切和余切之间的倒数关系。
具体来说,对于任意角θ,有以下倒数关系成立:正弦和余弦的倒数关系,sin(θ) = 1/csc(θ),cos(θ) = 1/sec(θ)。
正切和余切的倒数关系,tan(θ) = 1/cot(θ),cot(θ) = 1/tan(θ)。
3. 和差关系:和差关系是指正弦、余弦和正切之间的和差关系。
具体来说,对于任意角θ和φ,有以下和差关系成立:正弦的和差关系,sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ±cos(θ)sin(φ)。
余弦的和差关系,cos(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) ∓sin(θ)sin(φ)。
正切的和差关系,tan(θ ± φ) = (tan(θ) ±tan(φ))/(1 ∓ tan(θ)tan(φ))。
4. 倍角关系:倍角关系是指正弦、余弦和正切的倍角关系。
具体来说,对于任意角θ,有以下倍角关系成立:正弦的倍角关系,sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
余弦的倍角关系,cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ) =2cos²(θ) 1 = 1 2sin²(θ)。
正切的倍角关系,tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan²(θ))。
三角函数公式大全关系三角函数是数学中常用的一类函数,与圆的周长、弧长、面积等有关,广泛应用于物理、工程、图像处理等领域。
以下是三角函数的一些基本公式和关系。
1.基本公式:- 正弦函数(sin):给定一个角θ,其正弦值由对边与斜边的比例给出,即sinθ=opposite/hypotenuse。
- 余弦函数(cos):给定一个角θ,其余弦值由邻边与斜边的比例给出,即cosθ=adjacent/hypotenuse。
- 正切函数(tan):给定一个角θ,其正切值由对边与邻边的比例给出,即tanθ=opposite/adjacent。
2.基本关系:- 三角函数之间的关系:sinθ=1/cscθ,cosθ=1/secθ,tanθ=1/cotθ。
-倍角公式:- sin(2θ) = 2sinθcosθ- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ- tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)-半角公式:- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]-和差公式:- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)-三角恒等式:- sin²θ + cos²θ = 1- 1 + tan²θ = sec²θ- 1 + cot²θ = csc²θ3.三角函数的周期性:- 正弦函数和余弦函数的周期均为2π,即sin(θ+2π) = sinθ,cos(θ+2π) = cosθ。
三角函数大全定义式
函数关系
倒数关系:①
;②
;③
商数关系:
①;
②
平方关系:
①;
②;
③
诱导公式
公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系:
公式三:任意角与的三角函数值之间的关系:
公式四:与的三角函数值之间的关系:
公式五:与的三角函数值之间的关系:
公式六:及与的三角函数值之间的关系:
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2].即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。
形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数的基本关系三角函数是高中数学中的重要内容,它们描述了角度和边长之间的关系。
三角函数的基本关系是指正弦、余弦和正切三个基本三角函数之间的关系。
一、正弦函数的基本关系正弦函数(sin)是指一个角的正弦值与该角的对边与斜边的比值之间的关系。
我们可以通过一个直角三角形来理解正弦函数。
假设在直角三角形ABC中,∠B为直角,BC为斜边,AC为对边,AB为邻边。
根据正弦函数的定义,sin∠A = AC/BC。
我们可以进一步推导出一些正弦函数的基本关系:1. sin(π/2 - θ) = cosθ:这个关系是由于余弦函数(cos)定义为邻边与斜边的比值,因此sin(π/2 - θ) = AC/BC = cosθ。
2. sin(π + θ) = -sinθ:这个关系是由于对于同一个角度,其正弦值在每个周期内是对称的,即sin(π + θ) = AC/BC = -sinθ。
3. sin(2π - θ) = sinθ:这个关系是由于正弦函数具有周期性,即sin(2π - θ) = AC/BC = sinθ。
二、余弦函数的基本关系余弦函数(cos)是指一个角的余弦值与该角的邻边与斜边的比值之间的关系。
同样地,在直角三角形ABC中,∠B为直角,BC为斜边,AC为对边,AB为邻边。
根据余弦函数的定义,cos∠A = AB/BC。
我们可以进一步推导出一些余弦函数的基本关系:1. cos(π/2 - θ) = sinθ:这个关系是由于正弦函数的定义,sin(π/2 - θ)= AC/BC = sinθ。
2. cos(π + θ) = -cosθ:这个关系是由于余弦函数的定义,cos(π + θ) = AB/BC = -cosθ。
3. cos(2π - θ) = cosθ:这个关系是由于余弦函数具有周期性,cos(2π- θ) = AB/BC = cosθ。
三、正切函数的基本关系正切函数(tan)是指一个角的正切值与该角的对边与邻边的比值之间的关系。
同角三角函数的基本关系倒数关系:tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:sin²α+cos²α=1 1+tan²α=sec²α平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1锐角三角函数公式二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦cos2 A =cos² A -sin² A =2cos² A -1 =1-2sin² A正切tan2A=(2tanA)/(1-tan²A)两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβsin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanα公式五:利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinα诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanα= sinα/cosαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式:(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²一、诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限。
三角函数的基本关系三角函数是数学中重要的概念,在几何学、物理学和工程学等领域广泛应用。
它们描述了三角形内角和边之间的关系,并在解决各种实际问题时发挥了重要作用。
三角函数的基本关系包括正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系。
1. 正弦函数(Sine Function)正弦函数是三角函数中的一种,通常用sin表示。
在直角三角形中,正弦函数等于对边与斜边之比。
在单位圆中,正弦函数等于与终边形成的角度的对应弧长与半径之比。
正弦函数的定义域是实数集,值域是区间[-1, 1]。
正弦函数是一个周期函数,其最小正周期是2π,即sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 余弦函数(Cosine Function)余弦函数是三角函数中的一种,通常用cos表示。
在直角三角形中,余弦函数等于邻边与斜边之比。
在单位圆中,余弦函数等于与终边形成的角度的对应弧长与半径之比。
余弦函数的定义域是实数集,值域是区间[-1, 1]。
余弦函数也是一个周期函数,其最小正周期是2π,即cos(x + 2π) = cos(x)。
3. 正切函数(Tangent Function)正切函数是三角函数中的一种,通常用tan表示。
在直角三角形中,正切函数等于对边与邻边之比。
在单位圆中,正切函数等于与终边形成的角度的对应弧长与终边与x轴的交点的纵坐标之比。
正切函数的定义域是所有使得余弦函数不为零的实数,值域是实数集。
正切函数是一个周期函数,其最小正周期是π,即tan(x + π) = tan(x)。
三角函数之间存在一些基本关系,这些关系有助于我们在解决问题时进行转化和简化。
例如,根据三角函数的定义和基本关系,我们可以得到以下等式:1. 余弦和正弦的关系:cos(x) = sin(x + π/2)2. 正切和正弦的关系:tan(x) = sin(x) / cos(x)3. 正切和余弦的关系:tan(x) = 1 / tan(x)这些基本关系可以帮助我们在数学和物理问题中进行分析和计算。
三角函数公式大全关系:倒数tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin(a+θ)*sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦:sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)^2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
同角三角函数关系式·平方关系:三角函数sin^2α+cos^2α=1cos^2a=1-sin^2atan^2α+1=1/cos^2α2sin^2a=1-cos2acot^2α+1=1/sin^2a·积的关系:sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secαcotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα·倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1·商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比正切等于对边比邻边,·对称性180度-α的终边和α的终边关于y轴;-α的终边和α的终边关于x;180度+α的终边和α的终边关于对称;180度-α的终边关于y=x对称;·诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:三角函数sin2kπ+α=sinαcos2kπ+α=cosαtan2kπ+α=tanαcot2kπ+α=cotα公式二:设α为任意角,π+α的与α的三角函数值之间的关系:sinπ+α=-sinαcosπ+α=-cosαtanπ+α=tanαcotπ+α=cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin-α=-sinαcos-α=cosαtan-α=-tanαcot-α=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sinπ-α=sinαcosπ-α=-cosαtanπ-α=-tanαcotπ-α=-cotα公式五:cosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ·公式:sinα+sinβ=2sinα+β/2cosα-β/2sinα-sinβ=2cosα+β/2sinα-β/2c osα+cosβ=2cosα+β/2cosα-β/2cosα-cosβ=-2sinα+β/2sinα-β/2·公式:sinα·cosβ=1/2sinα+β+sinα-βcosα·sinβ=1/2sinα+β-sinα-βcosα·cosβ=1/2cosα+β+cosα-βsinα·sinβ=-1/2cosα+β-cosα-β·:sin2α=2sinα·cosα=2/tanα+cotαcos2α=cosα^2-sinα^2=2cosα^2-1=1-2sinα^2tan2α=2tanα/1-tan^2α·三倍角公式:sin3α = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin60°+αsin60°-αcos3α = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos60°+αcos60°-αtan3α = 3tanα-tan^3α/1-3tan^2α = tanαtanπ/3+αtanπ/3-α ·:sinα/2=±√1-cosα/2cosα/2=±√1+cosα/2tanα/2=±√1-cosα/1+cosα=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα·辅助角公式:Asinα+Bcosα=√A^2+B^2sinα+φtanφ=B/AAsinα-Bcosα=√A^2+B^2cosα-φtanφ=-A/B·万能公式sina= 2tana/2/1+tan^2a/2cosa= 1-tan^2a/2/1+tan^2a/2tana= 2tana/2/1-tan^2a/2·降幂公式sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan^2α=1-cos2α/1+cos2α·万能公式:sinα=2tanα/2/1+tan^2;α/2cosα=1-tan^2;α/2/1+tan^2;α/2tanα=2tanα/2/1-tan^2;α/2·三角和的三角函数:sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα·其它公式asina+bcosa=sqrta^2+b^2sina+c 其中,tanc=b/aasina-bcosa=sqrta^2+b^2cosa-c 其中,tanc=a/b1+sina=sina/2+cosa/2^2 1-sina=sina/2-cosa/2^2其他非重点三角函数csca=1/sina seca=1/cosacos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=sinα/2+cosα/2^2·其他及证明:sinα+sinα+2π/n+sinα+2π2/n+sinα+2π3/n+……+sinα+2πn-1/n= 0cosα+cosα+2π/n+cosα+2π2/n+cosα+2π3/n+……+cosα+2πn-1/n= 0以及sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0cosx+cos2x+...+cosnx= sinn+1x+sinnx-sinx/2sinx证明:左边=2sinxcosx+cos2x+...+cosnx/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sinn-2x+sinn+1x-sinn-1x/2sinx 积化和差=sinn+1x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - cosn+1x+cosnx-cosx-1/2sinx证明:左边=-2sinxsinx+sin2x+...+sinnx/-2sinx=cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cosn-2x+cosn+1x-cosn-1x/-2sinx =- cosn+1x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina=2sina1-sin^2a+1-2sin^2asina=3sina-4sin^3acos3a=cos2a+a=cos2acosa-sin2asina=2cos^2a-1cosa-21-cos^2acosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina3/4-sin^2a=4sina√3/2^2-sin^2a=4sinasin^260°-sin^2a=4sinasin60°+sinasin60°-sina=4sina2sin60+a/2cos60°-a/22sin60°-a/2cos60°+a/2=4sinasin60°+asin60°-acos3a=4cos^3a-3cosa=4cosacos^2a-3/4=4cosacos^2a-√3/2^2=4cosacos^2a-cos^230°=4cosacosa+cos30°cosa-cos30°=4cosa2cosa+30°/2cosa-30°/2{-2sina+30°/2sina-30°/2}=-4cosasina+30°sina-30°=-4cosasin90°-60°-asin-90°+60°+a =-4cosacos60°-a-cos60°+a=4cosac os60°-acos60°+a上述两式相比可得tan3a=tanatan60°-atan60°+a。
三角函数的基本概念与关系正文:三角函数是数学中一个重要的概念,广泛应用在几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念与关系,帮助读者更好地理解和运用三角函数。
一、基本概念三角函数是通过三角形的边长比值定义的一组函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数,分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。
其中,x为角度。
正弦函数sin(x)定义为三角形的对边与斜边的比值,即sin(x) = a / c。
余弦函数cos(x)定义为三角形的邻边与斜边的比值,即cos(x) = b / c。
正切函数tan(x)定义为三角形的对边与邻边的比值,即tan(x) = a / b。
二、基本关系三角函数之间存在着一些基本关系,这些关系可以帮助我们在计算中相互转化三角函数。
1. 正弦函数与余弦函数的关系:根据勾股定理,我们知道c^2 = a^2 + b^2。
因此,对于任意角度x,sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个关系被称为三角恒等式之一,它表明正弦函数与余弦函数之间存在着一种特殊关系。
2. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系:利用三角函数的定义和基本关系,我们可以得到tan(x) = sin(x) /cos(x)。
这个关系可以帮助我们在计算中相互转化正弦函数、余弦函数和正切函数。
三、特殊角的三角函数值特殊角是指一些特定角度下的三角函数值,它们在计算中经常被使用。
以下是一些常见特殊角度的三角函数值:1. 0度和360度:根据定义,sin(0) = 0,cos(0) = 1,tan(0) = 0。
同时,由于正弦函数和余弦函数的周期为360度,所以sin(360) = 0,cos(360) = 1。
2. 30度和150度:在等边三角形中,对于一个边长为1的等边三角形,其角度为30度和150度。
根据定义,sin(30) = 1/2,cos(30) = √3/2,tan(30) = √3/3。